Prisma dreaptă: descriere, elemente caracteristice și desfășurare

Uită-te la o cutie de bomboane în formă de „batonaș" Toblerone, la un creion hexagonal, la o grindă de beton sau la un acvariu paralelipipedic: toate au ceva în comun. Au două fețe identice, așezate paralel una peste alta, iar între ele „pereți" perfect drepți. Toate sunt prisme drepte. După ce am studiat dreptele și planele în spațiu, perpendicularitatea și proiecțiile, e momentul să folosim aceste unelte pentru a descrie primul corp geometric „serios" al clasei a VIII-a. În lecția de față învățăm ce este o prismă dreaptă, cum se numesc corect toate elementele ei (baze, fețe, muchii, vârfuri, înălțime, apotema bazei) și cum arată desfășurarea ei în plan — pasul indispensabil pentru a calcula, în lecțiile următoare, aria și volumul.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici o prismă dreaptă și să explici de ce fețele ei laterale sunt dreptunghiuri.
• Vei ști să denumești corect elementele unei prisme: baze, fețe laterale, muchii ale bazei și muchii laterale, vârfuri, înălțime, apotema bazei.
• Vei ști să recunoști prisma triunghiulară, patrulateră și hexagonală regulată după forma bazei.
• Vei ști să numeri muchiile, fețele și vârfurile oricărei prisme, folosind numărul de laturi ale bazei.
• Vei ști să construiești și să interpretezi desfășurarea în plan a unei prisme drepte.

Hai să descoperim împreună

1. De la poligon la prismă: cum se naște corpul

Pornim de la o figură plană cunoscută: un poligon (triunghi, pătrat, hexagon etc.). Imaginează-ți acest poligon desenat pe podea. Acum „ridică-l" drept în sus, fără să-l rotești și fără să-l înclini, până la o anumită înălțime, unde obții o copie perfectă a lui. Ai două poligoane identice, unul jos și unul sus, exact unul peste celălalt. Dacă unești fiecare vârf de jos cu vârful corespunzător de sus, „pereții" care se formează închid un corp geometric: aceasta este o prismă dreaptă.

Definiție. Se numește prismă dreaptă corpul geometric mărginit de:

• două poligoane congruente (identice) situate în plane paralele, numite baze;
• mai multe dreptunghiuri, numite fețe laterale, care unesc cele două baze. Muchiile care unesc bazele (numite muchii laterale) sunt perpendiculare pe planele bazelor.

Cuvântul-cheie din definiție este „dreaptă". Prisma se numește dreaptă tocmai pentru că a fost „ridicată" perfect vertical: muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Dacă am fi „împins" poligonul de sus într-o parte, muchiile s-ar fi înclinat și am fi obținut o prismă oblică (fețele laterale ar fi fost paralelograme, nu dreptunghiuri). La clasa a VIII-a lucrăm doar cu prisme drepte.

De ce sunt fețele laterale dreptunghiuri? Ia o față laterală, de exemplu $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Laturile $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt muchii laterale: sunt perpendiculare pe planul bazei de jos, deci sunt paralele între ele (două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele) și au aceeași lungime (înălțimea prismei). În plus, fiind perpendiculare pe planul bazei, sunt perpendiculare pe orice dreaptă din acel plan, deci și pe muchia $AB$. Avem astfel un patrulater cu laturi opuse paralele și egale și cu unghiuri de $90°$: un dreptunghi. Iată de ce definiția prismei drepte are „dreptunghiuri" ca fețe laterale — nu e o alegere întâmplătoare, ci o consecință a perpendicularității.

2. Elementele caracteristice ale prismei

O prismă are un „vocabular" precis, iar la Evaluarea Națională se cere să folosești termenii corect. Le luăm pe rând, urmărind figura.

Bazele. Sunt cele două poligoane congruente și paralele. Le desenăm de obicei una jos și una sus. Ele dau numele prismei: dacă baza e triunghi, prisma e triunghiulară; dacă e pătrat, e patrulateră etc.

Fețele laterale. Sunt dreptunghiurile dintre baze. Numărul lor este egal cu numărul de laturi ale bazei.

Fețele prismei (în total) = fețele laterale + cele două baze.

Muchiile. Sunt segmentele în care se întâlnesc câte două fețe. Distingem două feluri:

• muchiile bazelor (laturile poligoanelor de sus și de jos) — le mai spunem muchiile bazei;
• muchiile laterale — segmentele verticale care unesc un vârf de jos cu vârful corespunzător de sus.

Vârfurile. Sunt „colțurile" prismei, adică vârfurile celor două poligoane-baze.

Înălțimea prismei ($h$ sau $H$). Este distanța dintre planele celor două baze. La o prismă dreaptă, această distanță este chiar lungimea unei muchii laterale, pentru că muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Reține egalitatea foarte utilă:

$$\text{ıˆna˘lțimea }h=\text{lungimea muchiei laterale}.$$

Aceasta este o proprietate specifică prismei drepte și o vei folosi în aproape orice problemă.

Apotema bazei ($a_b$). Apare atunci când baza este un poligon regulat (toate laturile și toate unghiurile egale). Apotema bazei este distanța de la centrul poligonului-bază până la mijlocul unei laturi, adică apotema poligonului regulat din bază — noțiune întâlnită la geometria plană. O folosim mai târziu, la aria bazei, dar e un element caracteristic al prismei regulate, deci merită numit acum.

Atenție la denumire. „Prismă dreaptă" înseamnă că muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze (fețe laterale dreptunghiuri). „Prismă regulată" înseamnă, în plus, că baza este un poligon regulat. O prismă dreaptă cu baza un dreptunghi oarecare este dreaptă, dar nu regulată. În programa de clasa a VIII-a folosim prisme drepte care au adesea și baza regulată (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat).

3. Trei prisme pe care trebuie să le cunoști

Numele prismei vine de la baza ei. Iată cele trei tipuri esențiale.

a) Prisma triunghiulară regulată — baza este un triunghi echilateral. Are 2 baze (triunghiuri) și 3 fețe laterale dreptunghiulare. Este forma batonului Toblerone.

b) Prisma patrulateră regulată — baza este un pătrat. Are 2 baze (pătrate) și 4 fețe laterale dreptunghiulare. Un stâlp de gard cu secțiune pătrată sau o cutie înaltă de ceai sunt exemple. (Dacă, în plus, toate muchiile ar fi egale, am obține un cub — caz special studiat în lecția Paralelipipedul dreptunghic și cubul.)

c) Prisma hexagonală regulată — baza este un hexagon regulat. Are 2 baze (hexagoane) și 6 fețe laterale dreptunghiulare. Un creion clasic (fără a socoti vârful ascuțit) sau o piuliță metalică au această formă.

Observă tiparul: o prismă cu baza un poligon cu $n$ laturi are exact $n$ fețe laterale. Aceasta este cheia numărătorii din secțiunea următoare.

4. Câte muchii, fețe și vârfuri are o prismă?

Aici multe probleme de examen testează dacă ai înțeles structura. Nu memora cifre izolate: înțelege de ce.

Fie o prismă cu baza un poligon cu $n$ laturi (deci $n$ vârfuri pe fiecare bază).

Vârfurile. Fiecare bază are $n$ vârfuri, iar prisma are două baze, deci: $$V=2n.$$

Muchiile. Le numărăm pe categorii:

• muchii ale bazei de jos: $n$;
• muchii ale bazei de sus: $n$;
• muchii laterale (câte una din fiecare vârf de jos spre cel de sus): $n$. Total: $$M=n+n+n=3n.$$

Fețele. Sunt $n$ fețe laterale plus 2 baze: $$F=n+2.$$

Să verificăm pe cele trei prisme:

Există și o verificare elegantă, valabilă la orice poliedru convex — relația lui Euler: $V-M+F=2$. Pentru prismă: $$V-M+F=2n-3n+(n+2)=2.✓$$ Indiferent de $n$, rezultatul este mereu $2$. E un mod frumos de a-ți controla numărătoarea: dacă la un exercițiu îți dau $V$, $M$, $F$ și $V-M+F\ne 2$, sigur ai greșit undeva.

Truc de examen. Dacă ți se spune numărul de muchii $M$, afli imediat tipul bazei: $n=\frac{M}{3}$. Din numărul de vârfuri, $n=\frac{V}{2}$. Din numărul de fețe, $n=F-2$.

5. Desfășurarea prismei drepte în plan

Ce înseamnă desfășurare? Imaginează-ți că prisma este o cutie de carton. Dacă o „decupezi" de-a lungul unor muchii și o întinzi pe masă, obții o figură plană formată din toate fețele ei, lipite pe muchii comune. Această figură plană se numește desfășurarea (sau desfășurata) corpului. Este ca și cum ai desface ambalajul unui cadou și l-ai netezi.

O prismă dreaptă are un tipar de desfășurare foarte simplu și ordonat:

• fețele laterale — toate sunt dreptunghiuri; puse una lângă alta, ele formează un dreptunghi mare;
• cele două baze — poligoanele, atașate deasupra și dedesubtul dreptunghiului mare.

Să analizăm dreptunghiul mare format din fețele laterale. Toate fețele laterale au aceeași înălțime $h$ (înălțimea prismei). Puse cap la cap, lățimile lor se adună și dau perimetrul bazei $P_b$. Deci dreptunghiul mare are:

• o dimensiune egală cu înălțimea prismei $h$;
• cealaltă dimensiune egală cu perimetrul bazei $P_b=n\cdot \ell$ (unde $\ell$ este latura poligonului regulat).

Aceasta este observația care, în lecția Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte, va da formula ariei laterale: aria laterală = aria acelui dreptunghi mare = $P_b\cdot h$. Deocamdată reține doar imaginea: fețele laterale = un dreptunghi de dimensiuni $P_b$ și $h$.

Desfășurarea prismei triunghiulare regulate (latura bazei $\ell$, înălțime $h$): un rând de 3 dreptunghiuri de dimensiuni $\ell \times h$ (dreptunghiul mare are $3\ell \times h$), plus 2 triunghiuri echilaterale de latură $\ell$ (bazele), atașate la rând.

Desfășurarea prismei hexagonale regulate: un rând de 6 dreptunghiuri $\ell \times h$ (dreptunghiul mare $6\ell \times h$), plus 2 hexagoane regulate de latură $\ell$.

Un test simplu ca să verifici o desfășurare: numără piesele. O prismă cu baza de $n$ laturi trebuie să aibă în desfășurare exact $n$ dreptunghiuri + 2 poligoane = $n+2$ piese, adică fix numărul de fețe. Dacă îți lipsește o piesă sau ai una în plus, desfășurarea e greșită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificare și denumirea elementelor

Enunț. Un obiect are două baze pentagonale (poligon cu 5 laturi) congruente și paralele, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri perpendiculare pe baze. a) Ce corp geometric este? b) Câte fețe laterale are? c) Câte vârfuri, muchii și fețe are în total?

Rezolvare. a) Bazele sunt poligoane congruente în plane paralele, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri (muchii laterale perpendiculare pe baze). Prin urmare este o prismă dreaptă, mai exact o prismă pentagonală (baza are 5 laturi, deci $n=5$). b) Numărul fețelor laterale = numărul laturilor bazei = $n=5$. c) Aplicăm formulele: $$V=2n=2\cdot 5=10,M=3n=3\cdot 5=15,F=n+2=5+2=7.$$ Verificare Euler: $V-M+F=10-15+7=2.✓$ Deci prisma are 10 vârfuri, 15 muchii și 7 fețe.

Exemplul 2 — Reconstituire din numărul de muchii

Enunț. O prismă dreaptă are 24 de muchii. Ce fel de prismă este? Câte fețe și câte vârfuri are?

Rezolvare. Din $M=3n$ obținem $n=\frac{M}{3}=\frac{24}{3}=8$. Baza are 8 laturi, deci este un octogon: prisma este o prismă octogonală. Fețe: $F=n+2=8+2=10$. Vârfuri: $V=2n=2\cdot 8=16$. Verificare: $V-M+F=16-24+10=2.✓$ Deci: prismă octogonală, cu 10 fețe și 16 vârfuri.

Exemplul 3 — Muchia laterală și înălțimea

Enunț. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei $\ell =6$ cm, iar o muchie laterală măsoară $10$ cm. a) Cât este înălțimea prismei? b) Cât este perimetrul unei baze? c) Ce dimensiuni are dreptunghiul mare din desfășurarea fețelor laterale?

Rezolvare. a) La o prismă dreaptă, muchia laterală este perpendiculară pe baze, deci înălțimea este chiar lungimea muchiei laterale: $$h=10\text{ cm}.$$ b) Baza este un triunghi echilateral de latură $6$ cm, cu 3 laturi egale: $$P_b=3\cdot \ell =3\cdot 6=18\text{ cm}.$$ c) Dreptunghiul mare (fețele laterale întinse) are o dimensiune $=h=10$ cm și cealaltă $=P_b=18$ cm. Deci este un dreptunghi de $18\text{ cm}\times 10\text{ cm}$ (format din 3 dreptunghiuri de $6\times 10$).

Exemplul 4 — Numărare inversă din vârfuri și fețe

Enunț. O prismă dreaptă are 12 vârfuri. a) Ce fel de prismă este? b) Câte muchii laterale are? c) Câte muchii are în total?

Rezolvare. a) Din $V=2n$ rezultă $n=\frac{V}{2}=\frac{12}{2}=6$. Baza are 6 laturi: este o prismă hexagonală. b) Numărul muchiilor laterale este egal cu numărul vârfurilor unei baze, adică $n=6$ muchii laterale. c) Muchii în total: $M=3n=3\cdot 6=18$. Verificare: $F=n+2=8$, iar $V-M+F=12-18+8=2.✓$

Exemplul 5 — Recunoașterea unei desfășurări

Enunț. Un elev desenează, pentru desfășurarea unei prisme, un rând de 6 dreptunghiuri egale lipite și, deasupra și dedesubtul rândului, câte un hexagon regulat cu latura egală cu lățimea unui dreptunghi. a) Câte dreptunghiuri și câte poligoane trebuie să aibă desfășurarea? b) Este corectă desfășurarea? c) Ce prismă reprezintă?

Rezolvare. a) O prismă cu baza de $n$ laturi are în desfășurare $n$ dreptunghiuri (fețele laterale) + 2 poligoane (bazele). Hexagonul are $n=6$ laturi, deci trebuie $6$ dreptunghiuri și $2$ hexagoane, în total $6+2=8$ piese (câte fețe are prisma). b) Elevul a desenat exact 6 dreptunghiuri și 2 hexagoane, cu latura hexagonului egală cu lățimea dreptunghiului (deci laturile se potrivesc la lipire). Desfășurarea este corectă. c) Reprezintă o prismă hexagonală regulată.

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu justificare)

Enunț. Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt. (1) Fețele laterale ale oricărei prisme drepte sunt dreptunghiuri. (2) O prismă patrulateră are întotdeauna toate muchiile egale. (3) Înălțimea unei prisme drepte este egală cu lungimea unei muchii laterale. (4) Numărul muchiilor unei prisme este dublul numărului laturilor bazei.

Rezolvare. (1) Adevărat. Prin definiție, la prisma dreaptă muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze; fiecare față laterală are două laturi opuse (muchii laterale) paralele și egale, perpendiculare pe muchia bazei, deci este dreptunghi. (2) Fals. O prismă patrulateră are baza un patrulater (de exemplu pătrat sau dreptunghi), iar muchiile laterale (înălțimea) pot fi diferite de laturile bazei. La prisma patrulateră regulată (baza pătrat), toate muchiile sunt egale doar în cazul special al cubului. (3) Adevărat. La prisma dreaptă, muchia laterală este perpendiculară pe planele bazelor, deci reprezintă chiar distanța dintre ele, adică înălțimea. (4) Fals. Numărul muchiilor este $M=3n$, adică triplul (nu dublul) numărului de laturi ale bazei. Dublul numărului de laturi dă numărul de vârfuri, $V=2n$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificări scrise îngrijit (ca la examen). Unde e cazul, fă un desen.

1. Completează: o prismă a cărei bază are $n$ laturi are $\dots$ vârfuri, $\dots$ muchii și $\dots$ fețe.

2. Câte fețe laterale are: a) o prismă triunghiulară; b) o prismă patrulateră; c) o prismă hexagonală?

3. O prismă dreaptă are baza un heptagon (poligon cu 7 laturi). Câte vârfuri, muchii și fețe are? Verifică prin relația lui Euler.

4. O prismă dreaptă are 21 de muchii. Ce fel de prismă este? Câte fețe are?

5. O prismă dreaptă are 20 de vârfuri. Ce poligon are la bază? Câte muchii laterale are?

6. O prismă dreaptă are 9 fețe. Ce fel de prismă este? Câte vârfuri și câte muchii are?

7. Adevărat sau fals (cu justificare): „Există o prismă dreaptă cu exact 5 fețe." Dacă da, care este ea?

8. Enumeră, pentru o prismă patrulateră regulată $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (baza $ABCD$ pătrat): a) cele două baze; b) toate muchiile laterale; c) o pereche de fețe laterale opuse.

9. O prismă hexagonală regulată are latura bazei $\ell =5$ cm și înălțimea $h=12$ cm. a) Cât este perimetrul unei baze? b) Ce dimensiuni are dreptunghiul mare din desfășurarea fețelor laterale? c) Câte dreptunghiuri și câte poligoane are desfășurarea?

10. O prismă triunghiulară regulată are muchia laterală de $8$ cm. Cât este înălțimea prismei? Justifică folosind proprietatea prismei drepte.

11. Adevărat sau fals (cu justificare): „Muchiile laterale ale unei prisme drepte sunt paralele între ele și au lungimi egale."

12. La o prismă dreaptă, numărul muchiilor este cu 12 mai mare decât numărul vârfurilor. Câte laturi are baza? (Indicație: rezolvă ecuația $3n=2n+12$.)

13. Un elev spune că a desenat desfășurarea unei prisme triunghiulare regulate folosind 3 dreptunghiuri și 3 triunghiuri echilaterale. Are dreptate? Motivează.

14. Item tip EN. O piuliță metalică are forma unei prisme hexagonale regulate. a) Câte muchii are? b) Câte vârfuri? c) Dacă latura hexagonului este $8$ mm, cât este perimetrul unei baze?

15. Ordonează crescător, după numărul de muchii: prisma patrulateră, prisma triunghiulară, prisma hexagonală, prisma pentagonală.

16. La o prismă dreaptă, suma dintre numărul vârfurilor și numărul fețelor este $26$. Câte muchii are prisma? (Indicație: $V+F=2n+(n+2)$.)

17. Problemă aplicată. Vrei să confecționezi din carton o cutie în formă de prismă patrulateră regulată cu latura bazei $10$ cm și înălțimea $15$ cm. a) Desenează schema desfășurării (descrie-o în cuvinte). b) Ce dimensiuni are dreptunghiul mare format din cele 4 fețe laterale?

18. Item tip EN (sinteză). O prismă dreaptă are baza un poligon regulat și un total de $M$ muchii, $F$ fețe și $V$ vârfuri, cu $M+F+V=26$. Află $n$ (numărul de laturi ale bazei) și precizează ce prismă este. (Indicație: $M+F+V=3n+(n+2)+2n=6n+2$.)

Răspunsuri și explicații

1. $2n$ vârfuri, $3n$ muchii, $n+2$ fețe. Sunt formulele de bază: $V=2n$, $M=3n$, $F=n+2$.

2. a) 3 fețe laterale ($n=3$); b) 4 ($n=4$); c) 6 ($n=6$). Numărul fețelor laterale = numărul laturilor bazei.

3. $n=7$: $V=2\cdot 7=14$, $M=3\cdot 7=21$, $F=7+2=9$. Euler: $14-21+9=2.✓$ Deci 14 vârfuri, 21 muchii, 9 fețe.

4. $n=\frac{M}{3}=\frac{21}{3}=7$ → prismă heptagonală (bază cu 7 laturi). Fețe: $F=7+2=9$.

5. $n=\frac{V}{2}=\frac{20}{2}=10$ → baza este un decagon (10 laturi). Muchii laterale: $n=10$.

6. $n=F-2=9-2=7$ → prismă heptagonală. Vârfuri: $V=2\cdot 7=14$; muchii: $M=3\cdot 7=21$.

7. Adevărat. $F=5\Rightarrow n=F-2=3$, deci există: este prisma triunghiulară (2 baze + 3 fețe laterale = 5 fețe). Este prisma cu cel mai mic număr de fețe.

8. a) Bazele: $ABCD$ (jos) și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (sus). b) Muchiile laterale: $[A{A}^{\prime }]$, $[B{B}^{\prime }]$, $[C{C}^{\prime }]$, $[D{D}^{\prime }]$. c) O pereche de fețe opuse: $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (sau $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ și $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$).

9. $\ell =5$, $h=12$, $n=6$. a) $P_b=6\cdot 5=30$ cm. b) Dreptunghiul mare: $P_b\times h=30\times 12$ cm. c) Desfășurarea are 6 dreptunghiuri (fețe laterale) și 2 hexagoane (baze).

10. Înălțimea = lungimea muchiei laterale = 8 cm. La prisma dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci egale cu distanța dintre plane (înălțimea).

11. Adevărat. Muchiile laterale sunt toate perpendiculare pe planul bazei, deci sunt paralele între ele (două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele); iar lungimea fiecăreia este egală cu înălțimea prismei, deci sunt egale.

12. $3n=2n+12\Rightarrow n=12$. Baza are 12 laturi (prismă dodecagonală).

13. Nu are dreptate. Desfășurarea unei prisme triunghiulare are 3 dreptunghiuri (fețele laterale), dar doar 2 triunghiuri (cele 2 baze), nu 3. Corect: 3 dreptunghiuri + 2 triunghiuri = 5 piese ($=F$).

14. $n=6$. a) $M=3\cdot 6=18$ muchii. b) $V=2\cdot 6=12$ vârfuri. c) $P_b=6\cdot 8=48$ mm.

15. După $M=3n$: triunghiulară $9$, patrulateră $12$, pentagonală $15$, hexagonală $18$. Ordinea crescătoare: triunghiulară < patrulateră < pentagonală < hexagonală.

16. $V+F=2n+(n+2)=3n+2=26\Rightarrow 3n=24\Rightarrow n=8$. Muchii: $M=3n=3\cdot 8=24$.

17. a) Un rând de 4 dreptunghiuri egale de $10\times 15$ cm, lipite pe laturile de $15$ cm, formând un dreptunghi mare; deasupra și dedesubt câte un pătrat cu latura $10$ cm (bazele). b) Dreptunghiul mare are $P_b\times h=(4\cdot 10)\times 15=40\times 15$ cm.

18. $6n+2=26\Rightarrow 6n=24\Rightarrow n=4$. Este o prismă patrulateră regulată (baza fiind poligon regulat cu 4 laturi, adică pătrat). Verificare: $M=12$, $F=6$, $V=8$; $12+6+8=26.✓$

De reținut

• Prismă dreaptă = două baze poligonale congruente și paralele + fețe laterale dreptunghiuri, cu muchii laterale perpendiculare pe baze.
• Pentru o bază cu $n$ laturi: vârfuri $V=2n$, muchii $M=3n$, fețe $F=n+2$; verificare Euler: $V-M+F=2$.
• La prisma dreaptă, înălțimea = lungimea muchiei laterale.
• Desfășurarea = un dreptunghi mare (fețele laterale) de dimensiuni perimetrul bazei $\times$ înălțime, plus cele 2 poligoane-baze; în total $n+2$ piese.
• Prismă triunghiulară ($n=3$), patrulateră ($n=4$), hexagonală ($n=6$) — numele vine de la forma bazei; „regulată" = bază poligon regulat.

Greșeli frecvente

• Confuzia „dreaptă" ↔ „regulată". Dreaptă se referă la muchiile laterale (perpendiculare pe baze); regulată se referă la baza care e poligon regulat. O prismă poate fi dreaptă fără să fie regulată. Reține: la examen „prismă triunghiulară regulată" cere baza triunghi echilateral.
• Numărarea muchiilor cu $M=2n$ în loc de $3n$. Se uită muchiile laterale. Sunt trei „seturi" de câte $n$: baza de jos, baza de sus și muchiile laterale. Verifică mereu cu Euler.
• Desfășurarea cu prea multe baze. Prisma are doar 2 baze, nu câte una pentru fiecare față. În desfășurare pui $n$ dreptunghiuri, dar doar 2 poligoane.
• A confunda muchia laterală cu înălțimea la prisme oblice. Egalitatea „muchie laterală = înălțime" este valabilă numai la prisma dreaptă. Din fericire, la clasa a VIII-a lucrăm doar cu prisme drepte — dar reține de ce funcționează.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de prisme. Găsește prin casă cinci obiecte în formă de prismă dreaptă (o cutie de cereale, o gumă de șters, o grindă Lego, un creion hexagonal, o cutie de suc). Pentru fiecare, spune ce fel de prismă este (ce poligon are la bază) și numără fețele, muchiile și vârfurile. Verifică cu formulele $2n$, $3n$, $n+2$.

2. Construiește o desfășurare. Ia o cutie de carton mică (de pastă de dinți sau de ceai) în formă de prismă patrulateră. Desfă-o cu grijă pe la muchii și întinde-o pe masă. Recunoști dreptunghiul mare al fețelor laterale și cele două baze? Măsoară cu rigla dimensiunile și verifică: dreptunghiul mare are lungimea = perimetrul bazei.

3. Creionul hexagonal. Ia un creion hexagonal. Numără fețele laterale (ar trebui să fie 6). Măsoară cu rigla latura hexagonului de la capăt și calculează perimetrul unei baze. Apoi imaginează-ți desfășurarea: câte dreptunghiuri și câte hexagoane ar avea?

Pentru părinți și profesori

Această lecție deschide capitolul corpurilor geometrice, temă centrală la Evaluarea Națională (subiectul al III-lea conține aproape mereu o problemă de geometrie în spațiu, iar prisma și paralelipipedul sunt printre cele mai frecvente). Aici elevul nu calculează încă arii și volume, ci învață limbajul și structura corpului — fundamentul pe care se sprijină toate calculele din lecțiile 70–73.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să atingă și să arate. Cea mai bună verificare este cu un obiect real în mână: „Arată-mi o muchie laterală. Acum o muchie a bazei. Câte fețe are?" Manipularea fizică fixează noțiunile mult mai bine decât desenul.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce se numește prisma dreaptă?" (muchii laterale perpendiculare pe baze); „Câte muchii are o prismă cu baza de 5 laturi și de ce?" ($3n=15$); „Ce înseamnă desfășurarea unui corp?"; „De ce înălțimea prismei drepte e egală cu muchia laterală?".
• Semnal că a înțeles: poate trece corect, în ambele sensuri, între numărul de laturi ale bazei și numărul de muchii/vârfuri/fețe, și poate schița o desfășurare cu numărul corect de piese ($n$ dreptunghiuri + 2 poligoane).
• Unde apare la EN: în enunțuri de tipul „Se consideră prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$..." — dacă elevul nu identifică rapid ce sunt bazele, muchiile laterale și înălțimea, pierde timp prețios. Antrenamentul de aici se plătește direct în punctaj la subiectul III.

Întrebări frecvente

Ce este o prismă dreaptă, pe scurt? Este un corp geometric cu două baze poligonale identice și paralele, unite prin fețe laterale care sunt dreptunghiuri. „Dreaptă" înseamnă că muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Exemple: o cutie de suc, un creion hexagonal, o grindă.

Care e diferența dintre prismă dreaptă și prismă regulată? „Dreaptă" se referă la fețele laterale: sunt dreptunghiuri, cu muchii laterale perpendiculare pe baze. „Regulată" adaugă o condiție despre bază: aceasta trebuie să fie un poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat). O prismă regulată este întotdeauna și dreaptă, dar nu orice prismă dreaptă este regulată.

Câte muchii are o prismă? O prismă a cărei bază are $n$ laturi are $3n$ muchii: $n$ pe baza de jos, $n$ pe baza de sus și $n$ muchii laterale. De exemplu, prisma triunghiulară are $9$ muchii, cea patrulateră $12$, cea hexagonală $18$.

Cum aflu ce fel de prismă este dacă știu doar numărul de muchii? Împarți numărul de muchii la 3: $n=\frac{M}{3}$ îți dă numărul de laturi ale bazei. Dacă prisma are 15 muchii, atunci $n=5$, deci este o prismă pentagonală. Poți verifica și cu vârfurile ($n=V/2$) sau cu fețele ($n=F-2$).

Ce înseamnă desfășurarea unei prisme și la ce folosește? Desfășurarea este figura plană obținută dacă „tai" prisma pe muchii și o întinzi pe o suprafață plană. Ea conține toate fețele: cele $n$ dreptunghiuri laterale (formând un dreptunghi mare) și cele 2 poligoane-baze. Folosește la înțelegerea corpului și, mai ales, la calculul ariei laterale și totale în lecțiile următoare.

De ce fețele laterale ale prismei drepte sunt dreptunghiuri și nu paralelograme? Pentru că muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Astfel, fiecare față laterală are două laturi paralele și egale (muchiile laterale) perpendiculare pe muchia bazei, ceea ce înseamnă unghiuri de $90°$ — adică un dreptunghi. La prismele oblice (nu se studiază la clasa a VIII-a) fețele laterale ar fi paralelograme.

Este cubul o prismă? Da. Cubul este un caz special de prismă patrulateră regulată (baza pătrat), la care toate muchiile sunt egale, iar toate fețele sunt pătrate. Îl studiem separat în lecția Paralelipipedul dreptunghic și cubul.

Ce este apotema bazei la o prismă? Când baza este un poligon regulat, apotema bazei este distanța de la centrul poligonului până la mijlocul unei laturi (adică apotema poligonului regulat din bază). Nu o folosim la numărat elemente, dar apare la calculul ariei bazei, deci al ariei totale și al volumului, în lecția Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte.