Care este negația propoziției «$$\forall x \in \mathbb{R},\ p(x)$$»?

$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$\neg p(x)$$

$$\forall x \in \mathbb{R},\ \neg p(x)$$

$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$p(x)$$

$$\forall x \in \mathbb{R},\ p(x)$$

Care este negația propoziției «Toți elevii clasei au telefon»?

«Există cel puțin un elev al clasei care nu are telefon»

«Niciun elev al clasei nu are telefon»

«Există cel puțin un elev al clasei care are telefon»

«Toți elevii clasei nu au telefon»

Care este negația propoziției «$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$x^2 = -1$$»?

$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \neq -1$$

$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1$$

$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$x^2 \neq -1$$

$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$x^2 = 1$$

Care este negația lui «toți»?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Negarea cuantificatorilor

„Există cel puțin unul care nu”. Negarea schimbă cuantificatorul și, în același timp, predicatul: $\neg (\forall x, p (x))$ devine $\exists x, \neg p (x)$ , iar $\neg (\exists x, p (x))$ devine $\forall x, \neg p (x)$ . Negația lui „toți elevii au telefon” nu sună „niciun elev nu are telefon”, ci „măcar un elev nu are telefon”. Un singur caz potrivnic este de ajuns.

Când negi o propoziție cuantificată, cuantificatorul se schimbă:

$\neg (\forall x, p (x)) = \exists x, \neg p (x) \neg (\exists x, p (x)) = \forall x, \neg p (x)$

În cuvinte: negația lui «toți» este «există cel puțin unul care nu…», iar negația lui «există» este «niciunul», adică «toți nu…».

Greșeala clasică este să negi «Toți elevii au telefon» prin «Niciun elev nu are telefon». Prea tare! Ca prima propoziție să fie falsă, ajunge un singur elev fără telefon. Negația corectă este «Există cel puțin un elev care nu are telefon».

Exemplu matematic: «Toate numerele prime sunt impare» este falsă, iar negația ei, «există un număr prim par», este adevărată — chiar așa, numărul $2$ .

Alt exemplu: negația lui « $\exists x \in R$ astfel încât $x^{2} = - 1$ » (falsă) este « $\forall x \in R, x^{2} \neq = - 1$ » (adevărată).

De reținut

$\neg (\forall x, p (x))$ este echivalent cu $\exists x, \neg p (x)$
$\neg (\exists x, p (x))$ este echivalent cu $\forall x, \neg p (x)$
se schimbă și cuantificatorul, și relația dinăuntru

Greșeala tipică

Enunțul care începe cu „toți” este negat prin „niciunul”, ceea ce spune mult mai mult decât trebuie. Ca prima afirmație să cadă, ajunge o singură excepție, deci negația corectă începe cu „există”.

Exerciții din această mini-lecție

Care este negația propoziției « $\forall x \in R, p (x)$ »?
- a) $\forall x \in R, \neg p (x)$
- b) $\exists x \in R$ astfel încât $\neg p (x)$
- c) $\exists x \in R$ astfel încât $p (x)$
- d) $\forall x \in R, p (x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\exists x \in R$ astfel încât $\neg p (x)$

Negația lui «pentru orice» este «există cel puțin unul pentru care nu». Varianta a) spune că predicatul nu se verifică pentru niciun $x$ — mult mai mult decât cere negația.
Care este negația propoziției «Toți elevii clasei au telefon»?
- a) «Niciun elev al clasei nu are telefon»
- b) «Există cel puțin un elev al clasei care nu are telefon»
- c) «Există cel puțin un elev al clasei care are telefon»
- d) «Toți elevii clasei nu au telefon»
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) «Există cel puțin un elev al clasei care nu are telefon»

Ca propoziția să fie falsă, ajunge un singur elev fără telefon. Variantele a) și d) spun același lucru și sunt prea tari: dacă $29$ din $30$ de elevi au telefon, propoziția inițială este falsă, dar a) și d) sunt și ele false.
Care este negația propoziției « $\exists x \in R$ astfel încât $x^{2} = - 1$ »?
- a) $\forall x \in R, x^{2} \neq = - 1$
- b) $\forall x \in R, x^{2} = - 1$
- c) $\exists x \in R$ astfel încât $x^{2} \neq = - 1$
- d) $\exists x \in R$ astfel încât $x^{2} = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\forall x \in R, x^{2} \neq = - 1$

Negația lui «există» este «pentru orice… nu», deci $\forall x \in R, x^{2} \neq = - 1$ . Propoziția inițială este falsă (un pătrat nu poate fi negativ), iar negația ei este adevărată — exact cum trebuie.

Întrebări conexe

Cum se neagă un enunț cu doi cuantificatori?

Se schimbă fiecare cuantificator pe rând, de la stânga la dreapta, iar la sfârșit se neagă relația dinăuntru. Din „pentru orice x există un y” se ajunge la „există un x pentru care, oricare ar fi y, relația nu se verifică”. Ordinea lor nu se atinge.

De ce trebuie negat și predicatul, nu doar cuantificatorul?

Pentru că altfel enunțul obținut spune altceva. Negația lui „ $\exists x$ cu $x > 0$ ” nu este „ $\forall x$ cu $x > 0$ ”, ci „ $\forall x$ cu $x \leq 0$ ”. Schimbarea merge în pereche: cuantificatorul se întoarce, iar relația dinăuntru trece în opusul ei.

Cum sună negația lui «cel puțin un elev a lipsit»?

„Toți elevii au fost prezenți”. Enunțul de la început începe cu „există”, deci negația lui începe cu „oricare ar fi”, iar predicatul se schimbă din „a lipsit” în „a fost prezent”. Nicio excepție nu mai este permisă.

Cum se neagă un enunț de forma «există exact unul»?

Prin „nu există niciunul sau există cel puțin doi”, fiindcă afirmația de la început spune două lucruri deodată: că există și că nu se repetă. Negația lor se face separat, apoi se leagă prin „sau”, după regula obișnuită.

Cum verific dacă am negat corect un enunț cuantificat?

Compari valorile de adevăr: enunțul și negația lui nu pot fi adevărate împreună și nici false împreună. Dacă găsești o situație în care amândouă cad, negația a ieșit prea tare, cum se întâmplă când „toți” este negat prin „niciunul”.

Ce legătură are negarea cuantificatorilor cu legile lui De Morgan?

Este aceeași idee, dusă la mulțimi infinite. „Oricare ar fi” se comportă ca o conjuncție lungă, iar „există” ca o disjuncție lungă; negarea schimbă una în cealaltă, exact ca la enunțurile cu două propoziții. De aceea regulile seamănă atât de bine.

Oamenii mai întreabă și: negația lui toți · negarea cuantificatorilor · negația lui există · cum neg oricare ar fi · negația unui enunț cu toți