Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Distanțe și unghiuri în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului

Distanțe și unghiuri în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului

Gândește-te la o cameră: care este cea mai lungă tijă dreaptă care încape în ea, de la un colț de jos până la colțul opus de sus? Sau la un ambalaj: sub ce unghi „urcă" diagonala cutiei față de masă? Aceste întrebări, aparent banale, ascund exact matematica din această lecție. După ce ai învățat despre proiecții, despre teorema celor trei perpendiculare și despre secțiunile diagonale, acum le punem la treabă: vom măsura distanțe și unghiuri chiar în interiorul corpurilor. Secretul, valabil la aproape orice problemă de la Evaluarea Națională, este unul singur: găsești triunghiul dreptunghic potrivit și aplici Pitagora sau rapoartele trigonometrice ( $sin$ , $cos$ , $tg$ ). Hai să vedem cum.

Ce vei învăța

Vei ști să determini distanțe între vârfuri, muchii și fețe în interiorul unui cub sau paralelipiped, folosind proiecții și teorema lui Pitagora.
Vei ști să calculezi unghiul dintre diagonala unui corp și planul bazei, precum și unghiul dintre diagonală și o muchie, cu ajutorul funcțiilor trigonometrice.
Vei ști să afli distanța dintre două muchii opuse și distanța dintre plane paralele (baze).
Vei ști să alegi triunghiul dreptunghic potrivit pentru a modela orice distanță sau unghi cerut.
Vei ști să redactezi îngrijit raționamentul, indicând clar triunghiul, catetele și ipotenuza — exact cum se cere pentru punctaj la examen.

Hai să descoperim împreună

Notațiile de lucru și o strategie unică

Pe tot parcursul lecției folosim un cub sau un paralelipiped dreptunghic notat $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ : literele fără prim ( $A, B, C, D$ ) sunt vârfurile bazei de jos, iar cele cu prim ( $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ ) sunt vârfurile de sus, așezate exact deasupra celor de jos. Astfel muchiile laterale $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ sunt verticale și perpendiculare pe planul bazei.

Înainte de orice calcul, reține strategia care rezolvă practic toată lecția. Ea are trei pași:

Desenează și identifică ce ți se cere: o distanță (un segment) sau un unghi.
Construiește proiecția pe planul bazei: cobori punctele de sus „drept în jos", pe verticală. Așa apare aproape mereu un triunghi dreptunghic cu un unghi drept în baza corpului.
Aplică: teorema lui Pitagora dacă vrei o lungime, sau un raport trigonometric ( $sin$ , $cos$ , $tg$ ) dacă vrei un unghi.

Toată dificultatea reală e la pasul 2: să vezi triunghiul dreptunghic. Restul e calcul. De aceea, în fiecare exemplu, vom numi explicit triunghiul și vom spune în ce vârf este unghiul drept.

Reamintim diagonalele cubului și ale paralelipipedului

În lecția despre paralelipipedul dreptunghic și cub am dedus deja formulele de care avem nevoie. Le folosim ca unelte:

Diagonala unei fețe (diagonala bazei) a paralelipipedului cu dimensiunile $L$ , $l$ : din triunghiul dreptunghic din bază, $d = L^{2} + l^{2} .$
Diagonala corpului (segmentul care unește două vârfuri opuse, trecând prin interior): $D = L^{2} + l^{2} + h^{2} .$
La cub cu muchia $a$ (deci $L = l = h = a$ ): diagonala feței este $a 2$ , iar diagonala corpului este $D = a 3 .$

Distanțe în interiorul corpului

Prin distanță înțelegem întotdeauna cea mai scurtă lungime dintre două elemente. Iată cele mai importante situații.

a) Distanța de la un vârf la o față. Într-un paralelipiped dreptunghic, distanța de la un vârf la o față care nu-l conține (o față paralelă cu cea în care se află vârful) este chiar dimensiunea corespunzătoare a corpului. De exemplu, distanța de la $A^{'}$ la baza $A B C D$ este lungimea muchiei $A A^{'} = h$ . De ce? Pentru că muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, iar distanța de la un punct la un plan se măsoară pe perpendiculară. La fel, distanța dintre fața din față și cea din spate este $l$ (lățimea), iar dintre fața stângă și cea dreaptă este $L$ . Simplu, dar trebuie justificat cu perpendicularitatea — vezi și lecția despre distanțe în spațiu.

b) Distanța dintre baze (plane paralele). Bazele unui corp (cele două fețe de jos și de sus) sunt plane paralele. Distanța dintre ele este înălțimea corpului $h$ , măsurată pe muchia laterală perpendiculară pe baze. La un cub, această distanță este $a$ .

c) Distanța de la un vârf la o muchie. Aici intervine o proiecție. Să aflăm, într-un paralelipiped, distanța de la vârful $A$ la muchia verticală $C C^{'}$ .

Muchia $C C^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din bază care trece prin $C$ — în particular pe $A C$ . Prin urmare perpendiculara din $A$ pe dreapta $C C^{'}$ este chiar segmentul $A C$ (piciorul perpendicularei este $C$ ). Distanța cerută este așadar diagonala bazei: $dist (A, C C^{'}) = A C = L^{2} + l^{2} .$

d) Distanța de la un vârf la o diagonală a bazei — cu teorema celor trei perpendiculare. Aceasta este situația „vedetă" a lecției. Să calculăm, într-un cub cu muchia $a$ , distanța de la vârful $A^{'}$ la diagonala $B D$ a bazei.

Fie $O$ centrul bazei (intersecția diagonalelor). Într-un pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci $A O ⊥ B D$ . Cum $A O = \frac{A C}{2} = \frac{a 2}{2}$ , avem piciorul perpendicularei din $A$ pe $B D$ în $O$ .

Acum aplicăm teorema celor trei perpendiculare: $A A^{'}$ este perpendiculară pe bază, iar $A O ⊥ B D$ (în bază), deci oblica $A^{'} O$ este și ea perpendiculară pe $B D$ . Prin urmare, distanța de la $A^{'}$ la $B D$ este lungimea segmentului $A^{'} O$ .

În triunghiul dreptunghic $A^{'} A O$ (dreptunghic în $A$ , fiindcă $A A^{'} ⊥$ bază): $A^{'} O = A A^{'2} + A O^{2} = a^{2} + (\frac{a 2}{2})^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{2} = \frac{3 a ^{2}}{2} = \frac{a 6}{2} .$

Reține tiparul: proiectezi, găsești perpendiculara în bază, ridici cu T3P, apoi Pitagora în triunghiul „vertical".

e) Distanța dintre două muchii opuse. Termenul „muchii opuse" poate fi ambiguu, așa că fixăm sensul: ne referim la două muchii paralele așezate diagonal opus în cub — de exemplu $A B$ (o muchie de jos, în față) și $D^{'} C^{'}$ (muchia de sus, din spate). Ele sunt paralele (ambele au aceeași direcție), dar nu se află pe aceeași față.

Distanța dintre două drepte paralele este lungimea perpendicularei comune. Aici, perpendiculara comună unește mijloacele celor două muchii și „taie" cubul pe diagonala unei fețe laterale. Rezultă: $dist (A B, D^{'} C^{'}) = a 2 .$

(Atenție: dacă cineva înțelege prin „muchii opuse" o pereche de muchii necoplanare care se sprijină pe aceeași față — de exemplu $A B$ și $D D^{'}$ —, distanța ar fi $a$ . De aceea la examen precizezi întotdeauna despre ce muchii vorbești și le identifici pe figură.)

Unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei

Acesta este cel mai frecvent tip de item cu unghi. Reamintim din lecția unghiul dintre o dreaptă și un plan: unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.

Luăm diagonala corpului $A C^{'}$ într-un paralelipiped $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Proiecția vârfului $C^{'}$ pe bază este $C$ (coborâm pe verticala $C^{'} C$ ), iar $A$ este deja în bază, proiecția lui fiind el însuși. Deci proiecția diagonalei $A C^{'}$ pe bază este diagonala bazei $A C$ . Unghiul dintre diagonala corpului și bază este unghiul $C^{'} A C$ .

Privește triunghiul $A C C^{'}$ : este dreptunghic în $C$ , pentru că $C C^{'} ⊥$ bază, deci $C C^{'} ⊥ C A$ . În acest triunghi:

cateta alăturată unghiului $A$ este $C A = L^{2} + l^{2}$ (diagonala bazei);
cateta opusă unghiului $A$ este $C C^{'} = h$ (înălțimea);
ipotenuza este $A C^{'} = D$ (diagonala corpului).

Notând $α = C^{'} A C$ , obținem rapoartele: $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{h}{L ^{2} + l ^{2}}, sin α = \frac{C C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{h}{D}, cos α = \frac{C A}{A C ^{'}} = \frac{L ^{2} + l ^{2}}{D} .$

De cele mai multe ori se cere tangenta, fiindcă folosește direct înălțimea și diagonala bazei, fără să mai calculezi diagonala corpului.

La cub cu muchia $a$ : cateta $C A = a 2$ , cateta $C C^{'} = a$ , deci $tg α = \frac{a}{a 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .$ Acesta nu este un unghi „special" (nu e $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ sau $6 0^{\circ}$ ); răspunsul corect este chiar valoarea $tg α = \frac{2}{2}$ . (Informativ, cu tabele, $α \approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}$ — dar la gimnaziu lăsăm răspunsul sub forma raportului trigonometric.)

Unghiul dintre diagonala corpului și o muchie laterală

Muchia laterală, de exemplu $C C^{'}$ , este ea însăși una dintre laturile triunghiului $A C C^{'}$ — cateta opusă unghiului $A$ . Unghiul dintre diagonala $A C^{'}$ și muchia $C C^{'}$ este unghiul $A C^{'} C$ , adică unghiul din vârful $C^{'}$ al aceluiași triunghi dreptunghic.

Cele două unghiuri ascuțite ale triunghiului dreptunghic $A C C^{'}$ sunt complementare: $C^{'} A C + A C^{'} C = 9 0^{\circ}$ . De aici o observație extrem de utilă la examen:

Unghiul dintre diagonala corpului și o muchie laterală este complementul unghiului dintre aceeași diagonală și planul bazei. Motivul: muchia laterală este perpendiculară pe bază.

Pentru unghiul $β = A C^{'} C$ dintre diagonală și muchia laterală, avem: $cos β = \frac{C C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{h}{D}, sin β = \frac{C A}{A C ^{'}} = \frac{L ^{2} + l ^{2}}{D} .$

Unghiul dintre diagonala corpului și o muchie a bazei

Uneori se cere unghiul dintre diagonala corpului și o muchie a bazei care pornește din același vârf, de exemplu unghiul dintre $A C^{'}$ și $A B$ . Aici triunghiul potrivit este $A B C^{'}$ , dreptunghic în $B$ (deoarece $B C^{'}$ este diagonala feței laterale $B C C^{'} B^{'}$ , iar $A B ⊥ B C$ și $A B ⊥ B B^{'}$ implică $A B ⊥$ pe planul $B C C^{'} B^{'}$ , deci $A B ⊥ B C^{'}$ ). Din acest triunghi: $cos (C^{'} A B) = \frac{A B}{A C ^{'}} = \frac{L}{D} .$

La cub cu muchia $a$ : $cos (C^{'} A B) = \frac{a}{a 3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ . Interesant: diagonala cubului face același unghi cu fiecare dintre cele trei muchii care pornesc din același vârf, pentru că toate au aceeași lungime $a$ , iar diagonala are lungimea $a 3$ .

Și la prisme?

La o prismă dreaptă cu baza oarecare (de exemplu triunghi echilateral), ideea rămâne identică. O „diagonală" a unei fețe laterale — să zicem $A^{'} B$ pe fața dreptunghiulară $A B B^{'} A^{'}$ — face cu baza un unghi al cărui vârf se află pe muchia bazei. Proiecția lui $A^{'}$ pe bază este $A$ , deci unghiul dintre $A^{'} B$ și bază este $A^{'} B A$ , iar triunghiul $A^{'} A B$ este dreptunghic în $A$ (muchia laterală $⊥$ bază). Atunci $tg (A^{'} B A) = \frac{A A ^{'}}{A B}$ . Vezi cum aceeași metodă se aplică peste tot: proiectez, găsesc triunghiul dreptunghic, aplic Pitagora sau un raport trigonometric.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — unghiul diagonalei cubului cu baza

Enunț. Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a = 6$ cm. Calculează: a) diagonala unei fețe; b) diagonala corpului; c) tangenta unghiului format de diagonala $A C^{'}$ cu planul bazei.

Rezolvare. a) Diagonala unei fețe (pătrat cu latura $6$ ): $d = 62$ cm.

b) Diagonala corpului: $D = a 3 = 63$ cm.

c) Proiecția diagonalei $A C^{'}$ pe bază este $A C = 62$ . În triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ , dreptunghic în $C$ ( $C C^{'} ⊥$ bază), unghiul cu baza este $α = C^{'} A C$ : $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{6}{6 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .$ Răspuns: $d = 62$ cm, $D = 63$ cm, $tg α = \frac{2}{2}$ .

Exemplul 2 — paralelipiped cu numere „prietenoase"

Enunț. Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are dimensiunile $L = 6$ cm, $l = 8$ cm, $h = 24$ cm. Află: a) diagonala bazei; b) diagonala corpului; c) tangenta unghiului diagonalei $A C^{'}$ cu baza; d) cosinusul unghiului diagonalei $A C^{'}$ cu muchia laterală $C C^{'}$ .

Rezolvare. a) Diagonala bazei: $A C = L^{2} + l^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ cm.

b) Diagonala corpului: $A C^{'} = L^{2} + l^{2} + h^{2} = 100 + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26$ cm.

c) În triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ), pentru unghiul $α$ cu baza: $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} .$

d) Unghiul $β$ dintre diagonală și muchia $C C^{'}$ este $A C^{'} C$ , în același triunghi: $cos β = \frac{C C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} .$ Răspuns: $A C = 10$ cm, $A C^{'} = 26$ cm, $tg α = \frac{12}{5}$ , $cos β = \frac{12}{13}$ .

Exemplul 3 — un unghi special de $4 5^{\circ}$

Enunț. Paralelipipedul dreptunghic are baza un dreptunghi cu dimensiunile $3$ cm și $4$ cm, iar înălțimea $5$ cm. Arată că diagonala corpului face cu planul bazei un unghi de $4 5^{\circ}$ .

Rezolvare. Diagonala bazei: $d = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ cm. În triunghiul dreptunghic $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ), pentru unghiul $α$ cu baza: $tg α = \frac{h}{d} = \frac{5}{5} = 1.$ Cum $tg 4 5^{\circ} = 1$ , rezultă $α = 4 5^{\circ}$ . Aici numerele au fost alese special (înălțimea egală cu diagonala bazei), de aceea a apărut un unghi „frumos". Răspuns: $α = 4 5^{\circ}$ .

Exemplul 4 — distanța de la un vârf la diagonala bazei (T3P)

Enunț. Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a = 4$ cm. Calculează distanța de la vârful $A^{'}$ la diagonala $B D$ a bazei.

Rezolvare. Fie $O$ centrul bazei. În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare, deci $A O ⊥ B D$ , cu $A O = \frac{A C}{2} = \frac{a 2}{2} = \frac{4 2}{2} = 22 cm .$ Cum $A A^{'} ⊥$ bază și $A O ⊥ B D$ , prin teorema celor trei perpendiculare rezultă $A^{'} O ⊥ B D$ . Deci distanța cerută este $A^{'} O$ . În triunghiul dreptunghic $A^{'} A O$ , dreptunghic în $A$ : $A^{'} O = A A^{'2} + A O^{2} = 4^{2} + (22)^{2} = 16 + 8 = 24 = 26 cm .$ Răspuns: distanța de la $A^{'}$ la $B D$ este $26$ cm.

Exemplul 5 — problemă inversă: aflarea unei dimensiuni

Enunț. Un paralelipiped dreptunghic are baza $8$ cm $\times$ $6$ cm, iar diagonala corpului de $26$ cm. Află înălțimea corpului.

Rezolvare. Diagonala bazei: $d = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm. Din formula diagonalei corpului $D = d^{2} + h^{2}$ : $2 6^{2} = 1 0^{2} + h^{2} \Rightarrow 676 = 100 + h^{2} \Rightarrow h^{2} = 576 \Rightarrow h = 24 cm .$ Răspuns: înălțimea este $24$ cm.

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională (cameră reală)

Enunț. O cameră are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $12$ m, lățimea $9$ m și înălțimea $8$ m. a) Care este lungimea celei mai lungi tije drepte care încape în cameră? b) Ce valoare are tangenta unghiului pe care această tijă îl face cu podeaua?

Rezolvare. Cea mai lungă tijă dreaptă este diagonala corpului, de la un colț de jos la colțul opus de sus. a) Diagonala podelei: $d = 1 2^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225 = 15$ m. Diagonala corpului: $D = d^{2} + h^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17 m .$ b) În triunghiul dreptunghic format de tijă, diagonala podelei și o muchie verticală (dreptunghic pe podea), unghiul $α$ cu podeaua are: $tg α = \frac{h}{d} = \frac{8}{15} .$ Răspuns: tija are $17$ m; $tg α = \frac{8}{15}$ .

Să exersăm

Recomandare: la fiecare problemă de geometrie, fă întâi un desen și marchează triunghiul dreptunghic pe care îl folosești.

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a = 6$ cm. Calculează: a) diagonala unei fețe; b) diagonala corpului; c) tangenta unghiului diagonalei $A C^{'}$ cu planul bazei.
Paralelipipedul dreptunghic are dimensiunile $L = 6$ cm, $l = 8$ cm, $h = 24$ cm. Află: a) diagonala bazei; b) diagonala corpului; c) tangenta unghiului diagonalei cu baza; d) cosinusul unghiului diagonalei cu muchia laterală.
Un paralelipiped dreptunghic are baza $3$ cm $\times$ $4$ cm și înălțimea $5$ cm. Arată că diagonala corpului face cu planul bazei un unghi de $4 5^{\circ}$ .
Cubul are muchia $a = 10$ cm. Calculează distanța dintre două muchii opuse paralele (de exemplu $A B$ și $D^{'} C^{'}$ ).
O prismă dreaptă are înălțimea de $15$ cm. Care este distanța dintre planele celor două baze? Justifică pe scurt.
Cubul are muchia $a = 4$ cm. Calculează distanța de la vârful $A^{'}$ la diagonala $B D$ a bazei. (Indicație: teorema celor trei perpendiculare.)
Un paralelipiped dreptunghic are baza $6$ cm $\times$ $8$ cm. Calculează distanța de la vârful $A$ la muchia verticală $C C^{'}$ .
Adevărat sau fals, cu justificare: „Diagonala oricărui cub face cu planul bazei un unghi de $4 5^{\circ}$ ."
Adevărat sau fals, cu justificare: „Unghiul dintre diagonala unui paralelipiped și o muchie laterală este complementul unghiului dintre aceeași diagonală și planul bazei."
Un paralelipiped dreptunghic are baza $12$ cm $\times$ $9$ cm. Diagonala corpului face cu baza un unghi de $4 5^{\circ}$ . Află înălțimea corpului și diagonala corpului.
Prisma triunghiulară regulată $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are latura bazei $A B = 6$ cm și înălțimea $A A^{'} = 8$ cm. Calculează: a) lungimea diagonalei feței laterale $A^{'} B$ ; b) tangenta unghiului dintre $A^{'} B$ și planul bazei.
Item tip Evaluare Națională. Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $a = 6$ cm. a) Calculează diagonala corpului. b) Calculează cosinusul unghiului dintre diagonala $A C^{'}$ și muchia $A B$ .
Paralelipipedul dreptunghic are dimensiunile $4$ cm, $3$ cm și $12$ cm (înălțimea $12$ cm). Calculează sinusul și cosinusul unghiului dintre diagonala corpului și planul bazei.
Cubul are muchia $a = 8$ cm. Calculează distanța de la un vârf al cubului la centrul cubului (punctul de intersecție al diagonalelor corpului).
Adevărat sau fals, cu justificare: „Distanța de la vârful $A^{'}$ la baza $A B C D$ a unui paralelipiped dreptunghic este egală cu diagonala bazei."
Problemă de sinteză. Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $12$ m, lățimea $9$ m și înălțimea $8$ m. a) Care este lungimea celei mai lungi grinzi drepte care încape? b) Ce valoare are tangenta unghiului dintre această grindă și podea? c) Ce valoare are cosinusul unghiului dintre grindă și o muchie verticală a depozitului?

Răspunsuri și explicații

a) $d = 62$ cm (diagonala unui pătrat cu latura $6$ ). b) $D = a 3 = 63$ cm. c) În triunghiul $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ), $tg α = \frac{C C ^{'}}{C A} = \frac{6}{6 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .
a) $A C = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ cm. b) $A C^{'} = 100 + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26$ cm. c) $tg α = \frac{h}{A C} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ . d) $cos β = \frac{C C ^{'}}{A C ^{'}} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$ .
Diagonala bazei: $3^{2} + 4^{2} = 5$ cm. În triunghiul $A C C^{'}$ : $tg α = \frac{h}{d} = \frac{5}{5} = 1 = tg 4 5^{\circ}$ , deci $α = 4 5^{\circ}$ . Afirmația e demonstrată.
Distanța dintre muchiile paralele opuse ale cubului este diagonala unei fețe laterale: $a 2 = 102$ cm.
Distanța dintre baze $=$ înălțimea prismei $= 15$ cm. Justificare: bazele sunt plane paralele, iar distanța dintre ele se măsoară pe muchia laterală, care este perpendiculară pe ambele baze.
Fie $O$ centrul bazei; $A O = \frac{a 2}{2} = 22$ cm și $A O ⊥ B D$ . Prin T3P, $A^{'} O ⊥ B D$ . În triunghiul $A^{'} A O$ (dreptunghic în $A$ ): $A^{'} O = 4^{2} + (22)^{2} = 16 + 8 = 24 = 26$ cm.
Muchia $C C^{'} ⊥$ bază, deci $C C^{'} ⊥ A C$ ; piciorul perpendicularei din $A$ pe $C C^{'}$ este $C$ . Distanța este $A C = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ cm.
Fals. La cub $tg α = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2} \neq = 1$ , deci $α \neq = 4 5^{\circ}$ (de fapt $α \approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}$ ). Unghiul este același pentru orice cub, dar nu este $4 5^{\circ}$ .
Adevărat. Cele două unghiuri sunt unghiurile ascuțite ale aceluiași triunghi dreptunghic $A C C^{'}$ (dreptunghic în $C$ ), iar unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare. Cauza geometrică: muchia laterală este perpendiculară pe bază.
Diagonala bazei: $d = 1 2^{2} + 9^{2} = 225 = 15$ cm. Din $tg 4 5^{\circ} = \frac{h}{d} = 1$ rezultă $h = d = 15$ cm. Diagonala corpului: $D = d^{2} + h^{2} = 1 5^{2} + 1 5^{2} = 152$ cm.
a) $A^{'} B$ este diagonala feței laterale $A B B^{'} A^{'}$ , un dreptunghi $6 \times 8$ : $A^{'} B = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ cm. b) Proiecția lui $A^{'}$ pe bază este $A$ ; în triunghiul $A^{'} A B$ (dreptunghic în $A$ ), $tg (A^{'} B A) = \frac{A A ^{'}}{A B} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
a) $D = a 3 = 63$ cm. b) În triunghiul $A B C^{'}$ (dreptunghic în $B$ , deoarece $A B ⊥$ planul $B C C^{'} B^{'}$ , deci $A B ⊥ B C^{'}$ ): $cos (C^{'} A B) = \frac{A B}{A C ^{'}} = \frac{6}{6 3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .
Diagonala bazei: $d = 4^{2} + 3^{2} = 5$ cm. Diagonala corpului: $D = 5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13$ cm. Pentru unghiul $α$ cu baza: $sin α = \frac{h}{D} = \frac{12}{13}$ și $cos α = \frac{d}{D} = \frac{5}{13}$ .
Centrul cubului este mijlocul diagonalei corpului, deci distanța de la un vârf la centru este jumătate din diagonala corpului: $\frac{a 3}{2} = \frac{8 3}{2} = 43$ cm.
Fals. Distanța de la $A^{'}$ la baza $A B C D$ se măsoară pe perpendiculara pe bază, adică pe muchia $A A^{'}$ , deci este egală cu înălțimea $h$ , nu cu diagonala bazei. (Ar fi egală cu diagonala bazei doar întâmplător, dacă $h$ ar fi egal cu diagonala — nu în general.)
a) Diagonala podelei: $1 2^{2} + 9^{2} = 15$ m; grinda maximă $= D = 1 5^{2} + 8^{2} = 289 = 17$ m. b) $tg α = \frac{h}{d} = \frac{8}{15}$ . c) Unghiul $β$ cu muchia verticală: $cos β = \frac{h}{D} = \frac{8}{17}$ .

De reținut

Strategia universală: proiectează punctele de sus pe bază, identifică triunghiul dreptunghic potrivit (spune unde este unghiul drept!), apoi aplică Pitagora pentru lungimi și rapoartele trigonometrice ( $sin$ , $cos$ , $tg$ ) pentru unghiuri.
Diagonale: diagonala feței $= L^{2} + l^{2}$ ; diagonala corpului $= L^{2} + l^{2} + h^{2}$ ; la cub, $a 2$ și respectiv $a 3$ .
Unghiul diagonalei cu baza $α$ : proiecția diagonalei corpului pe bază este diagonala bazei, iar $tg α = \frac{h}{L ^{2} + l ^{2}}$ , $sin α = \frac{h}{D}$ , $cos α = \frac{L ^{2} + l ^{2}}{D}$ .
Complementaritate: unghiul diagonalei cu muchia laterală $= 9 0^{\circ} - α$ , pentru că muchia laterală este perpendiculară pe bază.
Distanțe cheie: vârf $\to$ față paralelă $=$ dimensiunea corpului; între baze $=$ înălțimea; vârf $\to$ muchie verticală $=$ diagonala bazei; vârf $\to$ diagonala bazei $=$ oblica ridicată prin teorema celor trei perpendiculare; muchii paralele opuse ale cubului $= a 2$ .

Greșeli frecvente

Confunzi proiecția. Mulți iau drept proiecție a diagonalei corpului o muchie a bazei, nu diagonala bazei. Reține: proiecția lui $C^{'}$ pe bază este $C$ , deci proiecția lui $A C^{'}$ este $A C$ (diagonala bazei). Fă desenul și coboară punctul „drept în jos".
Pui greșit unghiul drept în triunghi. Înainte de a scrie $sin / cos / tg$ , spune clar unde este unghiul de $9 0^{\circ}$ . La unghiul diagonalei cu baza, triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ (fiindcă $C C^{'} ⊥$ bază), nu în $A$ .
Cauți un unghi „rotund" acolo unde nu este. Diagonala cubului nu face $4 5^{\circ}$ cu baza, ci un unghi cu $tg α = \frac{2}{2}$ . Dacă rezultatul nu iese $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ sau $6 0^{\circ}$ , lasă răspunsul ca raport trigonometric — este perfect corect și primești punctajul.
Amesteci distanța cu diagonala. Distanța de la un vârf la baza opusă este înălțimea (perpendiculara), nu diagonala. Distanța se măsoară mereu pe perpendiculară, pe cel mai scurt drum.

Aplică acasă

Camera ta ca paralelipiped. Măsoară cu ruleta lungimea, lățimea și înălțimea camerei tale (în metri). Calculează diagonala podelei și diagonala corpului (cea mai lungă tijă care ar încăpea, de la un colț de jos la colțul opus de sus). Apoi află tangenta unghiului pe care această diagonală îl face cu podeaua. Compară: în ce colț „urcă" mai abrupt diagonala — într-o cameră mai înaltă sau într-una mai joasă?
Cutia de pantofi. Ia o cutie dreptunghiulară de acasă și măsoară-i cele trei dimensiuni. Verifică experimental că cel mai lung obiect subțire (o andrea, o vergea) care intră pe diagonală are lungimea $L^{2} + l^{2} + h^{2}$ . Măsoară obiectul și compară cu valoarea calculată.
Cubul Rubik. Dacă ai un cub (Rubik sau un zar mare), măsoară-i muchia $a$ și calculează: diagonala unei fețe ( $a 2$ ), diagonala corpului ( $a 3$ ) și distanța de la un vârf la centrul cubului ( $\frac{a 3}{2}$ ). Verifică cu rigla diagonala unei fețe — ar trebui să iasă foarte aproape de $a 2 \approx 1, 41 \cdot a$ .

Pentru părinți și profesori

Această lecție îmbină geometria în spațiu cu trigonometria din triunghiul dreptunghic (recapitulată din clasa a VII-a) și este printre cele mai „productive" pentru Evaluarea Națională: aproape orice problemă de la subiectul III cu un corp geometric cere fie o distanță, fie un unghi rezolvat exact prin metoda de aici. Elevul demonstrează că a înțeles dacă, pus în fața unei probleme noi, numește singur triunghiul dreptunghic și spune unde este unghiul drept — nu doar aplică o formulă memorată.

Întrebări utile de verificat înțelegerea: „Care este proiecția diagonalei corpului pe bază?" (răspuns: diagonala bazei); „De ce este triunghiul $A C C^{'}$ dreptunghic în $C$ ?" (fiindcă muchia laterală e perpendiculară pe bază); „Ce raport folosești dacă ai înălțimea și diagonala bazei și vrei unghiul cu baza?" (tangenta). Dacă răspunsul la un unghi nu iese un unghi „special", încurajați copilul să lase valoarea ca raport trigonometric — la gimnaziu acesta este răspunsul complet și corect. Un semn bun de stăpânire este redactarea îngrijită: figură, indicarea triunghiului, justificarea unghiului drept, apoi calculul — exact ce se punctează la examen. Pentru contexte conexe, vedeți lecțiile despre unghiul dintre o dreaptă și un plan și teorema celor trei perpendiculare.

Întrebări frecvente

Cum aflu unghiul dintre diagonala unui cub și baza lui? Proiectezi diagonala corpului pe bază — proiecția ei este diagonala bazei — și lucrezi în triunghiul dreptunghic format. La cub obții $tg α = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}$ . Acesta nu este un unghi special; răspunsul corect este chiar valoarea tangentei.

Care este proiecția diagonalei paralelipipedului pe planul bazei? Este diagonala bazei. Vârful de sus se proiectează exact pe vârful de jos aflat dedesubt, așa că diagonala corpului $A C^{'}$ se proiectează pe diagonala bazei $A C$ . De aceea unghiul cu baza este $C^{'} A C$ .

De ce este triunghiul folosit dreptunghic? Pentru că muchia laterală (de exemplu $C C^{'}$ ) este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din bază — în particular pe diagonala bazei. Astfel triunghiul $A C C^{'}$ are unghiul drept în $C$ .

Cum calculez distanța de la un vârf la o diagonală a bazei? Folosești teorema celor trei perpendiculare. Cobori perpendiculara din vârful de jos pe diagonală (piciorul ei este centrul bazei, la pătrat), apoi ridici oblica din vârful de sus; prin T3P această oblică este perpendiculară pe diagonală, iar lungimea ei o afli cu Pitagora.

Ce înseamnă „distanța dintre două muchii opuse"? Este cea mai scurtă lungime dintre cele două drepte-suport ale muchiilor. Pentru muchiile paralele așezate diagonal opus într-un cub (de exemplu $A B$ și $D^{'} C^{'}$ ), distanța este $a 2$ . Important: precizează întotdeauna despre care muchii vorbești, fiindcă termenul „opuse" poate fi interpretat în mai multe feluri.

Trebuie să știu formula discriminantului sau cercul trigonometric pentru aceste probleme? Nu. La clasa a VIII-a folosești doar trigonometria din triunghiul dreptunghic ( $sin$ , $cos$ , $tg$ ) și teorema lui Pitagora. Discriminantul, parabola și cercul trigonometric sunt materie de liceu și nu apar la Evaluarea Națională.

Cum știu ce raport trigonometric să aleg — sinus, cosinus sau tangentă? Te uiți ce laturi cunoști în triunghiul dreptunghic. Dacă ai cateta opusă și cea alăturată, folosești tangenta; dacă ai o catetă și ipotenuza, folosești sinusul (catetă opusă / ipotenuză) sau cosinusul (catetă alăturată / ipotenuză). Pentru unghiul cu baza, tangenta e cea mai comodă, fiindcă folosește direct înălțimea și diagonala bazei.

De ce distanța de la un vârf la baza opusă este înălțimea, nu diagonala? Pentru că distanța de la un punct la un plan se măsoară pe perpendiculara dusă din punct pe plan, adică pe cel mai scurt drum. Această perpendiculară este chiar muchia laterală, egală cu înălțimea corpului. Diagonala ar fi un drum oblic, deci mai lung.