Secțiuni diagonale în prismă, paralelipiped și cub

Imaginează-ți că tai un cub de brânză sau un pachet de suc în formă de cutie exact printr-un colț și prin colțul opus, dintr-o parte în alta, pe lung. Suprafața nouă care apare pe lama cuțitului nu este o față a corpului, ci o „felie" interioară — o secțiune. La Evaluarea Națională, problemele cu secțiuni diagonale sunt printre cele mai frecvente la geometria în spațiu, pentru că într-un singur desen aduni tot ce ai învățat: teorema lui Pitagora, diagonala bazei, înălțimea corpului și aria unui dreptunghi. În lecția aceasta înveți să vezi această felie, să-i afli forma și să-i calculezi aria, rapid și corect.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici și să desenezi secțiunea diagonală a unei prisme, a unui paralelipiped dreptunghic și a unui cub.
• Vei ști să recunoști că secțiunea diagonală a unui paralelipiped dreptunghic este un dreptunghi ale cărui laturi sunt diagonala bazei și înălțimea corpului.
• Vei ști să calculezi aria secțiunii diagonale folosind teorema lui Pitagora în bază.
• Vei ști că la cub secțiunea diagonală are dimensiunile $a\sqrt{2}$ și $a$, deci aria $a^2\sqrt{2}$.
• Vei ști să lucrezi cu secțiunile diagonale ale prismei hexagonale regulate (dreptunghiuri de dimensiuni $2a\times h$ și $a\sqrt{3}\times h$).

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „secțiune" a unui corp

O secțiune a unui corp geometric este figura plană care se obține tăind corpul cu un plan. Practic, iei un plan (o „lamă infinită"), îl treci prin corp, iar toate punctele comune dintre plan și corp formează secțiunea. Marginea secțiunii este dată de liniile pe care planul le taie pe fețele corpului.

Ai întâlnit deja o secțiune specială în lecția despre secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice: dacă tai o prismă cu un plan paralel cu baza, obții o figură identică (congruentă) cu baza. Astăzi facem altceva: tăiem oblic, printr-un plan care nu e nici baza, nici o față laterală.

2. Ce este o secțiune diagonală

La o prismă, muchiile laterale sunt segmentele verticale care unesc baza de jos cu baza de sus. Într-o prismă cu baza un poligon, două muchii laterale se numesc opuse (sau nealăturate) dacă nu au o față laterală comună — adică nu sunt „vecine".

Definiție. O secțiune diagonală a unei prisme este secțiunea determinată de planul care conține două muchii laterale opuse (nealăturate).

Ce înseamnă asta pe scurt: alegi o diagonală a bazei (un segment care unește două vârfuri nealăturate ale poligonului de bază), ridici această diagonală „pe verticală" pe toată înălțimea corpului și obții planul secțiunii. Muchiile laterale care trec prin capetele diagonalei bazei sunt cele două muchii opuse, iar planul le conține pe amândouă.

De ce este importantă forma acestei secțiuni? Pentru că, la un corp drept (prismă dreaptă, paralelipiped, cub), muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază și paralele între ele, egale ca lungime. Din aceste două proprietăți deducem imediat că secțiunea diagonală este un dreptunghi. Să vedem exact de ce.

3. De ce secțiunea diagonală a unui paralelipiped este un dreptunghi

Lucrăm cu un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu baza dreptunghiul $ABCD$ și înălțimea (muchia laterală) $A{A}^{\prime }=c$. Alegem diagonala bazei $AC$ și construim secțiunea diagonală $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.

Analizăm patrulaterul $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ pas cu pas:

1. Laturile $A{A}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ sunt paralele și egale. Sunt muchii laterale ale paralelipipedului, deci ambele sunt perpendiculare pe planul bazei și au aceeași lungime $c$. Două segmente perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
2. Deoarece $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$, patrulaterul $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ este un paralelogram (are două laturi opuse paralele și egale).
3. Unghiul $\angle A^{\prime }AC$ este drept. Muchia $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei, iar $AC$ este o dreaptă din planul bazei; deci $A{A}^{\prime }\perp AC$. Un paralelogram cu un unghi drept este un dreptunghi.

Prin urmare, secțiunea $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ este un dreptunghi. Laturile lui sunt:

• latura orizontală $AC$ = diagonala bazei;
• latura verticală $A{A}^{\prime }=c$ = înălțimea corpului.

Aceasta este ideea centrală a întregii lecții, ușor de reținut:

$$\boxed{\text{secțiunea diagonala˘}=\text{dreptunghi cu laturile }(\text{diagonala bazei})\times (\text{ıˆna˘lțimea})}$$

4. Aria secțiunii diagonale a paralelipipedului dreptunghic

Fie paralelipipedul cu dimensiunile bazei $a$ și $b$ (lungime și lățime) și înălțimea $c$. Ne trebuie mai întâi diagonala bazei. Baza este dreptunghiul cu laturile $a$ și $b$; aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ (drept în $B$):

$$d=AC=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Secțiunea diagonală este dreptunghiul cu laturile $d$ și $c$, deci aria ei este:

$${\mathcal{A}}_{\text{sec}}=d\cdot c=c\sqrt{a^2+b^2}.$$

Reține ordinea de lucru — la examen o aplici mereu la fel:

1. Desenezi corpul și marchezi diagonala bazei.
2. Cu teorema lui Pitagora în bază, afli diagonala bazei $d$.
3. Recunoști secțiunea ca dreptunghi $d\times c$.
4. Calculezi aria $\mathcal{A}=d\cdot c$ și, dacă e nevoie, perimetrul $P=2(d+c)$.

Un detaliu util: un paralelipiped dreptunghic are două feluri de secțiuni diagonale (după cele două diagonale ale bazei, dar la un dreptunghi cele două diagonale sunt egale, deci cele două secțiuni sunt congruente). La baza pătrată sau la cub, toate secțiunile diagonale sunt egale între ele.

5. Secțiunea diagonală a cubului

Cubul este un caz particular de paralelipiped, cu toate muchiile egale: $a=b=c$. Aplicăm formula de mai sus.

Diagonala bazei (a pătratului de latură $a$):

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.$$

Înălțimea este tot $a$. Deci secțiunea diagonală a cubului este un dreptunghi cu dimensiunile:

$$a\sqrt{2}\text{(diagonala bazei)}\text{și}a\text{(ıˆna˘lțimea)}.$$

Aria secțiunii diagonale a cubului:

$${\mathcal{A}}_{\text{sec}}=a\sqrt{2}\cdot a=a^2\sqrt{2}.$$

Atenție la o confuzie foarte des întâlnită: dreptunghiul secțiunii nu este un pătrat! Laturile lui sunt $a\sqrt{2}$ și $a$, iar $a\sqrt{2}\ne a$. Este un dreptunghi „mai lat decât înalt", cu raportul laturilor $\sqrt{2}:1\approx 1,41:1$.

Un rezultat frumos, care leagă lecția de descrierea cubului și diagonala lui: diagonala acestui dreptunghi al secțiunii coincide cu diagonala cubului (segmentul care unește două vârfuri opuse, de exemplu $A$ și $C^{\prime }$). Într-adevăr, în dreptunghiul $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ diagonala $A{C}^{\prime }$ are lungimea

$$A{C}^{\prime }=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2+a^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3},$$

exact formula diagonalei cubului. Astfel, secțiunea diagonală „conține" diagonala corpului, motiv pentru care apare atât de des în probleme de distanțe și unghiuri interioare (subiectul lecției următoare, distanțe și unghiuri în interiorul corpurilor).

6. Prisma triunghiulară — de ce nu are secțiune diagonală

Ne oprim o clipă asupra unei observații fine, pe care juriile de examen o apreciază când o justifici corect. Într-un triunghi, oricare două vârfuri sunt vecine (unite printr-o latură), deci nu există „diagonale ale bazei". Prin urmare, o prismă triunghiulară nu are secțiuni diagonale: nu poți alege două muchii laterale nealăturate, pentru că oricare două muchii laterale sunt vecine.

Secțiunile diagonale apar începând cu baza patrulater (paralelipiped, prismă patrulateră), apoi la baza hexagonală și, în general, la orice bază cu cel puțin patru laturi.

7. Secțiuni diagonale în prisma hexagonală regulată

Trecem la un corp mai bogat: prisma hexagonală regulată, cu baza un hexagon regulat de latură $a$ și cu înălțimea $h$. Aici lucrurile devin interesante, pentru că hexagonul are diagonale de două lungimi diferite, deci vom avea secțiuni diagonale de două feluri.

Fie baza hexagonul regulat $ABCDEF$ (vârfurile în ordine, în sens trigonometric). Reamintim, din geometria plană de clasa a VII-a, cele două tipuri de diagonale ale hexagonului regulat de latură $a$:

• Diagonala mare unește două vârfuri opuse (de exemplu $A$ și $D$). Ea trece prin centrul hexagonului și are lungimea

$$AD=2a.$$

• Diagonala mică unește două vârfuri care au exact un vârf între ele (de exemplu $A$ și $C$). Lungimea ei este

$$AC=a\sqrt{3}.$$

Justificarea rapidă a lungimilor (bună de știut la examen): hexagonul regulat de latură $a$ se descompune în 6 triunghiuri echilaterale cu latura $a$ pornind din centru; de aici raza cercului circumscris este $a$, iar diagonala mare $AD=2a$ (două raze pe aceeași dreaptă). Diagonala mică $AC$ este latura triunghiului $ABC$ (isoscel cu $AB=BC=a$ și unghiul $\angle ABC=120^{\circ }$) sau, mai simplu, este dublul apotemei hexagonului: $a\sqrt{3}$.

Acum ridicăm aceste diagonale pe toată înălțimea $h$ a prismei. Ca și la paralelipiped, fiecare astfel de plan taie prisma după un dreptunghi (același raționament: muchiile laterale sunt egale, paralele și perpendiculare pe bază).

Secțiunea diagonală mare (prin diagonala $AD=2a$, deci prin două muchii laterale opuse, $A{A}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$): este un dreptunghi cu laturile $2a$ și $h$.

$${\mathcal{A}}_{\text{mare}}=2a\cdot h.$$

Secțiunea diagonală mică (prin diagonala $AC=a\sqrt{3}$): este un dreptunghi cu laturile $a\sqrt{3}$ și $h$.

$${\mathcal{A}}_{\text{mica˘}}=a\sqrt{3}\cdot h=ah\sqrt{3}.$$

Observă că secțiunea diagonală mare este cea mai „lată" secțiune verticală posibilă și trece prin axa prismei (dreapta care unește centrele celor două baze). Din acest motiv, când o problemă cere „secțiunea diagonală" a unei prisme hexagonale fără alte precizări, de obicei se referă la cea prin diagonala mare, $2a\times h$. Citește cu atenție enunțul: dacă spune „prin două vârfuri opuse", este cea mare; dacă indică vârfuri cu unul între ele, este cea mică.

8. Cum folosim teorema lui Pitagora în bază — recapitulare de metodă

Firul roșu al lecției este acesta: forma secțiunii o știm dinainte (dreptunghi), iar dificultatea reală este să aflăm diagonala bazei. Iar diagonala bazei se obține aproape mereu cu teorema lui Pitagora sau cu formule cunoscute din poligonul de bază:

Iar aria secțiunii este întotdeauna:

$${\mathcal{A}}_{\text{sec}}=(\text{diagonala bazei})\times (\text{ıˆna˘lțimea corpului}).$$

Ține minte tabelul acesta: cu el rezolvi orice item de tip Evaluare Națională despre secțiuni diagonale, chiar dacă enunțul îți dă datele „invers" (de exemplu îți dă aria secțiunii și îți cere înălțimea sau latura).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Secțiunea diagonală a unui cub

Se dă un cub cu muchia $a=6$ cm. Calculează dimensiunile și aria secțiunii diagonale.

Rezolvare. Diagonala bazei (pătrat de latură $6$): $$d=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{cm}.$$ Înălțimea cubului este tot $6$ cm. Secțiunea diagonală este dreptunghiul cu dimensiunile $6\sqrt{2}$ cm și $6$ cm. Aria: $$\mathcal{A}=6\sqrt{2}\cdot 6=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2\approx 50,9{\text{cm}}^2.$$ Perimetrul secțiunii, dacă ar fi cerut: $$P=2(6\sqrt{2}+6)=12\sqrt{2}+12\text{cm}.$$

Exemplul 2 — Paralelipiped cu dimensiuni „prietenoase"

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile bazei $a=8$ cm și $b=6$ cm, iar înălțimea $c=5$ cm. Află aria secțiunii diagonale.

Rezolvare. Diagonala bazei: $$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$ (Recunoști tripletul pitagoreic $6,8,10$ — util să câștigi timp la examen.) Secțiunea este dreptunghiul $10\text{cm}\times 5\text{cm}$, deci: $$\mathcal{A}=10\cdot 5=50{\text{cm}}^2.$$

Exemplul 3 — Problemă „inversă": afli înălțimea din arie

Secțiunea diagonală a unui cub are aria de $18\sqrt{2}{\text{cm}}^2$. Cât este muchia cubului?

Rezolvare. Pentru un cub de muchie $a$, aria secțiunii diagonale este $\mathcal{A}=a^2\sqrt{2}$. Punem condiția: $$a^2\sqrt{2}=18\sqrt{2}.$$ Împărțim ambii membri la $\sqrt{2}$: $$a^2=18\Rightarrow a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{cm}.$$ Deci muchia cubului este $3\sqrt{2}$ cm. Verificare: $\mathcal{A}=(3\sqrt{2}{)}^2\sqrt{2}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^2$. Corect.

Exemplul 4 — Prismă patrulateră cu baza pătrat

O prismă dreaptă are baza un pătrat cu latura $a=4$ cm și înălțimea $h=9$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale și arată că această secțiune nu este un pătrat.

Rezolvare. Diagonala bazei (pătrat de latură $4$): $$d=4\sqrt{2}\text{cm}.$$ Secțiunea este dreptunghiul cu laturile $4\sqrt{2}$ cm și $9$ cm. Aria: $$\mathcal{A}=4\sqrt{2}\cdot 9=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2\approx 50,9{\text{cm}}^2.$$ Este dreptunghi și nu pătrat deoarece $4\sqrt{2}\approx 5,66\ne 9$; laturile sunt clar diferite.

Exemplul 5 — Prisma hexagonală regulată, ambele secțiuni

O prismă hexagonală regulată are latura bazei $a=4$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Calculează aria celor două tipuri de secțiuni diagonale.

Rezolvare. Secțiunea prin diagonala mare ($2a=8$ cm): $${\mathcal{A}}_{\text{mare}}=2a\cdot h=8\cdot 10=80{\text{cm}}^2.$$ Secțiunea prin diagonala mică ($a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ cm): $${\mathcal{A}}_{\text{mica˘}}=a\sqrt{3}\cdot h=4\sqrt{3}\cdot 10=40\sqrt{3}{\text{cm}}^2\approx 69,3{\text{cm}}^2.$$ Observăm că secțiunea mare are aria mai mare, ceea ce era de așteptat: diagonala mare $8$ cm este mai lungă decât diagonala mică $4\sqrt{3}\approx 6,93$ cm, iar înălțimea este aceeași.

Exemplul 6 — Item de tip Evaluare Națională (mai multe date)

Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea $12$ dm, lățimea $5$ dm și înălțimea $8$ dm. O placă de sticlă în formă de secțiune diagonală (prin două muchii verticale opuse) urmează să despartă acvariul în două. a) Ce formă are placa? b) Ce arie de sticlă este necesară? c) Cât este diagonala plăcii?

Rezolvare. a) Placa este un dreptunghi, deoarece secțiunea diagonală a unui paralelipiped dreptunghic este întotdeauna un dreptunghi (muchiile laterale sunt egale, paralele și perpendiculare pe bază).

b) Diagonala bazei: $$d=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{dm}.$$ (Tripletul pitagoreic $5,12,13$.) Placa are dimensiunile $13$ dm și $8$ dm, deci aria: $$\mathcal{A}=13\cdot 8=104{\text{dm}}^2.$$

c) Diagonala plăcii este diagonala dreptunghiului $13\times 8$: $$D=\sqrt{13^2+8^2}=\sqrt{169+64}=\sqrt{233}\text{dm}\approx 15,26\text{dm}.$$ (Această valoare este chiar diagonala paralelipipedului, $\sqrt{12^2+5^2+8^2}=\sqrt{233}$ dm — o verificare frumoasă.)

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu desen acolo unde ai figură. Lasă rezultatele cu radical în formă simplificată.

1. Un cub are muchia $a=5$ cm. Scrie dimensiunile secțiunii diagonale și calculează-i aria.

2. Un cub are muchia $a=10$ cm. Calculează aria și perimetrul secțiunii diagonale.

3. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile bazei $9$ cm și $12$ cm și înălțimea $7$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale.

4. Un paralelipiped dreptunghic are baza cu laturile $3$ cm și $4$ cm și înălțimea $10$ cm. Cât este aria secțiunii diagonale?

5. O prismă dreaptă are baza un pătrat cu latura $6$ cm și înălțimea $8$ cm. Află aria secțiunii diagonale.

6. Adevărat sau fals, cu justificare: „Secțiunea diagonală a unui cub este un pătrat."

7. Secțiunea diagonală a unui cub are aria $32\sqrt{2}{\text{cm}}^2$. Cât este muchia cubului?

8. Aria secțiunii diagonale a unui cub este $50\sqrt{2}{\text{cm}}^2$. Calculează aria totală a cubului.

9. O prismă hexagonală regulată are latura bazei $a=6$ cm și înălțimea $h=9$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale prin diagonala mare.

10. Pentru prisma de la exercițiul 9, calculează aria secțiunii diagonale prin diagonala mică.

11. Un paralelipiped dreptunghic are baza pătrată cu latura $a$ și înălțimea $a\sqrt{2}$. Arată că secțiunea lui diagonală este un pătrat și calculează-i aria în funcție de $a$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „O prismă triunghiulară regulată are exact o secțiune diagonală."

13. Aria secțiunii diagonale a unui paralelipiped dreptunghic este $60{\text{cm}}^2$, iar diagonala bazei este $12$ cm. Cât este înălțimea corpului?

14. Item tip Evaluare Națională. O cutie în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile bazei $8$ cm și $15$ cm și înălțimea $20$ cm. a) Calculează diagonala bazei. b) Calculează aria secțiunii diagonale. c) Calculează perimetrul secțiunii diagonale.

15. O prismă hexagonală regulată are secțiunea diagonală mare de arie $84{\text{cm}}^2$ și înălțimea $h=7$ cm. Află latura bazei $a$.

16. Problemă aplicată. Un stâlp de susținere are forma unei prisme hexagonale regulate cu latura bazei $20$ cm și înălțimea $3$ m. Se toarnă în interior o placă de rigidizare în formă de secțiune diagonală mare. Ce arie (în ${\text{m}}^2$) are placa?

17. Un cub are diagonala (a corpului) de lungime $6\sqrt{3}$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale.

18. Raționament. Într-un paralelipiped dreptunghic cu baza $a\times b$ și înălțimea $c$, compară aria secțiunii diagonale cu aria unei fețe laterale de dimensiuni $a\times c$. Când este secțiunea diagonală mai mare? Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. Dimensiuni: $5\sqrt{2}$ cm și $5$ cm. Aria $=5\sqrt{2}\cdot 5=25\sqrt{2}{\text{cm}}^2\approx 35,4{\text{cm}}^2$.

2. $d=10\sqrt{2}$ cm, înălțime $10$ cm. Aria $=10\sqrt{2}\cdot 10=100\sqrt{2}{\text{cm}}^2$. Perimetrul $=2(10\sqrt{2}+10)=20\sqrt{2}+20\text{cm}$.

3. $d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. Aria $=15\cdot 7=105{\text{cm}}^2$.

4. $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ cm. Aria $=5\cdot 10=50{\text{cm}}^2$.

5. $d=6\sqrt{2}$ cm. Aria $=6\sqrt{2}\cdot 8=48\sqrt{2}{\text{cm}}^2\approx 67,9{\text{cm}}^2$.

6. Fals. Secțiunea diagonală a cubului este un dreptunghi cu laturile $a\sqrt{2}$ și $a$. Cum $a\sqrt{2}\ne a$ (pentru $a>0$), laturile alăturate sunt diferite, deci nu poate fi pătrat.

7. $a^2\sqrt{2}=32\sqrt{2}\Rightarrow a^2=32\Rightarrow a=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm. Verificare: $(4\sqrt{2}{)}^2\sqrt{2}=32\sqrt{2}$. Corect.

8. Din $a^2\sqrt{2}=50\sqrt{2}$ obținem $a^2=50$. Aria totală a cubului este ${\mathcal{A}}_t=6a^2=6\cdot 50=300{\text{cm}}^2$. (Nu ai nevoie de $a$ însuși, ci doar de $a^2$.)

9. Diagonala mare $=2a=12$ cm. Aria $=2a\cdot h=12\cdot 9=108{\text{cm}}^2$.

10. Diagonala mică $=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ cm. Aria $=6\sqrt{3}\cdot 9=54\sqrt{3}{\text{cm}}^2\approx 93,5{\text{cm}}^2$.

11. Diagonala bazei (pătrat de latură $a$) este $a\sqrt{2}$, iar înălțimea este $a\sqrt{2}$. Secțiunea are laturile $a\sqrt{2}$ și $a\sqrt{2}$, deci este un pătrat. Aria $=(a\sqrt{2}{)}^2=2a^2$.

12. Fals. Baza este un triunghi, iar un triunghi nu are diagonale (oricare două vârfuri sunt vecine). Prin urmare nu există două muchii laterale nealăturate, deci prisma triunghiulară nu are nicio secțiune diagonală.

13. Aria $=d\cdot c$, deci $60=12\cdot c\Rightarrow c=5$ cm.

14. a) $d=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm (tripletul $8,15,17$). b) Aria $=17\cdot 20=340{\text{cm}}^2$. c) Perimetrul $=2(17+20)=74\text{cm}$.

15. Aria secțiunii mari $=2a\cdot h$, deci $84=2a\cdot 7=14a\Rightarrow a=6$ cm.

16. Transformăm: $a=20\text{cm}=0,2$ m, $h=3$ m. Diagonala mare $=2a=0,4$ m. Aria $=2a\cdot h=0,4\cdot 3=1,2{\text{m}}^2$.

17. Diagonala corpului cubului este $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\Rightarrow a=6$ cm. Aria secțiunii diagonale $=a^2\sqrt{2}=36\sqrt{2}{\text{cm}}^2\approx 50,9{\text{cm}}^2$.

18. Aria secțiunii diagonale este $\sqrt{a^2+b^2}\cdot c$, iar aria feței laterale $a\times c$ este $a\cdot c$. Comparăm factorii $\sqrt{a^2+b^2}$ și $a$: cum $b>0$, avem $\sqrt{a^2+b^2}>\sqrt{a^2}=a$. Deci secțiunea diagonală este întotdeauna mai mare decât fața laterală (aceeași înălțime $c$, dar bază mai lungă). Diagonala bazei depășește strict oricare latură a bazei.

De reținut

• Secțiunea diagonală = secțiunea prin planul care conține două muchii laterale opuse (nealăturate); ea trece prin o diagonală a bazei.
• La orice corp drept, secțiunea diagonală este un dreptunghi cu laturile: diagonala bazei și înălțimea corpului. Aria: $\mathcal{A}=(\text{diag. bazei})\times (\text{ıˆna˘lțime})$.
• Cub de muchie $a$: secțiune $a\sqrt{2}\times a$, arie $\mathcal{A}=a^2\sqrt{2}$. Nu este pătrat!
• Paralelipiped $a\times b\times c$: diagonala bazei $\sqrt{a^2+b^2}$, arie $\mathcal{A}=c\sqrt{a^2+b^2}$.
• Prisma hexagonală regulată (latură $a$, înălțime $h$): secțiunea mare $2a\times h$ (arie $2ah$); secțiunea mică $a\sqrt{3}\times h$ (arie $ah\sqrt{3}$). Prisma triunghiulară nu are secțiune diagonală.

Greșeli frecvente

• Confuzi secțiunea diagonală a cubului cu un pătrat. Laturile sunt $a\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și $a$ (înălțimea), deci sunt diferite: este dreptunghi. Desenează-l mereu „mai lat decât înalt".
• Uiți teorema lui Pitagora în bază. Diagonala bazei nu este o latură a bazei; la un dreptunghi $a\times b$ ea este $\sqrt{a^2+b^2}$, nu $a+b$ și nici $a$ sau $b$. Fă întotdeauna pasul cu Pitagora.
• Amesteci diagonala mare cu cea mică la hexagon. Diagonala mare (vârfuri opuse) $=2a$; diagonala mică (un vârf între ele) $=a\sqrt{3}$. Citește exact ce vârfuri unește secțiunea din enunț.
• Cauți secțiune diagonală la prisma triunghiulară. Nu există — triunghiul nu are diagonale. Dacă un enunț ți-o cere, răspunsul corect este justificarea că nu se poate.

Aplică acasă

1. Cutia de suc. Ia un ambalaj în formă de paralelipiped dreptunghic (cutie de suc, pastă de dinți). Măsoară cu rigla lungimea, lățimea și înălțimea. Calculează diagonala bazei cu teorema lui Pitagora, apoi aria secțiunii diagonale. Verifică realist: dacă ai tăia cutia prin acea secțiune, „placa" ar avea aria calculată de tine.

2. Zarul. Ia un zar sau un cub Rubik și măsoară muchia $a$. Calculează dimensiunile secțiunii diagonale ($a\sqrt{2}$ și $a$) și aria $a^2\sqrt{2}$. Decupează din carton un dreptunghi cu exact aceste dimensiuni și verifică prin suprapunere că el chiar „intră" pe diagonala cubului, de la o muchie la muchia opusă.

3. Stâlpul hexagonal. Caută în jurul tău un obiect cu bază hexagonală (un creion negeometric, o piuliță mare, un stâlp decorativ). Măsoară latura $a$ a hexagonului și înălțimea $h$. Calculează ariile ambelor secțiuni diagonale ($2ah$ și $ah\sqrt{3}$) și compară-le — ar trebui ca cea prin diagonala mare să fie mai mare.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează legătura dintre geometria plană (teorema lui Pitagora, diagonalele poligoanelor) și geometria în spațiu — exact tipul de raționament „în doi pași" cerut la Evaluarea Națională. La subiectul III apar frecvent probleme cu prismă, paralelipiped sau cub în care un punct de barem se acordă pentru identificarea corectă a formei secțiunii (dreptunghi) și pentru calculul diagonalei bazei.

Cum verificați înțelegerea, prin întrebări scurte:

• „Ce formă are secțiunea diagonală și de ce este dreptunghi?" (Răspuns corect: muchiile laterale sunt egale, paralele și perpendiculare pe bază.)
• „Care sunt laturile dreptunghiului secțiunii?" (Diagonala bazei și înălțimea.)
• „De ce nu este pătrat la cub?" (Pentru că $a\sqrt{2}\ne a$.)
• „De ce prisma triunghiulară nu are secțiune diagonală?" (Triunghiul nu are diagonale.)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: desenează corect secțiunea (nu o confundă cu o față sau cu o secțiune paralelă cu baza), aplică teorema lui Pitagora în bază fără să i se amintească și rezolvă corect problemele „inverse" (dat aria, află muchia). Încurajați redactarea completă: la examen contează justificările, nu doar rezultatul final.

Întrebări frecvente

Ce este o secțiune diagonală la clasa a 8-a? Este figura obținută când tai un corp cu planul care trece prin două muchii laterale opuse (nealăturate). Acest plan conține o diagonală a bazei și înălțimea corpului, iar la corpurile drepte secțiunea rezultată este un dreptunghi.

Cum se calculează aria secțiunii diagonale a cubului? Secțiunea diagonală a cubului de muchie $a$ este un dreptunghi cu laturile $a\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și $a$ (înălțimea). Aria este $\mathcal{A}=a\sqrt{2}\cdot a=a^2\sqrt{2}$.

Secțiunea diagonală a cubului este un pătrat? Nu. Laturile ei sunt $a\sqrt{2}$ și $a$, care sunt diferite, deci este un dreptunghi. Confuzia aceasta este una dintre cele mai frecvente greșeli la examen.

Cum aflu aria secțiunii diagonale a paralelipipedului dreptunghic? Afli întâi diagonala bazei cu teorema lui Pitagora: $d=\sqrt{a^2+b^2}$, unde $a$ și $b$ sunt dimensiunile bazei. Apoi înmulțești cu înălțimea $c$: $\mathcal{A}=c\sqrt{a^2+b^2}$.

Câte secțiuni diagonale are un cub? Un cub are baza pătrat, care are două diagonale egale, deci are două secțiuni diagonale, congruente între ele (dreptunghiuri $a\sqrt{2}\times a$). Fiind egale, la calcule le tratăm ca pe una singură.

Ce secțiuni diagonale are prisma hexagonală regulată? Are două tipuri, pentru că hexagonul are diagonale de două lungimi. Secțiunea prin diagonala mare are dimensiunile $2a\times h$ (arie $2ah$), iar cea prin diagonala mică are $a\sqrt{3}\times h$ (arie $ah\sqrt{3}$).

De ce prisma triunghiulară nu are secțiune diagonală? Pentru că baza este un triunghi, iar triunghiul nu are diagonale — oricare două vârfuri sunt unite de o latură. Nu putem alege două muchii laterale nealăturate, deci nu se poate forma nicio secțiune diagonală.

La ce îmi folosește secțiunea diagonală la Evaluarea Națională? Este cheia pentru multe probleme de arii, distanțe și unghiuri interioare din corpuri. Diagonala dreptunghiului secțiunii este chiar diagonala corpului, așa că secțiunea leagă direct de subiectul distanțe și unghiuri în interiorul corpurilor.