Paralelipipedul dreptunghic și cubul: descriere, diagonală și desfășurare

Cutia de pantofi, frigiderul, o cameră, un container, un zar de joc sau o cărămidă au ceva în comun: toate au forma unui paralelipiped dreptunghic sau a unui cub. Sunt cele mai întâlnite corpuri geometrice din viața de zi cu zi, iar la Evaluarea Națională apar aproape sigur, fie într-un item de descriere, fie într-un calcul de distanță. În această lecție înveți să descrii aceste corpuri, să calculezi cea mai lungă „linie" ascunsă în interiorul lor – diagonala – și să desfășori un cub pe hârtie, ca și cum l-ai despături dintr-o cutie.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii paralelipipedul dreptunghic și cubul, identificând corect vârfurile, muchiile, fețele și diagonalele.
• Vei ști să recunoști dimensiunile $L$, $l$, $h$ ale paralelipipedului și muchia $a$ a cubului.
• Vei ști să calculezi diagonala paralelipipedului dreptunghic cu formula $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$.
• Vei ști să deduci și să aplici formula diagonalei cubului $d=a\sqrt{3}$.
• Vei ști să recunoști și să desenezi desfășurarea corectă a cubului și a paralelipipedului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este paralelipipedul dreptunghic

În lecția anterioară ai studiat prisma dreaptă: un corp cu două baze paralele și congruente, unite prin fețe laterale dreptunghiulare perpendiculare pe baze. Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular, foarte special, de prismă dreaptă.

Definiție. Paralelipipedul dreptunghic este prisma dreaptă care are ca baze dreptunghiuri. Toate cele șase fețe ale sale sunt dreptunghiuri.

Cu alte cuvinte: dacă „așezi" pe masă un dreptunghi și îl ridici drept în sus până la o anumită înălțime, obții un paralelipiped dreptunghic. Gândește-te la o cărămidă: are lungime, lățime și înălțime, iar fiecare colț este un unghi drept.

Îl notăm de obicei $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, unde $ABCD$ este baza de jos, iar $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este baza de sus, astfel încât $A^{\prime }$ este exact deasupra lui $A$, $B^{\prime }$ deasupra lui $B$ și așa mai departe.

Elementele paralelipipedului dreptunghic:

• 8 vârfuri (colțuri): $A,B,C,D,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$.
• 12 muchii (laturile corpului). Ele se împart în trei grupe, câte 4 muchii egale în fiecare grupă, corespunzând celor trei dimensiuni.
• 6 fețe, toate dreptunghiuri. Fețele opuse sunt congruente (identice) două câte două.

Dimensiunile. Un paralelipiped dreptunghic are trei dimensiuni, măsurate pe trei muchii care pornesc din același vârf și sunt perpendiculare două câte două:

• lungimea $L$ (de exemplu muchia $AB$),
• lățimea $l$ (muchia $BC$),
• înălțimea $h$ (muchia verticală $A{A}^{\prime }$).

Aceste trei numere determină complet forma corpului: dacă știi $L$, $l$ și $h$, cutia este pe deplin cunoscută.

Fețele opuse. Fața de jos $ABCD$ este congruentă cu fața de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (ambele dreptunghiuri cu dimensiunile $L\times l$). Fața din față $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este congruentă cu cea din spate $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (dimensiuni $L\times h$). Fața din stânga $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este congruentă cu cea din dreapta $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (dimensiuni $l\times h$).

2. Ce este cubul

Cubul este cel mai „echilibrat" paralelipiped dreptunghic posibil.

Definiție. Cubul este paralelipipedul dreptunghic care are toate muchiile egale: $L=l=h=a$. Notăm cu $a$ muchia cubului.

Așadar cubul are:

• 6 fețe, toate pătrate congruente (cu latura $a$),
• 12 muchii egale, fiecare de lungime $a$,
• 8 vârfuri.

Un zar de joc este exemplul perfect de cub. Un cub este pentru paralelipiped ceea ce pătratul este pentru dreptunghi: cazul particular în care toate laturile devin egale.

3. Muchii și fețe – să le numărăm cu grijă

Un exercițiu tipic de examen îți cere să identifici sau să numeri elementele. Ține minte:

Suma tuturor muchiilor. Fiindcă avem 4 muchii de lungime $L$, 4 de lungime $l$ și 4 de lungime $h$, suma lungimilor tuturor muchiilor este: $$S_{\text{muchii}}=4L+4l+4h=4(L+l+h).$$ La cub, unde $L=l=h=a$, suma devine $S_{\text{muchii}}=12a$. Este util când problema vorbește despre „lungimea totală a sârmei" din care e făcut scheletul cutiei.

4. Diagonalele – atenție la două tipuri diferite

Aici apare cea mai frecventă confuzie, așa că o clarificăm de la început. Într-un paralelipiped există două feluri de „diagonale":

a) Diagonalele fețelor – unesc două vârfuri opuse de pe aceeași față. Ele stau în planul unei fețe (de exemplu $AC$ este diagonala feței $ABCD$). Fiecare față are câte 2 diagonale, deci în total sunt 12 diagonale ale fețelor.

b) Diagonalele corpului (spațiale) – unesc două vârfuri opuse ale corpului, trecând prin interiorul lui, „prin aer". De exemplu $A{C}^{\prime }$ unește vârful $A$ din baza de jos cu vârful $C^{\prime }$ din baza de sus, diagonal opus. Un paralelipiped are exact 4 diagonale spațiale: $A{C}^{\prime }$, $B{D}^{\prime }$, $C{A}^{\prime }$ și $D{B}^{\prime }$. Toate au aceeași lungime și se intersectează într-un punct (centrul corpului).

Când spunem simplu „diagonala paralelipipedului", ne referim la diagonala corpului (spațială) – cea mai lungă distanță dintre două vârfuri ale corpului.

5. Deducerea formulei diagonalei paralelipipedului

Acum construim formula pas cu pas. Vrem lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$ în paralelipipedul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu dimensiunile $AB=L$, $BC=l$, $C{C}^{\prime }=h$.

Pasul 1 – diagonala bazei. Privim mai întâi baza $ABCD$, care este un dreptunghi cu laturile $L$ și $l$. Diagonala ei $AC$ se calculează cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghi drept în $B$): $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=L^2+l^2,\text{deci }AC=\sqrt{L^2+l^2}.$$

Pasul 2 – urcăm la diagonala corpului. Muchia $C{C}^{\prime }$ este verticală, deci perpendiculară pe planul bazei; în particular $C{C}^{\prime }\perp AC$. Atunci triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$. Aplicăm din nou teorema lui Pitagora: $$A{C}^{\prime 2}=A{C}^2+C{C}^{\prime 2}=(L^2+l^2)+h^2.$$

Concluzia. Extragând rădăcina pătrată obținem formula fundamentală:

$$\boxed{d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}}$$

Este pur și simplu teorema lui Pitagora aplicată de două ori, „în trepte". Frumusețea formulei este simetria ei: cele trei dimensiuni intră la fel, la pătrat, indiferent de ordine. Nu contează care e lungimea, care e lățimea și care e înălțimea – rezultatul e același.

Un truc de verificare. Numerele $3,4,12$ dau o diagonală întreagă: $\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$. La fel, $L,l,h$ egale cu $1,2,2$ dau diagonala $\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$. Aceste triplete „frumoase" apar des la examen, tocmai ca să iasă un rezultat curat.

6. Diagonala cubului: $d=a\sqrt{3}$

Cubul este paralelipipedul cu $L=l=h=a$. Înlocuim în formulă: $$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2}=a\sqrt{3}.$$

(Ultimul pas: $\sqrt{a^2}=a$, deoarece $a>0$ este o lungime.)

Reține. Diagonala cubului cu muchia $a$ este $d=a\sqrt{3}$.

Să vedem și „geometric" cum apare $\sqrt{3}$, refăcând cei doi pași de mai sus pentru cub:

• Diagonala unei fețe (fața e pătrat cu latura $a$): $d_{\text{fața˘}}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.
• Diagonala corpului: în triunghiul dreptunghic format din diagonala feței ($a\sqrt{2}$) și muchia verticală ($a$): $$d=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$

Așadar cubul cu muchia $a$ ascunde trei lungimi speciale:

Ține minte tripleta „$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$" în multipli de $a$: e una dintre cele mai utile rețete de la Evaluarea Națională.

7. Cum aflăm o mărime necunoscută din formulă

Formula $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$ merge „în ambele sensuri". Dacă ridici la pătrat, obții: $$d^2=L^2+l^2+h^2.$$ De aici poți afla orice dimensiune necunoscută, dacă le cunoști pe celelalte. De pildă, ca să afli înălțimea: $$h^2=d^2-L^2-l^2\Rightarrow h=\sqrt{d^2-L^2-l^2}.$$

La cub, din $d=a\sqrt{3}$ scoți muchia împărțind: $$a=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}.$$ (Am raționalizat numitorul înmulțind sus și jos cu $\sqrt{3}$, cum ai învățat la clasa a VII-a.) De exemplu, dacă $d=15$, atunci $a=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$.

Dacă însă diagonala e dată chiar sub forma $d=6\sqrt{3}$, atunci recunoști direct $a=6$ (nu mai e nevoie de raționalizare).

8. Desfășurarea în plan

Desfășurarea (sau rețeaua de fețe) unui corp este figura plană obținută dacă „despăturim" corpul și îl întindem pe o suprafață, fără să suprapunem sau să rupem fețele. Practic, imaginează-ți o cutie de carton pe care o tai pe câteva muchii și o desfaci complet pe masă.

Desfășurarea cubului. Are 6 pătrate egale (fiindcă cubul are 6 fețe pătrate cu latura $a$). Cea mai cunoscută desfășurare are forma de cruce: o coloană de 4 pătrate, cu încă un pătrat lipit în stânga și unul în dreapta pătratului al doilea.

Atenție: nu orice aranjare de 6 pătrate se pliază într-un cub. Există exact 11 desfășurări valabile ale cubului (nu trebuie să le memorezi pe toate). Regula practică pentru examen: dacă la pliere două fețe s-ar suprapune, sau ar rămâne o „gaură", figura nu este o desfășurare corectă. De exemplu, patru pătrate în cruce plus alte două lipite prost pot da o suprapunere.

Un test rapid: o desfășurare bună a cubului nu are niciodată un pătrat de „$2\times 2$" (patru pătrate care formează un pătrat mare), pentru că acele fețe s-ar suprapune la pliere.

Desfășurarea paralelipipedului dreptunghic. Are tot 6 dreptunghiuri, dar de trei feluri (câte două congruente): două de $L\times l$ (bazele), două de $L\times h$ și două de $l\times h$. Forma tipică e tot o „cruce": un brâu de 4 dreptunghiuri laterale în jurul mijlocului, plus baza de sus și baza de jos atașate.

Desfășurarea e foarte utilă la lecția următoare, când vei calcula aria totală: aduni pur și simplu ariile tuturor dreptunghiurilor din rețea. Vom folosi asta la lecția Aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic și ale cubului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Diagonala unui paralelipiped

Enunț. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $L=12$ cm, $l=15$ cm și $h=16$ cm. Calculează lungimea diagonalei corpului.

Rezolvare. Aplicăm direct formula: $$d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}=\sqrt{12^2+15^2+16^2}.$$ Calculăm pătratele: $12^2=144$, $15^2=225$, $16^2=256$. Adunăm: $$d=\sqrt{144+225+256}=\sqrt{625}=25\text{ cm}.$$ Răspuns: diagonala are $25$ cm.

Exemplul 2 — Diagonala unui cub

Enunț. Un cub are muchia $a=7$ cm. Cât este diagonala cubului?

Rezolvare. Folosim formula cubului: $$d=a\sqrt{3}=7\sqrt{3}\text{ cm}.$$ Dacă vrem o valoare aproximativă, cu $\sqrt{3}\approx 1,73$, obținem $d\approx 7\cdot 1,73=12,11$ cm. La examen se lasă de obicei forma exactă $7\sqrt{3}$ cm. Răspuns: $d=7\sqrt{3}$ cm.

Exemplul 3 — Aflarea muchiei cubului din diagonală

Enunț. Diagonala unui cub este $d=6\sqrt{3}$ cm. Află muchia cubului și diagonala unei fețe.

Rezolvare. Știm că $d=a\sqrt{3}$. Cum $d=6\sqrt{3}$, comparăm: $$a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\Rightarrow a=6\text{ cm}.$$ Diagonala unei fețe este $d_{\text{fața˘}}=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm. Răspuns: $a=6$ cm, iar diagonala feței este $6\sqrt{2}$ cm.

Exemplul 4 — Aflarea unei dimensiuni lipsă

Enunț. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea $L=3$ cm, lățimea $l=4$ cm, iar diagonala corpului $d=13$ cm. Calculează înălțimea $h$.

Rezolvare. Ridicăm formula la pătrat: $d^2=L^2+l^2+h^2$. Înlocuim: $$13^2=3^2+4^2+h^2\Rightarrow 169=9+16+h^2\Rightarrow 169=25+h^2.$$ Deci $h^2=169-25=144$, de unde $h=\sqrt{144}=12$ cm. Verificare: $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$. ✓ Răspuns: $h=12$ cm.

Exemplul 5 — Cea mai lungă tijă dintr-o cutie (item tip Evaluare Națională)

Enunț. O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile interioare $40$ cm, $30$ cm și $120$ cm. Poate încăpea în cutie, în poziție dreaptă sau înclinată, o tijă rigidă de $130$ cm lungime?

Rezolvare. Cea mai lungă distanță posibilă între două puncte din interiorul cutiei este chiar diagonala corpului. O tijă încape dacă lungimea ei nu depășește diagonala. Calculăm: $$d=\sqrt{40^2+30^2+120^2}=\sqrt{1600+900+14400}=\sqrt{16900}=130\text{ cm}.$$ Diagonala este exact $130$ cm, egală cu lungimea tijei. Răspuns: Da, tija de $130$ cm încape, așezată exact de-a lungul diagonalei corpului (la limită).

Exemplul 6 — Suma muchiilor și recunoașterea desfășurării

Enunț. Un cub are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu $60$ cm. a) Află muchia cubului. b) Câte pătrate are desfășurarea lui și ce latură au?

Rezolvare. a) Cubul are 12 muchii egale, deci suma lor este $12a$. Din $12a=60$ obținem $a=5$ cm. b) Desfășurarea cubului are 6 pătrate congruente, fiecare cu latura egală cu muchia, adică $a=5$ cm. Răspuns: $a=5$ cm; desfășurarea are 6 pătrate cu latura de $5$ cm.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La geometrie, fă întâi un desen.

1. Într-un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, scrie: a) toate cele 4 diagonale ale corpului; b) diagonalele feței $ABCD$; c) câte muchii, fețe și vârfuri are corpul.

2. Calculează diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $L=2$ cm, $l=3$ cm, $h=6$ cm.

3. Un paralelipiped dreptunghic are $L=8$ cm, $l=9$ cm, $h=12$ cm. Cât este diagonala lui?

4. Calculează diagonala unui cub cu muchia $a=10$ cm. Lasă rezultatul în formă exactă.

5. Un cub are muchia $a=\sqrt{3}$ cm. Arată că diagonala lui este un număr natural și precizează-l.

6. Diagonala unui cub este $d=12\sqrt{3}$ cm. Află muchia cubului.

7. Diagonala unui cub este $d=15$ cm. Află muchia cubului (raționalizează numitorul).

8. Un paralelipiped dreptunghic are $L=6$ cm, $l=6$ cm și diagonala corpului $d=11$ cm. Calculează înălțimea $h$.

9. Un cub are muchia $a=6$ cm. Calculează, în această ordine: muchia, diagonala unei fețe și diagonala cubului.

10. Adevărat sau fals? Justifică fiecare afirmație. a) Diagonala unui cub cu muchia $a$ este $a\sqrt{2}$. b) Toate cele 4 diagonale ale unui paralelipiped dreptunghic sunt egale între ele. c) Cubul este un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale. d) Un paralelipiped dreptunghic are 6 fețe, toate pătrate.

11. Suma tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este $48$ cm, iar $L=5$ cm și $l=4$ cm. Află înălțimea $h$ și apoi diagonala corpului.

12. O piscină are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $12$ m, lățimea $9$ m și adâncimea $20$ m (bazin adânc de scufundări). Care este cea mai mare distanță în linie dreaptă între două colțuri opuse ale bazinului?

13. Desfășurarea unui cub este formată din 6 pătrate egale. Dacă latura fiecărui pătrat este $7$ cm, cât este muchia cubului și cât este diagonala lui?

14. (Item tip examen) Un container are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile interioare $3$ m, $4$ m și $12$ m. O bară metalică dreaptă de $13$ m trebuie transportată în container. Încape? Justifică prin calcul.

15. Se dau două cuburi: unul cu muchia $4$ cm și altul cu muchia $8$ cm. De câte ori este mai mare diagonala cubului mare față de a celui mic? (Compară diagonalele fără să folosești valori aproximative.)

16. (Raționament) Un paralelipiped dreptunghic are toate cele trei dimensiuni numere naturale, iar diagonala lui este $7$ cm. Găsește dimensiunile $L$, $l$, $h$.

17. Desenează o desfășurare corectă a cubului diferită de forma clasică de cruce. Explică de ce, la pliere, se obține un cub (nu se suprapun fețe).

18. (Provocare) Un cub are diagonala unei fețe egală cu $5\sqrt{2}$ cm. Află muchia cubului, apoi diagonala corpului.

Răspunsuri și explicații

1. a) Diagonalele corpului: $A{C}^{\prime }$, $B{D}^{\prime }$, $C{A}^{\prime }$, $D{B}^{\prime }$. b) Diagonalele feței $ABCD$: $AC$ și $BD$. c) 12 muchii, 6 fețe, 8 vârfuri.

2. $d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$ cm.

3. $d=\sqrt{8^2+9^2+12^2}=\sqrt{64+81+144}=\sqrt{289}=17$ cm.

4. $d=a\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ cm.

5. $d=a\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{9}=3$ cm. Este numărul natural $3$.

6. Din $a\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ rezultă $a=12$ cm.

7. $a=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$ cm.

8. $11^2=6^2+6^2+h^2\Rightarrow 121=36+36+h^2\Rightarrow h^2=121-72=49\Rightarrow h=7$ cm.

9. Muchia: $6$ cm; diagonala feței: $6\sqrt{2}$ cm; diagonala cubului: $6\sqrt{3}$ cm.

10. a) Fals – $a\sqrt{2}$ este diagonala unei fețe; diagonala cubului este $a\sqrt{3}$. b) Adevărat – toate cele 4 diagonale ale corpului sunt congruente, se intersectează în centru. c) Adevărat – este chiar definiția cubului. d) Fals – fețele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri; doar la cub sunt pătrate.

11. $4(L+l+h)=48\Rightarrow L+l+h=12\Rightarrow 5+4+h=12\Rightarrow h=3$ cm. Diagonala: $d=\sqrt{5^2+4^2+3^2}=\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm.

12. Cea mai mare distanță este diagonala corpului: $d=\sqrt{12^2+9^2+20^2}=\sqrt{144+81+400}=\sqrt{625}=25$ m.

13. Muchia cubului = latura pătratului din desfășurare = $7$ cm. Diagonala: $d=7\sqrt{3}$ cm.

14. $d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ m. Bara de $13$ m încape exact de-a lungul diagonalei corpului. Da, încape (la limită).

15. Diagonala cubului mic: $4\sqrt{3}$; a cubului mare: $8\sqrt{3}$. Raportul: $\frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=2$. Diagonala mare este de 2 ori mai mare (la fel ca raportul muchiilor).

16. Căutăm numere naturale cu $L^2+l^2+h^2=49$. O soluție: $L=2$, $l=3$, $h=6$, căci $4+9+36=49$. (Ordinea dimensiunilor poate fi schimbată; există și $L=l=h$? Nu, fiindcă $3a^2=49$ nu dă $a$ natural. Tripletul $2,3,6$ este răspunsul „frumos".)

17. Exemplu de desfășurare corectă: un rând de 4 pătrate pe orizontală, cu al 5-lea pătrat lipit deasupra celui de-al doilea și al 6-lea lipit dedesubtul celui de-al treilea (forma „în trepte"/„Z"). La pliere, cele 4 pătrate din rând formează un brâu în jurul cubului, iar cele două pătrate suplimentare devin capacul de sus și fundul de jos, fără suprapuneri. (Orice desfășurare care nu conține un bloc $2\times 2$ de pătrate și în care fiecare pătrat are exact vecinii potriviți este validă.)

două exemple de desfășurare validă a cubului – forma „în trepte" (rând de 4 pătrate, cu unul deasupra celui de-al doilea și unul sub al treilea) și forma clasică de cruce – ambele marcate cu bifă „corect".

18. Diagonala feței este $a\sqrt{2}=5\sqrt{2}\Rightarrow a=5$ cm. Diagonala corpului: $d=a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ cm.

De reținut

• Paralelipipedul dreptunghic este prisma dreaptă cu bazele dreptunghiuri; are 8 vârfuri, 12 muchii (grupate în dimensiunile $L$, $l$, $h$) și 6 fețe dreptunghiulare. Cubul este cazul particular cu $L=l=h=a$ și 6 fețe pătrate.
• Diagonala paralelipipedului dreptunghic: $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$ (teorema lui Pitagora aplicată de două ori). Ridicată la pătrat: $d^2=L^2+l^2+h^2$, de unde afli orice dimensiune lipsă.
• Diagonala cubului: $d=a\sqrt{3}$. Diagonala unei fețe a cubului este $a\sqrt{2}$. Reține tripleta $a,a\sqrt{2},a\sqrt{3}$.
• Suma muchiilor: $4(L+l+h)$ la paralelipiped, $12a$ la cub.
• Desfășurarea cubului = 6 pătrate egale (11 rețele valabile, forma clasică = cruce). Desfășurarea paralelipipedului = 6 dreptunghiuri (câte 2 congruente).

Greșeli frecvente

• Confuzia diagonala feței ↔ diagonala corpului. Diagonala unei fețe a cubului este $a\sqrt{2}$, iar diagonala corpului este $a\sqrt{3}$. Când problema cere „diagonala cubului" fără altă precizare, se subînțelege diagonala corpului ($a\sqrt{3}$). Citește cu atenție ce ți se cere.
• Uitarea celei de-a treia dimensiuni. Unii elevi calculează doar $\sqrt{L^2+l^2}$ (diagonala bazei) și se opresc. Diagonala corpului cere toate trei dimensiunile la pătrat: $\sqrt{L^2+l^2+h^2}$.
• Greșeli la scoaterea de sub radical. $\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$, nu $3a$ și nici $a\sqrt{3a}$. Descompune sub radical: $\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2}=a\sqrt{3}$ (fiindcă $a>0$).
• Desfășurare incorectă. Nu orice aranjare de 6 pătrate se pliază în cub. Dacă apare un bloc de $2\times 2$ pătrate sau două fețe s-ar suprapune la pliere, figura nu este o desfășurare validă.

Aplică acasă

1. Cutia de acasă. Ia o cutie de pantofi sau de cereale. Măsoară cu rigla lungimea, lățimea și înălțimea (în cm). Calculează diagonala corpului cu formula $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$, apoi verifică întinzând un fir de ață între două colțuri opuse ale cutiei și măsurându-l. Cât de aproape e de calcul?

2. Zarul. Ia un zar (cub). Măsoară muchia $a$ și calculează diagonala $a\sqrt{3}$ și diagonala unei fețe $a\sqrt{2}$. Compară cele trei lungimi: muchia, diagonala feței, diagonala cubului – care e cea mai lungă și de ce?

3. Desfășurarea din carton. Desenează pe carton o desfășurare a cubului (forma de cruce, cu 6 pătrate egale de câte $5$ cm). Decupeaz-o, îndoaie pe muchii și lipește-o. Ai construit un cub! Încearcă apoi să inventezi o a doua desfășurare validă, diferită de cruce.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează trecerea de la geometria plană la cea în spațiu și se sprijină puternic pe teorema lui Pitagora (clasa a VII-a), aplicată acum „în trepte" pentru a obține diagonala unui corp. Deducerea formulei $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$ merită parcursă lent, cu desen: mai întâi diagonala bazei, apoi ridicarea la diagonala corpului.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune elevului:

• Care e diferența dintre diagonala unei fețe și diagonala corpului? (Răspuns așteptat: prima stă într-o față, a doua trece prin interiorul cutiei.)
• De ce la cub apare $\sqrt{3}$ și la o față apare $\sqrt{2}$? (Din formulă, cu $L=l=h=a$.)
• Arată-mi pe o cutie reală o muchie, o față și o diagonală a corpului.
• E orice aranjare de 6 pătrate o desfășurare de cub? (Nu.)

Semnele că elevul a înțeles: aplică formula corect chiar când dimensiunile sunt date în altă ordine, nu confundă $a\sqrt{2}$ cu $a\sqrt{3}$, și scoate corect factorul de sub radical.

La Evaluarea Națională, paralelipipedul și cubul apar constant: în subiectul II (itemi cu răspuns scurt – calculul unei diagonale, al muchiei din diagonală) și în subiectul III (probleme mai ample, unde diagonala e un pas intermediar spre arie sau volum). Redactarea îngrijită – enunțul teoremei lui Pitagora, calculul pas cu pas, forma exactă a rezultatului cu radical – aduce punctajul complet.

Întrebări frecvente

Care este formula diagonalei paralelipipedului dreptunghic? Diagonala corpului este $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}$, unde $L$, $l$ și $h$ sunt lungimea, lățimea și înălțimea. Se obține aplicând teorema lui Pitagora de două ori: întâi pentru diagonala bazei, apoi pentru diagonala care urcă la vârful opus.

Cât este diagonala cubului cu muchia $a$? Diagonala cubului este $d=a\sqrt{3}$. Ea rezultă din formula generală când $L=l=h=a$: $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$.

Care e diferența dintre diagonala feței și diagonala cubului? Diagonala unei fețe a cubului stă în planul acelei fețe și este $a\sqrt{2}$. Diagonala cubului (a corpului) trece prin interiorul lui, unind două vârfuri opuse, și este $a\sqrt{3}$, mai lungă decât diagonala feței.

Cubul este un paralelipiped dreptunghic? Da. Cubul este cazul particular de paralelipiped dreptunghic în care toate cele trei dimensiuni sunt egale ($L=l=h=a$), deci toate fețele devin pătrate.

Câte desfășurări are cubul? Cubul are exact 11 desfășurări distincte, fiecare formată din 6 pătrate egale. Cea mai cunoscută are forma de cruce. Nu orice aranjare de 6 pătrate este o desfășurare validă.

Cum aflu muchia cubului dacă știu diagonala? Din $d=a\sqrt{3}$ scoți $a=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}$. De exemplu, dacă $d=6\sqrt{3}$, atunci $a=6$; dacă $d=15$, atunci $a=5\sqrt{3}$ (după raționalizarea numitorului).

Câte muchii, fețe și vârfuri are un paralelipiped dreptunghic? Are 12 muchii, 6 fețe (dreptunghiuri) și 8 vârfuri. Cubul are aceleași numere, dar fețele sunt pătrate și toate muchiile sunt egale.

De ce este importantă diagonala corpului în probleme practice? Pentru că diagonala corpului este cea mai lungă distanță în linie dreaptă între două puncte ale cutiei. Astfel afli, de exemplu, cel mai lung obiect rigid care încape într-un container sau într-o cameră.