Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte

Gândește-te la un stâlp de beton cu secțiune hexagonală, la o cutie de bomboane în formă de prismă triunghiulară sau la un acvariu înalt cu baza pătrată. Toate acestea sunt prisme drepte, iar în viața reală ne interesează mereu două lucruri despre ele: cât material acoperă suprafața (aria) și cât spațiu cuprind în interior (volumul). În lecția precedentă ai învățat să recunoști prisma dreaptă și să o desfășori pe plan; acum transformăm acele desfășurări în formule precise, exact așa cum ți se cere la Evaluarea Națională. Vestea bună este că totul se reduce la trei formule simple și la câteva arii de poligoane pe care le știi deja.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria laterală a unei prisme drepte cu formula $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$ (perimetrul bazei ori înălțimea).
• Vei ști să calculezi aria totală cu formula $A_t=A_l+2\cdot A_{baz\breve{a}}$.
• Vei ști să calculezi volumul prismei drepte cu formula $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$.
• Vei ști să alegi formula potrivită pentru aria bazei: triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat.
• Vei ști să parcurgi o problemă completă: din muchii $\to$ arie bază $\to$ arie laterală / totală $\to$ volum, cu redactarea îngrijită cerută la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o prismă dreaptă (reamintire scurtă)

O prismă dreaptă are două baze paralele și congruente (poligoane identice) și fețe laterale care sunt dreptunghiuri, perpendiculare pe baze. Distanța dintre cele două baze se numește înălțimea prismei și o notăm cu $h$. La o prismă dreaptă, înălțimea este chiar lungimea unei muchii laterale.

Numele prismei vine de la baza ei:

• prismă triunghiulară — baza este un triunghi (3 fețe laterale);
• prismă patrulateră — baza este un patrulater (4 fețe laterale);
• prismă hexagonală — baza este un hexagon (6 fețe laterale).

Când baza este un poligon regulat (toate laturile și unghiurile egale), prisma se numește prismă regulată. În această lecție lucrăm mai ales cu prisme regulate: triunghiulară regulată (bază triunghi echilateral), patrulateră regulată (bază pătrat) și hexagonală regulată (bază hexagon regulat).

2. Aria laterală — desfășurăm fețele și le adunăm

Aria laterală ($A_l$) este suma ariilor tuturor fețelor laterale (fără cele două baze). Cel mai clar mod de a o înțelege este să „despăturim" prisma.

Imaginează-ți că tai prisma de-a lungul muchiilor laterale și o întinzi pe masă. Fețele laterale, toate dreptunghiuri, se așază una lângă alta și formează un singur dreptunghi mare. Acest dreptunghi are:

• înălțimea egală cu înălțimea prismei, $h$;
• lungimea (baza dreptunghiului) egală cu suma tuturor laturilor bazei, adică perimetrul bazei, $P_{baz\breve{a}}$.

Aria unui dreptunghi este lungime ori lățime, deci:

$$A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$$

Aceasta este prima formulă-cheie. Reține ideea din spatele ei: nu trebuie să calculezi aria fiecărei fețe separat și apoi să le aduni — perimetrul bazei „strânge" deja toate laturile la un loc.

Sub-exemplu. La o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei $l=5$ cm și înălțimea $h=8$ cm, perimetrul bazei este $P_{baz\breve{a}}=3\cdot 5=15$ cm, deci $$A_l=15\cdot 8=120{\text{ cm}}^2.$$

Observă că unitatea de măsură a ariei este centimetrul pătrat (${\text{cm}}^2$), pentru că înmulțim o lungime cu o lungime.

3. Aria totală — adăugăm cele două baze

Aria totală ($A_t$) este aria întregii suprafețe a prismei: fețele laterale plus cele două baze. Deoarece bazele sunt congruente, ele au aceeași arie $A_{baz\breve{a}}$, iar noi avem exact două astfel de baze. De aceea:

$$A_t=A_l+2\cdot A_{baz\breve{a}}$$

Cu alte cuvinte, la aria laterală mai adaugi de două ori aria bazei. Dacă ar fi să vopsești complet un corp prismatic pe dinafară, aria totală îți spune câtă suprafață ai de vopsit.

Atenție la o capcană frecventă: la aria totală nu uita factorul 2 din fața ariei bazei. O prismă are două baze, nu una singură.

4. Volumul — cât spațiu cuprinde prisma

Volumul ($V$) măsoară cât spațiu ocupă corpul în interior. Pentru orice prismă dreaptă, volumul se obține înmulțind aria bazei cu înălțimea:

$$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$$

Intuiția e simplă: baza este „o felie" de grosime zero, iar prisma este formată din baza aceea repetată pe toată înălțimea $h$. Cu cât baza e mai mare sau prisma mai înaltă, cu atât încape mai mult. Este exact ideea din spatele formulei „lungime × lățime × înălțime" de la paralelipiped, doar că aici baza poate fi orice poligon.

Unitatea volumului este centimetrul cub (${\text{cm}}^3$), pentru că înmulțim o arie (${\text{cm}}^2$) cu o lungime ($\text{cm}$).

5. Aria bazei — cele trei formule pe care trebuie să le știi

Cele trei formule de mai sus ($A_l$, $A_t$, $V$) au nevoie de două ingrediente: perimetrul bazei și aria bazei. Perimetrul este ușor (suma laturilor). Pentru arie, totul depinde de forma bazei. Iată cazurile din programa clasei a VIII-a, pentru poligoane regulate de latură $l$:

a) Triunghi echilateral (toate laturile egale cu $l$): $$A_{baz\breve{a}}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4},P_{baz\breve{a}}=3l.$$

b) Pătrat (latura $l$): $$A_{baz\breve{a}}=l^2,P_{baz\breve{a}}=4l.$$

c) Hexagon regulat (latura $l$): $$A_{baz\breve{a}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2},P_{baz\breve{a}}=6l.$$

De unde vine formula hexagonului? Un hexagon regulat se împarte în 6 triunghiuri echilaterale identice, fiecare cu latura $l$, prin cele trei diagonale mari, care trec prin centru. Aria hexagonului este atunci de 6 ori aria unui triunghi echilateral: $$A_{hexagon}=6\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}.$$ Nu trebuie să memorezi „orbește": dacă uiți formula hexagonului, o reconstruiești din 6 triunghiuri echilaterale.

Dacă vrei o recapitulare mai amănunțită a hexagonului și a triunghiului echilateral, revezi lecția despre relații metrice în triunghiul echilateral, pătrat și hexagon din geometria plană de clasa a VII-a.

6. Rețeta completă de rezolvare

Aproape orice problemă de examen cu prisma dreaptă se rezolvă în aceeași ordine. Ține minte acest traseu:

1. Identifică forma bazei (triunghi echilateral, pătrat, hexagon) și notează $l$ și $h$.
2. Calculează perimetrul bazei $P_{baz\breve{a}}$.
3. Calculează aria bazei $A_{baz\breve{a}}$ cu formula potrivită.
4. Aria laterală: $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$.
5. Aria totală: $A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}$.
6. Volumul: $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$.

Dacă respecți această ordine, nu ai cum să te încurci. Uneori problema îți dă rezultatul (de exemplu volumul) și îți cere o muchie — atunci parcurgi traseul „invers", dar formulele rămân aceleași.

Un sfat de redactare pentru examen: scrie mai întâi formula literală, apoi înlocuiește valorile, apoi calculul. Corectorul acordă punctaj și pentru formula corectă scrisă, chiar dacă la final greșești o înmulțire. Nu sări pașii!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prismă triunghiulară regulată, calcul complet

Se dă o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei $l=6$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare. Baza este un triunghi echilateral cu $l=6$ cm.

Perimetrul bazei: $$P_{baz\breve{a}}=3l=3\cdot 6=18\text{ cm}.$$

Aria bazei: $$A_{baz\breve{a}}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

Aria laterală: $$A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=18\cdot 10=180{\text{ cm}}^2.$$

Aria totală: $$A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}=180+2\cdot 9\sqrt{3}=180+18\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

Volumul: $$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{ cm}}^3.$$

Rezultatele cu radical se lasă de obicei în formă exactă ($180+18\sqrt{3}$), nu se aproximează, dacă problema nu cere altfel.

Exemplul 2 — Prismă patrulateră regulată (bază pătrat)

O prismă patrulateră regulată are latura bazei $l=5$ cm și înălțimea $h=12$ cm. Află $A_l$, $A_t$ și $V$.

Rezolvare. Baza este un pătrat cu $l=5$ cm.

$$P_{baz\breve{a}}=4l=4\cdot 5=20\text{ cm},A_{baz\breve{a}}=l^2=5^2=25{\text{ cm}}^2.$$

$$A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=20\cdot 12=240{\text{ cm}}^2.$$

$$A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}=240+2\cdot 25=240+50=290{\text{ cm}}^2.$$

$$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=25\cdot 12=300{\text{ cm}}^3.$$

Observă cât de curate ies calculele când baza este pătrat: nu apar radicali.

Exemplul 3 — Prismă hexagonală regulată

Se dă o prismă hexagonală regulată cu latura bazei $l=4$ cm și înălțimea $h=9$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare. Baza este un hexagon regulat cu $l=4$ cm.

$$P_{baz\breve{a}}=6l=6\cdot 4=24\text{ cm}.$$

$$A_{baz\breve{a}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 16\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

$$A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=24\cdot 9=216{\text{ cm}}^2.$$

$$A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}=216+2\cdot 24\sqrt{3}=216+48\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

$$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=24\sqrt{3}\cdot 9=216\sqrt{3}{\text{ cm}}^3.$$

Exemplul 4 — Problemă „inversă": aflăm înălțimea din volum

O prismă triunghiulară regulată are latura bazei $l=4$ cm și volumul $V=48\sqrt{3}$ cm³. Află înălțimea prismei.

Rezolvare. Calculăm mai întâi aria bazei: $$A_{baz\breve{a}}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

Din $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$ scoatem înălțimea: $$h=\frac{V}{A_{baz\breve{a}}}=\frac{48\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=12\text{ cm}.$$

Radicalul $\sqrt{3}$ se simplifică, iar înălțimea iese un număr întreg frumos: $h=12$ cm. Acesta e un model tipic de item de Evaluare Națională.

Exemplul 5 — Problemă aplicată: stâlp de beton hexagonal

Un stâlp ornamental are forma unei prisme hexagonale regulate cu latura bazei de $10$ cm și înălțimea de $2$ m. a) Câți ${\text{cm}}^3$ de beton sunt necesari pentru un stâlp? b) Ce arie laterală are stâlpul (suprafața care se vopsește)?

Rezolvare. Aducem totul la aceleași unități: $h=2$ m $=200$ cm, iar $l=10$ cm.

a) Volumul (betonul). $$A_{baz\breve{a}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 10^2\sqrt{3}}{2}=\frac{300\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$ $$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=150\sqrt{3}\cdot 200=30000\sqrt{3}{\text{ cm}}^3.$$ Dacă vrem o valoare aproximativă, cu $\sqrt{3}\approx 1,73$: $V\approx 30000\cdot 1,73=51900$ cm³, adică aproximativ $51,9$ litri de beton.

b) Aria laterală (vopseaua). $$P_{baz\breve{a}}=6l=60\text{ cm},A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=60\cdot 200=12000{\text{ cm}}^2=1,2{\text{ m}}^2.$$

Vopsim doar fața laterală (baza de jos e în pământ, cea de sus e mică), deci ne interesează aria laterală: $1,2$ m². Observă cum lecția devine utilă în situații reale de construcții.

Exemplul 6 — Aflăm latura din arie (raționament invers)

O prismă patrulateră regulată are aria laterală $A_l=160$ cm² și perimetrul bazei $P_{baz\breve{a}}=16$ cm. Află înălțimea, latura bazei și volumul.

Rezolvare. Din $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$: $$h=\frac{A_l}{P_{baz\breve{a}}}=\frac{160}{16}=10\text{ cm}.$$

Baza fiind pătrat, $P_{baz\breve{a}}=4l$, deci $l=\frac{16}{4}=4$ cm, iar $A_{baz\breve{a}}=l^2=16$ cm².

Volumul: $$V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=16\cdot 10=160{\text{ cm}}^3.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind de fiecare dată formula, apoi înlocuirea, apoi calculul. Verifică-te la final cu cheia.

1. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei $l=8$ cm și înălțimea $h=5$ cm. Calculează perimetrul bazei și aria laterală.

2. Pentru prisma de la exercițiul 1, calculează aria bazei, aria totală și volumul.

3. O prismă patrulateră regulată are latura bazei $l=7$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Află $A_l$, $A_t$ și $V$.

4. O prismă hexagonală regulată are latura bazei $l=2$ cm și înălțimea $h=6$ cm. Calculează aria laterală, aria bazei și volumul.

5. Adevărat sau fals, cu motivare: „Volumul unei prisme drepte se calculează cu formula $V=A_l\cdot h$."

6. Adevărat sau fals, cu motivare: „Aria totală a unei prisme este $A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}$."

7. O prismă triunghiulară regulată are aria bazei $A_{baz\breve{a}}=25\sqrt{3}$ cm². Află latura bazei $l$.

8. O prismă patrulateră regulată are volumul $V=200$ cm³ și aria bazei $A_{baz\breve{a}}=25$ cm². Află înălțimea.

9. Calculează aria bazei unei prisme hexagonale regulate cu latura $l=6$ cm. Lasă rezultatul în formă exactă.

10. O prismă triunghiulară regulată are perimetrul bazei $P_{baz\breve{a}}=30$ cm și înălțimea $h=8$ cm. Află latura bazei și aria laterală.

11. Item tip Evaluare Națională. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $6\sqrt{3}$ cm. Arată că volumul prismei este $162$ cm³.

12. O cutie are forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei $20$ cm și înălțimea $35$ cm. De câți ${\text{cm}}^2$ de carton este nevoie pentru a acoperi complet cutia (toată suprafața)?

13. Două prisme au aceeași arie a bazei. Prima are înălțimea $3$ cm, a doua $5$ cm. Care este raportul volumelor lor, $V_1:V_2$? Justifică.

14. O prismă hexagonală regulată are latura bazei $l=4$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Calculează aria totală în formă exactă.

15. Raționament. O prismă patrulateră regulată are aria laterală $A_l=96$ cm² și înălțimea $h=6$ cm. Află latura bazei și apoi volumul.

16. Un acvariu are forma unei prisme drepte cu baza un triunghi echilateral de latură $30$ cm și înălțimea $40$ cm. Câți litri de apă încap în el, dacă îl umpli complet? ($1$ litru $=1000$ cm³; folosește $\sqrt{3}\approx 1,73$.)

17. Item tip Evaluare Națională. O prismă hexagonală regulată are volumul $V=96\sqrt{3}$ cm³ și latura bazei $l=2$ cm. Află înălțimea prismei.

18. Justificare. Explică, în două-trei propoziții, de ce aria totală conține factorul $2$ în fața ariei bazei, dar aria laterală nu.

Răspunsuri și explicații

1. $P_{baz\breve{a}}=3\cdot 8=24$ cm; $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=24\cdot 5=120$ cm².

2. $A_{baz\breve{a}}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$ cm²; $A_t=120+2\cdot 16\sqrt{3}=120+32\sqrt{3}$ cm²; $V=16\sqrt{3}\cdot 5=80\sqrt{3}$ cm³.

3. $P_{baz\breve{a}}=4\cdot 7=28$ cm; $A_l=28\cdot 10=280$ cm²; $A_{baz\breve{a}}=7^2=49$ cm²; $A_t=280+2\cdot 49=280+98=378$ cm²; $V=49\cdot 10=490$ cm³.

4. $P_{baz\breve{a}}=6\cdot 2=12$ cm; $A_l=12\cdot 6=72$ cm²; $A_{baz\breve{a}}=\frac{3\cdot 2^2\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm²; $V=6\sqrt{3}\cdot 6=36\sqrt{3}$ cm³.

5. Fals. Formula corectă a volumului este $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$, nu $A_l\cdot h$. Volumul depinde de aria bazei, nu de aria laterală.

6. Adevărat. Aria totală adună aria laterală cu ariile celor două baze congruente, deci $A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}$.

7. Din $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}$ rezultă $l^2=100$, deci $l=10$ cm.

8. $h=\frac{V}{A_{baz\breve{a}}}=\frac{200}{25}=8$ cm.

9. $A_{baz\breve{a}}=\frac{3\cdot 6^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 36\sqrt{3}}{2}=\frac{108\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}$ cm².

10. $l=\frac{P_{baz\breve{a}}}{3}=\frac{30}{3}=10$ cm; $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=30\cdot 8=240$ cm².

11. $A_{baz\breve{a}}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm²; $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=54\cdot (\sqrt{3}{)}^2=54\cdot 3=162$ cm³. Deci volumul este $162$ cm³, cum trebuia arătat.

12. Trebuie aria totală. $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=(4\cdot 20)\cdot 35=80\cdot 35=2800$ cm²; $A_{baz\breve{a}}=20^2=400$ cm²; $A_t=2800+2\cdot 400=2800+800=3600$ cm². Sunt necesari $3600$ cm² de carton.

13. $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$; cu aceeași arie a bazei, volumele sunt proporționale cu înălțimile. Deci $V_1:V_2=h_1:h_2=3:5$.

14. $A_l=6\cdot 4\cdot 10=240$ cm²; $A_{baz\breve{a}}=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$ cm²; $A_t=240+2\cdot 24\sqrt{3}=240+48\sqrt{3}$ cm².

15. $P_{baz\breve{a}}=\frac{A_l}{h}=\frac{96}{6}=16$ cm; baza fiind pătrat, $l=\frac{16}{4}=4$ cm; $A_{baz\breve{a}}=16$ cm²; $V=16\cdot 6=96$ cm³.

16. $A_{baz\breve{a}}=\frac{30^2\sqrt{3}}{4}=\frac{900\sqrt{3}}{4}=225\sqrt{3}$ cm²; $V=225\sqrt{3}\cdot 40=9000\sqrt{3}$ cm³ $\approx 9000\cdot 1,73=15570$ cm³ $=15,57$ litri. Încap aproximativ $15,6$ litri de apă.

17. $A_{baz\breve{a}}=\frac{3\cdot 2^2\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm²; $h=\frac{V}{A_{baz\breve{a}}}=\frac{96\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=16$ cm.

18. Aria laterală numără doar fețele laterale (pereții), care apar o singură dată fiecare — perimetrul bazei le adună deja pe toate. Aria totală adaugă și cele două baze (podeaua și capacul), care sunt congruente; de aceea apare $2\cdot A_{baz\breve{a}}$. Bazele nu fac parte din suprafața laterală, ele se socotesc separat.

De reținut

• Aria laterală: $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$ — perimetrul bazei ori înălțimea (fețele laterale desfășurate formează un dreptunghi).
• Aria totală: $A_t=A_l+2\cdot A_{baz\breve{a}}$ — mereu de două ori aria bazei.
• Volumul: $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$ — aria bazei ori înălțimea.
• Ariile bazei: triunghi echilateral $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$; pătrat $A=l^2$; hexagon regulat $A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$ (adică 6 triunghiuri echilaterale).
• Traseul de rezolvare: $l,h\to P_{baz\breve{a}}\to A_{baz\breve{a}}\to A_l\to A_t\to V$.

Greșeli frecvente

• Confuzia $V=A_l\cdot h$ în loc de $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$. Volumul se calculează cu aria bazei, niciodată cu aria laterală. Reține: baza „stivuită" pe înălțime umple corpul.
• Uitarea factorului 2 la aria totală. Prisma are două baze. Scrii mereu $A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}$, nu $A_l+A_{baz\breve{a}}$.
• Formula greșită pentru aria bazei. Nu confunda perimetrul cu aria și nu aplica formula pătratului la un triunghi echilateral. Verifică întâi forma bazei, apoi alege formula. Dacă uiți hexagonul, reconstruiește-l din 6 triunghiuri echilaterale.
• Unități de măsură amestecate. Dacă înălțimea e în metri și latura în centimetri, transformă totul în aceeași unitate înainte de a înmulți. Aria se dă în ${\text{cm}}^2$ (sau ${\text{m}}^2$), volumul în ${\text{cm}}^3$ (sau ${\text{m}}^3$).

Aplică acasă

1. Măsoară o cutie prismatică din casă (o cutie de ceai, de biscuiți sau o conservă cu secțiune pătrată). Cu rigla, măsoară latura bazei și înălțimea, apoi calculează aria totală (cât carton s-a folosit) și volumul (cât produs încape). Compară volumul obținut cu cantitatea scrisă pe ambalaj.

2. Proiectează un stâlp de gard hexagonal. Alege o latură a hexagonului de $8$ cm și o înălțime de $1,5$ m. Calculează câți ${\text{cm}}^3$ de beton îți trebuie pentru un stâlp și pentru $10$ stâlpi. Transformă apoi rezultatul în litri.

3. Un mini-acvariu triunghiular. Imaginează un acvariu cu baza triunghi echilateral de latură $25$ cm și înălțime $35$ cm. Calculează câți litri de apă încap și verifică dacă e suficient pentru pești mici (de obicei se recomandă cel puțin $2$ litri per peștișor).

Pentru părinți și profesori

Această lecție îmbină geometria plană (arii de poligoane, învățate în clasele VI–VII) cu geometria în spațiu, iar dificultatea cea mai mare pentru elevi nu este formula în sine, ci alegerea formulei potrivite și ordinea calculelor. Sprijiniți elevul cerându-i să spună cu voce tare traseul: „Ce formă are baza? Care e perimetrul? Care e aria bazei?" înainte de a scrie orice.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „Cu ce formulă calculezi volumul și de ce nu folosim aria laterală acolo?"
• „De ce apare cifra 2 la aria totală?"
• „Cum ai reconstrui formula ariei hexagonului dacă o uiți?"

Semne că a înțeles cu adevărat: scrie formula literală înainte de a înlocui numerele, verifică unitățile de măsură (${\text{cm}}^2$ pentru arie, ${\text{cm}}^3$ pentru volum) și rezolvă corect și problemele „inverse" (dat volumul, cere înălțimea).

La Evaluarea Națională, arii și volume ale corpurilor apar aproape în fiecare an, de regulă în Subiectul al III-lea, ca problemă de sinteză cu mai multe cerințe (a, b, c) — se pornește frecvent de la o prismă sau un paralelipiped și se cer aria totală și volumul, uneori combinate cu teorema lui Pitagora sau cu secțiuni. Redactarea îngrijită (formulă → înlocuire → calcul) aduce punctaj chiar și pentru pași parțiali, de aceea merită insistat pe ea. Lecția se leagă direct de următoarea, despre aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic și ale cubului.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria laterală a unei prisme drepte? Aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea: $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h$. Ideea vine din desfășurare: toate fețele laterale, fiind dreptunghiuri, formează împreună un singur dreptunghi mare cu lățimea $h$ și lungimea egală cu perimetrul bazei.

Care este formula volumului unei prisme la clasa a 8-a? Volumul oricărei prisme drepte este $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$, adică aria bazei ori înălțimea. Trebuie mai întâi să calculezi aria bazei (triunghi, pătrat sau hexagon), apoi să o înmulțești cu înălțimea. Rezultatul se exprimă în ${\text{cm}}^3$ sau ${\text{m}}^3$.

Ce diferență este între aria laterală și aria totală? Aria laterală numără doar fețele laterale (pereții), fără baze. Aria totală adaugă și cele două baze: $A_t=A_l+2A_{baz\breve{a}}$. Când vopsești un corp complet pe dinafară, folosești aria totală; dacă îl vopsești doar pe lateral, folosești aria laterală.

Cum aflu aria bazei la un hexagon regulat? Un hexagon regulat de latură $l$ are aria $A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$. O poți reconstrui ușor: hexagonul se împarte în 6 triunghiuri echilaterale de latură $l$, fiecare cu aria $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, iar $6\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$.

De ce apare $\sqrt{3}$ în formulele prismei triunghiulare și hexagonale? Pentru că baza conține triunghiuri echilaterale, iar înălțimea unui triunghi echilateral se calculează cu teorema lui Pitagora și dă un rezultat cu $\sqrt{3}$. De aceea aria triunghiului echilateral și, implicit, a hexagonului conțin factorul $\sqrt{3}$. La baza pătrat nu apar radicali.

Cum aflu înălțimea prismei dacă știu volumul? Din $V=A_{baz\breve{a}}\cdot h$ scoți înălțimea împărțind: $h=\frac{V}{A_{baz\breve{a}}}$. Calculezi mai întâi aria bazei din latura dată, apoi împarți volumul la ea. Adesea radicalii se simplifică și înălțimea iese un număr întreg.

Ce prisme intră la Evaluarea Națională? Cel mai des apar prisma triunghiulară regulată, prisma patrulateră regulată (bază pătrat), prisma hexagonală regulată, precum și paralelipipedul dreptunghic și cubul. Ți se cer de obicei aria totală și volumul, uneori combinate cu teorema lui Pitagora sau cu diagonale și secțiuni.

În ce unități de măsură dau răspunsul? Lungimile (latura, înălțimea) se dau în cm sau m; ariile ($A_l$, $A_t$, $A_{baz\breve{a}}$) în ${\text{cm}}^2$ sau ${\text{m}}^2$; volumul în ${\text{cm}}^3$ sau ${\text{m}}^3$. Ai grijă ca toate datele să fie în aceeași unitate înainte de calcul, altfel rezultatul iese greșit.