Numere iraționale. Exemple și recunoaștere

Când apeși pe calculator butonul $\sqrt{2}$, pe ecran apare ceva de genul $1,4142135\dots$ și, oricât ai derula, cifrele nu se mai termină și nu se repetă după niciun tipar. Nu e o greșeală a aparatului: ai dat peste un număr irațional, adică un număr care pur și simplu nu poate fi scris ca o fracție „curată" de tipul $\frac{a}{b}$. Aceste numere sunt peste tot: în lungimea diagonalei unui televizor, în circumferința roții unei biciclete, în raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc (celebrul $\pi$). În această lecție înveți ce sunt numerele iraționale la clasa a 7-a, cum le recunoști dintr-o privire și de ce, de exemplu, $\sqrt{2}$ este irațional, dar $\sqrt{4}=2$ nu este.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști dacă un număr dat este rațional sau irațional, chiar și când e „deghizat".
• Vei ști să dai exemple corecte de numere iraționale folosind radicali și pe $\pi$.
• Vei ști să explici de ce un radical dintr-un număr care nu e pătrat perfect (ca $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{3}$) este irațional.
• Vei ști să deosebești o zecimală infinită periodică (rațională) de una infinită neperiodică (irațională).
• Vei ști să eviți capcanele clasice, precum $0,1010010001\dots$, care pare rațional, dar nu este.

Hai să descoperim împreună

Recapitulare-fulger: ce înseamnă „rațional"

Ca să înțelegem ce e nou, avem nevoie de un punct de plecare solid. Din clasele anterioare știi deja mulțimea numerelor raționale, notată cu $\mathbb{Q}$. Un număr rațional este orice număr care poate fi scris ca o fracție

$$\frac{a}{b},\text{unde }a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Adică numărătorul $a$ este un număr întreg, numitorul $b$ este tot un număr întreg, iar numitorul nu are voie să fie zero. Toate numerele cu care ai lucrat până acum sunt raționale:

• numerele naturale: $7=\frac{7}{1}$;
• numerele întregi negative: $-5=\frac{-5}{1}$;
• fracțiile obișnuite: $\frac{3}{4}$, $\frac{-2}{9}$;
• numerele zecimale finite: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$;
• numerele zecimale periodice: $0,(3)=\frac{1}{3}$.

Reține ideea-cheie: a fi rațional înseamnă a putea fi scris ca fracție de numere întregi. Toată lecția de azi se învârte în jurul acestei propoziții.

O întrebare simplă cu un răspuns surprinzător

Hai să punem o întrebare care pare banală: există numere care NU se pot scrie ca fracție? Multă vreme, chiar și matematicienii din Antichitate au crezut că orice lungime poate fi exprimată printr-o fracție. Descoperirea că nu-i așa a fost o mare surpriză în istoria matematicii.

Să facem un experiment mental. Desenăm un pătrat cu latura de $1$ (o unitate: un centimetru, un metru, nu contează). Cât de lungă este diagonala lui?

Folosind ceea ce vei studia mai târziu (teorema lui Pitagora), lungimea diagonalei $d$ satisface $d^2=1^2+1^2=2$. Deci $d=\sqrt{2}$. Este o lungime cât se poate de reală: o poți desena cu rigla! Și totuși, oricât ai încerca, nu vei găsi nicio fracție $\frac{a}{b}$ de numere întregi care să fie exact egală cu $\sqrt{2}$. Poți găsi valori apropiate — $\frac{7}{5}=1,4$, apoi $\frac{707}{500}=1,414$ — dar niciodată exact.

Un astfel de număr, care există și are un sens geometric clar, dar care nu poate fi scris ca fracție de numere întregi, se numește număr irațional.

Definiția numărului irațional

Definiție. Un număr irațional este un număr care NU poate fi scris sub forma $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere întregi și $b\ne 0$.

Cu alte cuvinte, numerele iraționale sunt exact acele numere care „scapă" din mulțimea $\mathbb{Q}$. Împreună, numerele raționale și cele iraționale formează mulțimea numerelor reale, notată cu $\mathbb{R}$ (despre care vei învăța în detaliu în lecția următoare). Deocamdată ține minte împărțirea:

$$\text{orice numa˘r real este }\underset{\text{se scrie ca fracție}}{\underbrace{\text{rațional}}}\text{ SAU }\underset{\text{nu se scrie ca fracție}}{\underbrace{\text{irațional}}}.$$

Un număr nu poate fi în același timp și rațional, și irațional. Ori una, ori alta — ca și cum ai împărți toți elevii dintr-o școală în „băieți" și „fete": fiecare e într-o singură categorie.

Cum recunoști un irațional după scrierea zecimală

Definiția cu fracția este corectă, dar nu foarte practică: nu poți încerca toate fracțiile din lume ca să vezi dacă vreuna se potrivește. De aceea avem un al doilea criteriu, mult mai ușor de folosit, bazat pe scrierea zecimală a numărului.

Orice număr real poate fi scris cu virgulă și zecimale. Există trei tipuri de scriere zecimală:

1. Zecimală finită — se termină după un număr finit de cifre. Exemple: $0,5$; $2,75$; $-3,125$. Toate acestea sunt raționale. De pildă $2,75=\frac{275}{100}=\frac{11}{4}$.

2. Zecimală infinită periodică — cifrele nu se termină, dar de la un moment dat un grup de cifre (perioada) se repetă la nesfârșit. Exemple: $0,(3)=0,3333\dots$; $0,(12)=0,121212\dots$; $1,8(6)=1,86666\dots$ Toate acestea sunt tot raționale. Perioada se scrie între paranteze. De exemplu $0,(3)=\frac{1}{3}$ și $0,(12)=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$.

3. Zecimală infinită NEperiodică — cifrele nu se termină niciodată ȘI nu apare nicio perioadă care să se repete. Exemple: $\sqrt{2}=1,41421356\dots$; $\pi =3,14159265\dots$; $0,1010010001\dots$ Acestea sunt iraționale.

Putem strânge totul într-o regulă de aur:

Regula de recunoaștere. Un număr este rațional dacă scrierea lui zecimală este finită sau infinită periodică. Un număr este irațional dacă și numai dacă scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică.

Exemplele clasice de numere iraționale

La clasa a 7-a vei întâlni mereu aceleași „vedete" ale numerelor iraționale. Merită să le cunoști pe nume:

• $\sqrt{2}\approx 1,414$ — radical din 2, lungimea diagonalei pătratului cu latura 1;
• $\sqrt{3}\approx 1,732$ — radical din 3, apare în triunghiul echilateral;
• $\sqrt{5}\approx 2,236$ — radical din 5;
• $\pi \approx 3,14159$ — raportul dintre circumferința și diametrul oricărui cerc;
• în general, $\sqrt{n}$ pentru orice număr natural $n$ care NU este pătrat perfect: $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},\dots$

Ai grijă la ultima idee, pentru că este cea mai importantă de la această lecție: radicalul dintr-un număr natural care nu este pătrat perfect este întotdeauna irațional.

De ce $\sqrt{2}$ este irațional, dar $\sqrt{4}$ nu este?

Aici stă toată subtilitatea. Diferența nu e „mărimea" numărului de sub radical, ci dacă el este sau nu pătrat perfect (adică pătratul unui număr natural: $0,1,4,9,16,25,36,\dots$; despre ele ai învățat în prima lecție a unității de radicali).

Cazul rațional. Dacă numărul de sub radical este pătrat perfect, radicalul „iese frumos", ca număr natural: $$\sqrt{4}=2,\sqrt{9}=3,\sqrt{25}=5,\sqrt{100}=10.$$ Un număr natural este evident rațional ($2=\frac{2}{1}$), deci acești radicali sunt raționali. Practic, radicalul „dispare" și rămâne un întreg.

Cazul irațional. Dacă numărul de sub radical nu este pătrat perfect, radicalul nu poate fi scris ca fracție. De exemplu $\sqrt{2}$: numărul $2$ este între pătratele perfecte $1$ și $4$, deci $\sqrt{2}$ este între $\sqrt{1}=1$ și $\sqrt{4}=2$. Prin urmare $\sqrt{2}$ este un număr cuprins strict între $1$ și $2$ — nu este un întreg. Se poate demonstra (o vei vedea mai jos, cu un argument accesibil) că nu este nici măcar o fracție. Deci $\sqrt{2}$ este irațional.

Ca să vezi bine contrastul, compară vecinii:

Observă tiparul: exact în dreptul pătratelor perfecte ($1,4,9$) obținem numere raționale; între ele, toți ceilalți radicali sunt iraționali.

O justificare de ce $\sqrt{2}$ nu poate fi fracție

Nu trebuie să înveți pe de rost demonstrația completă, dar ideea merită înțeleasă, fiindcă îți arată de ce sunt lucrurile așa, nu doar că sunt așa. Vom folosi un raționament numit reducere la absurd: presupunem contrariul și ajungem la ceva imposibil.

Presupunem că $\sqrt{2}$ ar fi rațional. Atunci s-ar putea scrie ca o fracție ireductibilă (adică simplificată la maximum): $$\sqrt{2}=\frac{a}{b},$$ unde $a$ și $b$ sunt numere naturale fără niciun divizor comun în afară de $1$.

Ridicăm la pătrat ambii membri: $$2=\frac{a^2}{b^2},\text{deci}{a}^2=2b^2.$$

Egalitatea $a^2=2b^2$ ne spune că $a^2$ este un număr par (e dublul lui $b^2$). Dar dacă $a^2$ este par, atunci și $a$ trebuie să fie par (pătratul unui număr impar rămâne impar). Scriem deci $a=2k$ pentru un anumit număr natural $k$.

Înlocuim: $(2k{)}^2=2b^2$, adică $4k^2=2b^2$, deci $b^2=2k^2$. Prin același raționament, $b^2$ este par, deci și $b$ este par.

Am ajuns la o contradicție: și $a$, și $b$ sunt pare, adică amândouă se împart la $2$ — dar noi pornisem de la o fracție ireductibilă, în care $a$ și $b$ nu aveau niciun divizor comun! Presupunerea a dus la ceva imposibil, deci presupunerea era greșită. Concluzia: $\sqrt{2}$ nu poate fi scris ca fracție, deci este irațional. Exact același tip de argument funcționează pentru $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ și pentru orice radical dintr-un număr care nu e pătrat perfect.

Capcane: numere care par ceva, dar sunt altceva

Acum vine partea cea mai importantă pentru teste, unde se pierd cele mai multe puncte. Trebuie să te uiți cu atenție, pentru că unele numere sunt „deghizate".

Capcana 1: $0,121212\dots$ pare complicat, dar este RAȚIONAL. La prima vedere, o zecimală care nu se termină pare irațională. Dar aici grupul $12$ se repetă la nesfârșit după un tipar clar — este o zecimală periodică, $0,(12)$. Deci este rațională: $0,(12)=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$.

Capcana 2: $0,1010010001\dots$ pare periodic, dar este IRAȚIONAL. Aici trebuie multă atenție. Numărul pare că are un tipar, dar uită-te bine: după fiecare $1$ apare un $0$ în plus față de data trecută — un zero, apoi doi de zero, apoi trei de zero, și tot așa. Nu există un grup fix de cifre care să se repete identic, deci nu e periodic. Zecimala este infinită și neperiodică ⟹ irațional.

Capcana 3: un radical care se simplifică la un întreg este RAȚIONAL. Numărul $\sqrt{16}$ arată ca un radical, dar $\sqrt{16}=4$, care e natural, deci rațional. Nu te lăsa păcălit de simbolul x​: contează dacă numărul de sub el este pătrat perfect.

Capcana 4: $\pi$ nu este egal cu $\frac{22}{7}$ sau cu $3,14$. Fracția $\frac{22}{7}$ și numărul $3,14$ sunt doar aproximări ale lui $\pi$, folosite pentru comoditate. Numărul $\pi$ însuși este irațional; $\frac{22}{7}$ și $3,14$ sunt raționale, dar diferite de $\pi$. Semnul $\approx$ (aproximativ egal) marchează tocmai această diferență: $\pi \approx 3,14$, dar $\pi \ne 3,14$.

Capcana 5: operațiile pot schimba „iraționalitatea". Atenție, un irațional plus același irațional cu semn schimbat poate da un rațional: $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$, iar $0$ este rațional. Sau $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, rațional. La clasa a 7-a e suficient să reții că nu orice combinație cu un radical rămâne irațională — trebuie mereu să verifici rezultatul concret.

Cum lucrăm totuși cu un număr irațional: aproximările

Dacă $\sqrt{2}$ are o infinitate de zecimale care nu se termină niciodată, cum îl folosim în calcule concrete, de exemplu când măsurăm ceva? Răspunsul este simplu: nu folosim valoarea exactă (ar fi imposibil), ci o aproximare — adică o valoare rațională suficient de apropiată pentru scopul nostru.

Știm că $\sqrt{2}=1,41421356\dots$ Putem „tăia" scrierea zecimală oriunde vrem și obținem două tipuri de aproximări:

• Aproximare prin lipsă (mai mică decât numărul): renunțăm pur și simplu la zecimalele de după poziția aleasă. Prin lipsă cu o zecimală: $\sqrt{2}\approx 1,4$; cu două zecimale: $\sqrt{2}\approx 1,41$; cu trei zecimale: $\sqrt{2}\approx 1,414$.
• Aproximare prin adaos (mai mare decât numărul): luăm valoarea imediat următoare pe ultima poziție. Prin adaos cu o zecimală: $\sqrt{2}\approx 1,5$; cu două zecimale: $\sqrt{2}\approx 1,42$; cu trei zecimale: $\sqrt{2}\approx 1,415$.

Numărul adevărat se află mereu între aproximarea prin lipsă și cea prin adaos: $$1,41<\sqrt{2}<1,42.$$

Cu cât luăm mai multe zecimale, cu atât „prindem" numărul între margini mai apropiate, dar niciodată nu ajungem la valoarea exactă — asta e chiar esența unui număr irațional. Reține două idei practice:

1. Aproximarea este un număr rațional (are scriere zecimală finită), chiar dacă numărul aproximat este irațional. De aceea $1,41$ este rațional, dar $\sqrt{2}$ nu.
2. Semnul corect între un irațional și aproximarea lui este $\approx$ (aproximativ egal), niciodată $=$. Scriem $\sqrt{2}\approx 1,41$, dar $\sqrt{2}\ne 1,41$.

Cum procedezi practic, pas cu pas

Când primești un număr și trebuie să decizi „rațional sau irațional", urmează acești pași:

1. Este dat ca fracție de întregi, sau ca zecimală finită, sau ca zecimală periodică? → Rațional.
2. Este un radical $\sqrt{n}$? Verifică dacă $n$ este pătrat perfect.
   • $n$ pătrat perfect ($1,4,9,16,25,\dots$) → radicalul „iese" întreg → rațional.
   • $n$ NU e pătrat perfect → irațional.
3. Este o zecimală infinită? Caută o perioadă care se repetă identic.
   • Ai găsit un grup fix repetat → rațional (periodic).
   • Cifrele curg fără tipar care se repetă identic → irațional.
4. Apare $\pi$? → irațional (dacă nu e cumva anulat de o operație, ex. $\pi -\pi =0$).

Cu acest algoritm în minte, rezolvi corect aproape orice exercițiu de recunoaștere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radical: pătrat perfect sau nu

Cerință: Stabilește dacă numerele $\sqrt{36}$, $\sqrt{7}$ și $\sqrt{49}$ sunt raționale sau iraționale.

Rezolvare. Ne uităm la numărul de sub fiecare radical.

• $36=6^2$ este pătrat perfect, deci $\sqrt{36}=6$ — număr natural ⟹ rațional.
• $7$ nu este pătrat perfect (e între $4=2^2$ și $9=3^2$), deci $\sqrt{7}$ este între $2$ și $3$, nu iese întreg ⟹ irațional.
• $49=7^2$ este pătrat perfect, deci $\sqrt{49}=7$ ⟹ rațional.

Exemplul 2 — Zecimale: periodic sau neperiodic

Cerință: Clasifică numerele $A=0,(7)$, $B=3,25$ și $C=0,2020020002\dots$

Rezolvare.

• $A=0,7777\dots$ — cifra $7$ se repetă la nesfârșit, e o zecimală periodică ⟹ rațional. (De fapt $0,(7)=\frac{7}{9}$.)
• $B=3,25$ — zecimală finită ⟹ rațional, căci $3,25=\frac{325}{100}=\frac{13}{4}$.
• $C=0,2020020002\dots$ — între cifrele $2$ numărul de zerouri crește (un zero, apoi doi, apoi trei…), deci nu există perioadă fixă; zecimala e infinită și neperiodică ⟹ irațional.

Exemplul 3 — Radical care se simplifică

Cerință: Este numărul $\sqrt{0,25}$ rațional sau irațional?

Rezolvare. Nu te grăbi să spui „irațional" doar pentru că vezi radical. Calculăm: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, iar $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}=0,5$. Rezultatul $0,5$ este o zecimală finită ⟹ rațional.

Exemplul 4 — Adevărat sau fals, cu justificare

Cerință: Decide dacă afirmațiile sunt adevărate sau false și justifică. a) „Orice radical este irațional." b) „$\sqrt{2}$ este cuprins între $1$ și $2$." c) „$\pi =\frac{22}{7}$."

Rezolvare. a) Fals. Contraexemplu: $\sqrt{4}=2$ este rațional. Radicalii din pătrate perfecte sunt raționali. b) Adevărat. Deoarece $1=\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}=2$, avem $1<\sqrt{2}<2$. (Mai exact, $\sqrt{2}\approx 1,41$.) c) Fals. $\frac{22}{7}\approx 3,142857\dots$ este doar o aproximare a lui $\pi \approx 3,141592\dots$; ele diferă de la a treia zecimală. În plus, $\pi$ este irațional, iar $\frac{22}{7}$ este rațional, deci nu pot fi egale.

Exemplul 5 — Ordonează pe axă și clasifică

Cerință: Se dau numerele $-\sqrt{9}$, $\frac{3}{5}$, $\sqrt{5}$, $2,(3)$. Precizează care sunt raționale și care iraționale, apoi așază-le în ordine crescătoare.

Rezolvare. Clasificăm întâi:

• $-\sqrt{9}=-3$ ⟹ rațional (natural cu semn minus);
• $\frac{3}{5}=0,6$ ⟹ rațional (fracție de întregi);
• $\sqrt{5}\approx 2,236$ ⟹ irațional ($5$ nu e pătrat perfect);
• $2,(3)=2,333\dots$ ⟹ rațional (periodic, $=\frac{7}{3}$).

Ordonăm folosind valorile aproximative: $-3<0,6<2,236<2,333\dots$ Deci ordinea crescătoare este: $$-\sqrt{9}<\frac{3}{5}<\sqrt{5}<2,(3).$$

Exemplul 6 — Găsește un irațional între două numere

Cerință: Dă un exemplu de număr irațional cuprins între $3$ și $4$.

Rezolvare. Ne gândim la un radical $\sqrt{n}$ care să pice între $3$ și $4$. Cum $3=\sqrt{9}$ și $4=\sqrt{16}$, orice $\sqrt{n}$ cu $9<n<16$ și $n$ nepătrat perfect merge. De exemplu $\sqrt{10}$: avem $\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$, adică $3<\sqrt{10}<4$, iar $10$ nu e pătrat perfect, deci $\sqrt{10}\approx 3,16$ este irațional și se află între $3$ și $4$. (Alte răspunsuri corecte: $\sqrt{11},\sqrt{12},\sqrt{13},\sqrt{14},\sqrt{15}$.)

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Completează: un număr irațional este un număr care NU poate fi scris sub forma $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \dots$ și $b\ne \dots$

2. Care dintre următoarele numere sunt pătrate perfecte: $4,6,9,12,16,20,25$?

3. Clasifică fiecare radical ca rațional sau irațional: $\sqrt{4}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{81}$.

4. Scrie trei exemple de numere iraționale folosind radicali și un exemplu folosind pe $\pi$.

5. Clasifică zecimalele: $a)0,75$; $b)0,(6)$; $c)4,1010010001\dots$; $d)2,5$.

6. Adevărat sau fals (justifică): „$\sqrt{25}$ este irațional."

7. Adevărat sau fals (justifică): „Numărul $0,353535\dots$ este irațional."

8. Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{7}$? Dar $\sqrt{20}$?

9. Dă un exemplu de număr irațional cuprins între $2$ și $3$.

10. Ordonează crescător: $\sqrt{2}$, $1$, $\sqrt{4}$, $1,5$.

11. Din lista $\left\{\sqrt{3},\frac{7}{2},\sqrt{49},0,(2),\pi ,-\sqrt{16}\right\}$, alege doar numerele iraționale.

12. Explică în cuvinte de ce $\sqrt{4}$ este rațional, dar $\sqrt{5}$ este irațional.

13. Adevărat sau fals (justifică): „Suma $\sqrt{3}+\sqrt{3}$ este irațională."

14. Adevărat sau fals (justifică): „Produsul $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}$ este irațional."

15. Găsește un număr rațional și un număr irațional, ambele cuprinse între $1,4$ și $1,5$.

16. Numărul $\sqrt{0,09}$ este rațional sau irațional? Justifică prin calcul.

17. Se dă $\sqrt{n}$, unde $n$ este număr natural. Completează regula: $\sqrt{n}$ este rațional dacă și numai dacă $n$ este $\dots$

18. Provocare: câte numere naturale $n$ cu $1\le n\le 10$ au proprietatea că $\sqrt{n}$ este irațional? Enumeră-le.

19. Se știe că $\sqrt{3}=1,7320508\dots$ Scrie aproximarea prin lipsă și aproximarea prin adaos ale lui $\sqrt{3}$ cu două zecimale. Între ce două numere raționale ai încadrat astfel pe $\sqrt{3}$?

20. Adevărat sau fals (justifică): „Aproximarea $1,73$ a lui $\sqrt{3}$ este un număr irațional."

Răspunsuri și explicații

1. $a,b\in \mathbb{Z}$ (numere întregi) și $b\ne 0$.

2. Pătrate perfecte: $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, $25=5^2$. Nu sunt pătrate perfecte: $6,12,20$.

3. $\sqrt{4}=2$ rațional; $\sqrt{6}$ irațional ($6$ nepătrat); $\sqrt{16}=4$ rațional; $\sqrt{20}$ irațional ($20$ nepătrat); $\sqrt{81}=9$ rațional.

4. Exemple de răspuns corect: iraționale cu radicali — $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ (orice radical din nepătrat perfect); cu $\pi$ — de exemplu $\pi$ însuși (sau $2\pi$). Orice alegere echivalentă e corectă.

5. $a)0,75$ finită ⟹ rațional; $b)0,(6)$ periodic ⟹ rațional $\left(=\frac{2}{3}\right)$; $c)4,1010010001\dots$ neperiodic ⟹ irațional; $d)2,5$ finită ⟹ rațional.

6. Fals. $\sqrt{25}=5$, care este număr natural, deci rațional. ($25$ este pătrat perfect.)

7. Fals. $0,353535\dots =0,(35)$ este periodic (grupul $35$ se repetă), deci rațional $\left(=\frac{35}{99}\right)$.

8. $\sqrt{7}$: cum $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$, adică $2<\sqrt{7}<3$, se află între $2$ și $3$. $\sqrt{20}$: cum $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$, adică $4<\sqrt{20}<5$, se află între $4$ și $5$.

9. Exemplu corect: $\sqrt{5}\approx 2,236$ (căci $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$, deci $2<\sqrt{5}<3$). La fel merg $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$.

10. Valori: $\sqrt{2}\approx 1,41$; $1$; $\sqrt{4}=2$; $1,5$. Ordine crescătoare: $1<\sqrt{2}<1,5<\sqrt{4}$.

11. Iraționale: $\sqrt{3}$ și $\pi$. (Raționale: $\frac{7}{2}$; $\sqrt{49}=7$; $0,(2)$; $-\sqrt{16}=-4$.)

12. $\sqrt{4}$ este rațional pentru că $4$ este pătrat perfect ($4=2^2$), deci $\sqrt{4}=2$, un întreg. $\sqrt{5}$ este irațional pentru că $5$ nu este pătrat perfect: $\sqrt{5}$ cade strict între $2$ și $3$ și are scriere zecimală infinită neperiodică ($2,2360\dots$).

13. Adevărat. $\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46$, care rămâne irațional (un rațional nenul înmulțit cu un irațional dă tot un irațional). Deci suma este irațională.

14. Fals. $\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$, care este natural, deci rațional. Produsul nu este irațional.

15. Rațional între $1,4$ și $1,5$: de exemplu $1,45$ (sau $\frac{29}{20}$). Irațional între $1,4$ și $1,5$: de exemplu $\sqrt{2}\approx 1,414$, care este chiar în acest interval.

16. $\sqrt{0,09}$: avem $0,09=\frac{9}{100}$, deci $\sqrt{0,09}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}=0,3$. Zecimală finită ⟹ rațional.

17. $\sqrt{n}$ este rațional dacă și numai dacă $n$ este pătrat perfect.

18. Iraționale între $1$ și $10$: pentru $n\in \{2,3,5,6,7,8,10\}$ (cele care nu sunt pătrate perfecte). Sunt 7 valori. (Pătratele perfecte $1,4,9$ dau radicali raționali.)

19. Cum $\sqrt{3}=1,7320508\dots$, aproximarea prin lipsă cu două zecimale este $1,73$, iar cea prin adaos este $1,74$. Am încadrat astfel: $1,73<\sqrt{3}<1,74$.

20. Fals. $1,73$ este o zecimală finită, deci se scrie ca fracție $\left(1,73=\frac{173}{100}\right)$ — este un număr rațional. El este doar o aproximare a lui $\sqrt{3}$; numărul irațional este $\sqrt{3}$ însuși, nu aproximarea lui.

De reținut

• Rațional = se scrie ca fracție $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$. Irațional = NU se poate scrie așa.
• Criteriul zecimal: finită sau periodică ⟹ rațional; infinită și neperiodică ⟹ irațional.
• $\sqrt{n}$ (cu $n$ natural) este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect; altfel este irațional.
• Exemple clasice de iraționale: $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\pi$ și orice radical dintr-un nepătrat perfect.
• $\pi$ este irațional; $\frac{22}{7}$ și $3,14$ sunt doar aproximări raționale ale lui, nu valoarea exactă.
• Un irațional se folosește în calcule prin aproximări (prin lipsă și prin adaos); orice aproximare zecimală finită este ea însăși un număr rațional, iar între aproximări scriem semnul $\approx$, nu $=$.

Greșeli frecvente

• „Orice radical este irațional." Greșit. $\sqrt{16}=4$ este rațional. Verifică întotdeauna dacă numărul de sub radical e pătrat perfect.
• „Orice zecimală infinită este irațională." Greșit. $0,(3)$ și $0,121212\dots$ sunt infinite, dar periodice, deci raționale. Doar cele neperiodice sunt iraționale.
• Confuzia $0,1010010001\dots$ cu un număr periodic. Aici numărul de zerouri crește mereu, deci NU există perioadă — este irațional. Uită-te dacă un grup de cifre se repetă chiar identic.
• „$\pi =3,14$" sau „$\pi =\frac{22}{7}$." Sunt doar aproximări. Folosește semnul $\approx$, nu $=$. Valoarea exactă a lui $\pi$ nu are scriere zecimală finită sau periodică.
• „Aproximarea unui irațional este tot irațională." Greșit. Aproximarea $\sqrt{2}\approx 1,41$ este o zecimală finită, deci un număr rațional $\left(=\frac{141}{100}\right)$. Irațional rămâne doar numărul original, $\sqrt{2}$, nu valoarea trunchiată cu care lucrezi în calcule.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de iraționale pe telefon. Deschide aplicația de calculator și apasă pe rând $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}$. Notează primele 6 zecimale pentru fiecare și observă că nu apare nicio perioadă. Apoi apasă $\sqrt{9}$ și $\sqrt{16}$ și observă diferența: rezultatul „iese" întreg. Fă un mic tabel cu concluzia „rațional/irațional".

2. Diagonala pătratului real. Ia o coală pătrată (sau taie una) cu latura de $10$ cm, măsoară diagonala cu rigla și compară cu valoarea teoretică $10\sqrt{2}\approx 14,14$ cm. Ai obținut o lungime reală care corespunde unui număr irațional! Notează cât de aproape a fost măsurătoarea ta.

3. Cercul și $\pi$. Alege un obiect rotund (un pahar, un capac), măsoară cu o sfoară circumferința și cu rigla diametrul, apoi împarte circumferința la diametru. Ar trebui să obții ceva foarte apropiat de $\pi \approx 3,14$. Explică unui membru al familiei de ce rezultatul nu iese niciodată „rotund".

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce prima categorie de numere „noi" din gimnaziu care nu se pot scrie ca fracție — un salt conceptual real pentru copil. Cel mai eficient sprijin este să insistați pe criteriul practic, nu pe definiția abstractă: „Se scrie ca fracție? Are perioadă? Numărul de sub radical e pătrat perfect?"

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Dă-mi un exemplu de radical care este rațional și unul care este irațional." (Testează distincția pătrat perfect / nepătrat.)
• „Numărul $0,272727\dots$ este rațional sau irațional? De ce?" (Trebuie să recunoască perioada.)
• „De ce $\pi$ nu este exact $3,14$?" (Testează diferența aproximare / valoare exactă.)

Semne că elevul a înțeles: clasifică rapid $\sqrt{n}$ verificând dacă $n$ e pătrat perfect, nu confundă zecimalele periodice cu cele neperiodice și nu spune automat că „radical = irațional". Dacă ezită, reveniți la tabelul cu $\sqrt{1}$ până la $\sqrt{9}$ și lăsați-l să observe singur unde apar numerele „frumoase".

Întrebări frecvente

Ce sunt numerele iraționale la clasa a 7-a? Sunt numerele care NU pot fi scrise sub forma unei fracții $\frac{a}{b}$ cu $a$ și $b$ numere întregi și $b\ne 0$. Scrierea lor zecimală este infinită și neperiodică. Exemple: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.

Cum îmi dau seama dacă un număr este rațional sau irațional? Verifică scrierea zecimală: dacă este finită sau infinită periodică, numărul este rațional; dacă este infinită și neperiodică, este irațional. Pentru radicali, verifică dacă numărul de sub radical este pătrat perfect (atunci e rațional) sau nu (atunci e irațional).

De ce este $\sqrt{2}$ irațional? Pentru că $2$ nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{2}$ nu iese ca număr întreg și, se poate demonstra, nici ca fracție. Valoarea lui este $1,41421356\dots$, o zecimală infinită fără nicio perioadă care se repetă.

$\sqrt{4}$ este rațional sau irațional? Rațional. Deoarece $4=2^2$ este pătrat perfect, avem $\sqrt{4}=2$, care este număr natural, deci se scrie ca fracție ($2=\frac{2}{1}$).

Este $\pi$ un număr rațional? Nu, $\pi$ este irațional. Scrierea sa zecimală, $3,14159265\dots$, este infinită și neperiodică. Fracția $\frac{22}{7}$ și numărul $3,14$ sunt doar aproximări comode, nu valoarea exactă a lui $\pi$.

Numărul $0,121212\dots$ este irațional? Nu. Grupul $12$ se repetă la nesfârșit, deci este o zecimală periodică, $0,(12)$, care este rațională: $0,(12)=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$.

Poate un radical să fie rațional? Da. Dacă numărul de sub radical este pătrat perfect, radicalul este rațional: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{100}=10$. Doar radicalii din numere care nu sunt pătrate perfecte sunt iraționali.

Dacă $\sqrt{2}$ are infinite zecimale, cum îl folosesc într-un calcul? Folosești o aproximare rațională, adică o valoare apropiată cu câte zecimale îți trebuie: $\sqrt{2}\approx 1,4$ (o zecimală), $\sqrt{2}\approx 1,41$ (două zecimale) și așa mai departe. Aproximarea este un număr rațional, iar numărul adevărat se află mereu între aproximarea prin lipsă și cea prin adaos: $1,41<\sqrt{2}<1,42$. Scrii $\approx$, nu $=$.

Câte numere iraționale există? Există o infinitate de numere iraționale — de fapt, „mai multe" decât cele raționale. Între oricare două numere raționale se pot găsi mereu și numere iraționale, iar mulțimea numerelor iraționale, împreună cu cea a raționalelor, formează mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$.