Medianele unui triunghi. Centrul de greutate

Ai vreodată impresia că un triunghi de carton stă în echilibru pe vârful unui creion exact într-un anumit punct? Acel punct magic nu este ales la întâmplare: el se numește centrul de greutate și se găsește acolo unde se întâlnesc trei segmente speciale, numite mediane. În această lecție vei descoperi ce sunt medianele unui triunghi, cum le construiești cu rigla și compasul și de ce toate trei se întâlnesc întotdeauna într-un singur punct. Este una dintre cele mai elegante proprietăți din geometria clasei a VI-a și, în plus, are o legătură surprinzătoare cu lumea reală: echilibrul.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect mediana unui triunghi ca segmentul de la un vârf la mijlocul laturii opuse.
• Vei ști să construiești cele trei mediane ale unui triunghi cu instrumentele geometrice (riglă, compas, echer).
• Vei ști că medianele unui triunghi sunt concurente, adică se întâlnesc toate trei într-un singur punct.
• Vei ști că punctul lor de întâlnire se numește centrul de greutate și că el reprezintă, intuitiv, punctul de echilibru al triunghiului.
• Vei ști să recunoști poziția centrului de greutate și să o folosești în probleme simple de configurație geometrică.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim repede de unde plecăm

În lecțiile trecute ai studiat deja câteva linii importante în triunghi. Ți-ai construit bisectoarele, care pleacă din vârf și împart unghiul în două părți egale, întâlnindu-se în centrul cercului înscris (vezi lecția Bisectoarele unui triunghi. Cercul înscris). Ai studiat mediatoarele laturilor, perpendiculare ridicate prin mijlocul fiecărei laturi, care se întâlnesc în centrul cercului circumscris (Mediatoarele unui triunghi. Cercul circumscris). Și ai văzut înălțimile, perpendicularele duse din vârf pe latura opusă, care se întâlnesc în ortocentru (Înălțimile unui triunghi. Ortocentrul).

Toate aveau ceva în comun: trei segmente (sau drepte) speciale care, surprinzător, se întâlneau mereu într-un singur punct. Astăzi descoperim a patra linie importantă: mediana. Și, din nou, vom întâlni acea proprietate frumoasă a concurenței.

Ce înseamnă „mijlocul unei laturi"

Înainte de a defini mediana, trebuie să fim foarte siguri pe un cuvânt: mijloc. Mijlocul unui segment este punctul care îl împarte în două bucăți egale. Dacă latura $BC$ are lungimea de $8$ cm, atunci mijlocul ei, să-l numim $M$, se află exact la $4$ cm de $B$ și la $4$ cm de $C$. Adică:

$$BM=MC=\frac{BC}{2}.$$

Mijlocul unui segment se găsește ușor cu rigla (măsori lungimea și o împarți la doi) sau, mai exact și mai elegant, cu construcția mediatoarei: intersecția mediatoarei cu segmentul îți dă chiar mijlocul lui. Ține minte acest cuvânt, „mijloc", pentru că el este inima definiției de astăzi.

Definiția medianei

Acum suntem gata. Imaginează-ți un triunghi $ABC$. Alege un vârf, de exemplu vârful $A$. În fața lui, „peste drum", se află latura $BC$ — spunem că $BC$ este latura opusă vârfului $A$. Găsește mijlocul acestei laturi și notează-l $M$. Unește vârful $A$ cu punctul $M$. Segmentul $AM$ pe care tocmai l-ai trasat este mediana din vârful $A$.

Definiție. Într-un triunghi, mediana corespunzătoare unui vârf este segmentul care unește acel vârf cu mijlocul laturii opuse.

Cuvântul „median" vine de la „mediu", adică „de la mijloc" — un nume foarte potrivit, fiindcă mediana ajunge fix în mijlocul laturii din față. Atenție însă: mediana pleacă din vârf și ajunge în mijlocul laturii, nu invers și nu de oriunde.

Un triunghi are trei vârfuri, deci are exact trei mediane:

• mediana din $A$, până la mijlocul laturii $BC$;
• mediana din $B$, până la mijlocul laturii $AC$;
• mediana din $C$, până la mijlocul laturii $AB$.

De obicei notăm mijloacele laturilor cu litere precum $M$, $N$, $P$ sau cu indici sugestivi. O notație comodă, pe care o vei vedea des, este:

• $M_a$ = mijlocul laturii $a=BC$ (latura opusă vârfului $A$);
• $M_b$ = mijlocul laturii $b=AC$;
• $M_c$ = mijlocul laturii $c=AB$.

Atunci cele trei mediane sunt segmentele $A{M}_a$, $B{M}_b$ și $C{M}_c$.

Cum desenăm o mediană, pas cu pas

Hai să construim concret o mediană, folosind instrumentele geometrice. Vom construi mediana din $A$ în triunghiul $ABC$.

1. Identifică latura opusă. Vârful ales este $A$, deci latura opusă este $BC$.
2. Găsește mijlocul laturii $BC$. Cel mai exact e cu compasul: construiește mediatoarea segmentului $BC$ (deschizi compasul la mai mult de jumătate din $BC$, faci câte un arc din $B$ și din $C$ de fiecare parte, unești cele două intersecții). Locul unde mediatoarea taie segmentul $BC$ este chiar mijlocul $M$. Dacă lucrezi rapid, poți măsura $BC$ cu rigla și pune $M$ la jumătatea lungimii.
3. Trasează segmentul. Cu rigla, unește vârful $A$ cu punctul $M$. Gata — $AM$ este mediana din $A$.

Repetând pașii pentru vârfurile $B$ și $C$, obții și celelalte două mediane.

Sfat practic: când construiești mijlocul cu compasul, ai grijă să nu schimbi deschiderea compasului între arcul făcut din $B$ și cel făcut din $C$. Dacă deschiderea rămâne aceeași, arcele se vor intersecta simetric și mijlocul va fi exact. Despre construcția mijlocului prin mediatoare ai mai multe în lecția Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei.

Marea surpriză: medianele se întâlnesc!

Acum vine partea cea mai frumoasă. Desenează cu grijă toate cele trei mediane ale aceluiași triunghi. Ce observi?

Toate trei trec prin același punct! Nu se întâmplă din întâmplare și nu doar la triunghiul tău — se întâmplă la orice triunghi, fie el ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic, mare sau mic, isoscel sau oarecare. Această proprietate se numește concurența medianelor.

Proprietate (fără demonstrație). În orice triunghi, cele trei mediane sunt concurente: ele se întâlnesc toate într-un singur punct.

Spunem că trei drepte (sau segmente) sunt concurente când au un punct comun, adică trec toate prin același loc. La medianele triunghiului, acest punct comun primește un nume special.

Definiție. Punctul în care se întâlnesc cele trei mediane ale unui triunghi se numește centrul de greutate al triunghiului. Îl notăm de obicei cu litera $G$.

În clasa a VI-a nu demonstrăm de ce se întâmplă acest lucru — vom accepta proprietatea ca pe un adevăr verificat prin construcție. Dar te invit să o verifici singur: desenează trei triunghiuri foarte diferite și, de fiecare dată, vei vedea cele trei mediane întâlnindu-se într-un punct. Geometria nu te minte.

De ce „centru de greutate"? Povestea echilibrului

Numele „centru de greutate" sună serios, ca la fizică — și chiar are legătură cu fizica! Hai să-ți spun o mică poveste care explică totul.

Imaginează-ți că decupezi din carton subțire un triunghi $ABC$ perfect. Vrei să-l ții în echilibru pe vârful ascuțit al unui creion, ca un chelner care echilibrează o tavă pe un singur deget. Unde trebuie să pui vârful creionului ca triunghiul să nu cadă în nicio parte?

Răspunsul: exact în centrul de greutate $G$! Acolo, greutatea triunghiului este perfect echilibrată în toate direcțiile. Dacă pui creionul puțin mai la stânga, triunghiul se va înclina spre dreapta și va cădea. Dacă îl pui fix în $G$, triunghiul rămâne în echilibru. De aceea punctul $G$ se numește centru de greutate — este punctul în care „se adună" toată greutatea figurii.

Inginerii și constructorii folosesc această idee tot timpul: când proiectează poduri, mașini sau drone, ei calculează centrul de greutate ca să știe cum se comportă obiectul în echilibru. Iar tu tocmai ai aflat cum se găsește centrul de greutate al unei figuri triunghiulare: la întâlnirea medianelor.

Unde se află centrul de greutate — întotdeauna înăuntru

Iată o observație utilă, pe care merită să o reții: centrul de greutate $G$ se află întotdeauna în interiorul triunghiului, indiferent de forma lui. Asta îl deosebește de ortocentru (care la triunghiurile obtuzunghice iese în afara triunghiului) și de centrul cercului circumscris (care și el poate ieși afară). Centrul de greutate, fiind punctul de echilibru al unei figuri pline, nu poate fi decât „pe undeva pe interior". Are sens, nu? Punctul de echilibru al unei tăvi nu poate fi în afara tăvii.

O proprietate frumoasă a centrului de greutate (numai de admirat)

Pe lângă faptul că este punct de echilibru, centrul de greutate are o proprietate numerică deosebit de elegantă, pe care o vei studia în detaliu mai târziu (în clasele mai mari), dar pe care merită s-o cunoști de pe acum, doar ca să admiri ordinea din geometrie:

Pe fiecare mediană, centrul de greutate $G$ împarte segmentul în două bucăți într-un raport constant: bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre mijlocul laturii. Cu alte cuvinte, dacă mediana este $AM$, atunci:

$$AG=2\cdot GM,\text{deci}AG=\frac{2}{3}\cdot AM\text{și}GM=\frac{1}{3}\cdot AM.$$

Așadar centrul de greutate stă „mai aproape de latură" și „mai departe de vârf", la două treimi din drum dinspre vârf. Pentru clasa a VI-a este suficient să reții ideea intuitivă: $G$ nu este la jumătatea medianei, ci mai jos, spre latură, la o treime de mijlocul laturii. Vom folosi această observație doar în câteva exemple simple, nu o demonstrăm.

Să comparăm: cu ce NU trebuie confundată mediana

Pentru că ai învățat deja mai multe linii care pleacă din vârf, e ușor să le amesteci. Hai să le punem față în față pe latura $BC$, plecând din vârful $A$:

• Mediana ajunge în mijlocul laturii $BC$. Ea se ocupă de lungimi (împarte latura în două părți egale).
• Bisectoarea unghiului $A$ împarte unghiul în două părți egale. Ea se ocupă de unghiuri, nu neapărat de mijlocul laturii.
• Înălțimea din $A$ cade perpendicular pe $BC$. Ea formează un unghi drept cu latura, dar nu ajunge neapărat în mijlocul ei.
• Mediatoarea laturii $BC$ trece prin mijlocul lui $BC$ și este perpendiculară pe ea, dar nu pleacă obligatoriu din vârful $A$.

Vezi diferența? Mediana este singura definită prin „vârf + mijlocul laturii opuse". La un triunghi oarecare, aceste patru linii sunt patru segmente diferite. (Vei vedea în lecțiile despre triunghiul isoscel și triunghiul echilateral că, în cazuri speciale, unele dintre ele coincid — dar despre asta vorbim acolo.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem o mediană

În triunghiul $ABC$, punctul $N$ este situat pe latura $AC$ astfel încât $AN=NC$. Segmentul $BN$ este o mediană? Din ce vârf?

Rezolvare. Condiția $AN=NC$ ne spune că $N$ este exact mijlocul laturii $AC$. Segmentul $BN$ unește vârful $B$ cu mijlocul laturii opuse lui, adică $AC$. Prin urmare, da, $BN$ este mediană, anume mediana din vârful $B$.

Răspuns: $BN$ este mediana din vârful $B$.

Exemplul 2 — Calculăm cu mijlocul laturii

În triunghiul $DEF$, latura $EF$ are lungimea $14$ cm. Construim mediana $DM$ (unde $M$ este mijlocul lui $EF$). Cât măsoară segmentele $EM$ și $MF$?

Rezolvare. $M$ este mijlocul laturii $EF$, deci împarte latura în două părți egale:

$$EM=MF=\frac{EF}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Răspuns: $EM=MF=7$ cm.

Reține: mediana spune ceva despre latura pe care cade (o taie în două jumătăți egale), nu despre lungimea ei proprie. Lungimea medianei $DM$ nu o putem afla doar din atât — depinde de forma triunghiului.

Exemplul 3 — Câte mediane și unde se întâlnesc

Andrei desenează un triunghi oarecare și trasează toate medianele lui. Câte mediane a trasat? Câte puncte de intersecție apar între ele?

Rezolvare. Un triunghi are trei vârfuri, deci are exact 3 mediane. Conform proprietății de concurență, cele trei mediane se întâlnesc toate în același punct, centrul de greutate $G$. Așadar nu apar trei puncte de intersecție diferite, ci unul singur.

Răspuns: 3 mediane, care se întâlnesc într-un singur punct (centrul de greutate $G$).

Exemplul 4 — Folosim proprietatea centrului de greutate

În triunghiul $ABC$, mediana din $A$ este $AM$ și are lungimea $AM=12$ cm. Punctul $G$ este centrul de greutate. Cât măsoară $AG$ și cât măsoară $GM$?

Rezolvare. Centrul de greutate împarte mediana astfel încât bucata dinspre vârf este $\frac{2}{3}$ din mediană, iar bucata dinspre latură este $\frac{1}{3}$. Deci:

$$AG=\frac{2}{3}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ cm},$$ $$GM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 12=4\text{ cm}.$$

Verificăm: $AG+GM=8+4=12=AM$. Corect! Și, într-adevăr, $AG=8=2\cdot 4=2\cdot GM$.

Răspuns: $AG=8$ cm și $GM=4$ cm.

Exemplul 5 — Drumul invers

În triunghiul $PQR$, $G$ este centrul de greutate, iar pe mediana din $P$ măsurăm $GM=5$ cm (unde $M$ este mijlocul laturii $QR$). Cât măsoară $PG$ și cât măsoară toată mediana $PM$?

Rezolvare. Bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură:

$$PG=2\cdot GM=2\cdot 5=10\text{ cm}.$$

Atunci toată mediana este:

$$PM=PG+GM=10+5=15\text{ cm}.$$

Răspuns: $PG=10$ cm și mediana $PM=15$ cm.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Decide dacă afirmația este adevărată sau falsă: „Centrul de greutate al unui triunghi se află întotdeauna pe una dintre laturile triunghiului."

Rezolvare. Afirmația este falsă. Centrul de greutate este punctul de întâlnire al medianelor și se află întotdeauna în interiorul triunghiului, nu pe vreo latură. El nu atinge laturile; stă „pe undeva pe dinăuntru", fiind punctul de echilibru al figurii.

Răspuns: Fals. Centrul de greutate este în interiorul triunghiului.

Exemplul 7 — Cât la sută din mediană?

În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate. Pe mediana $CP$ (unde $P$ este mijlocul laturii $AB$) se știe că bucata dinspre latură măsoară $PG=9$ cm. Află $CG$, lungimea întreagă a medianei $CP$ și ce parte (ce fracție) din mediană reprezintă bucata $CG$.

Rezolvare. Bucata dinspre vârf este de două ori mai mare decât bucata dinspre latură:

$$CG=2\cdot PG=2\cdot 9=18\text{ cm}.$$

Toată mediana este suma celor două bucăți:

$$CP=CG+PG=18+9=27\text{ cm}.$$

Ce parte din mediană este $CG$? Comparăm:

$$\frac{CG}{CP}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}.$$

Deci bucata dinspre vârf reprezintă fix două treimi din mediană, iar bucata dinspre latură o treime — exact ce ne spune regula raportului $2:1$. Observă cum totul se leagă: $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, adică mediana întreagă.

Răspuns: $CG=18$ cm, $CP=27$ cm, iar $CG$ reprezintă $\frac{2}{3}$ (două treimi) din mediană.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde se cere desen, folosește rigla, compasul și echerul.

1. Completează: Mediana unui triunghi este segmentul care unește un ............ cu ............ laturii opuse.

2. Câte mediane are un triunghi? Dar un patrulater nu intră în discuție — explică pe scurt de ce vorbim doar despre triunghi.

3. Adevărat sau fals: „Mediana cade mereu perpendicular pe latura opusă."

4. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $BC$ și $BC=18$ cm. Cât măsoară $BM$ și $MC$?

5. Încercuiește varianta corectă. Punctul în care se întâlnesc medianele unui triunghi se numește: a) ortocentru; b) centrul de greutate; c) centrul cercului înscris.

6. În triunghiul $XYZ$, segmentul $XT$ unește vârful $X$ cu mijlocul $T$ al laturii $YZ$. Cum se numește segmentul $XT$?

7. Desenează un triunghi ascuțitunghic $ABC$ și construiește, cu instrumentele geometrice, mediana din vârful $A$.

8. Desenează un triunghi oarecare și construiește toate cele trei mediane. Marchează cu litera $G$ punctul lor de întâlnire.

9. Adevărat sau fals: „Centrul de greutate al unui triunghi poate fi situat în exteriorul triunghiului."

10. În triunghiul $ABC$, mediana din $B$ este $BN$, cu $BN=21$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $BG$ și $GN$.

11. În triunghiul $DEF$, $G$ este centrul de greutate, iar pe mediana din $D$ avem $GM=6$ cm (cu $M$ mijlocul lui $EF$). Află $DG$ și lungimea totală a medianei $DM$.

12. Potrivește fiecare linie importantă cu definiția ei:

    • (A) Mediană
    • (B) Bisectoare
    • (C) Înălțime
    • (D) Mediatoare
    1. perpendiculara din vârf pe latura opusă;
    2. segmentul de la vârf la mijlocul laturii opuse;
    3. semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri congruente;
    4. perpendiculara pe o latură ridicată prin mijlocul ei.

13. În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, iar $AG=10$ cm (mediana din $A$ este $AM$). Cât măsoară $GM$ și cât măsoară mediana $AM$?

14. Adevărat sau fals: „Toate cele trei mediane ale unui triunghi au aceeași lungime."

15. Mică problemă. Cristina decupează din carton un triunghi și vrea să-l țină în echilibru pe vârful unui creion. În ce punct trebuie să sprijine creionul? Cum poate găsi acel punct doar cu rigla și creionul?

16. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$, $N$ este mijlocul lui $AC$ și $P$ este mijlocul lui $AB$. Scrie cele trei mediane ale triunghiului folosind aceste notații.

17. Pe mediana $CP$ a unui triunghi, centrul de greutate $G$ împarte segmentul. Se știe că $CG=14$ cm. Află $GP$ și lungimea totală $CP$.

18. Desenează un triunghi obtuzunghic și construiește-i medianele. Verifică (prin desen îngrijit) că centrul de greutate este tot în interiorul triunghiului, deși triunghiul este „turtit".

19. În triunghiul $ABC$, mediana din $C$ este $CP$ și măsoară $CP=30$ cm, iar $G$ este centrul de greutate. Calculează $CG$ și $GP$.

20. În triunghiul $MNP$, mediana din vârful $M$ măsoară $24$ cm. La ce distanță de vârful $M$ se află centrul de greutate $G$? Dar de mijlocul laturii $NP$?

Răspunsuri și explicații

1. vârf ... mijlocul laturii opuse. (Aceasta este chiar definiția medianei.)

2. 3 mediane. Vorbim doar despre triunghi pentru că mediana este definită prin „vârf — mijlocul laturii opuse", iar într-un triunghi fiecărui vârf îi corespunde o singură latură opusă; la un patrulater un vârf nu are o singură „latură opusă" clară.

3. Fals. Mediana ajunge în mijlocul laturii, dar nu cade neapărat perpendicular pe ea. Perpendiculara din vârf pe latura opusă este înălțimea, nu mediana. (Ele coincid doar în cazuri speciale, de exemplu la triunghiul isoscel pe latura de bază.)

4. $BM=MC=\frac{18}{2}=9$ cm. Mijlocul împarte latura în două părți egale.

5. b) centrul de greutate. Ortocentrul este pentru înălțimi, iar centrul cercului înscris pentru bisectoare.

6. $XT$ este mediana din vârful $X$ (unește vârful cu mijlocul laturii opuse $YZ$).

7. Construcție. Găsești mijlocul $M$ al laturii $BC$ (cu mediatoarea sau cu rigla) și unești $A$ cu $M$. Segmentul $AM$ este mediana cerută. (Verifică cu rigla că $BM=MC$.)

8. Construcție. Trei mediane trasate; ele trebuie să se întâlnească într-un singur punct, pe care îl notezi $G$. Dacă nu se întâlnesc fix, înseamnă că mijloacele nu au fost marcate exact — reia construcția mijloacelor cu compasul.

9. Fals. Centrul de greutate se află întotdeauna în interiorul triunghiului, oricare ar fi forma lui.

10. $BG=\frac{2}{3}\cdot 21=14$ cm; $GN=\frac{1}{3}\cdot 21=7$ cm. Verificare: $14+7=21$ și $14=2\cdot 7$. Corect.

11. $DG=2\cdot GM=2\cdot 6=12$ cm; mediana $DM=DG+GM=12+6=18$ cm.

12. A–2, B–3, C–1, D–4. (Mediană = vârf la mijlocul laturii; bisectoare = împarte unghiul; înălțime = perpendiculara din vârf; mediatoare = perpendiculara prin mijlocul laturii.)

13. $GM=\frac{1}{2}\cdot AG=\frac{1}{2}\cdot 10=5$ cm (deoarece $AG=2\cdot GM$); mediana $AM=AG+GM=10+5=15$ cm.

14. Fals. La un triunghi oarecare medianele au, în general, lungimi diferite. (Devin egale doar în cazuri speciale, de exemplu la triunghiul echilateral.)

15. Trebuie să sprijine creionul în centrul de greutate $G$. Îl găsește trasând (cu rigla) cel puțin două mediane: găsește mijloacele a două laturi și le unește cu vârfurile opuse; punctul în care medianele se taie este $G$. (Două mediane sunt suficiente, deoarece a treia trece oricum prin același punct.)

16. Cele trei mediane sunt: $AM$ (din $A$), $BN$ (din $B$) și $CP$ (din $C$).

17. $GP=\frac{1}{2}\cdot CG=\frac{1}{2}\cdot 14=7$ cm; mediana $CP=CG+GP=14+7=21$ cm.

18. Construcție. Chiar dacă triunghiul este obtuzunghic („turtit"), cele trei mediane se întâlnesc în interior, iar $G$ rămâne înăuntru. (Spre deosebire de ortocentru, care la triunghiul obtuzunghic iese în afară.)

19. $CG=\frac{2}{3}\cdot 30=20$ cm; $GP=\frac{1}{3}\cdot 30=10$ cm. Verificare: $20+10=30$ și $20=2\cdot 10$. Corect.

20. Distanța de la vârful $M$ la $G$ este $\frac{2}{3}\cdot 24=16$ cm (bucata dinspre vârf), iar distanța de la $G$ la mijlocul laturii $NP$ este $\frac{1}{3}\cdot 24=8$ cm (bucata dinspre latură). Într-adevăr, $16=2\cdot 8$.

De reținut

• Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
• Orice triunghi are exact trei mediane, câte una din fiecare vârf.
• Cele trei mediane sunt concurente: se întâlnesc întotdeauna într-un singur punct.
• Acest punct se numește centru de greutate, se notează $G$ și reprezintă punctul de echilibru al triunghiului.
• Centrul de greutate se află întotdeauna în interiorul triunghiului și împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ dinspre vârf ($AG=2\cdot GM$).

Greșeli frecvente

• Confunzi mediana cu înălțimea. Mediana ajunge în mijlocul laturii; înălțimea cade perpendicular pe latură. Sunt lucruri diferite. Întreabă-te mereu: „Aici e vorba de mijloc (mediană) sau de unghi drept (înălțime)?"
• Crezi că mediana împarte unghiul în două. Nu — aceea este bisectoarea. Mediana împarte latura opusă în două părți egale, nu unghiul.
• Plasezi centrul de greutate la jumătatea medianei. $G$ nu este la mijlocul medianei, ci la două treimi de vârf (mai aproape de latură): $AG=2\cdot GM$. Nu uita raportul $2:1$.
• Marchezi mijloacele „din ochi". Dacă mijloacele laturilor nu sunt exacte, medianele „ratează" punctul comun și pare că nu sunt concurente. Folosește compasul (mediatoarea) sau măsoară atent cu rigla.

Joc acasă

1. Triunghiul echilibrist. Decupează din carton subțire un triunghi oarecare (laturile de lungimi diferite). Cu rigla, găsește mijloacele a două laturi și trasează două mediane; intersecția lor este centrul de greutate $G$. Acum încearcă să sprijini triunghiul pe vârful unui creion fix în $G$. Dacă l-ai trasat corect, triunghiul stă în echilibru orizontal! Mută apoi creionul puțin în altă parte și observă cum triunghiul cade — ai demonstrat practic ce înseamnă „centru de greutate".

2. Detectivul medianelor. Desenează pe o foaie trei triunghiuri foarte diferite: unul ascuțitunghic, unul dreptunghic și unul obtuzunghic. La fiecare, construiește toate cele trei mediane. Verifică de fiecare dată că se întâlnesc într-un singur punct și că acel punct este înăuntru. Notează ce ai observat — ai confirmat singur proprietatea concurenței.

3. Cumpăna din ață. Ia triunghiul de carton din primul joc și fă o gaură mică foarte aproape de un vârf. Treci un fir de ață prin gaură și agață triunghiul ca să atârne liber; lipește sau trasează linia verticală pe care o arată firul (poți atârna o greutate mică de capătul firului). Repetă din alt vârf. Cele două linii verticale se vor intersecta chiar în centrul de greutate $G$ — exact punctul unde se întâlnesc și medianele. Surprinzător, nu?

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce a patra linie importantă din triunghi, după bisectoare, mediatoare și înălțimi. Obiectivul-cheie este ca elevul să rețină definiția corectă („vârf — mijlocul laturii opuse") și faptul că cele trei mediane sunt concurente în centrul de greutate. În clasa a VI-a nu se cere demonstrația concurenței; ea se acceptă, dar este foarte util să fie verificată prin construcție.

Cum să sprijiniți elevul:

• Începeți cu cuvântul „mijloc". Asigurați-vă că elevul găsește corect mijlocul unui segment, ideal cu compasul (prin mediatoare). Multe erori vin de aici: dacă mijloacele sunt aproximative, medianele nu se mai întâlnesc frumos și elevul se descurajează.
• Folosiți obiectul fizic. Jocul cu triunghiul de carton echilibrat pe creion face conceptul „centru de greutate" memorabil și concret. Legătura cu echilibrul rămâne mult mai bine decât o regulă abstractă.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Din ce punct pleacă mediana și unde ajunge?", „Câte mediane are un triunghi?", „Cum se numește punctul lor de întâlnire?", „Unde se află acest punct — înăuntru sau în afara triunghiului?", „Cu ce NU trebuie confundată mediana?".
• Pentru elevii avansați, introduceți cu blândețe raportul $2:1$ ($AG=2\cdot GM$) și exercițiile 10, 11, 13, 17 — sunt simple calcule cu fracții care întăresc și capitolul de numere raționale.
• Semnalul că elevul a înțeles: poate construi singur centrul de greutate folosind doar două mediane (intuiește că a treia e oricum acolo) și explică cu cuvintele lui de ce $G$ se cheamă „centru de greutate".

Întrebări frecvente

Ce este mediana unui triunghi în clasa a 6-a? Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf. Fiecare triunghi are trei mediane, câte una pornind din fiecare vârf.

Câte mediane are un triunghi? Un triunghi are exact trei mediane, fiindcă are trei vârfuri și fiecărui vârf îi corespunde câte o mediană către mijlocul laturii opuse.

Ce este centrul de greutate al unui triunghi? Centrul de greutate este punctul în care se întâlnesc cele trei mediane ale triunghiului, notat de obicei cu $G$. El reprezintă, intuitiv, punctul de echilibru al triunghiului: dacă sprijini un triunghi de carton fix în acest punct, el stă în echilibru.

De ce se întâlnesc medianele într-un singur punct? Pentru că aceasta este o proprietate adevărată a oricărui triunghi: medianele sunt întotdeauna concurente. În clasa a VI-a o acceptăm fără demonstrație, dar o putem verifica desenând cu atenție medianele oricărui triunghi.

Centrul de greutate este în interiorul sau în exteriorul triunghiului? Centrul de greutate se află întotdeauna în interiorul triunghiului, indiferent de forma lui (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic). Aceasta îl deosebește de ortocentru, care la triunghiul obtuzunghic iese în afară.

Care este diferența dintre mediană și înălțime? Mediana ajunge în mijlocul laturii opuse, ocupându-se de lungimi. Înălțimea cade perpendicular pe latura opusă, ocupându-se de unghiul drept. La un triunghi oarecare ele sunt segmente diferite și se întâlnesc în puncte diferite (centrul de greutate, respectiv ortocentrul).

Cum construiesc mediana unui triunghi cu rigla și compasul? Întâi găsești mijlocul laturii opuse vârfului ales — cel mai exact prin construcția mediatoarei acelei laturi cu compasul. Apoi unești vârful cu acel mijloc folosind rigla. Segmentul obținut este mediana.

În ce raport împarte centrul de greutate o mediană? Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, măsurat dinspre vârf. Adică bucata de la vârf până la centru este de două ori mai mare decât bucata de la centru până la mijlocul laturii: $AG=2\cdot GM$.