Când scriu aparține și când scriu inclus?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mulțimi de puncte în geometrie

Semnul de apartenență leagă un punct de o figură, iar cel de incluziune leagă două figuri între ele, fiindcă amândouă sunt mulțimi de puncte. Dacă $M$ se află pe segmentul $[A B]$ , scrii $M \in [A B]$ ; dacă vrei să arăți că segmentul face parte din dreapta $A B$ , scrii $[A B] \subset A B$ . Regula scurtă: punct cu figură cere apartenență, figură cu figură cere incluziune.

O figură geometrică este, de fapt, o mulțime de puncte. Dreapta este mulțimea tuturor punctelor de pe ea (infinită în ambele sensuri); semidreapta are o origine și se întinde infinit într-un singur sens; segmentul are două capete și lungime finită. Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor $P$ pentru care $O P = r$ ( $O P < r$ dă interiorul, $O P > r$ dă exteriorul).

Regula de aur: între un punct și o figură folosim apartenența $\in$ (sau $\in /$ ), iar între două figuri (mulțimi de puncte) folosim incluziunea $\subset$ . Exemplu: dacă $M$ este pe segmentul $[A B]$ , scriem $M \in [A B]$ ; segmentul însuși este inclus în dreapta $A B$ : $[A B] \subset A B$ .

Pentru două drepte distincte folosim intersecția $\cap$ : dacă se taie într-un punct, $a \cap b = {P}$ (cu acolade, rezultatul e o mulțime); dacă sunt paralele, nu au niciun punct comun, deci $a \cap b = \emptyset$ .

De reținut

punct față de figură: $\in$ sau $\in /$
figură față de figură: $\subset$
intersecția a două figuri se scrie ca mulțime, între acolade

Greșeala tipică

Se scrie un punct inclus într-o dreaptă, folosind semnul de incluziune pentru un singur punct; incluziunea compară două mulțimi, iar un punct singur intră în relație cu figura doar prin semnul de apartenență.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $G$ se află pe segmentul $[E F]$ . Care dintre următoarele scrieri respectă corect regula „punct cu figură → $\in$ ; figură cu figură → $\subset$ ”?
- a) $G \subset [E F]$
- b) $G \in [E F]$
- c) $[E F] \in G$
- d) $[E F] \subset G$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $G \in [E F]$

$G$ este un punct, iar $[E F]$ este o figură (o mulțime de puncte), deci relația dintre ele este apartenența: $G \in [E F]$ . Varianta a) și d) folosesc greșit $\subset$ pentru un punct, iar c) inversează sensul relației (o figură nu poate „aparține” unui punct).
Dreptele $u$ și $v$ se intersectează într-un singur punct, $R$ . Cum se scrie corect, în limbajul mulțimilor, intersecția lor?
- a) $u \cap v = R$
- b) $u \cap v = {R}$
- c) $u \cap v = \emptyset$
- d) $u \cap v = u$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $u \cap v = {R}$

Intersecția a două mulțimi este tot o mulțime, deci punctul comun trebuie scris între acolade: $u \cap v = {R}$ . Varianta a) omite acoladele, c) ar fi corectă doar pentru drepte paralele, iar d) ar însemna că dreptele sunt identice.
Punctul $H$ se află pe semidreapta $[K L$ . Care dintre următoarele scrieri respectă corect regula „punct cu figură → $\in$ ; figură cu figură → $\subset$ ”?
- a) $H \subset [K L$
- b) $H \in [K L$
- c) $[K L \in H$
- d) $[K L \subset H$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $H \in [K L$

$H$ este un punct, iar $[K L$ este o figură (o mulțime de puncte), deci relația dintre ele este apartenența: $H \in [K L$ . Variantele a) și d) folosesc greșit $\subset$ pentru un punct, iar c) inversează sensul relației.

Întrebări conexe

Cum descriu un segment ca mulțime de puncte?

Ca pe totalitatea punctelor cuprinse între cele două capete, împreună cu ele. Spre deosebire de dreaptă, care se întinde la nesfârșit în ambele părți, și de semidreaptă, care se oprește doar într-un capăt, segmentul are lungime măsurabilă și margini bine stabilite.

Cum scriu că un punct nu se află pe o dreaptă?

Folosești semnul de apartenență tăiat, deci $P \in / d$ . Scrierea se citește P nu aparține dreptei d. Este notația potrivită și pentru un punct din afara unui segment sau a unui cerc, atât timp cât comparația se face între un punct și o figură.

Ce reprezintă interiorul unui cerc în limbajul mulțimilor?

Este mulțimea punctelor a căror depărtare de centru este mai mică decât raza. Cercul propriu-zis conține doar punctele aflate exact la distanța razei, iar exteriorul le cuprinde pe cele mai depărtate. Cele trei mulțimi împreună acoperă întreg planul.

Cum notez intersecția a două semidrepte?

Cu semnul de intersecție, iar rezultatul se scrie ca mulțime, între acolade. Dacă cele două semidrepte au un singur punct comun $P$ , notezi rezultatul ${P}$ . Când nu se întâlnesc deloc, rezultatul este mulțimea vidă, scrisă cu simbolul potrivit.

Ce mulțime de puncte formează mediatoarea unui segment?

Mulțimea punctelor egal depărtate de cele două capete ale segmentului. Descrierea prin proprietate spune totul despre dreapta aceea: orice punct care îndeplinește condiția se află pe ea, iar orice punct de pe ea îndeplinește condiția.

Cum se scrie că o semidreaptă face parte dintr-o dreaptă?

Cu semnul de incluziune, fiindcă amândouă sunt mulțimi de puncte. Scrii semidreapta în stânga și dreapta în dreapta, ceea ce arată că toate punctele primei se regăsesc în a doua. Folosirea semnului de apartenență aici ar fi o greșeală de limbaj matematic.

Oamenii mai întreabă și: când folosesc aparține și când inclus · simbolurile de apartenență și incluziune · figurile geometrice ca mulțimi de puncte · când se scrie punct aparține dreptei