Unghiuri formate în jurul unui punct

Gândește-te la o felie de pizza, la spițele unei roți de bicicletă sau la acele unui ceas care se rotesc dintr-un singur punct central. În toate aceste situații, mai multe unghiuri pornesc din același punct și, împreună, „umplu" complet rotația din jurul lui. În această lecție vei descoperi o regulă simplă și foarte folositoare: suma tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este întotdeauna 360°. Cu ea vei putea afla repede o măsură de unghi necunoscută, exact cum un detectiv găsește piesa lipsă dintr-un puzzle.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști unghiurile formate în jurul unui punct și să explici de ce „umplu" o rotație completă.
• Vei ști că suma măsurilor unghiurilor din jurul unui punct este 360° (unghiul complet).
• Vei ști să afli o măsură de unghi necunoscută folosind suma de 360°.
• Vei ști să faci legătura dintre unghiul complet (360°) și unghiul alungit (180°).
• Vei ști să aplici regula în situații practice: sectoare, cadrane, felii egale, roți și ceasuri.

Hai să descoperim împreună

Punctul de plecare: ce înseamnă „în jurul unui punct"

Imaginează-ți o foaie de hârtie pe care marchezi un punct și îl numești $O$. Din acest punct pornesc mai multe semidrepte (raze), ca niște raze de soare care ies dintr-un centru. Fiecare două semidrepte vecine formează între ele un unghi. Dacă pornești de la o semidreaptă și te rotești în jurul punctului $O$, trecând prin toate celelalte semidrepte, până ajungi înapoi de unde ai plecat, ai parcurs o rotație completă.

Toate unghiurile care apar între semidrepte vecine, luate o singură dată și fără să se suprapună, se numesc unghiuri formate în jurul punctului $O$. Ele acoperă, fără goluri și fără suprapuneri, întreaga rotație din jurul lui $O$.

Reamintim: cât are o rotație completă?

Din clasa a V-a știi deja câteva valori importante:

• Un unghi drept are $90°$ (colțul unui caiet sau al unei cărți).
• Un unghi alungit (numit și unghi întins) are $180°$ — laturile lui formează o linie dreaptă.
• O rotație completă, adică întoarcerea care te aduce exact de unde ai plecat, are $360°$. Acesta se numește unghi complet.

De ce tocmai $360$? Este o convenție foarte veche, moștenită de la babilonieni, care împărțeau cercul în $360$ de părți egale. Numărul $360$ este foarte „prietenos", pentru că se împarte exact la foarte multe numere: la $2,3,4,5,6,8,9,10,12$ și multe altele. Tocmai de aceea este atât de comod să lucrăm cu el.

Regula de aur: suma este 360°

Iată ideea centrală a întregii lecții:

Suma măsurilor tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu 360°.

De ce? Pentru că aceste unghiuri, puse cap la cap, acoperă exact o rotație completă. Dacă te-ai roti cu fiecare unghi pe rând, plecând de la o semidreaptă, după ce treci prin toate ai făcut fix o tură întreagă — adică $360°$. Nici mai mult (te-ai suprapune), nici mai puțin (ar rămâne un gol).

Scriem acest lucru pe scurt. Dacă în jurul punctului $O$ avem unghiurile cu măsurile $a$, $b$, $c$, $d$, ... atunci:

$$a+b+c+d+\cdots =360°$$

Numărul de unghiuri poate fi oricât: două, trei, patru, șase... important este să le luăm pe toate, o singură dată fiecare.

O poveste scurtă: ceasul lui Andrei

Andrei stătea la masă și se uita la ceasul vechi din bucătărie. La un moment dat și-a dat seama de ceva: oricât de mult s-ar roti acul mare, dacă pleacă de la $12$ și ajunge înapoi la $12$, a făcut mereu exact o tură. Niciodată mai mult, niciodată mai puțin. „Deci o tură întreagă are mereu aceeași «mărime», indiferent pe ce drum o iau", și-a spus el. A măsurat cu raportorul câteva unghiuri formate de orele de pe cadran și, când le-a adunat de jur împrejur, a obținut exact $360°$. Andrei tocmai descoperise singur regula pe care o înveți acum: oricum ai împărți rotația din jurul unui punct, bucățile adunate dau întotdeauna $360°$. Asta o face o regulă de încredere — nu se schimbă niciodată.

Atenție la coliniaritate

Un cuvânt important în această lecție este coliniar. Trei puncte sunt coliniare dacă se află pe aceeași dreaptă. Când spunem „$A$, $O$, $B$ sunt coliniare", înseamnă că $A$, $O$ și $B$ stau pe o linie dreaptă, iar $O$ este între $A$ și $B$. Acest detaliu este foarte util: de fiecare dată când recunoști trei puncte coliniare într-un desen, știi imediat că unghiul $AOB$ este alungit și are $180°$. Iar de aici, jumătatea de rotație de deasupra dreptei valorează exact $180°$. Deprinde-te să cauți aceste „linii drepte ascunse" în figuri — ele îți oferă gratis o informație despre unghiuri.

O analogie cu pizza și cu felia lipsă

Imaginează-ți o pizza rotundă tăiată în câteva felii care pornesc toate din centru. Unghiul fiecărei felii spune cât de „lată" este felia la centru. Dacă aduni unghiurile tuturor feliilor, obții întreaga pizza — adică $360°$. Dacă cineva a mâncat o felie și vrei să afli cât de mare era, scazi din $360°$ suma feliilor rămase. Exact așa vom afla un unghi necunoscut.

Cum aflăm o măsură de unghi necunoscută

Aici se ascunde toată puterea regulii. Procedura este mereu aceeași și are doi pași simpli:

1. Adună măsurile tuturor unghiurilor cunoscute din jurul punctului.
2. Scade acest rezultat din $360°$. Ce rămâne este măsura unghiului necunoscut.

Pe scurt, dacă necunoscuta este $x$, scriem o egalitate (o ecuație):

$$(\text{suma unghiurilor cunoscute})+x=360°$$

și de aici

$$x=360°-(\text{suma unghiurilor cunoscute}).$$

Hai să o vedem pe un caz concret. În jurul punctului $O$ avem trei unghiuri: unul de $150°$, unul de $130°$ și al treilea necunoscut, $x$. Atunci:

$$150°+130°+x=360°$$ $$280°+x=360°$$ $$x=360°-280°=80°.$$

Verificăm: $150°+130°+80°=360°$. Perfect, se închide rotația completă.

Cazul unghiurilor egale: împărțim cinstit

Uneori, rotația din jurul punctului este împărțită în unghiuri toate egale între ele. Atunci nu mai e nevoie să cunoaștem fiecare valoare; este suficient să împărțim 360° la numărul de unghiuri.

De exemplu, dacă o roată are $5$ spițe care formează unghiuri egale în jurul centrului, fiecare unghi are:

$$360°:5=72°.$$

Dacă un tort este tăiat în $8$ felii egale, fiecare felie are la centru:

$$360°:8=45°.$$

Reține formula pentru $n$ unghiuri egale în jurul unui punct: fiecare are $\frac{360°}{n}$.

Legătura cu unghiul alungit (180°)

De multe ori, în jurul punctului $O$ trece și o dreaptă întreagă. O dreaptă care trece prin $O$ împarte rotația în două jumătăți. Fiecare jumătate este un unghi alungit de $180°$, iar cele două jumătăți fac împreună $180°+180°=360°$ — exact rotația completă.

Asta ne dă un truc foarte util. Dacă punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare (adică $AOB$ este o linie dreaptă), atunci toate unghiurile aflate de aceeași parte a dreptei, deasupra ei, fac împreună $180°$:

$$\angle AOC+\angle COB=180°.$$

Așadar, când recunoști o linie dreaptă printr-un punct, poți folosi $180°$ pentru o jumătate, iar pentru întreaga rotație folosești $360°$. Cele două reguli lucrează ca două unelte din aceeași trusă: una pentru jumătate de tură, cealaltă pentru tura completă.

Aplicații practice: sectoare și cadrane

Regula celor $360°$ apare peste tot în jurul nostru:

• Cadranele. Două drepte perpendiculare care trec prin același punct (ca axele unui grafic) împart rotația în patru unghiuri drepte egale, numite cadrane. Fiecare are $90°$, iar $4\times 90°=360°$.
• Diagramele circulare (sectoare). La statistică, un cerc întreg reprezintă $360°$ și se împarte în „felii" (sectoare) proporționale cu datele. Vei folosi această idee și la lecțiile despre grafice și interpretarea datelor.
• Ceasul. Cadranul unui ceas are $12$ ore așezate egal în jurul centrului, deci între două ore vecine sunt $360°:12=30°$.
• Roata de la parcul de distracții, elicea unei drone, busola — toate folosesc aceeași împărțire a rotației complete.

De la procente la grade: diagrama circulară

Una dintre cele mai folositoare întâlniri cu regula de $360°$ este diagrama circulară (sau „diagrama pe sectoare"). Ai văzut sigur așa ceva: un cerc împărțit în „felii" colorate, fiecare arătând cât de mare este o parte dintr-un întreg — de exemplu cum își petrec elevii dintr-o clasă timpul liber, sau ce sporturi preferă.

Ideea-cheie este simplă: întregul (adică $100\%$) corespunde unei rotații complete de $360°$. De aici aflăm imediat la cât corespunde un singur procent:

$$100\%⟶360°\Rightarrow 1\%⟶360°:100=3,6°.$$

Așadar, pentru a transforma un procent în grade, înmulțim procentul cu $3,6°$. Câteva exemple utile de ținut minte:

• $50\%$ înseamnă $50\times 3,6°=180°$ (jumătate de cerc, un unghi alungit);
• $25\%$ înseamnă $25\times 3,6°=90°$ (un sfert de cerc, un unghi drept);
• $10\%$ înseamnă $10\times 3,6°=36°$.

Și invers, dacă știm unghiul unui sector și vrem să aflăm ce parte din întreg reprezintă, împărțim unghiul la $360°$ și obținem o fracție (pe care o putem scrie și ca procent). De exemplu, un sector de $90°$ înseamnă $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ din întreg, adică $25\%$. Vei folosi din plin această legătură la lecțiile de statistică și interpretarea datelor.

Acum că ai înțeles ideea, hai să o exersăm pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflarea unui unghi dintr-un grup de trei

În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri cu măsurile $125°$, $98°$ și $x$. Află $x$.

Rezolvare. Folosim regula: suma unghiurilor în jurul unui punct este $360°$.

$$125°+98°+x=360°$$

Adunăm cunoscutele: $125°+98°=223°$. Deci:

$$223°+x=360°⟹x=360°-223°=137°.$$

Verificare: $125°+98°+137°=360°$. ✔

Exemplul 2 — Patru unghiuri în jurul unui punct

În jurul punctului $O$ avem patru unghiuri: $70°$, $110°$, $85°$ și $y$. Cât are al patrulea unghi?

Rezolvare. Adunăm cele trei valori cunoscute:

$$70°+110°+85°=265°.$$

Apoi scădem din $360°$:

$$y=360°-265°=95°.$$

Verificare: $70°+110°+85°+95°=360°$. ✔ Al patrulea unghi măsoară $95°$.

Exemplul 3 — Unghiuri egale (împărțim cinstit)

Un tort rotund este tăiat în $9$ felii egale, toate pornind din centru. Ce unghi are fiecare felie la centru?

Rezolvare. Cele $9$ unghiuri sunt egale și acoperă întreaga rotație de $360°$. Deci fiecare are:

$$360°:9=40°.$$

Verificare: $9\times 40°=360°$. ✔ Fiecare felie are $40°$.

Exemplul 4 — Folosim algebra: unghiuri cu raport între ele

În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri ale căror măsuri sunt $2x$, $3x$ și $4x$. Află valoarea lui $x$ și măsura fiecărui unghi.

Rezolvare. Suma lor este $360°$:

$$2x+3x+4x=360°.$$

Adunăm termenii asemenea: $2x+3x+4x=9x$. Deci:

$$9x=360°⟹x=360°:9=40°.$$

Acum calculăm fiecare unghi:

• primul: $2x=2\times 40°=80°$;
• al doilea: $3x=3\times 40°=120°$;
• al treilea: $4x=4\times 40°=160°$.

Verificare: $80°+120°+160°=360°$. ✔

Exemplul 5 — Folosim legătura cu unghiul alungit (180°)

Punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare, deci $AOB$ este o linie dreaptă. De aceeași parte a dreptei, din $O$ pornesc semidreptele $OC$ și $OD$, formând trei unghiuri: $\angle AOC=55°$, $\angle COD=m$ și $\angle DOB=70°$. Află $m$.

Rezolvare. Cele trei unghiuri acoperă jumătatea de sus a rotației, adică un unghi alungit de $180°$:

$$55°+m+70°=180°.$$

Adunăm cunoscutele: $55°+70°=125°$. Deci:

$$125°+m=180°⟹m=180°-125°=55°.$$

Verificare: $55°+55°+70°=180°$. ✔ Unghiul din mijloc are $55°$.

Exemplul 6 — Problemă practică cu un ceas

Pe cadranul unui ceas, orele sunt așezate egal în jurul centrului. Ce unghi formează acele care arată exact ora $3:00$ (acul mic la $3$, acul mare la $12$)?

Rezolvare. Cele $12$ ore împart rotația completă în $12$ unghiuri egale, fiecare de $360°:12=30°$. De la ora $12$ până la ora $3$ sunt $3$ astfel de „pași":

$$3\times 30°=90°.$$

Răspuns: La ora $3:00$, acele formează un unghi drept de $90°$. ✔

Exemplul 7 — Doi pași: întâi jumătatea, apoi unghiul căutat

În jurul punctului $O$ avem patru semidrepte. Două dintre ele, $OA$ și $OB$, sunt în prelungire (adică $A$, $O$, $B$ coliniare). De o parte a dreptei $AB$ se află unghiurile $\angle AOC=40°$ și $\angle COB$; de cealaltă parte se află unghiul $\angle BOD=130°$ și restul. Cât are $\angle COB$ și cât rămâne pentru unghiul $\angle DOA$?

Rezolvare. Lucrăm pe jumătăți de rotație, fiindcă $AB$ este o linie dreaptă.

Jumătatea de sus: $\angle AOC+\angle COB=180°$, deci $\angle COB=180°-40°=140°$.

Jumătatea de jos: $\angle BOD+\angle DOA=180°$, deci $\angle DOA=180°-130°=50°$.

Verificare pe rotația completă: $40°+140°+130°+50°=360°$. ✔ Totul se închide perfect.

Exemplul 8 — Diagramă circulară: din procente în grade

Într-o clasă, elevii au votat sportul preferat și rezultatele sunt: fotbal $40\%$, baschet $25\%$, înot $20\%$, iar restul de $15\%$ au ales „alt sport". Vrem să reprezentăm datele într-o diagramă circulară. Ce unghi la centru are fiecare sector?

Rezolvare. Întregul cerc ($100\%$) corespunde la $360°$, deci $1\%\to 3,6°$. Înmulțim fiecare procent cu $3,6°$:

• fotbal: $40\times 3,6°=144°$;
• baschet: $25\times 3,6°=90°$;
• înot: $20\times 3,6°=72°$;
• alt sport: $15\times 3,6°=54°$.

Verificare: $144°+90°+72°+54°=360°$. ✔ Suma sectoarelor dă exact o rotație completă, deci diagrama este corectă.

Exemplul 9 — Diagramă circulară: din grade în fracții

O diagramă circulară are trei sectoare. Primul are un unghi la centru de $120°$, al doilea de $150°$, iar al treilea acoperă restul cercului. Cât are al treilea sector și ce fracție din întreg reprezintă fiecare?

Rezolvare. Mai întâi aflăm al treilea unghi, folosind regula de $360°$:

$$120°+150°+x=360°⟹270°+x=360°⟹x=90°.$$

Acum scriem fiecare sector ca fracție din întreg, împărțind unghiul la $360°$ și simplificând:

• primul: $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$;
• al doilea: $\frac{150}{360}=\frac{5}{12}$;
• al treilea: $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$.

Verificare: adunăm fracțiile aducându-le la numitorul comun $12$: $\frac{4}{12}+\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{12}{12}=1$ (întregul). ✔ Cele trei sectoare formează exact un cerc complet.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde apare un unghi necunoscut, scrie întâi ecuația cu $360°$ (sau $180°$, dacă e o linie dreaptă), apoi calculează.

1. Completează: suma măsurilor tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este de ......° .

2. Completează: un unghi complet are ......°, iar un unghi alungit are ......° .

3. În jurul punctului $O$ sunt trei unghiuri: $140°$, $90°$ și $x$. Află $x$.

4. În jurul punctului $O$ sunt patru unghiuri: $100°$, $80°$, $95°$ și $y$. Află $y$.

5. Adevărat sau fals: „Un unghi complet are $180°$." Justifică.

6. Adevărat sau fals: „Dacă două unghiuri formate în jurul unui punct au împreună $360°$, atunci nu mai poate exista un al treilea unghi în jurul aceluiași punct."

7. În jurul punctului $O$ sunt cinci unghiuri egale. Cât are fiecare?

8. Două unghiuri în jurul punctului $O$ au măsurile $215°$ și $z$. Află $z$.

9. În jurul punctului $O$ avem unghiurile $45°$, $60°$, $75°$, $90°$ și $t$. Află $t$.

10. În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri: $x$, $2x$ și $3x$. Află $x$ și cele trei unghiuri.

11. În jurul punctului $O$ sunt trei unghiuri: $x+10°$, $x+20°$ și $x+30°$. Află $x$ și măsura fiecărui unghi.

12. Două drepte perpendiculare se intersectează în punctul $O$. În câte unghiuri egale împart ele rotația și cât are fiecare?

13. O pizza este tăiată în $8$ felii egale care pornesc din centru. Ce unghi are fiecare felie la centru?

14. Punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare. De aceeași parte a dreptei, din $O$ pornește semidreapta $OC$, astfel încât $\angle AOC=115°$. Cât are $\angle COB$?

15. În jurul punctului $O$ se formează patru unghiuri ale căror măsuri sunt $3x$, $3x$, $2x$ și $4x$. Află $x$ și cel mai mare unghi.

16. Pe cadranul unui ceas, ce unghi formează acele la ora $2:00$ (acul mic la $2$, acul mare la $12$)?

17. O dronă are $6$ elice egale, dispuse cu unghiuri egale în jurul centrului. Ce unghi este între două elice vecine?

18. Mică problemă. O grădină rotundă este împărțită din centru în trei sectoare: unul cu flori de $130°$, unul cu legume de $150°$ și unul cu iarbă, $x$. Câte grade are sectorul cu iarbă? Verifică prin adunare.

19. Potrivește fiecare situație cu unghiul corect dintre două elemente vecine egale: (a) $4$ sectoare egale; (b) $10$ sectoare egale; (c) $3$ sectoare egale. Variante: $36°$, $90°$, $120°$.

20. Mică problemă. Într-o diagramă circulară, sportul preferat al elevilor ocupă un sector de $90°$, lectura $120°$, jocurile pe calculator $60°$, iar restul, $x$, reprezintă „altele". Câte grade are sectorul „altele" și ce parte (fracție) din întreg înseamnă el?

21. Diagramă circulară. Într-un sondaj, $50\%$ dintre elevi preferă cititul, $30\%$ sportul și $20\%$ muzica. Ce unghi la centru are fiecare sector? (Folosește $1\%\to 3,6°$.)

22. Într-o diagramă circulară, un sector are unghiul la centru de $144°$. Ce fracție din întreg reprezintă acel sector? Scrie fracția simplificată.

23. În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri ale căror măsuri sunt $4x$, $5x$ și $6x$. Află $x$ și măsura fiecărui unghi.

24. Într-o diagramă circulară, un sector reprezintă $35\%$ din întreg. Câte grade are unghiul lui la centru?

25. Mică problemă. Într-o diagramă circulară despre cheltuielile lunare ale unei familii, „mâncare" ocupă $150°$, „chirie" $120°$, iar restul, $x$, reprezintă „economii". Câte grade are sectorul „economii" și ce procent din întreg înseamnă el?

Răspunsuri și explicații

1. $360°$. Unghiurile din jurul unui punct acoperă o rotație completă.

2. Unghiul complet are $360°$; unghiul alungit are $180°$.

3. $140°+90°+x=360°\Rightarrow 230°+x=360°\Rightarrow x=130°$.

4. $100°+80°+95°=275°$; $y=360°-275°=85°$.

5. Fals. Un unghi complet are $360°$; $180°$ este unghiul alungit (jumătate de rotație).

6. Adevărat. Dacă două unghiuri ajung deja la $360°$, rotația este complet acoperită, deci nu mai rămâne loc pentru un alt unghi.

7. $360°:5=72°$. Fiecare unghi are $72°$.

8. $z=360°-215°=145°$.

9. $45°+60°+75°+90°=270°$; $t=360°-270°=90°$.

10. $x+2x+3x=360°\Rightarrow 6x=360°\Rightarrow x=60°$. Unghiurile sunt $60°$, $120°$ și $180°$. (Verificare: $60°+120°+180°=360°$.)

11. $(x+10°)+(x+20°)+(x+30°)=360°\Rightarrow 3x+60°=360°\Rightarrow 3x=300°\Rightarrow x=100°$. Unghiurile sunt $110°$, $120°$ și $130°$. (Verificare: $110°+120°+130°=360°$.)

12. În $4$ unghiuri egale (cadrane), fiecare de $90°$. ($4\times 90°=360°$.)

13. $360°:8=45°$. Fiecare felie are $45°$.

14. $AOB$ este linie dreaptă, deci $\angle AOC+\angle COB=180°$. Atunci $\angle COB=180°-115°=65°$.

15. $3x+3x+2x+4x=360°\Rightarrow 12x=360°\Rightarrow x=30°$. Unghiurile sunt $90°$, $90°$, $60°$ și $120°$. Cel mai mare este $4x=120°$.

16. Între două ore vecine sunt $30°$. De la $12$ la $2$ sunt $2$ pași: $2\times 30°=60°$.

17. $360°:6=60°$ între două elice vecine.

18. $130°+150°+x=360°\Rightarrow 280°+x=360°\Rightarrow x=80°$. Sectorul cu iarbă are $80°$. (Verificare: $130°+150°+80°=360°$.)

19. (a) $360°:4=90°$; (b) $360°:10=36°$; (c) $360°:3=120°$. Deci a–$90°$, b–$36°$, c–$120°$.

20. $90°+120°+60°=270°$; $x=360°-270°=90°$. Sectorul „altele" are $90°$, adică $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ din întreg (un sfert).

21. $1\%\to 3,6°$. Cititul: $50\times 3,6°=180°$; sportul: $30\times 3,6°=108°$; muzica: $20\times 3,6°=72°$. (Verificare: $180°+108°+72°=360°$.)

22. $\frac{144}{360}=\frac{2}{5}$ din întreg. (Simplificăm împărțind numărătorul și numitorul la $72$.)

23. $4x+5x+6x=360°\Rightarrow 15x=360°\Rightarrow x=24°$. Unghiurile sunt $4x=96°$, $5x=120°$ și $6x=144°$. (Verificare: $96°+120°+144°=360°$.)

24. $35\times 3,6°=126°$. Unghiul la centru al sectorului are $126°$.

25. $150°+120°+x=360°\Rightarrow 270°+x=360°\Rightarrow x=90°$. Sectorul „economii" are $90°$, adică $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}=25\%$ din întreg.

De reținut

• Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360° (unghiul complet) — aceasta este regula-cheie a lecției.
• Pentru a afla un unghi necunoscut, aduni unghiurile cunoscute și scazi totul din $360°$: $x=360°-(\text{suma cunoscutelor})$.
• Dacă cele $n$ unghiuri sunt egale, fiecare are $\frac{360°}{n}$.
• O dreaptă care trece prin punct creează două unghiuri alungite; de aceeași parte a ei, unghiurile fac împreună $180°$, iar $180°+180°=360°$.
• La diagrama circulară, întregul ($100\%$) corespunde la $360°$, deci $1\%\to 3,6°$. Înmulțești procentul cu $3,6°$ pentru a obține unghiul, sau împarți unghiul la $360°$ pentru a obține fracția (procentul).
• Regula se aplică în viața reală: sectoare, cadrane, felii egale, ceasuri, roți și diagrame circulare.

Greșeli frecvente

• Confunzi 360° cu 180°. Pentru o rotație completă în jurul punctului folosești $360°$; pentru o jumătate (o linie dreaptă) folosești $180°$. Întreabă-te mereu: „acopăr toată tura sau doar jumătate?"
• Uiți un unghi când aduni. Numără cu atenție toate unghiurile din desen și ia fiecare o singură dată, fără să le sari sau să le repeți. Un punct pe fiecare semidreaptă te ajută să nu pierzi niciunul.
• Împarți greșit la unghiuri egale. Pentru $n$ unghiuri egale, împarte $360°$ la $n$ (nu înmulți). Verifică mereu: $n\times (\text{rezultat})$ trebuie să dea $360°$.
• Greșeli de scădere. După ce aduni cunoscutele, scade-le cu grijă din $360°$. Reverifică făcând adunarea finală: toate unghiurile trebuie să dea exact $360°$.
• Confunzi procentul cu gradele la diagrama circulară. Un sector de $25\%$ nu are $25°$, ci $25\times 3,6°=90°$. Ține minte că $1\%$ înseamnă $3,6°$, nu $1°$. Verifică la final: suma procentelor trebuie să fie $100\%$, iar suma unghiurilor $360°$.

Joc acasă

1. Pizza din hârtie. Decupează un cerc dintr-o hârtie și marchează centrul. Taie-l în câteva „felii" pornind din centru, măsoară fiecare unghi cu raportorul și adună-le. Indiferent cum tai, suma trebuie să iasă (aproape exact) $360°$ — micile diferențe vin doar din precizia măsurării.

2. Ceasul vorbitor. Folosește un ceas cu ace (sau desenează unul). Pune acul mare pe $12$ și mută acul mic pe rând la $1,2,3,\mathrm{4...}$ . Calculează de fiecare dată unghiul ($30°$, $60°$, $90°$, $120°$...) și verifică-te cu raportorul. Care oră dă un unghi drept? Dar un unghi alungit?

3. Detectivul feliei lipsă. Roagă un părinte să deseneze în jurul unui punct câteva unghiuri, acoperind unul cu un autocolant. Tu trebuie să afli unghiul ascuns folosind regula celor $360°$. Apoi schimbați rolurile: tu ascunzi, el ghicește.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce o regulă fundamentală și foarte vizuală: unghiurile din jurul unui punct însumează 360°. Ea se bazează pe cunoștințe din clasa a V-a (unghi drept, unghi alungit, măsurare cu raportorul) și pregătește lecțiile următoare despre unghiuri adiacente, complementare și suplementare, dar și diagramele circulare de la statistică.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți de la concret. Tăiați împreună o pizza sau un cerc de hârtie din centru și măsurați feliile cu raportorul — descoperirea că suma e $360°$ rămâne mult mai bine în minte decât o regulă spusă pe de rost.
• Insistați pe diferența dintre $360°$ (tura completă) și $180°$ (jumătate, o linie dreaptă). Aceasta este sursa celor mai multe greșeli.
• Cereți mereu ecuația scrisă înainte de calcul: „suma cunoscutelor $+x=360°$". Așa elevul învață raționamentul, nu doar răspunsul.

Întrebări pe care le puteți pune: „Câte grade are o rotație completă? Dar jumătate de rotație?", „Dacă mai pun încă un unghi, cum se schimbă suma?", „Cum verifici că răspunsul tău e corect?" (răspuns: adunând la loc toate unghiurile — trebuie să dea $360°$).

Cum verificați înțelegerea: elevul ar trebui să poată (1) enunța regula de $360°$, (2) afla un unghi necunoscut prin scădere, (3) împărți corect la unghiuri egale și (4) recunoaște când o linie dreaptă cere $180°$ în loc de $360°$.

Întrebări frecvente

Câte grade au împreună unghiurile din jurul unui punct? Împreună au exact $360°$, pentru că acoperă o rotație completă în jurul acelui punct. Aceasta este regula de bază a lecției și se aplică oricâte unghiuri ar fi.

Care este diferența dintre unghiul complet și unghiul alungit? Unghiul complet are $360°$ și corespunde unei rotații întregi în jurul unui punct. Unghiul alungit are $180°$ și corespunde unei jumătăți de rotație, adică unei linii drepte. Două unghiuri alungite fac împreună un unghi complet.

Cum aflu un unghi necunoscut format în jurul unui punct? Aduni măsurile tuturor unghiurilor cunoscute, apoi scazi rezultatul din $360°$. Pe scurt: $x=360°-(\text{suma unghiurilor cunoscute})$. La final verifici adunând toate unghiurile — trebuie să iasă $360°$.

Cât are fiecare unghi dacă în jurul unui punct sunt mai multe unghiuri egale? Împarți $360°$ la numărul de unghiuri. De exemplu, pentru $6$ unghiuri egale, fiecare are $360°:6=60°$. Pentru $8$ unghiuri egale, fiecare are $45°$.

De ce o rotație completă are tocmai 360 de grade? Este o convenție foarte veche, de la babilonieni, care împărțeau cercul în $360$ de părți. Numărul $360$ este comod deoarece se împarte exact la foarte multe numere ($2,3,4,5,6,8,9,10,12$...), ceea ce ușurează calculele.

Când folosesc 180° și când 360° la unghiuri în jurul unui punct? Folosești $360°$ pentru întreaga rotație în jurul punctului. Folosești $180°$ atunci când prin punct trece o dreaptă și lucrezi doar cu unghiurile de pe o singură parte a ei (o jumătate de rotație).

Ce legătură au unghiurile din jurul unui punct cu diagramele circulare? O diagramă circulară reprezintă un întreg ca un cerc de $360°$, împărțit în sectoare. Fiecare sector are un unghi la centru proporțional cu partea pe care o reprezintă, iar suma tuturor sectoarelor dă $360°$ — exact regula din această lecție.

Cum verific dacă am calculat corect un unghi necunoscut? Adună toate unghiurile, inclusiv cel pe care l-ai aflat. Dacă suma este exact $360°$ (sau $180°$, când lucrezi pe o linie dreaptă), răspunsul este corect. Dacă nu, reia adunarea și scăderea, căutând greșeala de calcul.

Cum transform un procent în grade la o diagramă circulară? Pentru că întregul cerc ($100\%$) înseamnă $360°$, un singur procent înseamnă $360°:100=3,6°$. Așadar înmulțești procentul cu $3,6°$: de exemplu, $40\%$ devine $40\times 3,6°=144°$. Invers, ca să afli procentul dintr-un unghi, împarți unghiul la $360°$ (de pildă $90°:360°=\frac{1}{4}=25\%$).