Care dintre următoarele scrieri este corectă?

$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{N}$$

Ce sunt numerele reale?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Numerele reale și incluziunile

Sunt toate numerele care se pot așeza pe axă, adică raționalele la un loc cu iraționalele. Raționalele se scriu ca fracție și au zecimale care fie se opresc, fie se repetă; iraționalele, precum $2$ sau $π$ , au zecimale care merg la nesfârșit fără vreun tipar. Mulțimile învățate se cuprind una pe alta: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Fiecare treaptă adaugă ceva, fără să piardă nimic din cele dinainte.

Mulțimea numerelor reale $R$ adună la un loc toate numerele raționale (cele care se scriu ca fracție $\frac{a}{b}$ , cu zecimală finită sau periodică) și toate numerele iraționale (zecimală infinită și neperiodică, ca $2$ sau $π$ ). Toate mulțimile pe care le știi se cuibăresc una în alta, ca niște păpuși matrioșka: $N \subset Z \subset Q \subset R$ Fiecare pas adaugă ceva: $Z$ adaugă negativele, $Q$ adaugă fracțiile, $R$ adaugă iraționalele.

Atenție la simboluri: $\in$ leagă un element de o mulțime (ex: $- 5 \in Z$ ), iar $\subset$ leagă o mulțime de altă mulțime (ex: $N \subset Z$ ). Pentru a încadra un număr, evaluează-l întâi: de exemplu $16 = 4$ e natural, nu irațional, deși are radical!

De reținut

$R$ = raționale și iraționale la un loc
$N \subset Z \subset Q \subset R$
irațional = zecimale infinite, fără perioadă
$\in$ pentru element, $\subset$ pentru mulțime

Greșeala tipică

Se crede că orice scriere cu radical dă un număr irațional. $25$ face 5, deci este natural; un radical iese irațional numai dacă sub semn stă un număr care nu este pătrat perfect.

Exerciții din această mini-lecție

Care este cea mai mică submulțime din care face parte numărul $- 20$ ?
- a) $N$
- b) $Z$
- c) $Q$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $Z$

$- 20$ este un număr întreg negativ, deci nu poate fi natural. Cel mai mic loc unde se încadrează este $Z$ , mulțimea numerelor întregi.
Care dintre următoarele scrieri este corectă?
- a) $5 \subset N$
- b) $N \in Z$
- c) $3 \in / Q$
- d) $Q \subset N$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 \in / Q$

$3$ este irațional (zecimală infinită neperiodică), deci nu aparține lui $Q$ : $3 \in / Q$ este corect. Celelalte greșesc simbolul: un număr nu poate sta lângă $\subset$ (a), o mulțime nu poate sta lângă $\in$ (b), iar incluziunea din (d) e inversată.
Care este cea mai mică submulțime din care face parte numărul $\frac{7}{2}$ ?
- a) $N$
- b) $Z$
- c) $Q$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $Q$

$\frac{7}{2} = 3, 5$ nu este număr întreg, deci nu poate fi în $N$ sau $Z$ . Este însă o fracție de numere întregi, deci cel mai mic loc unde se încadrează este $Q$ .

Întrebări conexe

Ce număr irațional cunoscut apare la cercuri?

Numărul $π$ , raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul lui. Zecimalele lui încep cu $3, 14159$ și continuă la nesfârșit, fără să se repete vreodată. La calcule se folosesc aproximări, dar valoarea exactă se scrie cu litera grecească.

Cum arăt pe axă unde cade radical din 2?

Construiești un pătrat cu latura 1 pe segmentul de la 0 la 1; diagonala lui măsoară exact $2$ . Cu compasul rotești diagonala peste axă, iar vârful cade între 1 și 2, cam la $1, 41$ . Așa se vede că numărul acesta chiar are un loc al lui.

De ce radical din 2 nu se poate scrie ca fracție?

Pentru că, presupunând o fracție ireductibilă egală cu el, se ajunge la concluzia că amândoi termenii ar trebui să fie pari, ceea ce se bate cap în cap cu ireductibilitatea. Raționamentul acesta, vechi de peste două mii de ani, a arătat că numerele iraționale există.

Care este cea mai mică mulțime în care intră numărul minus 7?

Mulțimea numerelor întregi, fiindcă este negativ și nu încape printre naturale. Face parte totodată și din raționale, și din reale, dar întrebarea despre cea mai mică mulțime cere prima treaptă care îl cuprinde.

Există numere care nu sunt reale?

Există, dar se studiază mult mai târziu: numerele complexe, care apar din rezolvarea ecuațiilor fără soluții reale, cum ar fi cele cu pătratul egal cu un număr negativ. La gimnaziu și în cea mai mare parte a liceului, toate numerele cu care lucrezi sunt reale.

Câte numere reale sunt între 1 și 2?

O infinitate. Între oricare două numere reale, oricât de apropiate, se mai găsesc altele, de pildă media lor. Tocmai de aceea axa numerelor reale nu are niciun loc gol, iar între două fracții încap întotdeauna și numere iraționale.

Oamenii mai întreabă și: mulțimea numerelor reale · numere reale · incluziunile N Z Q R · ce înseamnă număr irațional · numere raționale și iraționale