Probleme recapitulative cu perechi de unghiuri

Ai învățat, una câte una, toate tipurile de perechi de unghiuri: opuse la vârf, adiacente, complementare, suplementare și unghiuri formate în jurul unui punct. Acum vine partea cea mai interesantă: să le folosești pe toate împreună, într-o singură figură, ca un detectiv care strânge indicii. În această lecție recapitulativă învățăm cum „citim" o configurație de unghiuri, ce strategie alegem și — foarte important — cum redactăm o rezolvare geometrică cu justificări clare. Hai să punem totul cap la cap!

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici toate perechile de unghiuri (opuse la vârf, adiacente, complementare, suplementare) într-o figură complexă.
• Vei ști să alegi o strategie de rezolvare: de la ce relație pornești și ce calculezi în continuare.
• Vei ști să redactezi o rezolvare geometrică cu justificări, scriind de ce este adevărat fiecare pas.
• Vei ști să demonstrezi că bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire (formează o dreaptă).
• Vei ști să verifici dacă rezultatul tău are sens și să eviți greșelile tipice de calcul cu unghiuri.

Hai să descoperim împreună

Recapitulăm „uneltele" dintr-o singură privire

Înainte de a rezolva probleme, să strângem într-un singur loc toate relațiile pe care le vom folosi. Gândește-te la ele ca la o trusă de unelte: când vezi o figură, cauți care unealtă se potrivește.

• Unghiuri opuse la vârf — se formează când două drepte se intersectează. Ele sunt congruente (au aceeași măsură). Le vezi „față în față", de o parte și de alta a punctului de intersecție. (Revezi lecția Unghiuri opuse la vârf și congruența lor.)
• Unghiuri adiacente — au același vârf, o latură comună și interioarele de o parte și de alta a laturii comune (nu se suprapun). (Revezi Unghiuri adiacente.)
• Unghiuri complementare — suma măsurilor lor este 90°. (Revezi Unghiuri complementare și suplementare.)
• Unghiuri suplementare — suma măsurilor lor este 180°. Cazul cel mai des întâlnit: două unghiuri adiacente ale căror laturi necomune sunt în prelungire (formează o dreaptă) sunt suplementare.
• Unghiuri în jurul unui punct — toate unghiurile fără puncte interioare comune formate în jurul unui punct au suma măsurilor de 360°. (Revezi Unghiuri formate în jurul unui punct.)
• Bisectoarea unui unghi — semidreapta care pornește din vârf și împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare având jumătate din măsura unghiului inițial. (Revezi Bisectoarea unui unghi.)

Ține minte: o problemă grea nu este altceva decât mai multe probleme ușoare puse una lângă alta. Secretul este să le desfaci.

Pasul 1 — Cum „citești" o figură cu unghiuri

Când primești o figură complexă, nu te repezi la calcule. Mai întâi o citești, calm, ca pe o hartă. Iată întrebările pe care ți le pui, în ordine:

1. Câte drepte și câte semidrepte văd? Două drepte care se intersectează îți dau imediat patru unghiuri și două perechi de unghiuri opuse la vârf.
2. Care semidrepte sunt în prelungire (formează o dreaptă)? Dacă două semidrepte opuse pornesc din același punct, unghiurile alăturate de o parte și de alta a unei a treia semidrepte sunt suplementare.
3. Unde văd un unghi drept (90°)? Acolo apar unghiuri complementare.
4. Există vreo bisectoare? Dacă da, am imediat două unghiuri egale și pot scrie jumătăți de măsuri.
5. Ce mi se dă și ce mi se cere? Notează datele pe figură (scrie măsurile cunoscute lângă unghiuri).

Această citire se cheamă analiza configurației. E ca atunci când, înainte de un meci, antrenorul studiază terenul: vezi unde sunt „porțile" (relațiile) prin care vei marca.

Pasul 2 — Strategia de rezolvare

După ce ai citit figura, alegi o strategie. La problemele cu unghiuri, există câteva tipare care funcționează aproape mereu:

Strategia A — „Pornesc de la ce știu". Marchezi pe figură unghiul cu măsură cunoscută, apoi te plimbi din relație în relație: „acesta este opus la vârf cu unghiul dat, deci e egal", „acesta e suplementar cu el, deci 180° minus...". Mergi din aproape în aproape, ca o reacție în lanț.

Strategia B — „Notez necunoscuta cu x". Când nu ai nicio măsură numerică, dar ai relații (de exemplu „un unghi e de două ori mai mare decât altul"), notezi unghiul mai mic cu $x$ și scrii o ecuație. E exact algebra pe care o cunoști deja, aplicată în geometrie. (Folosești ce ai învățat la Calcule cu măsuri de unghiuri.)

Strategia C — „Sparg în jumătăți". Când apare o bisectoare, scrii fiecare unghi împărțit ca jumătate. Multe probleme se rezolvă elegant adunând sau scăzând jumătăți.

Pasul 3 — Cum redactezi o rezolvare cu justificări

Aici e ce te diferențiază pe tine, elevul atent, de cineva care doar „nimerește" rezultatul. La geometrie, fiecare pas trebuie justificat: nu spui doar cât, spui și de ce.

O rezolvare bună are trei părți:

• Ce știu (ipoteza): scrii datele problemei, ordonat, cu notații.
• Ce vreau (concluzia): scrii clar ce ți se cere.
• Rezolvarea pas cu pas: fiecare rând are un calcul ȘI o justificare. Justificarea se scrie de obicei după „deoarece", „pentru că" sau între paranteze.

Compară:

• Slab: „Unghiul este 50°."
• Bine: „$m(\angle BOC)=180°-130°=50°$, deoarece unghiurile $\angle AOC$ și $\angle BOC$ sunt suplementare (laturile $OA$ și $OB$ sunt în prelungire)."

Vezi diferența? A doua variantă convinge pe oricine. (Această deprindere o vei folosi tot timpul — vezi și Redactarea rezolvării geometrice la lecțiile următoare.)

Pasul 4 — O proprietate frumoasă: bisectoarele unghiurilor opuse la vârf sunt în prelungire

Hai să demonstrăm împreună o proprietate care apare des în probleme și sună spectaculos: bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire una față de cealaltă — adică formează împreună o dreaptă.

Să construim configurația. Fie dreptele $AB$ și $CD$ care se intersectează în punctul $O$. Se formează patru unghiuri. Privim perechea de unghiuri opuse la vârf $\angle AOC$ și $\angle BOD$ (sunt congruente). Ducem bisectoarea $OM$ a unghiului $\angle AOC$ și bisectoarea $ON$ a unghiului $\angle BOD$.

Ipoteză: $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$; $OM$ = bisectoarea lui $\angle AOC$; $ON$ = bisectoarea lui $\angle BOD$. Concluzie: punctele $M$, $O$, $N$ sunt coliniare (adică $OM$ și $ON$ sunt în prelungire).

Demonstrație. Notăm $m(\angle AOC)=a$. Atunci $m(\angle BOD)=a$, deoarece sunt opuse la vârf (congruente).

Deoarece $OM$ este bisectoarea lui $\angle AOC$, avem $m(\angle AOM)=\frac{a}{2}$. Deoarece $ON$ este bisectoarea lui $\angle BOD$, avem $m(\angle BON)=\frac{a}{2}$.

Vrem să arătăm că $m(\angle MON)=180°$. Mergem de la $OM$ spre $ON$ pe drumul care trece prin semidreapta $OB$ (care se află între ele), așa că putem scrie:

$$m(\angle MON)=m(\angle MOB)+m(\angle BON).$$

Calculăm pe rând cei doi termeni. Mai întâi, $A$, $O$, $B$ sunt coliniare (sunt pe dreapta $AB$), deci $\angle MOA$ și $\angle MOB$ sunt suplementare ($OA$ și $OB$ sunt în prelungire). De aici:

$$m(\angle MOB)=180°-m(\angle MOA)=180°-\frac{a}{2}.$$

În al doilea rând, am arătat deja că $m(\angle BON)=\frac{a}{2}$. Înlocuim cele două valori în relația de mai sus:

$$m(\angle MON)=m(\angle MOB)+m(\angle BON)=\left(180°-\frac{a}{2}\right)+\frac{a}{2}=180°.$$

Am obținut $m(\angle MON)=180°$, deci unghiul $\angle MON$ este alungit. Prin urmare $M$, $O$, $N$ sunt coliniare, adică bisectoarele $OM$ și $ON$ sunt în prelungire. ∎

Frumos, nu? Cele două jumătăți „aruncate" de cele două unghiuri opuse la vârf se aliniază perfect într-o dreaptă. Vom folosi de mai multe ori această idee.

Pasul 5 — Verificarea: ai grijă ca răspunsul să aibă sens

După ce termini, oprește-te o clipă și întreabă: are sens?

• Suma unghiurilor în jurul unui punct trebuie să dea 360°.
• Două unghiuri suplementare trebuie să dea 180°; dacă obții, de exemplu, $80°$ și $120°$ ca „suplementare", ceva e greșit (dau 200°).
• O măsură de unghi nu poate fi negativă și (la unghiurile obișnuite) nici mai mare de $180°$.

Verificarea durează zece secunde și îți salvează punctele. E ca atunci când recitești un mesaj înainte să-l trimiți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reacția în lanț la intersecția a două drepte

Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$. Se știe că $m(\angle AOC)=47°$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

Ce știu: $m(\angle AOC)=47°$; $A,O,B$ coliniare; $C,O,D$ coliniare. Ce vreau: $m(\angle BOD)$, $m(\angle AOD)$, $m(\angle BOC)$.

Rezolvare.

• $m(\angle BOD)=m(\angle AOC)=47°$, deoarece $\angle BOD$ și $\angle AOC$ sunt opuse la vârf.
• $m(\angle AOD)=180°-47°=133°$, deoarece $\angle AOC$ și $\angle AOD$ sunt suplementare ($OC$ și $OD$ în prelungire).
• $m(\angle BOC)=m(\angle AOD)=133°$, deoarece $\angle BOC$ și $\angle AOD$ sunt opuse la vârf.

Verificare: $47°+133°+47°+133°=360°$. ✓ Corect.

Exemplul 2 — Notez necunoscuta cu x (strategia B)

Două unghiuri suplementare au măsurile în raportul $2:3$ (unul este de o dată și jumătate mai mare). Află măsurile lor.

Ce știu: unghiurile sunt suplementare (suma $=180°$), iar măsurile sunt proporționale cu $2$ și $3$. Ce vreau: cele două măsuri.

Rezolvare. Notăm o „parte" cu $x$. Atunci unghiurile sunt $2x$ și $3x$.

$$2x+3x=180°\Rightarrow 5x=180°\Rightarrow x=36°.$$

Deci unghiurile sunt $2x=72°$ și $3x=108°$.

Verificare: $72°+108°=180°$. ✓ Și raportul $72:108=2:3$. ✓

Exemplul 3 — Cu o bisectoare (strategia C)

Unghiurile $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt adiacente, cu $m(\angle AOB)=64°$ și $m(\angle BOC)=36°$. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $\angle AOC$. Află $m(\angle BOD)$.

Ce știu: $\angle AOB$ și $\angle BOC$ adiacente; $m(\angle AOB)=64°$, $m(\angle BOC)=36°$; $OD$ bisectoarea lui $\angle AOC$. Ce vreau: $m(\angle BOD)$.

Rezolvare.

• $m(\angle AOC)=m(\angle AOB)+m(\angle BOC)=64°+36°=100°$ (unghiuri adiacente, măsurile se adună).
• $m(\angle AOD)=\frac{100°}{2}=50°$, deoarece $OD$ este bisectoare.
• $OD$ se află între $OA$ și $OB$ (pentru că $50°<64°$). Atunci $\angle AOD$ și $\angle BOD$ se completează în $\angle AOB$: $$m(\angle BOD)=m(\angle AOB)-m(\angle AOD)=64°-50°=14°.$$

Verificare: $m(\angle DOC)=m(\angle DOB)+m(\angle BOC)=14°+36°=50°=m(\angle AOD)$. ✓ (bisectoarea împarte egal).

Exemplul 4 — Aplicăm proprietatea bisectoarelor opuse la vârf

Dreptele $MN$ și $PQ$ se intersectează în $O$, cu $m(\angle MOP)=70°$. Se duc bisectoarea $Ox$ a unghiului $\angle MOP$ și bisectoarea $Oy$ a unghiului $\angle NOQ$. Arată că $x$, $O$, $y$ sunt coliniare și află $m(\angle xOM)+m(\angle yON)$.

Ce știu: $\angle MOP$ și $\angle NOQ$ sunt opuse la vârf; $m(\angle MOP)=70°$; $Ox$, $Oy$ bisectoare. Ce vreau: coliniaritatea lui $x,O,y$ și suma a două jumătăți.

Rezolvare.

• $m(\angle NOQ)=m(\angle MOP)=70°$ (opuse la vârf).
• $m(\angle xOM)=\frac{70°}{2}=35°$ și $m(\angle yON)=\frac{70°}{2}=35°$ (bisectoare).
• După proprietatea demonstrată în lecție, bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire, deci $x$, $O$, $y$ sunt coliniare.
• $m(\angle xOM)+m(\angle yON)=35°+35°=70°$.

Verificare: $70°$ este exact măsura unghiului $\angle MOP$ — logic, pentru că cele două jumătăți „adunate" reconstituie un unghi egal cu cel inițial. ✓

Exemplul 5 — Unghiuri în jurul unui punct cu necunoscută

În jurul punctului $O$ se formează patru unghiuri cu măsurile $x$, $2x$, $3x$ și $90°$, care acoperă tot planul. Află $x$ și cel mai mare dintre unghiuri.

Ce știu: cele patru unghiuri în jurul punctului $O$ au suma $360°$; măsurile sunt $x$, $2x$, $3x$, $90°$. Ce vreau: $x$ și cel mai mare unghi.

Rezolvare. $$x+2x+3x+90°=360°\Rightarrow 6x=270°\Rightarrow x=45°.$$

Unghiurile sunt $45°$, $90°$, $135°$ și $90°$. Cel mai mare este $3x=135°$.

Verificare: $45°+90°+135°+90°=360°$. ✓

Exemplul 6 — Problemă „de detectiv", redactare completă

Semidreptele $OA$, $OB$, $OC$ pleacă din $O$ astfel încât $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt complementare, iar $m(\angle AOB)$ este cu $14°$ mai mare decât $m(\angle BOC)$. Semidreapta $OB$ este apoi prelungită cu semidreapta opusă $O{B}^{\prime }$. Află $m(\angle AO{B}^{\prime })$.

Ce știu: $m(\angle AOB)+m(\angle BOC)=90°$ (complementare); $m(\angle AOB)=m(\angle BOC)+14°$; $O{B}^{\prime }$ opusă lui $OB$. Ce vreau: $m(\angle AO{B}^{\prime })$.

Rezolvare. Notăm $m(\angle BOC)=x$. Atunci $m(\angle AOB)=x+14°$. $$(x+14°)+x=90°\Rightarrow 2x=76°\Rightarrow x=38°.$$ Deci $m(\angle AOB)=38°+14°=52°$.

Cum $OB$ și $O{B}^{\prime }$ sunt opuse, $\angle AOB$ și $\angle AO{B}^{\prime }$ sunt suplementare: $$m(\angle AO{B}^{\prime })=180°-m(\angle AOB)=180°-52°=128°.$$

Verificare: $m(\angle AOB)+m(\angle AO{B}^{\prime })=52°+128°=180°$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând figura de fiecare dată și scriind justificarea pentru fiecare pas. Răspunsurile sunt mai jos, dar încearcă singur întâi.

1. Două drepte se intersectează în $O$ și formează un unghi de $63°$. Cât au celelalte trei unghiuri?

2. Completează: Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt ________ (au aceeași măsură).

3. Adevărat sau fals: „Două unghiuri adiacente sunt întotdeauna suplementare." Justifică.

4. Două unghiuri complementare au măsurile în raportul $4:5$. Află măsurile lor.

5. Două unghiuri suplementare diferă prin $40°$. Află măsurile lor.

6. În jurul punctului $O$ sunt patru unghiuri cu măsurile $x$, $x+10°$, $x+20°$ și $x+30°$. Află $x$.

7. Încercuiește justificarea corectă pentru pasul „$m(\angle AOD)=180°-m(\angle AOC)$", când $C,O,D$ sunt coliniare: a) unghiuri opuse la vârf; b) unghiuri suplementare; c) unghiuri complementare.

8. Unghiul $\angle AOC=110°$. Semidreapta $OB$ este în interiorul lui, cu $m(\angle AOB)=42°$. Cât are $\angle BOC$?

9. $OD$ este bisectoarea unghiului $\angle AOC$, iar $m(\angle AOC)=86°$. Cât are $\angle AOD$?

10. Două unghiuri adiacente $\angle AOB$ și $\angle BOC$ au $m(\angle AOB)=50°$ și $m(\angle BOC)=30°$. $OD$ este bisectoarea lui $\angle AOC$. Află $m(\angle BOD)$.

11. Potrivește fiecare sumă cu tipul de relație: (I) $90°$ (II) $180°$ (III) $360°$ —— (a) suplementare; (b) în jurul unui punct; (c) complementare.

12. Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$. Bisectoarea unghiului $\angle AOC$ și bisectoarea unghiului $\angle BOD$ formează între ele un unghi. Cât are acel unghi? Justifică.

13. Adevărat sau fals: „Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt perpendiculare." Justifică.

14. Un unghi $\angle AOB=120°$ este împărțit de semidreptele $OC$ și $OD$ în trei unghiuri congruente. Cât are fiecare? Cât are $\angle AOD$ (unde $D$ este al doilea punct de la $A$ spre $B$)?

15. Două drepte se intersectează în $O$. Unul dintre unghiuri are măsura $3x-10°$, iar unghiul opus la vârf are măsura $2x+30°$. Află $x$ și măsura unghiului.

16. Suma a două unghiuri opuse la vârf este $150°$. Cât are fiecare? (Atenție: ele sunt egale!)

17. Mică problemă. La un ceas, la ora $3:00$, acele formează un unghi. Semidreapta-bisectoare a acestui unghi îl împarte în două. Cât are fiecare jumătate? (Indiciu: la $3:00$ unghiul dintre ace este de $90°$.)

18. Provocare. Dreptele $a$, $b$, $c$ trec toate prin punctul $O$. Unul dintre cele șase unghiuri formate de jur împrejur are $40°$, iar vecinul lui (adiacent) are $35°$. Câte unghiuri se formează în jurul lui $O$ și cât au, în total, toate? Găsește măsura unghiului opus la vârf cu cel de $40°$.

Răspunsuri și explicații

1. $117°$, $63°$, $117°$. Unghiul opus la vârf cu cel dat este tot $63°$; celelalte două sunt suplementare cu $63°$: $180°-63°=117°$. Verificare: $63+117+63+117=360°$.

2. Congruente (egale). Aceasta este proprietatea unghiurilor opuse la vârf.

3. Fals. Două unghiuri adiacente au doar latura comună; suma lor poate fi orice. Sunt suplementare doar dacă laturile necomune sunt în prelungire (formează o dreaptă). Contraexemplu: $\angle AOB=30°$ și $\angle BOC=40°$ sunt adiacente, dar suma e $70°\ne 180°$.

4. $40°$ și $50°$. Notăm $4x$ și $5x$: $4x+5x=90°\Rightarrow 9x=90°\Rightarrow x=10°$. Deci $40°$ și $50°$. ($40+50=90$ ✓)

5. $110°$ și $70°$. Fie unghiurile $x$ și $180°-x$. Diferența: $x-(180°-x)=40°\Rightarrow 2x-180°=40°\Rightarrow 2x=220°\Rightarrow x=110°$. Celălalt: $70°$. ($110+70=180$, $110-70=40$ ✓)

6. $x=75°$. Suma în jurul punctului: $x+(x+10)+(x+20)+(x+30)=360°\Rightarrow 4x+60°=360°\Rightarrow 4x=300°\Rightarrow x=75°$.

7. b) suplementare. Deoarece $C,O,D$ sunt coliniare, $\angle AOC$ și $\angle AOD$ au laturile $OC$ și $OD$ în prelungire, deci sunt suplementare.

8. $68°$. $OB$ în interior $\Rightarrow$ măsurile se adună: $m(\angle BOC)=110°-42°=68°$.

9. $43°$. Bisectoarea împarte în două unghiuri egale: $86°:2=43°$.

10. $10°$. $m(\angle AOC)=50°+30°=80°$; $m(\angle AOD)=80°:2=40°$. Cum $40°<50°$, $OD$ e între $OA$ și $OB$: $m(\angle BOD)=50°-40°=10°$. (Verificare: $m(\angle DOC)=10°+30°=40°$ ✓)

11. (I)→(c) complementare; (II)→(a) suplementare; (III)→(b) în jurul unui punct.

12. $180°$ (unghi alungit). Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire, deci unghiul dintre ele este alungit, de $180°$. (Vezi demonstrația din lecție.)

13. Fals. Bisectoarele unghiurilor opuse la vârf sunt în prelungire (formează un unghi de $180°$), nu perpendiculare. Perpendiculare ($90°$) ar fi bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare.

14. Fiecare are $40°$; $m(\angle AOD)=80°$. $120°:3=40°$ fiecare. $\angle AOD$ conține două dintre cele trei unghiuri: $2\cdot 40°=80°$.

15. $x=40°$; unghiul are $110°$. Unghiurile opuse la vârf sunt egale: $3x-10°=2x+30°\Rightarrow x=40°$. Măsura: $3\cdot 40°-10°=110°$. (Verificare: $2\cdot 40°+30°=110°$ ✓)

16. Fiecare are $75°$. Unghiurile opuse la vârf sunt egale, deci dacă suma lor e $150°$, fiecare are $150°:2=75°$.

17. Fiecare jumătate are $45°$. Unghiul de la $3:00$ este $90°$; bisectoarea îl împarte în $90°:2=45°$.

18. Se formează $6$ unghiuri, cu suma totală $360°$. Trei drepte prin același punct dau $6$ unghiuri în jurul lui $O$; suma tuturor unghiurilor în jurul unui punct este mereu $360°$. Unghiul opus la vârf cu cel de $40°$ este tot $40°$ (opuse la vârf sunt congruente). (Datul de $35°$ era un indiciu „de prisos", care testează dacă te lași păcălit — la opusul la vârf el nu contează.)

De reținut

• Orice problemă complexă cu unghiuri = mai multe relații simple puse împreună; desfă-le una câte una.
• Pașii unei rezolvări bune: citește figura → alege strategia (A: pornesc de la o măsură; B: notez cu $x$; C: sparg în jumătăți) → calculează cu justificări → verifică.
• Justifică fiecare pas: scrie nu doar cât, ci și de ce (opuse la vârf / suplementare / complementare / bisectoare / în jurul punctului).
• Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire (formează un unghi de $180°$); bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare ($90°$).
• Verificarea finală: suma în jurul unui punct $=360°$, suplementare $=180°$, complementare $=90°$.

Greșeli frecvente

• Confunzi „adiacente" cu „suplementare". Adiacente înseamnă doar latură comună; suplementare înseamnă suma $180°$. Două unghiuri adiacente sunt suplementare numai dacă laturile necomune sunt în prelungire. Verifică mereu dacă vârfurile chiar formează o dreaptă.
• Spui că bisectoarele opuse la vârf sunt perpendiculare. Greșit: ele sunt în prelungire ($180°$). Perpendicularitatea apare la bisectoarele unghiurilor adiacente suplementare.
• Calculezi fără să desenezi. Fără figură, „vezi" relații care nu există. Desenează întotdeauna și notează măsurile pe desen.
• Uiți justificarea. Un răspuns corect fără explicație pierde puncte la examen. Scrie după fiecare egalitate „deoarece...". Asta îți și verifică gândirea: dacă nu poți justifica, probabil pasul e greșit.

Joc acasă

1. Vânătoarea de unghiuri opuse la vârf. Ia două creioane (sau două bețișoare de chibrit) și așază-le încrucișate pe masă, astfel încât să se atingă într-un punct. Au format patru unghiuri. Cu un raportor, măsoară un unghi, apoi prezice măsurile celorlalte trei înainte să le măsori. Verifică. Mută creioanele și repetă de câteva ori. Vei „vedea" că unghiurile față în față sunt mereu egale.

2. Bisectoarea cu hârtia împăturită. Desenează pe o foaie un unghi oarecare cu vârful $O$. Îndoaie hârtia astfel încât o latură să cadă exact peste cealaltă; cuta obținută, pornind din $O$, este chiar bisectoarea! Desfă foaia, trasează cuta cu creionul și măsoară cu raportorul cele două jumătăți — trebuie să fie egale. Apoi fă același lucru cu unghiul opus la vârf și verifică, cu rigla, că cele două bisectoare stau pe o singură linie dreaptă (proprietatea din lecție).

3. Provocarea în doi. Un jucător desenează în secret o configurație de două drepte care se intersectează și scrie o singură măsură de unghi. Al doilea jucător trebuie să afle toate celelalte unghiuri cu justificare scrisă. Schimbați rolurile. Câștigă cine dă mai multe justificări corecte din trei runde.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este una de sinteză: copilul nu învață o noțiune nouă, ci leagă între ele tot ce a parcurs în unitatea despre perechi de unghiuri. Cea mai valoroasă deprindere de format aici este redactarea cu justificări — obiceiul de a scrie nu doar rezultatul, ci și motivul fiecărui pas.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți „de ce" la fiecare pas. Când spune „acest unghi e $50°$", întrebați calm: „de unde știi?". Răspunsul ar trebui să conțină un nume de relație (opuse la vârf, suplementare etc.).
• Insistați pe desen. Multe greșeli dispar dacă elevul desenează figura și notează datele pe ea. Dacă nu desenează, e primul lucru de corectat.
• Verificați prin sumă. Întrebați la final: „Dau $360°$ unghiurile din jurul punctului? Dau $180°$ cele suplementare?". Astfel îl învățați auto-verificarea.
• Întrebări de control utile: „Care două unghiuri din figură sunt opuse la vârf?", „De ce sunt aceste două unghiuri suplementare?", „Dacă mut bisectoarea, ce se schimbă?".

Semn că a înțeles: poate rezolva o problemă nouă cu o singură măsură dată și poate explica cu voce tare fiecare pas, fără ezitare. Dacă se blochează, întoarceți-vă la lecțiile Unghiuri opuse la vârf și Unghiuri complementare și suplementare pentru o reîmprospătare scurtă.

Întrebări frecvente

Cum identific perechile de unghiuri într-o figură complicată? Pornește de la punctele de intersecție. La fiecare intersecție de două drepte ai două perechi de unghiuri opuse la vârf și patru perechi de unghiuri adiacente suplementare. Caută apoi unghiurile drepte (dau complementare) și bisectoarele (dau jumătăți egale). Notează datele direct pe desen.

De ce sunt bisectoarele unghiurilor opuse la vârf în prelungire? Pentru că fiecare bisectoare „taie" jumătate dintr-un unghi, iar cele două unghiuri opuse la vârf sunt egale. Adunând jumătățile pe drumul dintre cele două bisectoare obții exact $180°$, adică un unghi alungit — deci bisectoarele formează o dreaptă. Demonstrația completă este în secțiunea „Hai să descoperim împreună".

Care este diferența dintre unghiuri adiacente și unghiuri suplementare? Adiacente descrie poziția: au vârf comun, o latură comună și interioarele de o parte și de alta. Suplementare descrie măsura: suma lor este $180°$. Două unghiuri pot fi adiacente fără să fie suplementare, și suplementare fără să fie adiacente.

Cum redactez corect o rezolvare la geometrie? Scrie întâi ce știi (ipoteza) și ce ți se cere (concluzia). Apoi, pas cu pas, fiecare calcul însoțit de justificare („deoarece sunt opuse la vârf", „deoarece sunt suplementare"). La final, verifică dacă rezultatul are sens (sumele să dea $90°$, $180°$ sau $360°$ unde e cazul).

Ce strategie aleg când nu am nicio măsură numerică, doar relații? Folosește strategia cu necunoscută: notează unghiul cel mai mic (sau o „parte") cu $x$, exprimă celelalte unghiuri în funcție de $x$ și scrie o ecuație folosind o relație cunoscută (suma $90°$, $180°$ sau $360°$). Rezolvi ecuația și afli totul.

Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare? Da. Dacă două unghiuri adiacente au suma $180°$, jumătatea fiecăruia se adună la $90°$, deci bisectoarele lor formează un unghi drept. Nu confunda acest caz cu bisectoarele unghiurilor opuse la vârf, care sunt în prelungire ($180°$).

Cât trebuie să dea, la verificare, unghiurile din jurul unui punct? Întotdeauna $360°$. Dacă aduni toate unghiurile fără puncte interioare comune formate în jurul unui punct și nu obții $360°$, ai o greșeală de calcul undeva. Această verificare e rapidă și foarte utilă.

Conține examenul EN VI probleme cu perechi de unghiuri? Da, configurațiile cu unghiuri opuse la vârf, suplementare și bisectoare apar frecvent la exercițiile de geometrie. Exercițiul cel mai punctat este cel în care trebuie să justifici pașii, nu doar să dai numărul. De aceea recapitularea de față pune accent pe redactarea cu justificări.