Unghiuri adiacente

Ai deschis vreodată o carte și ai privit cele două coperte care pleacă din același cotor? Sau o ușă întredeschisă, cu peretele alături? În toate aceste situații apar două unghiuri care se „sprijină" unul de celălalt printr-o latură pe care o folosesc împreună. În matematică, astfel de perechi de unghiuri au un nume special: unghiuri adiacente. În lecția de azi vei învăța exact când două unghiuri sunt adiacente, cum le recunoști într-o figură și cum aduni măsurile lor. E o lecție de geometrie liniștită, dar foarte folositoare: o vei folosi mai târziu la unghiuri complementare, la bisectoare și la triunghiuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui definiția unghiurilor adiacente și cele trei condiții pe care trebuie să le îndeplinească.
• Vei ști să recunoști două unghiuri adiacente într-o figură geometrică.
• Vei ști să calculezi suma a două unghiuri adiacente și să afli un unghi când cunoști suma și celălalt.
• Vei ști să deosebești unghiurile adiacente de două unghiuri care au doar vârful comun.
• Vei ști să justifici corect, cu argumente, de ce două unghiuri sunt sau nu sunt adiacente.

Hai să descoperim împreună

Ce ne trebuie din lecțiile trecute

Înainte de a porni, hai să ne reamintim trei lucruri pe care le știi deja despre unghiuri.

Un unghi este format din două semidrepte (numite laturi) care pornesc din același punct (numit vârf). Pentru un unghi cu vârful în $O$ și laturile $OA$ și $OB$ scriem $\widehat{AOB}$, iar măsura lui o notăm $m(\widehat{AOB})$ și o exprimăm în grade.

Interiorul unghiului este regiunea din plan „dintre" cele două laturi. Punctele din interior sunt cuprinse între laturi; punctele de pe laturi sau din afară nu fac parte din interior.

Și încă ceva important, din lecția despre unghiuri formate în jurul unui punct: când mai multe unghiuri se așază unul lângă altul în jurul unui vârf, măsurile lor se pot aduna. Exact pe această idee se sprijină lecția de azi.

O imagine din viață: paginile unei cărți

Imaginează-ți o carte deschisă, pusă în picioare pe masă, cu cotorul vertical. Cotorul este ca o semidreaptă care pleacă de jos în sus. Coperta din stânga formează cu cotorul un unghi, iar coperta din dreapta formează cu cotorul un alt unghi.

Observă trei lucruri:

1. Cele două unghiuri pornesc din același punct — punctul de jos al cotorului. Acesta este vârful comun.
2. Cotorul este o latură pe care o folosesc amândouă unghiurile. Este latura comună.
3. Coperta stângă și coperta dreaptă se află de o parte și de alta a cotorului — niciuna nu intră în „spațiul" celeilalte. Adică unghiurile nu au puncte interioare comune.

Tocmai ai descoperit, fără să-ți dai seama, cele trei condiții ale unghiurilor adiacente. Hai să le scriem riguros.

Definiția unghiurilor adiacente

Definiție. Două unghiuri se numesc adiacente dacă îndeplinesc, în același timp, toate cele trei condiții:

1. au același vârf (vârf comun);
2. au o latură comună;
3. nu au puncte interioare comune (celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune).

Reține: trebuie toate trei condițiile, simultan. Dacă lipsește măcar una, unghiurile nu sunt adiacente. E ca o ușă cu trei zăvoare: dacă unul nu e tras, ușa tot nu e încuiată.

Hai să desenăm situația tipică. Pornim din vârful $O$ trei semidrepte: $OA$, $OB$ și $OC$, cu $OB$ așezată „între" $OA$ și $OC$.

Atunci unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente, pentru că:

• au vârful comun $O$ ✔️
• au latura comună $OB$ ✔️
• $\widehat{AOB}$ stă „în stânga" lui $OB$, iar $\widehat{BOC}$ „în dreapta" lui $OB$, deci nu se suprapun: nu au puncte interioare comune ✔️

Aceasta este figura pe care trebuie să o ai mereu în minte: o semidreaptă comună care pleacă din vârf și împarte un unghi mai mare în două unghiuri adiacente.

Să analizăm condiție cu condiție

Ca să fixăm bine ideea, hai să privim fiecare condiție separat și să vedem ce se întâmplă dacă ea lipsește.

Condiția 1: vârf comun. Dacă două unghiuri au vârfuri în puncte diferite, ele nici nu pot fi adiacente, indiferent cât de aproape ar fi laturile lor. Adiacent înseamnă „alăturat în același colț". Fără același colț (vârf), nu există adiacență.

Condiția 2: latură comună. Două unghiuri pot avea același vârf, dar dacă niciuna dintre laturi nu este folosită de amândouă, ele nu sunt adiacente. Latura comună este „peretele comun" dintre cele două camere.

Condiția 3: fără puncte interioare comune. Aici e capcana cea mai des întâlnită. Două unghiuri pot avea vârf comun și chiar o latură comună, dar dacă unul „intră peste" celălalt (se suprapun), atunci au puncte interioare comune și nu sunt adiacente. Unghiurile adiacente stau alături, nu unul peste altul.

Compară cele două figuri de mai sus în minte: în figura corectă, latura comună $OB$ stă între celelalte două laturi și le desparte; în figura greșită, latura comună stă pe margine, iar un unghi îl înghite pe celălalt.

Suma a două unghiuri adiacente

Acum vine partea cu calcule, și e o veste bună: e simplă și logică.

Privește din nou figura cu $OA$, $OB$, $OC$, unde $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente. Cele două unghiuri, puse alături, formează împreună unghiul mare $\widehat{AOC}$. Pentru că nu se suprapun, măsurile lor se adună ca să dea măsura unghiului mare:

$$m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOC}).$$

Aceasta se numește suma a două unghiuri adiacente. E ca atunci când lipești două bucăți de tort una lângă alta: suprafața totală este suma celor două bucăți, pentru că nu se suprapun.

De exemplu, dacă $m(\widehat{AOB})=35^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=50^{\circ }$, atunci unghiul mare are: $$m(\widehat{AOC})=35^{\circ }+50^{\circ }=85^{\circ }.$$

Și invers: dacă știm unghiul mare și unul dintre cele mici, îl aflăm pe celălalt printr-o scădere. Dacă $m(\widehat{AOC})=120^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=70^{\circ }$, atunci: $$m(\widehat{BOC})=120^{\circ }-70^{\circ }=50^{\circ }.$$

Această regulă a sumei este foarte folositoare: cu ea vei rezolva multe probleme în lecțiile următoare despre unghiuri complementare și suplementare și despre bisectoarea unui unghi.

⚠️ Atenție! Regula sumei funcționează numai când unghiurile sunt adiacente (nu se suprapun). Dacă două unghiuri au doar vârful comun și se suprapun, nu poți să le aduni așa, pentru că ai număra de două ori zona comună.

Deosebirea: adiacente vs. doar cu vârf comun

Acesta este momentul cel mai important al lecției, pentru că aici se fac cele mai multe greșeli.

Toate unghiurile adiacente au vârf comun. Dar nu toate unghiurile cu vârf comun sunt adiacente. Cu alte cuvinte:

• „adiacente" cere trei condiții (vârf comun + latură comună + fără interior comun);
• „doar vârf comun" cere o singură condiție (vârful comun).

Gândește-te așa: orice măr este un fruct, dar nu orice fruct este măr. La fel, orice unghiuri adiacente au vârf comun, dar a avea doar vârf comun nu e suficient pentru a fi adiacente.

Hai să vedem trei perechi de unghiuri cu același vârf $O$ și să decidem care sunt adiacente.

Cazul A. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$, cu $OB$ între $OA$ și $OC$.

• Vârf comun $O$ ✔️, latură comună $OB$ ✔️, fără interior comun ✔️ → adiacente.

Cazul B. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$, formate de patru semidrepte diferite ce pleacă din $O$, fără ca vreuna să fie comună.

• Vârf comun $O$ ✔️, dar nu au latură comună ❌ → NU sunt adiacente (au doar vârful comun).

Cazul C. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{AOC}$, unde $\widehat{AOB}$ este conținut în $\widehat{AOC}$ (se suprapun).

• Vârf comun $O$ ✔️, latură comună $OA$ ✔️, dar au puncte interioare comune (se suprapun) ❌ → NU sunt adiacente.

Reține schema de verificare, ca o listă de control:

1. Au același vârf? Dacă nu → nu sunt adiacente. Dacă da, mergi mai departe.
2. Au o latură comună? Dacă nu → au doar vârf comun, nu sunt adiacente. Dacă da, mergi mai departe.
3. Se suprapun (au interior comun)? Dacă da → nu sunt adiacente. Dacă nu → sunt adiacente!

Această listă cu trei întrebări te scoate din orice încurcătură. O vei folosi la fiecare exercițiu.

O observație utilă despre laturile opuse

Există un caz frumos și des întâlnit: când cele două laturi care nu sunt comune formează împreună o linie dreaptă (sunt semidrepte opuse). Atunci cele două unghiuri adiacente formează împreună un unghi alungit, adică un unghi de $180^{\circ }$.

De exemplu, dacă pe o dreaptă $AC$ luăm punctul $O$ și ridicăm o semidreaptă $OB$, atunci $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente și: $$m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=180^{\circ }.$$

Vei studia în detaliu acest caz la lecția despre unghiuri complementare și suplementare — așa-numitele unghiuri suplementare adiacente. Deocamdată, ține minte doar că adiacența + laturi opuse înseamnă sumă $180^{\circ }$.

Mai multe unghiuri adiacente la rând

Până acum am vorbit despre două unghiuri adiacente. Dar ideea se extinde frumos: putem avea mai multe unghiuri adiacente unul după altul, ca niște felii de portocală așezate în jurul aceluiași vârf.

Imaginează-ți că din vârful $O$ pleacă patru semidrepte: $OA$, $OB$, $OC$ și $OD$, în această ordine, ca spițele unei roți. Atunci se formează un șir de unghiuri în care fiecare pereche vecină este adiacentă:

• $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente (latura comună $OB$);
• $\widehat{BOC}$ și $\widehat{COD}$ sunt adiacente (latura comună $OC$).

Pentru că niciuna dintre felii nu se suprapune cu vecina ei, măsurile se adună una după alta:

$$m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})+m(\widehat{COD})=m(\widehat{AOD}).$$

Atenție însă: aici $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ nu sunt adiacente între ele — ele nu au nicio latură comună (sunt despărțite de $\widehat{BOC}$). Adiacența se referă doar la vecini direcți, care împart o latură. E ca la rândul de bănci din clasă: ești „vecin de bancă" doar cu cei de lângă tine, nu cu toți din rând.

Această idee de „felii care se adună" o vei folosi din plin la lecția despre unghiuri în jurul unui punct, unde toate feliile dimprejurul vârfului dau împreună $360^{\circ }$. Reține deci două lucruri din această observație: măsurile unghiurilor adiacente vecine se adună oricât de multe ar fi, dar eticheta „adiacente" se pune numai între două unghiuri care chiar împart o latură. Dacă te încurci, întoarce-te la lista de control cu trei întrebări — ea funcționează la fel de bine pentru orice pereche, fie că sunt două unghiuri, fie că alegi două dintr-un șir mai lung.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoaștere directă

Enunț. Din vârful $O$ pleacă semidreptele $OM$, $ON$ și $OP$, astfel încât $ON$ se află în interiorul unghiului $\widehat{MOP}$. Sunt unghiurile $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ adiacente? Justifică.

Rezolvare. Aplicăm lista de control.

1. Vârf comun? Ambele unghiuri au vârful $O$. ✔️
2. Latură comună? Amândouă folosesc semidreapta $ON$. ✔️
3. Se suprapun? $ON$ este între $OM$ și $OP$, deci $\widehat{MON}$ este de o parte a lui $ON$, iar $\widehat{NOP}$ de cealaltă parte. Nu au puncte interioare comune. ✔️

Toate trei condițiile sunt îndeplinite, deci $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt unghiuri adiacente.

Exemplul 2 — suma a două unghiuri adiacente

Enunț. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente, cu $m(\widehat{AOB})=47^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=68^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{AOC})$?

Rezolvare. Fiind adiacente și având latura comună $OB$ între $OA$ și $OC$, măsurile lor se adună: $$m(\widehat{AOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=47^{\circ }+68^{\circ }=115^{\circ }.$$

Răspuns: $m(\widehat{AOC})=115^{\circ }$.

Exemplul 3 — aflarea unui unghi prin scădere

Enunț. Semidreapta $OD$ este în interiorul unghiului $\widehat{EOF}$, iar $\widehat{EOD}$ și $\widehat{DOF}$ sunt adiacente. Știm că $m(\widehat{EOF})=132^{\circ }$ și $m(\widehat{EOD})=85^{\circ }$. Află $m(\widehat{DOF})$.

Rezolvare. Din regula sumei avem $m(\widehat{EOD})+m(\widehat{DOF})=m(\widehat{EOF})$. Înlocuim ce știm: $$85^{\circ }+m(\widehat{DOF})=132^{\circ }.$$ Scădem $85^{\circ }$ din ambele părți: $$m(\widehat{DOF})=132^{\circ }-85^{\circ }=47^{\circ }.$$

Răspuns: $m(\widehat{DOF})=47^{\circ }$.

Exemplul 4 — capcana suprapunerii

Enunț. Din $O$ pleacă semidreptele $OA$, $OB$, $OC$, cu $OB$ în interiorul unghiului $\widehat{AOC}$. Sunt unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{AOC}$ adiacente? Justifică.

Rezolvare. Verificăm condițiile.

1. Vârf comun $O$. ✔️
2. Latură comună $OA$. ✔️
3. Se suprapun? Da! Pentru că $OB$ este în interiorul lui $\widehat{AOC}$, unghiul $\widehat{AOB}$ este conținut în unghiul $\widehat{AOC}$. Toate punctele din interiorul lui $\widehat{AOB}$ sunt și în interiorul lui $\widehat{AOC}$. Deci au puncte interioare comune. ❌

A treia condiție nu este îndeplinită, prin urmare $\widehat{AOB}$ și $\widehat{AOC}$ NU sunt adiacente (unul îl conține pe celălalt). Adiacente sunt $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$.

Exemplul 5 — problemă cu ecuație simplă

Enunț. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente și formează împreună un unghi de $90^{\circ }$. Știm că $\widehat{AOB}$ este cu $14^{\circ }$ mai mare decât $\widehat{BOC}$. Află măsura fiecărui unghi.

Rezolvare. Notăm $m(\widehat{BOC})=x$. Atunci $m(\widehat{AOB})=x+14^{\circ }$. Suma lor este $90^{\circ }$: $$x+(x+14^{\circ })=90^{\circ }.$$ $$2x+14^{\circ }=90^{\circ }.$$ $$2x=90^{\circ }-14^{\circ }=76^{\circ }.$$ $$x=38^{\circ }.$$ Deci $m(\widehat{BOC})=38^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=38^{\circ }+14^{\circ }=52^{\circ }$.

Verificare: $38^{\circ }+52^{\circ }=90^{\circ }$ ✔️ și $52^{\circ }-38^{\circ }=14^{\circ }$ ✔️.

Răspuns: $\widehat{BOC}=38^{\circ }$, $\widehat{AOB}=52^{\circ }$.

Exemplul 6 — laturi opuse, sumă 180°

Enunț. Pe dreapta $AC$ luăm punctul $O$ și ridicăm semidreapta $OB$. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente. Dacă $m(\widehat{AOB})=113^{\circ }$, cât este $m(\widehat{BOC})$?

Rezolvare. Deoarece $A$, $O$, $C$ sunt coliniare ($O$ pe dreapta $AC$), semidreptele $OA$ și $OC$ sunt opuse, deci unghiurile adiacente $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ formează împreună un unghi de $180^{\circ }$: $$m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=180^{\circ }.$$ $$113^{\circ }+m(\widehat{BOC})=180^{\circ }.$$ $$m(\widehat{BOC})=180^{\circ }-113^{\circ }=67^{\circ }.$$

Răspuns: $m(\widehat{BOC})=67^{\circ }$.

Exemplul 7 — trei unghiuri adiacente la rând

Enunț. Din vârful $O$ pleacă, în ordine, semidreptele $OA$, $OB$, $OC$ și $OD$. Unghiurile vecine sunt adiacente, cu $m(\widehat{AOB})=28^{\circ }$, $m(\widehat{BOC})=45^{\circ }$ și $m(\widehat{COD})=37^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{AOD})$? Dar $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ sunt adiacente?

Rezolvare. Cele trei unghiuri vecine se așază unul lângă altul, fără să se suprapună, deci măsurile se adună: $$m(\widehat{AOD})=28^{\circ }+45^{\circ }+37^{\circ }=110^{\circ }.$$ Cât despre $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$: ele au vârful comun $O$, dar nu au nicio latură comună (între ele se află $\widehat{BOC}$). Lipsește a doua condiție, deci nu sunt adiacente.

Răspuns: $m(\widehat{AOD})=110^{\circ }$; $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ nu sunt adiacente.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând o figură acolo unde ajută. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — uită-te abia după ce încerci singur.

1. Completează: Două unghiuri sunt adiacente dacă au ________ comun, o ________ comună și nu au ________ interioare comune.

2. Adevărat sau fals? Orice două unghiuri care au același vârf sunt adiacente.

3. Adevărat sau fals? Două unghiuri adiacente au întotdeauna același vârf.

4. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente, cu $m(\widehat{AOB})=25^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=40^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{AOC})$?

5. Unghiurile $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente, cu $m(\widehat{MON})=58^{\circ }$ și $m(\widehat{NOP})=72^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{MOP})$?

6. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente, $m(\widehat{AOC})=100^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=65^{\circ }$. Află $m(\widehat{BOC})$.

7. Încercuiește varianta corectă: Latura comună a două unghiuri adiacente se află: a) în afara ambelor unghiuri; b) între celelalte două laturi; c) în interiorul unuia singur dintre unghiuri.

8. Din $O$ pleacă semidreptele $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, fără ca vreo latură să fie folosită de două unghiuri. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ au vârf comun. Sunt ele adiacente? Justifică pe scurt.

9. Adevărat sau fals? Dacă două unghiuri adiacente au laturile necomune în prelungire (semidrepte opuse), atunci suma lor este $180^{\circ }$.

10. Unghiurile $\widehat{POQ}$ și $\widehat{QOR}$ sunt adiacente și formează împreună un unghi de $90^{\circ }$. Dacă $m(\widehat{POQ})=31^{\circ }$, cât este $m(\widehat{QOR})$?

11. Două unghiuri adiacente au măsurile egale și formează împreună un unghi de $76^{\circ }$. Cât are fiecare?

12. Potrivește fiecare situație din coloana stângă cu verdictul din coloana dreaptă: (I) vârf comun, latură comună, fără interior comun (II) vârf comun, fără latură comună (III) vârf comun, latură comună, se suprapun — verdicte: (a) adiacente; (b) doar vârf comun; (c) unul conține pe celălalt, nu sunt adiacente.

13. Pe dreapta $XY$ luăm punctul $O$ și ridicăm semidreapta $OZ$. $\widehat{XOZ}$ și $\widehat{ZOY}$ sunt adiacente. Dacă $m(\widehat{XOZ})=124^{\circ }$, află $m(\widehat{ZOY})$.

14. Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente, iar $\widehat{AOB}$ este de două ori mai mare decât $\widehat{BOC}$. Împreună formează un unghi de $108^{\circ }$. Află cele două măsuri.

15. Adevărat sau fals? Dacă $m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOC})$, atunci sigur unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt adiacente (presupunând că au vârful comun $O$ și latura comună $OB$ între celelalte).

16. Desenează un unghi $\widehat{AOC}$ de $130^{\circ }$, apoi o semidreaptă $OB$ în interior astfel încât $m(\widehat{AOB})=90^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{BOC})$?

17. Mică problemă. O semidreaptă $OB$ împarte unghiul $\widehat{AOC}$ în două unghiuri adiacente. Știind că $m(\widehat{BOC})$ este cu $20^{\circ }$ mai mică decât $m(\widehat{AOB})$, iar $m(\widehat{AOC})=150^{\circ }$, află ambele unghiuri.

18. Mică problemă. Trei semidrepte $OA$, $OB$, $OC$ pleacă din $O$, cu $OB$ între $OA$ și $OC$. Unghiurile adiacente $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ au măsurile în raportul $2:3$, iar $m(\widehat{AOC})=100^{\circ }$. Află $m(\widehat{AOB})$ și $m(\widehat{BOC})$.

19. Din $O$ pleacă, în ordine, semidreptele $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, iar unghiurile vecine sunt adiacente. Știm că $m(\widehat{AOB})=32^{\circ }$, $m(\widehat{BOC})=41^{\circ }$ și $m(\widehat{COD})=27^{\circ }$. Cât este $m(\widehat{AOD})$?

20. Adevărat sau fals? În exercițiul de mai sus, unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ sunt adiacente.

21. Semidreapta $OB$ împarte unghiul drept $\widehat{AOC}$ (de $90^{\circ }$) în două unghiuri adiacente. Dacă $m(\widehat{AOB})$ este de patru ori mai mare decât $m(\widehat{BOC})$, află cele două măsuri.

22. Mică problemă. Pe dreapta $MN$ luăm punctul $O$ și ridicăm semidreapta $OP$. Unghiurile adiacente $\widehat{MOP}$ și $\widehat{PON}$ au măsurile în raportul $4:5$. Află $m(\widehat{MOP})$ și $m(\widehat{PON})$.

Răspunsuri și explicații

1. vârf comun, latură comună, puncte interioare comune. (Cele trei condiții din definiție.)

2. Fals. Vârful comun este doar una dintre cele trei condiții. Trebuie și latură comună, și fără suprapunere. Exemplu: $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ cu patru laturi diferite au vârf comun, dar nu sunt adiacente.

3. Adevărat. Vârful comun este prima condiție din definiție; orice unghiuri adiacente îl îndeplinesc obligatoriu.

4. $m(\widehat{AOC})=25^{\circ }+40^{\circ }=65^{\circ }$. (Suma a două unghiuri adiacente.)

5. $m(\widehat{MOP})=58^{\circ }+72^{\circ }=130^{\circ }$.

6. $m(\widehat{BOC})=100^{\circ }-65^{\circ }=35^{\circ }$. (Scădem unghiul cunoscut din total.)

7. b) între celelalte două laturi. Latura comună desparte cele două unghiuri, stând în mijloc.

8. Nu sunt adiacente. Au vârful comun $O$, dar nu au nicio latură comună (fiecare unghi folosește alte semidrepte). Lipsește a doua condiție, deci au doar vârf comun.

9. Adevărat. Dacă laturile necomune sunt în prelungire, ele formează o linie dreaptă, iar unghiul total este de $180^{\circ }$; fiind adiacente, măsurile se adună la $180^{\circ }$.

10. $m(\widehat{QOR})=90^{\circ }-31^{\circ }=59^{\circ }$.

11. Fiecare are $76^{\circ }:2=38^{\circ }$. (Două unghiuri egale care dau $76^{\circ }$ împreună.)

12. (I) → (a) adiacente; (II) → (b) doar vârf comun; (III) → (c) unul conține pe celălalt, nu sunt adiacente.

13. $X$, $O$, $Y$ coliniare → semidreptele $OX$ și $OY$ sunt opuse, deci suma este $180^{\circ }$. $m(\widehat{ZOY})=180^{\circ }-124^{\circ }=56^{\circ }$.

14. Notăm $m(\widehat{BOC})=x$, atunci $m(\widehat{AOB})=2x$. Suma: $2x+x=108^{\circ }\Rightarrow 3x=108^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }$. Deci $m(\widehat{BOC})=36^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=72^{\circ }$. Verificare: $36^{\circ }+72^{\circ }=108^{\circ }$ ✔️.

15. Adevărat. Dacă au vârf comun, latură comună $OB$ așezată între celelalte laturi, iar măsurile se adună la unghiul mare, atunci unghiurile nu se suprapun — sunt exact configurația de unghiuri adiacente.

16. $m(\widehat{BOC})=130^{\circ }-90^{\circ }=40^{\circ }$.

17. Notăm $m(\widehat{AOB})=a$ și $m(\widehat{BOC})=a-20^{\circ }$. Suma: $a+(a-20^{\circ })=150^{\circ }\Rightarrow 2a-20^{\circ }=150^{\circ }\Rightarrow 2a=170^{\circ }\Rightarrow a=85^{\circ }$. Deci $m(\widehat{AOB})=85^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=65^{\circ }$. Verificare: $85^{\circ }+65^{\circ }=150^{\circ }$ ✔️, iar $85^{\circ }-65^{\circ }=20^{\circ }$ ✔️.

18. Raportul $2:3$ înseamnă $5$ părți egale în total. O parte: $100^{\circ }:5=20^{\circ }$. Atunci $m(\widehat{AOB})=2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$ și $m(\widehat{BOC})=3\cdot 20^{\circ }=60^{\circ }$. Verificare: $40^{\circ }+60^{\circ }=100^{\circ }$ ✔️.

19. Cele trei unghiuri vecine se adună: $m(\widehat{AOD})=32^{\circ }+41^{\circ }+27^{\circ }=100^{\circ }$.

20. Fals. $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ au vârful comun $O$, dar nu au nicio latură comună (între ele se află $\widehat{BOC}$). Adiacența cere o latură comună; ele nu sunt vecine directe.

21. Notăm $m(\widehat{BOC})=x$, atunci $m(\widehat{AOB})=4x$. Suma: $4x+x=90^{\circ }\Rightarrow 5x=90^{\circ }\Rightarrow x=18^{\circ }$. Deci $m(\widehat{BOC})=18^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=72^{\circ }$. Verificare: $72^{\circ }+18^{\circ }=90^{\circ }$ ✔️.

22. Punctele $M$, $O$, $N$ sunt coliniare, deci $OM$ și $ON$ sunt semidrepte opuse, iar suma celor două unghiuri adiacente este $180^{\circ }$. Raportul $4:5$ înseamnă $9$ părți egale: o parte $=180^{\circ }:9=20^{\circ }$. Atunci $m(\widehat{MOP})=4\cdot 20^{\circ }=80^{\circ }$ și $m(\widehat{PON})=5\cdot 20^{\circ }=100^{\circ }$. Verificare: $80^{\circ }+100^{\circ }=180^{\circ }$ ✔️.

De reținut

• Două unghiuri sunt adiacente dacă au, în același timp: vârf comun, o latură comună și fără puncte interioare comune (nu se suprapun).
• Trebuie toate trei condițiile. Dacă lipsește una singură, unghiurile nu sunt adiacente.
• Suma a două unghiuri adiacente: $m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOC})$, când $OB$ este latura comună dintre $OA$ și $OC$.
• Vârf comun nu înseamnă adiacent. Orice unghiuri adiacente au vârf comun, dar nu orice unghiuri cu vârf comun sunt adiacente.
• Dacă laturile necomune sunt opuse (formează o dreaptă), cele două unghiuri adiacente au suma $180^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• „Au același vârf, deci sunt adiacente." Greșit. Vârful comun este doar prima dintre cele trei condiții. Verifică mereu și latura comună, și lipsa suprapunerii. Folosește lista cu trei întrebări.
• Confuzia adiacent ↔ un unghi conține pe celălalt. Dacă o latură comună stă pe margine și un unghi îl înghite pe celălalt (ca $\widehat{AOB}$ în $\widehat{AOC}$), ele se suprapun și nu sunt adiacente. Adiacent = alături, nu unul peste altul.
• Aduni măsuri când unghiurile se suprapun. Regula $m_1+m_2=m_{\text{total}}$ funcționează doar pentru unghiuri adiacente. Dacă se suprapun, ai număra de două ori zona comună.
• Presupui automat suma $180^{\circ }$. Suma este $180^{\circ }$ numai când laturile necomune sunt opuse (vârful pe o dreaptă). Dacă figura nu spune asta, nu folosi $180^{\circ }$ — aplică doar suma reală a celor două unghiuri.

Joc acasă

1. Cartea și cotorul. Ia o carte și deschide-o pe masă, în picioare. Cotorul este latura comună. Variază unghiul de deschidere și observă cum cele două unghiuri (coperta stângă–cotor și cotor–coperta dreaptă) rămân mereu adiacente, indiferent cât deschizi. Întreabă-te: care este vârful comun? (Răspuns: punctul de jos al cotorului.)

2. Foarfeca și colțul mesei. Ține o foarfecă deschisă astfel încât una dintre lame să se sprijine pe marginea mesei. Marginea mesei și cele două lame creează unghiuri cu vârf comun (axul foarfecii). Desenează pe o foaie configurația și marchează: vârful comun, latura comună, cele trei condiții. Decide dacă unghiurile sunt adiacente.

3. Ceasul de perete. Privește un ceas cu ace. Pune un creion peste centru, ca o a treia „semidreaptă", între acul orar și cel minutar. Acum ai un unghi mare împărțit în două unghiuri adiacente. Estimează măsurile lor și verifică dacă suma lor dă unghiul mare dintre cele două ace. Repetă la ore diferite.

Pentru părinți și învățători

Ideea-cheie de transmis: „adiacent" înseamnă „alăturat", iar definiția cere simultan trei condiții. Cele mai multe greșeli vin din verificarea unei singure condiții (de obicei vârful comun). Insistați pe lista de control cu trei întrebări — devine un reflex sigur.

Cum sprijiniți acasă:

• Cereți copilului să deseneze mai întâi, apoi să justifice. La geometrie, desenul corect rezolvă jumătate din problemă.
• Folosiți obiecte reale (carte, foarfecă, ace de ceas) ca să facă diferența între „alături" (adiacent) și „unul peste altul" (suprapunere).
• La problemele cu calcul, cereți verificarea la final: suma celor două unghiuri trebuie să dea totalul. Verificarea prinde greșelile de aritmetică.

Întrebări de pus pentru a verifica înțelegerea:

• „Spune-mi cele trei condiții, fără să te uiți." (Definiția exactă.)
• „Dă-mi un exemplu de două unghiuri cu vârf comun care NU sunt adiacente." (Verifică deosebirea esențială.)
• „De ce nu putem aduna măsurile a două unghiuri care se suprapun?" (Înțelegerea profundă a regulii sumei.)

Semn că a înțeles: rezolvă corect exercițiile 8, 12 și 15 (cele de raționament, nu doar de calcul) și poate explica de ce un unghi conținut în altul nu formează o pereche adiacentă.

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile adiacente la clasa a VI-a? Două unghiuri sunt adiacente dacă au vârful comun, o latură comună și nu au puncte interioare comune (nu se suprapun). Cu alte cuvinte, stau alături și împart aceeași latură, ca două „camere" cu un perete comun.

Care sunt cele trei condiții ale unghiurilor adiacente?

1. același vârf (vârf comun); 2) o latură comună; 3) fără puncte interioare comune. Toate trei trebuie îndeplinite în același timp; dacă lipsește una, unghiurile nu sunt adiacente.

Cum calculez suma a două unghiuri adiacente? Aduni pur și simplu măsurile lor: $m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOC})$, unde latura comună $OB$ stă între celelalte două laturi. Regula merge pentru că unghiurile nu se suprapun.

Două unghiuri cu același vârf sunt mereu adiacente? Nu. Vârful comun este doar prima condiție. Dacă nu au latură comună sau dacă se suprapun, nu sunt adiacente — au doar vârful comun.

Care este diferența dintre unghiuri adiacente și unghiuri care doar au vârf comun? Unghiurile adiacente îndeplinesc toate cele trei condiții (vârf comun + latură comună + fără suprapunere). Cele care „doar au vârf comun" îndeplinesc o singură condiție. Orice unghiuri adiacente au vârf comun, dar reciproc nu este adevărat.

Pot fi două unghiuri adiacente dacă unul îl conține pe celălalt? Nu. Dacă un unghi este conținut în altul, ele se suprapun, deci au puncte interioare comune. A treia condiție nu este îndeplinită, prin urmare nu sunt adiacente.

Suma a două unghiuri adiacente este întotdeauna 180°? Nu. Este $180^{\circ }$ doar când laturile necomune sunt opuse (formează o dreaptă). În rest, suma este pur și simplu măsura unghiului mare format de cele două unghiuri adiacente, care poate fi orice valoare.

Pot fi mai mult de două unghiuri adiacente? Da. Mai multe unghiuri se pot așeza unul lângă altul în jurul aceluiași vârf, fiecare adiacent cu vecinul său direct (cel cu care împarte o latură). Măsurile lor se adună „la rând", dând unghiul total. Atenție: două unghiuri care nu sunt vecine directe (despărțite de un al treilea) nu sunt adiacente, fiindcă nu au latură comună.

Orice unghiuri adiacente sunt și suplementare? Nu. Două unghiuri adiacente sunt suplementare doar dacă suma lor este exact $180^{\circ }$, adică atunci când laturile necomune sunt opuse (vârful stă pe o dreaptă). Există nenumărate perechi de unghiuri adiacente a căror sumă este mai mică decât $180^{\circ }$ — de exemplu $30^{\circ }$ și $40^{\circ }$, care dau $70^{\circ }$.

Cum recunosc latura comună a două unghiuri adiacente? Latura comună este semidreapta care apare în numele ambelor unghiuri și care stă „la mijloc", între celelalte două laturi. De exemplu, la $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ latura comună este $OB$ (litera $B$ apare în ambele nume), iar ea desparte cele două unghiuri.

Unde folosesc unghiurile adiacente mai departe? Le vei folosi la unghiuri complementare și suplementare, la bisectoarea unui unghi și în calcule cu măsuri de unghiuri în triunghiuri. Sunt o bază importantă pentru geometria din restul anului.