Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări

Imaginează-ți o riglă infinită, care se întinde în ambele direcții fără să se termine niciodată. Pe această riglă, orice număr pe care îl poți gândi — un întreg ca $3$, o fracție ca $\frac{7}{4}$, o zecimală ca $2,35$ sau chiar un număr irațional ciudat ca $\sqrt{2}$ — are locul lui exact, un singur punct al lui. Aceasta este axa numerelor, iar în această lecție înveți cum să plasezi pe ea nu doar numerele „cuminți", ci și numerele iraționale, care au o infinitate de zecimale ce nu se repetă. Trucul principal este aproximarea: chiar dacă nu poți nota toate zecimalele lui $\sqrt{2}$, poți spune cu certitudine între ce două numere se află și, astfel, îi găsești locul pe axă cu o precizie oricât de bună. Este exact ceea ce fac inginerii când marchează o poziție pe un plan sau programatorii când plasează un pixel pe ecran.

Ce vei învăța

• Vei ști să reprezinți numere raționale (întregi, fracții, zecimale) pe axa numerelor, folosind originea, unitatea de măsură și sensul pozitiv.
• Vei ști să aproximezi un număr irațional prin lipsă și prin adaos, de exemplu să scrii $1,4<\sqrt{2}<1,5$, pentru a-i găsi locul pe axă.
• Vei ști să poziționezi aproximativ un număr irațional pe axă folosind aproximarea lui zecimală.
• Vei ști să asociezi orice punct de pe axă cu numărul real corespunzător și invers, înțelegând corespondența dintre puncte și numere.
• Vei înțelege de ce axa numerelor este „plină" cu numere reale, fără nicio „gaură".

Hai să descoperim împreună

1. Ce este axa numerelor? Trei ingrediente esențiale

O axă a numerelor este o dreaptă pe care alegem trei lucruri, în această ordine:

1. Originea — un punct pe care îl marcăm și căruia îi asociem numărul $0$. Se notează de obicei cu $O$.
2. Sensul pozitiv — o direcție (de obicei spre dreapta), indicată printr-o săgeată. În acea direcție numerele cresc; în direcția opusă (spre stânga) numerele scad și devin negative.
3. Unitatea de măsură — alegem un segment pe care îl considerăm „lung de $1$". Punctul aflat la o unitate în dreapta originii primește numărul $1$, cel aflat la două unități primește $2$ și așa mai departe.

Odată fixate aceste trei ingrediente, spunem că am construit un reper pe dreaptă. Din acest moment, fiecărui număr îi corespunde un punct bine determinat, iar noi știm exact unde să-l punem.

De ce contează unitatea? Dacă unitatea este de $1$ cm, atunci numărul $3$ este la $3$ cm de origine. Dacă alegi unitatea de $2$ cm, același număr $3$ ajunge la $6$ cm de origine. Poziția relativă rămâne aceeași, dar desenul arată diferit. De aceea, la începutul oricărei reprezentări, alegem și menținem o unitate clară.

2. Cum așezăm numerele întregi

Numerele întregi sunt cele mai simple. Pornim din origine și numărăm unități:

• $2$ este la două unități în dreapta lui $0$;
• $-3$ este la trei unități în stânga lui $0$;
• $0$ este chiar originea.

Observă o idee importantă: numărul arată depărtarea față de origine, iar semnul arată direcția. Vom folosi această observație și când vom studia modulul ca distanță pe axa numerelor.

3. Cum așezăm fracțiile și numerele zecimale

Aici intervine prima idee cu adevărat utilă: împărțim unitatea în părți egale.

Exemplu cu o fracție. Vrei să plasezi $\frac{3}{4}$. Numitorul $4$ îți spune: împarte segmentul de la $0$ la $1$ în 4 părți egale. Numărătorul $3$ îți spune: ia 3 dintre aceste părți, pornind de la $0$. Punctul la care ajungi este $\frac{3}{4}$.

Exemplu cu o fracție supraunitară. Pentru $\frac{7}{4}$ transformăm mai întâi în număr mixt: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$. Deci punctul se află cu $\frac{3}{4}$ dincolo de $1$, adică între $1$ și $2$, mai aproape de $2$. Practic împarți fiecare unitate în sferturi și numeri $7$ sferturi de la origine.

Exemplu cu o zecimală. Pentru $2,3$ gândește: $2,3=2+\frac{3}{10}$. Împarți unitatea dintre $2$ și $3$ în 10 părți egale (zecimi) și iei $3$ dintre ele. Punctul este între $2$ și $3$, mai aproape de $2$ (la $3$ zecimi de el).

Pentru o zecimală cu două cifre, ca $2,37$, împărțim și mai fin: fiecare zecime se împarte în $10$ sutimi. Punctul $2,37$ este cu $7$ sutimi dincolo de $2,3$. Cu cât zecimala are mai multe cifre, cu atât împărțim mai fin și cu atât plasarea este mai precisă.

Reține regula generală: numitorul (sau numărul de zecimale) îți spune în câte părți egale împarți unitatea, iar numărătorul îți spune câte părți numeri.

4. Problema numerelor iraționale

Până acum totul a mers ușor, pentru că numerele raționale se scriu ca fracții și știm exact în câte părți să împărțim unitatea. Dar ce facem cu un număr irațional ca $\sqrt{2}$?

Un număr irațional (pe care l-ai întâlnit în lecția Numere iraționale. Exemple și recunoaștere) are o scriere zecimală cu o infinitate de cifre după virgulă, care NU se repetă periodic. De exemplu:

$$\sqrt{2}=1,41421356\dots$$

și zecimalele continuă la nesfârșit fără vreun tipar. Nu putem scrie $\sqrt{2}$ ca o fracție $\frac{a}{b}$ cu numere întregi, deci nu putem împărți unitatea într-un număr „potrivit" de părți egale ca la fracții. Pare că suntem blocați... dar nu suntem. Soluția se numește aproximare.

5. Aproximarea prin lipsă și prin adaos — cheia lecției

Ideea genială este simplă: chiar dacă nu cunoaștem toate zecimalele lui $\sqrt{2}$, putem spune cu certitudine între ce două numere „frumoase" se află. Acest lucru este suficient pentru a-i găsi locul pe axă.

Să pornim de la ce știm sigur. Căutăm între ce numere întregi consecutive se află $\sqrt{2}$. Calculăm pătrate:

• $1^2=1$ și $2^2=4$;
• cum $1<2<4$, prin extragerea rădăcinii obținem $\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}$, adică:

$$1<\sqrt{2}<2.$$

Deci $\sqrt{2}$ este între $1$ și $2$. Numărul $1$ se numește aproximare prin lipsă (este mai mic, „îi lipsește ceva"), iar $2$ se numește aproximare prin adaos (este mai mare, „are un adaos"). Aceasta este o aproximare cu o eroare mai mică decât o unitate.

Dar putem fi mult mai preciși. Să căutăm zecimile. Încercăm pătratele unor zecimale între $1$ și $2$:

• $1,4^2=1,96$ — încă mai mic decât $2$;
• $1,5^2=2,25$ — deja mai mare decât $2$.

Cum $1,96<2<2,25$, rezultă:

$$1,4<\sqrt{2}<1,5.$$

Am obținut aproximarea cu o zecimală exactă: $1,4$ este aproximarea prin lipsă, iar $1,5$ este aproximarea prin adaos. Eroarea este acum mai mică de o zecime — mult mai bună!

Putem continua cu sutimile:

• $1,41^2=1,9881$ — mai mic decât $2$;
• $1,42^2=2,0164$ — mai mare decât $2$;

deci $1,41<\sqrt{2}<1,42$. Aproximarea prin lipsă cu două zecimale este $1,41$, iar prin adaos este $1,42$.

Această idee — strângem tot mai tare intervalul din jurul numărului — se numește uneori „metoda încadrării" sau „prinderea între două zecimale". Fiecare pas adaugă o cifră exactă și îngustează intervalul de $10$ ori. Ai mai folosit acest procedeu în lecția Aproximări prin lipsă și prin adaos ale rădăcinii pătrate; acum îl folosim ca să desenăm.

6. Cum plasăm efectiv numărul irațional pe axă

Pentru a reprezenta un număr irațional pe axă, nu avem nevoie de toate zecimalele — ne oprim la precizia care ne convine. De obicei, o zecimală este de ajuns pentru un desen școlar.

Pașii de lucru pentru a plasa $\sqrt{2}$:

1. Găsește întregii vecini: $1<\sqrt{2}<2$. Deci punctul este în intervalul dintre $1$ și $2$.
2. Găsește zecimile: $1,4<\sqrt{2}<1,5$. Deci punctul este între $1,4$ și $1,5$.
3. Împarte și marchează: împarte unitatea dintre $1$ și $2$ în $10$ părți egale (zecimi) și marchează punctul între diviziunile $1,4$ și $1,5$. Cum a doua zecimală este $1$ ($\sqrt{2}\approx 1,41$), punctul este ceva mai aproape de $1,4$ decât de $1,5$.

Un al doilea exemplu, cu $\sqrt{5}$:

• $2^2=4$, $3^2=9$, deci $4<5<9\Rightarrow 2<\sqrt{5}<3$;
• $2,2^2=4,84$ și $2,3^2=5,29$, deci $2,2<\sqrt{5}<2,3$.

Punem punctul între $2,2$ și $2,3$, mai aproape de $2,2$ (fiindcă $4,84$ este mai apropiat de $5$ decât $5,29$). Într-adevăr, $\sqrt{5}\approx 2,236$.

Și numerele iraționale negative? La fel de simplu. Ca să plasezi $-\sqrt{2}$, plasezi mai întâi $\sqrt{2}\approx 1,41$, apoi mergi de aceeași distanță în stânga originii. Deci $-\sqrt{2}$ este între $-1,5$ și $-1,4$, ceva mai aproape de $-1,4$. Semnul minus doar oglindește punctul față de origine.

7. Există și un mod geometric exact (bonus)

Pentru unele numere iraționale există chiar o construcție geometrică perfect exactă, folosind teorema lui Pitagora, pe care o vei studia mai târziu. De exemplu, într-un triunghi dreptunghic cu catetele de $1$ și $1$, ipotenuza are lungimea $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Dacă „rabatem" (rotim) această ipotenuză pe axă, obținem exact punctul $\sqrt{2}$. Este frumos să știi că se poate și așa, dar pentru lecția noastră metoda prin aproximări este cea principală: e simplă, funcționează pentru orice număr real și e suficient de precisă pentru orice desen.

8. Ideea cea mare: axa este „plină" de numere reale

Acum ajungem la cea mai profundă idee a lecției. Ai văzut că:

• orice număr rațional are un punct pe axă;
• orice număr irațional are un punct pe axă (îl găsim prin aproximări).

Împreună, numerele raționale și cele iraționale formează mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ (recapitulează la Mulțimea numerelor reale ℝ și incluziunile). Adevărul remarcabil este următorul:

Fiecărui punct de pe axă îi corespunde exact un număr real, și fiecărui număr real îi corespunde exact un punct pe axă.

Această corespondență „unu-la-unu" înseamnă că axa numerelor nu are nicio „gaură". Dacă ar exista pe axă doar numerele raționale, axa ar fi „ciuruită": chiar în locul unde ar trebui să fie $\sqrt{2}$ ar rămâne o gaură minusculă, pentru că $\sqrt{2}$ nu e rațional. Numerele iraționale sunt exact cele care astupă aceste găuri și fac dreapta cu adevărat continuă, „plină". De aceea axa numerelor reale se mai numește și dreapta reală.

O consecință utilă: pentru orice număr real (nu doar raționalele „cuminți") știm acum să-i găsim locul, fie direct (raționale), fie prin aproximări (iraționale). Această corespondență o vom folosi masiv mai departe: la compararea și ordonarea numerelor reale (numărul din stânga este mai mic) și la modul (distanța până la origine).

9. Un lucru important despre comparare pe axă

Pe axa numerelor, cu cât un număr este mai la dreapta, cu atât este mai mare. Aceasta ne dă o metodă vizuală de comparare. De exemplu, pentru a compara $\sqrt{2}$ cu $1,5$: știm că $\sqrt{2}<1,5$ (fiindcă $1,5^2=2,25>2$), deci pe axă $\sqrt{2}$ este la stânga lui $1,5$. Aproximările nu servesc doar la desen, ci și la a decide ordinea numerelor reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fracție pe axă. Reprezintă pe axă numărul $\frac{5}{3}$.

Rezolvare: Scriem ca număr mixt: $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$. Deci punctul este între $1$ și $2$. Împărțim unitatea dintre $1$ și $2$ în $3$ părți egale (treimi) și numărăm $2$ treimi de la $1$. Punctul $\frac{5}{3}\approx 1,67$ este mai aproape de $2$ decât de $1$.

Exemplul 2 — Aproximarea lui $\sqrt{3}$ prin lipsă și prin adaos cu o zecimală.

Rezolvare:

• Întregi: $1^2=1$, $2^2=4$, iar $1<3<4$, deci $1<\sqrt{3}<2$.
• Zecimi: încercăm $1,7^2=2,89$ (mai mic decât $3$) și $1,8^2=3,24$ (mai mare decât $3$).
• Cum $2,89<3<3,24$, rezultă $\boxed{1,7<\sqrt{3}<1,8}$.

Aproximarea prin lipsă cu o zecimală este $1,7$, iar prin adaos este $1,8$. Pe axă, punctul se pune între $1,7$ și $1,8$ (verificare: $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci mai aproape de $1,7$).

Exemplul 3 — Plasarea lui $\sqrt{7}$ pe axă.

Rezolvare:

• Întregi: $2^2=4$, $3^2=9$, iar $4<7<9$, deci $2<\sqrt{7}<3$.
• Zecimi: $2,6^2=6,76$ (mai mic decât $7$) și $2,7^2=7,29$ (mai mare decât $7$), deci $2,6<\sqrt{7}<2,7$.

Împărțim unitatea dintre $2$ și $3$ în $10$ zecimi și marcăm punctul între $2,6$ și $2,7$. Cum $6,76$ este mai aproape de $7$ decât $7,29$, punctul este ceva mai aproape de $2,6$. (Verificare: $\sqrt{7}\approx 2,646$.)

Exemplul 4 — Ordinea a trei numere folosind aproximări. Așază pe axă, în ordine, numerele $\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$ și $1,3$.

Rezolvare: Aducem toate la formă zecimală (aproximativă):

• $\frac{3}{2}=1,5$;
• $\sqrt{2}\approx 1,41$;
• $1,3=1,3$.

Ordonăm crescător: $1,3<1,41<1,5$, adică $1,3<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$. Pe axă, de la stânga la dreapta: mai întâi $1,3$, apoi $\sqrt{2}$, apoi $\frac{3}{2}$. Toate trei sunt în intervalul dintre $1$ și $2$.

Exemplul 5 — Număr irațional negativ. Reprezintă pe axă numărul $-\sqrt{5}$.

Rezolvare: Din exemplul de mai devreme, $2,2<\sqrt{5}<2,3$ și $\sqrt{5}\approx 2,24$. Numărul $-\sqrt{5}$ este simetricul lui $\sqrt{5}$ față de origine, deci se află între $-2,3$ și $-2,2$, mai aproape de $-2,2$. Plasăm punctul în stânga originii, la aceeași distanță ($\approx 2,24$ unități) la care $\sqrt{5}$ este în dreapta.

Exemplul 6 — Ce număr real este marcat? Pe o axă, punctul $M$ se află la mijlocul segmentului dintre diviziunile $3$ și $4$. Ce număr reprezintă $M$? Dar dacă $M$ ar fi la o treime de la $3$ spre $4$?

Rezolvare: Mijlocul dintre $3$ și $4$ corespunde numărului $\frac{3+4}{2}=3,5$. Aceasta ilustrează corespondența „punct → număr": fiecărui punct de pe axă îi putem citi un număr real. Dacă $M$ este la o treime de la $3$ spre $4$, atunci $M=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\approx 3,33$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La exercițiile de reprezentare, desenează o axă cu unitate clară.

1. Reprezintă pe aceeași axă numerele întregi: $-4$, $-1$, $0$, $3$.

2. Reprezintă pe axă fracțiile: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{4}$.

3. Reprezintă pe axă numerele zecimale: $0,6$; $1,2$; $2,5$.

4. Scrie fracția $\frac{9}{4}$ ca număr mixt și spune între ce două numere întregi se află pe axă.

5. Găsește aproximarea prin lipsă și prin adaos, cu o zecimală, pentru $\sqrt{6}$. (Indiciu: încearcă $2,4^2$ și $2,5^2$.)

6. Găsește aproximarea prin lipsă și prin adaos, cu o zecimală, pentru $\sqrt{11}$.

7. Între ce două numere întregi consecutive se află $\sqrt{20}$? Dar $\sqrt{50}$?

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „$\sqrt{2}$ se află între $1,3$ și $1,4$ pe axă."

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „Punctul de la mijlocul segmentului dintre $2$ și $3$ reprezintă numărul $2,5$."

10. Așază în ordine crescătoare, apoi spune care este cel mai la dreapta pe axă: $\sqrt{3}$; $1,8$; $\frac{7}{4}$.

11. Reprezintă aproximativ pe axă numărul $\sqrt{8}$, indicând între ce zecimi îl plasezi. (Indiciu: $2,8^2$ și $2,9^2$.)

12. Reprezintă pe axă numărul negativ $-\sqrt{3}$, folosind simetria față de origine.

13. Pe o axă, punctul $A$ este la $\frac{2}{5}$ de la $0$ spre $1$. Ce număr reprezintă $A$ ca zecimală?

14. Completează cu semnul potrivit ($<$ sau $>$), folosind aproximări: a) $\sqrt{5}\square 2,3$; b) $\sqrt{10}\square 3,1$.

15. Explică în cuvintele tale de ce numărul $\sqrt{2}$ „astupă o gaură" pe axa numerelor raționale.

16. Problemă aplicată: un tâmplar taie o scândură a cărei lungime, în metri, este $\sqrt{2}$. Între ce două valori cu o zecimală (în metri) se află lungimea? Cât ar trebui să marcheze pe riglă, aproximativ, ca să nu greșească?

17. Găsește aproximarea prin lipsă și prin adaos cu două zecimale pentru $\sqrt{2}$. (Indiciu: pornește de la $1,41$ și $1,42$.)

18. Provocare: fără calculator, așază în ordine pe axă numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4}$, $\sqrt{5}$. Ce observi despre distanțele dintre ele?

Răspunsuri și explicații

1. $-4$ și $-1$ la stânga originii (patru, respectiv o unitate), $0$ în origine, $3$ la trei unități în dreapta. Ordinea pe axă: $-4,-1,0,3$.

2. $\frac{1}{2}$ la jumătatea segmentului $0$–$1$; $\frac{3}{4}$ la trei sferturi între $0$ și $1$; $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ la un sfert dincolo de $1$ (între $1$ și $2$).

3. $0,6$ între $0$ și $1$ (la $6$ zecimi); $1,2$ între $1$ și $2$ (la $2$ zecimi după $1$); $2,5$ la mijlocul segmentului dintre $2$ și $3$.

4. $\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}=2,25$. Se află între $2$ și $3$ (mai aproape de $2$).

5. $2,4^2=5,76<6$ și $2,5^2=6,25>6$, deci $2,4<\sqrt{6}<2,5$. Prin lipsă: $2,4$; prin adaos: $2,5$. (Verificare: $\sqrt{6}\approx 2,449$.)

6. $3,3^2=10,89<11$ și $3,4^2=11,56>11$, deci $3,3<\sqrt{11}<3,4$. Prin lipsă: $3,3$; prin adaos: $3,4$. (Verificare: $\sqrt{11}\approx 3,317$.)

7. Pentru $\sqrt{20}$: $4^2=16<20<25=5^2$, deci $4<\sqrt{20}<5$. Pentru $\sqrt{50}$: $7^2=49<50<64=8^2$, deci $7<\sqrt{50}<8$.

8. Fals. $1,4^2=1,96<2$, deci $1,4<\sqrt{2}$; prin urmare $\sqrt{2}$ este mai mare decât $1,4$, nu între $1,3$ și $1,4$. De fapt $1,4<\sqrt{2}<1,5$.

9. Adevărat. Mijlocul dintre $2$ și $3$ corespunde numărului $\frac{2+3}{2}=2,5$.

10. Zecimal: $\sqrt{3}\approx 1,73$; $1,8=1,80$; $\frac{7}{4}=1,75$. Ordine crescătoare: $\sqrt{3}<\frac{7}{4}<1,8$ (adică $1,73<1,75<1,80$). Cel mai la dreapta pe axă: $1,8$.

11. $2,8^2=7,84<8$ și $2,9^2=8,41>8$, deci $2,8<\sqrt{8}<2,9$. Se plasează între zecimile $2,8$ și $2,9$, mai aproape de $2,8$. (Verificare: $\sqrt{8}\approx 2,828$.)

12. $\sqrt{3}\approx 1,73$, deci $-\sqrt{3}\approx -1,73$, între $-1,8$ și $-1,7$, în stânga originii, simetric față de $\sqrt{3}$.

13. $A=\frac{2}{5}=0,4$. (Împarți segmentul $0$–$1$ în $5$ părți și iei $2$.)

14. a) $\sqrt{5}\approx 2,24<2,3$, deci $\sqrt{5}<2,3$. b) $3,1^2=9,61<10$, deci $3,1<\sqrt{10}$, adică $\sqrt{10}>3,1$.

15. Numărul $\sqrt{2}$ nu este rațional, deci nu apare printre punctele „raționale" de pe axă; în locul exact unde ar trebui el să fie ($\approx 1,414$) ar rămâne un gol între raționale. Fiind un număr real, el ocupă acel punct și „astupă gaura", făcând axa continuă.

16. $1,4<\sqrt{2}<1,5$ (în metri), iar $\sqrt{2}\approx 1,41$ m. Tâmplarul marchează în jur de $1,41$ m (adică între semnele de $1,4$ și $1,5$ m, foarte aproape de $1,4$).

17. $1,41^2=1,9881<2$ și $1,42^2=2,0164>2$, deci $1,41<\sqrt{2}<1,42$. Prin lipsă: $1,41$; prin adaos: $1,42$.

18. Valori: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{5}\approx 2,24$. Ordinea este $\sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{4}<\sqrt{5}$ (cu cât numărul de sub radical e mai mare, cu atât rădăcina e mai mare). Observație: distanțele dintre puncte scad pe măsură ce înaintăm ($1,41\to 1,73$ e un salt de $0,32$; $1,73\to 2$ e $0,27$; $2\to 2,24$ e $0,24$) — rădăcinile se „îndesesc" ușor.

De reținut

• Axa numerelor are trei ingrediente: originea ($0$), sensul pozitiv (săgeata) și unitatea de măsură. Fiecare punct corespunde unui număr real și invers.
• Fracțiile și zecimalele se plasează împărțind unitatea în părți egale: numitorul (sau numărul de zecimale) spune în câte părți, numărătorul spune câte iei.
• Un număr irațional se plasează prin aproximare prin lipsă și prin adaos: îl încadrezi între întregi, apoi între zecimi (ex.: $1,4<\sqrt{2}<1,5$), apoi între sutimi etc. Fiecare pas îngustează intervalul de $10$ ori.
• Pentru a găsi încadrarea lui $\sqrt{a}$, compari pătratele: cauți zecimalele $z$ cu $z^2<a<(z+0,1{)}^2$.
• Axa reală este continuă („plină"): numerele iraționale astupă „găurile" lăsate de numerele raționale. Cu cât un număr e mai la dreapta, cu atât e mai mare.

Greșeli frecvente

• Confundă aproximarea prin lipsă cu cea prin adaos. Prin lipsă = numărul mai mic (rotunjit în jos); prin adaos = numărul mai mare (rotunjit în sus). Verifică mereu: cea prin lipsă trebuie să fie sub număr, cea prin adaos deasupra.
• Compară direct numerele de sub radical în loc de pătrate. Ca să prinzi $\sqrt{2}$ între zecimi, nu ghici: ridică zecimalele la pătrat și compară cu $2$. Așa ești sigur, nu aproximativ.
• Crede că un număr irațional „nu poate fi pus pe axă" pentru că are infinite zecimale. Ba da! Nu ai nevoie de toate zecimalele — o zecimală sau două sunt de ajuns pentru a-l plasa corect, prin încadrare.
• Uită să păstreze aceeași unitate de măsură pe tot desenul, sau nu împarte unitatea în părți egale. Împărțirea inegală strică toate pozițiile. Folosește rigla și diviziuni egale.

Aplică acasă

1. Rigla ca axă reală. Ia o riglă obișnuită de $20$ cm și tratează $0$ cm ca origine, iar $1$ cm ca unitate. Marchează cu creionul (ușor) unde ar cădea $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ și $\frac{7}{2}$. Verifică apoi cu un calculator: cât de aproape ai nimerit?

2. Concurs de încadrare, în familie. Cere unui părinte să spună un număr sub radical (de exemplu $\sqrt{13}$). Tu, fără calculator, găsești în cel mai scurt timp între ce întregi și apoi între ce zecimi se află, ridicând la pătrat. Cine găsește mai repede încadrarea corectă câștigă punctul.

3. Harta camerei. Măsoară diagonala unei plăci pătrate de gresie sau a unui caiet pătrat cu latura de $1$ dm. Diagonala este $\sqrt{2}$ dm. Estimeaz-o prin aproximare ($\approx 1,41$ dm $=14,1$ cm), apoi măsoar-o real cu rigla. Aproximarea ta prin lipsă și prin adaos „prinde" valoarea măsurată?

Pentru părinți și profesori

Această lecție face legătura dintre calcul (aproximări) și reprezentare vizuală (axa), o punte importantă pentru gândirea matematică. Pentru a sprijini elevul:

• Insistați pe metoda pătratelor. Cel mai frecvent blocaj este „cum știu între ce zecimi e $\sqrt{a}$?". Răspunsul mereu: se ridică zecimalele la pătrat și se compară cu $a$. Cereți-i să vă arate calculul, nu doar rezultatul.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Care e aproximarea prin lipsă și care prin adaos, și de unde știi care e care?"; „De ce nu putem scrie toate zecimalele lui $\sqrt{2}$, dar totuși îl putem pune pe axă?"; „Ce înseamnă că axa reală e «plină»?".
• Semnul unei bune înțelegeri: elevul plasează corect un irațional între zecimile potrivite justificând prin pătrate, distinge fără ezitare lipsa de adaos și explică (în cuvintele lui) corespondența punct ↔ număr real. Dacă face doar desenul, dar nu poate justifica încadrarea, reveniți la secțiunea 5.
• Legătura cu ce urmează: aceeași axă va fi folosită imediat la modulul ca distanță și la compararea numerelor reale. O bază solidă aici ușurează mult lecțiile următoare.

Întrebări frecvente

Cum reprezint radical din 2 pe axa numerelor la clasa a 7-a? Găsești mai întâi întregii vecini: $1<\sqrt{2}<2$. Apoi zecimile, ridicând la pătrat: $1,4^2=1,96$ și $1,5^2=2,25$, deci $1,4<\sqrt{2}<1,5$. Împarți unitatea dintre $1$ și $2$ în $10$ părți egale și pui punctul între $1,4$ și $1,5$, ceva mai aproape de $1,4$ (fiindcă $\sqrt{2}\approx 1,41$).

Ce este aproximarea prin lipsă și prin adaos? Aproximarea prin lipsă este numărul „frumos" imediat mai mic decât numărul dat, iar aproximarea prin adaos este cel imediat mai mare. De exemplu, cu o zecimală, $1,4$ este aproximarea prin lipsă a lui $\sqrt{2}$, iar $1,5$ este cea prin adaos. Numărul real se află mereu între ele.

De ce nu putem scrie exact un număr irațional pe axă? Pentru că are o infinitate de zecimale care nu se repetă, nu îl putem scrie complet cu virgulă și nici ca fracție. Dar nu avem nevoie de toate zecimalele: prin încadrarea între două zecimale (sau sutimi) îi găsim locul cu oricâtă precizie dorim, suficient pentru a-l desena corect.

Ce înseamnă că fiecărui punct de pe axă îi corespunde un număr real? Înseamnă că nu există niciun punct pe dreaptă „fără număr" și niciun număr real „fără punct". Corespondența este unu-la-unu. Tocmai de aceea axa numerelor reale este continuă, fără găuri: numerele iraționale ocupă exact locurile pe care raționalele le lasă libere.

Cum aflu între ce numere întregi se află o rădăcină, de exemplu $\sqrt{20}$? Cauți cele mai apropiate pătrate perfecte care încadrează numărul de sub radical. Pentru $20$: $16=4^2$ și $25=5^2$, iar $16<20<25$, deci $4<\sqrt{20}<5$. Această tehnică o poți aprofunda în lecția despre estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional.

Aproximarea prin lipsă cu o zecimală și rotunjirea la o zecimală sunt același lucru? Nu întotdeauna. Aproximarea prin lipsă ia mereu valoarea mai mică (taie zecimalele în jos), în timp ce rotunjirea alege cea mai apropiată valoare (poate fi în sus). De exemplu, $\sqrt{2}\approx 1,414$: aproximarea prin lipsă cu o zecimală este $1,4$, iar rotunjirea la o zecimală este tot $1,4$ — dar pentru $\sqrt{15}\approx 3,873$, aproximarea prin lipsă este $3,8$, în timp ce rotunjirea este $3,9$; ele diferă când a doua zecimală este $5$ sau mai mare.

Cum plasez un număr irațional negativ pe axă? Plasezi mai întâi valoarea lui pozitivă prin aproximări, apoi mergi de aceeași distanță în stânga originii. Numărul negativ este simetricul celui pozitiv față de origine. De exemplu, $-\sqrt{5}\approx -2,24$ este la fel de departe de $0$ ca $\sqrt{5}$, dar în partea stângă.

La ce îmi folosește să reprezint numerele reale pe axă? Îți dă o imagine clară a ordinii lor (mai la dreapta = mai mare), te ajută să compari numere raționale cu iraționale și pregătește lecțiile despre modul (distanța până la origine) și despre reperul cartezian, unde vei folosi două axe deodată. Este o unealtă vizuală pe care o vei folosi tot restul gimnaziului și la liceu.