Într-un cub cu muchia $$a$$, diagonala unei fețe este $$a\sqrt{2}$$. Ce reprezintă $$a\sqrt{3}$$?

Diagonala corpului (spațială), care unește două vârfuri opuse prin interiorul cubului

Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului

Perimetrul unei fețe a cubului

Cum se calculează diagonala unui cub?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Diagonala cubului: d = a√3

Aplici teorema lui Pitagora de două ori: întâi în baza pătrată, ca să afli diagonala feței de jos, apoi în triunghiul format de ea cu muchia verticală. Pentru un cub cu muchia $a$ rezultatul se strânge în formula $d = a 3$ . La o cutie oarecare, cu trei dimensiuni diferite, folosești $d = L^{2} + l^{2} + h^{2}$ . Reține tripleta unui cub: muchia, apoi $a 2$ pentru diagonala unei fețe și $a 3$ pentru cea a corpului.

Paralelipipedul dreptunghic e o „cutie" cu 8 vârfuri, 12 muchii (grupate în trei dimensiuni: lungimea $L$ , lățimea $l$ , înălțimea $h$ ) și 6 fețe dreptunghiulare, opuse două câte două congruente. Cubul e cazul special în care $L = l = h = a$ , deci toate cele 6 fețe devin pătrate.

Cea mai lungă distanță dintre două colțuri opuse ale corpului se numește diagonala corpului (nu o confunda cu diagonala unei fețe!). Se calculează aplicând teorema lui Pitagora de două ori: $d = L^{2} + l^{2} + h^{2} .$

La cub, cum $L = l = h = a$ , formula devine simplu $d = a 3$ (iar diagonala unei fețe este doar $a 2$ ).

Exemplu. Pentru $L = 3$ , $l = 4$ , $h = 12$ : $d = 9 + 16 + 144 = 169 = 13$ .

Reține tripleta $a, a 2, a 3$ pentru cub — muchia, diagonala feței, diagonala corpului — apare des la Evaluarea Națională.

De reținut

$d = L^{2} + l^{2} + h^{2}$ la paralelipipedul dreptunghic
$d = a 3$ la cub, iar diagonala unei fețe este $a 2$
8 vârfuri, 12 muchii, 6 fețe dreptunghiulare

Greșeala tipică

Se ia diagonala unei fețe drept diagonala corpului, mai ales la cub. Prima se calculează cu două dimensiuni și dă $a 2$ , a doua cu toate trei și dă $a 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $L = 4$ cm, $l = 4$ cm și $h = 7$ cm. Calculează diagonala corpului.
- a) $9$ cm
- b) $8$ cm
- c) $11$ cm
- d) $15$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$ cm

$d = 4^{2} + 4^{2} + 7^{2} = 16 + 16 + 49 = 81 = 9$ cm.
Într-un cub cu muchia $a$ , diagonala unei fețe este $a 2$ . Ce reprezintă $a 3$ ?
- a) Diagonala corpului (spațială), care unește două vârfuri opuse prin interiorul cubului
- b) Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului
- c) Aria unei fețe a cubului
- d) Perimetrul unei fețe a cubului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Diagonala corpului (spațială), care unește două vârfuri opuse prin interiorul cubului

$a 3$ este diagonala corpului (spațială), obținută din formula $d = a^{2} + a^{2} + a^{2} = a 3$ , mai lungă decât diagonala oricărei fețe ( $a 2$ ).
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $L = 5$ cm, $l = 10$ cm și $h = 10$ cm. Calculează diagonala corpului.
- a) $15$ cm
- b) $25$ cm
- c) $20$ cm
- d) $225$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $15$ cm

$d = L^{2} + l^{2} + h^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} + 1 0^{2} = 25 + 100 + 100 = 225 = 15$ cm. (Varianta b) adună direct dimensiunile $5 + 10 + 10 = 25$ , iar varianta d) uită să extragă radicalul.)

Întrebări conexe

Câte diagonale ale corpului are un paralelipiped dreptunghic?

Patru, câte una pentru fiecare pereche de vârfuri opuse. Toate au aceeași lungime și se întâlnesc în centrul corpului, unde se taie în părți egale. Nu le confunda cu diagonalele fețelor, care sunt douăsprezece.

Cum aflu diagonala unei cutii cu laturile de 3, 4 și 12?

Aduni pătratele celor trei dimensiuni și extragi radicalul: $9 + 16 + 144 = 169$ , deci diagonala este $13$ . Rezultatul iese număr întreg destul de rar, așa că valorile din enunț sunt de obicei alese special.

Ce fel de patrulatere sunt fețele unui paralelipiped dreptunghic?

Toate șase sunt dreptunghiuri, așezate în trei perechi de fețe opuse identice. La cub ele devin pătrate, fiindcă toate dimensiunile sunt egale. De aceea cubul este un caz particular al paralelipipedului dreptunghic.

Cum arată desfășurarea unui paralelipiped dreptunghic?

Ca o cruce alcătuită din șase dreptunghiuri, câte două de fiecare mărime. Dispunerea lor poate varia, dar suma ariilor rămâne aceeași și dă aria totală. Desfășurarea ajută mai ales la problemele cu ambalaje și cu vopsit.

Cum aflu suma lungimilor tuturor muchiilor?

Aduni cele trei dimensiuni și înmulțești cu patru, fiindcă fiecare apare de patru ori. Pentru $L = 5$ , $l = 3$ și $h = 2$ obții $4 \cdot 10 = 40$ . Formula apare des la problemele cu sârmă sau cu ramă.

Poate diagonala corpului să fie mai scurtă decât o muchie?

Nu, ea este cea mai lungă distanță dintre două colțuri ale corpului. Sub radical se adună trei pătrate, deci rezultatul depășește fiecare dimensiune luată separat. Chiar și diagonala unei fețe rămâne mai scurtă decât ea.

Oamenii mai întreabă și: diagonala cubului · formula diagonalei paralelipipedului · diagonala unei cutii · a radical din 3 · diagonala corpului