Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

Imaginează-ți că ai o felie mare de pizza și vrei să o împarți cinstit, exact pe jumătate, cu fratele tău. Tăietura dreaptă care pornește din vârful feliei și o desparte în două bucăți perfect egale este, în limbaj matematic, chiar bisectoarea unghiului. În această lecție vei învăța ce este bisectoarea unui unghi, ce proprietate o face atât de specială și, mai ales, cum o construiești corect — o dată cu raportorul și rigla, iar apoi, ca un adevărat geometru, doar cu compasul și rigla. Hai să pornim!

Ce vei învăța

Vei ști să definești bisectoarea unui unghi ca semidreaptă care împarte unghiul în două unghiuri congruente.
Vei ști să enunți și să folosești proprietatea fundamentală a bisectoarei.
Vei ști să construiești bisectoarea cu raportorul și rigla, prin măsurare.
Vei ști să construiești bisectoarea cu compasul și rigla, fără să măsori unghiul.
Vei ști să rezolvi calcule cu măsuri de unghiuri folosind bisectoarea.

Hai să descoperim împreună

Reamintim ce este un unghi

Înainte de a tăia ceva în două, trebuie să știm ce tăiem. Un unghi este figura formată de două semidrepte care pornesc din același punct. Punctul comun se numește vârful unghiului, iar cele două semidrepte se numesc laturile unghiului.

Dacă vârful este punctul $O$ , iar laturile trec prin punctele $A$ și $B$ , atunci unghiul se notează $A O B$ (sau $B O A$ — litera vârfului stă mereu la mijloc). Măsura unghiului, exprimată în grade, o notăm $m (A O B)$ .

Din lecțiile anterioare știi deja să recunoști unghiuri ascuțite (sub $90°$ ), drepte ( $90°$ ), obtuze (între $90°$ și $180°$ ) și unghiul alungit ( $180°$ ). Acum facem un pas mai departe: vrem să împărțim un unghi în două părți egale.

Ce înseamnă „congruente"

Vei întâlni des cuvântul congruent. Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură. Scriem $A O B \equiv C O D$ și citim „unghiul $A O B$ este congruent cu unghiul $C O D$ ". Practic, dacă $m (A O B) = m (C O D)$ , cele două unghiuri sunt congruente — ca două felii de pizza care arată identic de mari.

Ține minte: congruent = aceeași mărime. La unghiuri, „aceeași mărime" înseamnă „același număr de grade".

Definiția bisectoarei

Suntem gata pentru definiția cheie a lecției.

Definiție. Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul unghiului, care îl împarte în două unghiuri congruente.

Să desfacem definiția în bucăți mici, ca să o înțelegem perfect:

Bisectoarea este o semidreaptă, nu o dreaptă întreagă și nici un segment. Pornește din vârf și se duce mai departe într-o singură direcție.
Originea ei este chiar vârful unghiului. Bisectoarea nu pornește din altă parte.
Ea trece prin interiorul unghiului (printre cele două laturi).
Ea împarte unghiul în două unghiuri congruente, adică două unghiuri exact la fel de mari.

Cuvântul „bisectoare" vine din latină: bi- înseamnă „doi/de două ori", iar secare înseamnă „a tăia". Deci bisectoarea „taie în două" unghiul. Frumos, nu? Numele singur îți spune ce face.

Proprietatea fundamentală a bisectoarei

Din definiție obținem direct o proprietate foarte folositoare la calcule. Să zicem că $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Atunci cele două unghiuri formate sunt congruente:

$A O M \equiv M O B, adic \overset{a}{˘} m (A O M) = m (M O B) .$

Mai mult, cele două unghiuri mici, puse cap la cap, refac unghiul mare:

$m (A O M) + m (M O B) = m (A O B) .$

Combinând cele două relații, ajungem la regula de aur a bisectoarei. Dacă unghiul are măsura $u$ , atunci fiecare jumătate are măsura:

$m (A O M) = m (M O B) = \frac{m ( A O B )}{2} = \frac{u}{2} .$

Cu alte cuvinte:

Proprietate. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri, fiecare având jumătate din măsura unghiului întreg.

Și invers funcționează la fel de bine: dacă unghiul jumătate are măsura $\frac{u}{2}$ , atunci unghiul întreg are măsura $u = 2 \cdot \frac{u}{2}$ . Vom folosi des această idee în calcule: înmulțim cu 2 ca să refacem unghiul întreg și împărțim la 2 ca să găsim jumătatea.

Un exemplu rapid ca să simțim regula

Dacă $A O B$ are $80°$ , atunci bisectoarea îl taie în două unghiuri de câte $80° : 2 = 40°$ . Dacă unghiul are $130°$ , jumătatea este $130° : 2 = 65°$ . Iar dacă jumătatea măsoară $35°$ , unghiul întreg are $35° \cdot 2 = 70°$ . Vezi cât de simplu? Toată aritmetica bisectoarei se învârte în jurul lui „înmulțit cu 2" și „împărțit la 2".

Câte bisectoare are un unghi?

O întrebare care apare des: câte bisectoare poate avea un unghi? Răspunsul este: exact una singură. Există o unică semidreaptă, pornind din vârf, care taie unghiul fix în două jumătăți egale. Nu mai puține, nu mai multe. Dacă ai trasa o semidreaptă cât de puțin alături, una dintre jumătăți ar deveni mai mare decât cealaltă și n-ar mai fi bisectoare.

Construcția bisectoarei cu raportorul și rigla

Acum trecem la partea practică. Prima metodă folosește raportorul (instrumentul cu care măsori grade) și rigla. Ideea este simplă: măsurăm unghiul, îl împărțim la 2 și marcăm jumătatea.

Să construim bisectoarea unui unghi $A O B$ de care nu cunoaștem măsura. Urmează pașii cu răbdare:

Pasul 1. Așază centrul raportorului (semnul mic din mijlocul muchiei drepte) exact pe vârful $O$ al unghiului.

Pasul 2. Rotește raportorul până când linia de $0°$ se suprapune peste latura $O A$ . Acum citește pe raportor în dreptul laturii $O B$ măsura unghiului. Să zicem că ai citit $m (A O B) = 70°$ .

Pasul 3. Împarte măsura la 2: $70° : 2 = 35°$ . Aceasta este măsura fiecărei jumătăți.

Pasul 4. Cu raportorul tot pe loc (centrul pe $O$ , $0°$ pe $O A$ ), găsește pe gradație valoarea $35°$ și fă un punct mic, pe care îl numim $M$ .

Pasul 5. Ia rigla și trasează semidreapta $O M$ , pornind din vârful $O$ prin punctul $M$ . Gata — $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ !

Pasul 6 (verificare). Măsoară din nou cu raportorul unghiul $A O M$ și unghiul $M O B$ . Ambele trebuie să dea $35°$ . Dacă ai obținut asta, felicitări, construcția e corectă.

Metoda cu raportorul este rapidă și intuitivă, dar are un mic dezavantaj: depinde de cât de bine măsori. Dacă unghiul ar fi, de exemplu, $73°$ , jumătatea ar fi $36, 5°$ și ai avea de marcat o jumătate de grad — greu de nimerit exact pe raportor. De aceea geometrii preferă o metodă care nu folosește deloc măsurarea: construcția cu compasul.

Construcția bisectoarei cu compasul și rigla

Aceasta este construcția „clasică", elegantă, pe care matematicienii o folosesc de mii de ani. Frumusețea ei este că funcționează fără raportor: nu măsori niciun grad, dar obții o bisectoare perfect exactă. Avem nevoie doar de compas și riglă (rigla doar pentru a trasa linii drepte, fără să citim distanțe).

Construim bisectoarea unghiului $A O B$ , cu vârful în $O$ :

Pasul 1. Pune vârful (acul) compasului în vârful $O$ al unghiului. Deschide compasul la o deschidere oarecare, comodă, și trasează un arc de cerc care taie ambele laturi ale unghiului. Notează cu $P$ punctul în care arcul taie latura $O A$ și cu $Q$ punctul în care taie latura $O B$ .

Important: punctele $P$ și $Q$ sunt acum egal depărtate de vârful $O$ , fiindcă amândouă sunt pe același arc, adică la aceeași deschidere a compasului. Asta înseamnă $O P = O Q$ . Reține ideea, e cheia construcției.

Pasul 2. Mută acul compasului în punctul $P$ . Cu o deschidere convenabilă (de exemplu, mai mare decât jumătatea distanței dintre $P$ și $Q$ , ca arcele să se intersecteze), trasează un mic arc în interiorul unghiului.

Pasul 3. Fără să schimbi deschiderea compasului, mută acul în punctul $Q$ și trasează un al doilea arc, care îl taie pe primul. Notează cu $M$ punctul în care cele două arce se intersectează.

Punctul $M$ este, și el, egal depărtat de $P$ și de $Q$ , fiindcă cele două arce au fost trasate cu aceeași deschidere de compas. Deci $M P = M Q$ .

Pasul 4. Ia rigla și trasează semidreapta $O M$ , pornind din vârful $O$ prin punctul $M$ . Aceasta este bisectoarea unghiului $A O B$ !

Pasul 5 (verificare). Dacă ai un raportor la îndemână, măsoară $A O M$ și $M O B$ — vei vedea că sunt egale. Dar atenție: măsurarea este doar pentru verificare; construcția în sine nu a folosit niciun grad.

De ce funcționează construcția cu compasul?

E firesc să te întrebi: de unde știm sigur că $O M$ este chiar bisectoarea? Iată ideea, pe înțelesul tău. În construcția noastră am avut grijă ca:

$O P = O Q$ (punctele $P$ și $Q$ sunt pe același arc din $O$ );
$M P = M Q$ (punctul $M$ este la fel de departe de $P$ și de $Q$ ).

Imaginează-ți figura îndoită pe linia $O M$ , ca o foaie pe care o pliezi. Pentru că $O P = O Q$ și $M P = M Q$ , jumătatea cu $P$ se suprapune perfect peste jumătatea cu $Q$ . Tot ce era de o parte se potrivește exact peste ce era de cealaltă parte. Asta înseamnă că unghiul $P O M$ se suprapune peste unghiul $QO M$ , deci ele sunt congruente. Cum $P$ este pe latura $O A$ și $Q$ pe latura $O B$ , rezultă $A O M \equiv B O M$ . Exact ce ne trebuia: $O M$ taie unghiul în două jumătăți egale, deci este bisectoarea.

Această justificare este un prim contact cu ideea de demonstrație prin suprapunere (simetrie), pe care o vei aprofunda mai târziu la triunghiuri congruente.

Bisectoarea unghiului drept și a unghiului alungit

Două cazuri merită atenție specială.

Unghiul drept are $90°$ . Bisectoarea lui formează două unghiuri de câte $90° : 2 = 45°$ . Așa obții, fără raportor, un unghi precis de $45°$ — foarte util în desen tehnic.

Unghiul alungit are $180°$ (laturile sunt în prelungire, formând o linie dreaptă). Bisectoarea lui îl taie în două unghiuri de câte $180° : 2 = 90°$ , adică două unghiuri drepte. Deci bisectoarea unui unghi alungit este chiar perpendiculara pe acea dreaptă! Vei revedea această idee când vei studia drepte perpendiculare și mediatoarea unui segment.

Legătura cu lecțiile vecine

Bisectoarea apare des împreună cu alte tipuri de unghiuri. De pildă, dacă două unghiuri sunt adiacente și cunoști bisectoarele lor, poți calcula tot felul de măsuri. Bisectoarea joacă un rol și la unghiuri complementare și suplementare, iar mai târziu vei întâlni bisectoarele unui triunghi și cercul înscris, unde toate cele trei bisectoare se întâlnesc într-un singur punct special. Tot ce înveți acum este temelia pentru acele lecții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Jumătatea unghiului

Enunț. Semidreapta $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ , cu $m (A O B) = 96°$ . Cât măsoară unghiul $A O M$ ?

Rezolvare. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale, fiecare jumătate din întreg: $m (A O M) = \frac{m ( A O B )}{2} = \frac{96°}{2} = 48°.$

Răspuns. $m (A O M) = 48°$ (și, la fel, $m (M O B) = 48°$ ).

Exemplul 2 — Refacem unghiul întreg

Enunț. $O D$ este bisectoarea unghiului $x O y$ . Știm că $m (x O D) = 37°$ . Cât măsoară unghiul $x O y$ ?

Rezolvare. De data aceasta cunoaștem jumătatea și căutăm întregul. Înmulțim cu 2: $m (x O y) = 2 \cdot m (x O D) = 2 \cdot 37° = 74°.$

Răspuns. $m (x O y) = 74°$ .

Exemplul 3 — Bisectoarea unghiului drept

Enunț. Unghiul $A O B$ este drept. Semidreapta $O C$ este bisectoarea lui. Apoi $O D$ este bisectoarea unghiului $A O C$ . Cât măsoară unghiul $A O D$ ?

Rezolvare. Unghiul drept are $m (A O B) = 90°$ .

$O C$ bisectoare $\Rightarrow m (A O C) = \frac{90°}{2} = 45°.$
$O D$ bisectoarea lui $A O C \Rightarrow m (A O D) = \frac{45°}{2} = 22, 5°.$

Răspuns. $m (A O D) = 22, 5°$ . Observă cum, prin bisectoare succesive, am ajuns la o jumătate de jumătate.

Exemplul 4 — Două bisectoare ale unghiurilor de pe o latură comună

Enunț. Fie unghiurile adiacente $A O B$ și $B O C$ cu $m (A O B) = 50°$ și $m (B O C) = 30°$ . Notăm $O M$ bisectoarea unghiului $A O B$ și $O N$ bisectoarea unghiului $B O C$ . Cât măsoară unghiul $M O N$ ?

Rezolvare. Mai întâi găsim jumătățile:

$O M$ bisectoare $\Rightarrow m (B O M) = \frac{50°}{2} = 25°.$
$O N$ bisectoare $\Rightarrow m (B O N) = \frac{30°}{2} = 15°.$

Semidreptele $O M$ și $O N$ sunt de o parte și de cealaltă a laturii comune $O B$ , deci unghiul $M O N$ se obține adunând cele două jumătăți: $m (M O N) = m (B O M) + m (B O N) = 25° + 15° = 40°.$

Răspuns. $m (M O N) = 40°$ .

Observă un lucru frumos: $40° = \frac{50° + 30°}{2} = \frac{80°}{2}$ . Unghiul dintre bisectoare este jumătatea sumei celor două unghiuri. Asta nu e o coincidență — vei descoperi de ce când vei lucra mai multe astfel de probleme.

Exemplul 5 — Necunoscuta din ecuație

Enunț. Semidreapta $O t$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Știm că $m (A O t) = (3 x + 5) °$ și $m (tO B) = (x + 25) °$ . Află $x$ și măsura unghiului $A O B$ .

Rezolvare. Deoarece $O t$ este bisectoare, cele două unghiuri sunt congruente, deci au aceeași măsură: $3 x + 5 = x + 25.$ Rezolvăm ecuația (ca în lecția de ecuații): $3 x - x = 25 - 5 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = 10.$ Acum măsurile:

$m (A O t) = 3 \cdot 10 + 5 = 35°$ ;
$m (tO B) = 10 + 25 = 35°$ (verifică — sunt egale, bine!);
$m (A O B) = 35° + 35° = 70°.$

Răspuns. $x = 10$ și $m (A O B) = 70°$ .

Exemplul 6 — Construcție și verificare

Enunț. Descrie pe scurt cum construiești cu compasul bisectoarea unui unghi $x O y$ de $60°$ și verifică ce unghiuri obții.

Rezolvare. Trasăm un arc din $O$ care taie laturile în $P$ și $Q$ . Din $P$ și $Q$ , cu aceeași deschidere, trasăm două arce care se taie în $M$ . Trasăm semidreapta $O M$ cu rigla — este bisectoarea. Cum unghiul are $60°$ , fiecare jumătate are $60° : 2 = 30°$ . Deci $m (x O M) = m (M O y) = 30°$ .

Răspuns. Bisectoarea $O M$ formează două unghiuri de câte $30°$ .

Exemplul 7 — Bisectoarele a două unghiuri suplementare adiacente

Enunț. Pe o dreaptă, în punctul $O$ , se ia o semidreaptă $O B$ . Se formează astfel două unghiuri adiacente și suplementare $A O B$ și $B O C$ (deci $m (A O B) + m (B O C) = 180°$ ). Notăm $O M$ bisectoarea lui $A O B$ și $O N$ bisectoarea lui $B O C$ . Arată că unghiul $M O N$ este drept, oricare ar fi măsurile celor două unghiuri.

Rezolvare. Folosim regula bisectoarei pentru fiecare unghi: $m (B O M) = \frac{m ( A O B )}{2}, m (B O N) = \frac{m ( B O C )}{2} .$ Semidreptele $O M$ și $O N$ sunt de o parte și de cealaltă a laturii comune $O B$ , deci unghiul dintre ele este suma celor două jumătăți: $m (M O N) = m (B O M) + m (B O N) = \frac{m ( A O B )}{2} + \frac{m ( B O C )}{2} = \frac{m ( A O B ) + m ( B O C )}{2} = \frac{180°}{2} = 90°.$

Răspuns. $m (M O N) = 90°$ , indiferent de cât măsoară fiecare unghi în parte. Reține concluzia: bisectoarele a două unghiuri suplementare adiacente sunt perpendiculare. Este una dintre cele mai frumoase consecințe ale regulii bisectoarei și o vei reîntâlni des în probleme.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde se cere, folosește rigla, raportorul sau compasul. Exercițiile cresc treptat în dificultate.

1. Completează: bisectoarea unui unghi este o ……… care împarte unghiul în două unghiuri ……… .

2. Adevărat sau fals? a) Bisectoarea pornește din vârful unghiului. b) Un unghi poate avea două bisectoare diferite. c) Bisectoarea este o dreaptă întreagă. d) Bisectoarea unui unghi de $100°$ formează două unghiuri de câte $50°$ .

3. $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Calculează măsura unghiului $A O M$ , dacă: a) $m (A O B) = 64°$ ; b) $m (A O B) = 150°$ ; c) $m (A O B) = 90°$ ; d) $m (A O B) = 47°$ .

4. $O D$ este bisectoarea unghiului $x O y$ . Află $m (x O y)$ , dacă: a) $m (x O D) = 28°$ ; b) $m (x O D) = 45°$ ; c) $m (x O D) = 61°$ .

5. Încercuiește răspunsul corect. Bisectoarea unui unghi drept formează două unghiuri de: a) $30°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $90°$ .

6. Desenează un unghi $A O B$ de $80°$ cu raportorul, apoi construiește-i bisectoarea cu raportorul și rigla. Notează măsura fiecărei jumătăți.

7. Desenează un unghi obtuz oarecare și construiește-i bisectoarea doar cu compasul și rigla (fără să măsori). Verifică apoi cu raportorul.

8. Potrivește fiecare unghi cu măsura jumătății lui:

Unghi	Jumătate
A. $120°$	1. $30°$
B. $60°$	2. $60°$
C. $160°$	3. $90°$
D. $180°$	4. $80°$

9. Semidreapta $O t$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Știm că $m (A O t) = 33°$ . Calculează $m (tO B)$ și $m (A O B)$ .

10. Completează spațiile: dacă bisectoarea unui unghi formează jumătăți de câte $52°$ , atunci unghiul are ……… , iar dacă unghiul are $138°$ , fiecare jumătate are ……… .

11. $O C$ este bisectoarea unghiului $A O B$ de $72°$ . Apoi $O D$ este bisectoarea unghiului $A O C$ . Cât măsoară $A O D$ ?

12. Unghiurile adiacente $A O B$ și $B O C$ au $m (A O B) = 46°$ și $m (B O C) = 34°$ . $O M$ este bisectoarea lui $A O B$ , iar $O N$ este bisectoarea lui $B O C$ . Calculează $m (M O N)$ .

13. $O t$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Se dau $m (A O t) = (2 x + 8) °$ și $m (tO B) = (x + 20) °$ . Află $x$ și $m (A O B)$ .

14. Adevărat sau fals? Bisectoarea unui unghi alungit ( $180°$ ) este perpendiculară pe latura comună. Justifică.

15. Semidreapta $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ , iar $m (A O B) = 110°$ . În interiorul unghiului $A O M$ se ia o semidreaptă $O P$ astfel încât $m (A O P) = 20°$ . Cât măsoară $P O M$ ?

16. Două unghiuri $A O B$ și $B O C$ sunt complementare (suma lor este $90°$ ). $O M$ este bisectoarea lui $A O B$ , iar $O N$ este bisectoarea lui $B O C$ . Arată că $m (M O N) = 45°$ .

17. Unghiurile $A O B$ și $C O D$ sunt opuse la vârf, cu $m (A O B) = 50°$ . $O M$ este bisectoarea lui $A O B$ . Cât măsoară unghiul $A O M$ ? (Folosește că unghiurile opuse la vârf sunt congruente.)

18. Problemă. Pe un cadran de ceas, acele formează la ora 4:00 un unghi de $120°$ . O furnică pleacă din centru exact pe bisectoarea acelui unghi. Cu ce unghi față de fiecare ac se deplasează furnica?

19. Unghiurile $A O B$ și $B O C$ sunt adiacente și suplementare (suma lor este $180°$ ), cu $m (A O B) = 124°$ . $O M$ este bisectoarea lui $A O B$ , iar $O N$ este bisectoarea lui $B O C$ . Calculează $m (M O N)$ .

20. Semidreapta $O M$ este bisectoarea unghiului $A O B$ . Știm că $m (A O M)$ este cu $18°$ mai mică decât $m (A O B)$ . Cât măsoară unghiul $A O B$ ? (Indicație: $m (A O M)$ este jumătate din $m (A O B)$ .)

Răspunsuri și explicații

1. Bisectoarea este o semidreaptă care împarte unghiul în două unghiuri congruente (egale).

2. a) Adevărat — originea bisectoarei este vârful unghiului. b) Fals — un unghi are exact o singură bisectoare. c) Fals — este o semidreaptă, nu o dreaptă întreagă. d) Adevărat — $100° : 2 = 50°$ .

3. Jumătate din unghi: a) $64° : 2 = 32°$ ; b) $150° : 2 = 75°$ ; c) $90° : 2 = 45°$ ; d) $47° : 2 = 23, 5°$ .

4. Înmulțim jumătatea cu 2: a) $2 \cdot 28° = 56°$ ; b) $2 \cdot 45° = 90°$ ; c) $2 \cdot 61° = 122°$ .

5. Răspuns corect: b) $45°$ , deoarece $90° : 2 = 45°$ .

6. Construcție: măsori $80°$ , împarți la 2 și obții $40°$ ; marchezi $40°$ și trasezi semidreapta. Fiecare jumătate are $40°$ . (Verificare: $40° + 40° = 80°$ .)

7. Construcție cu compasul: arc din $O$ care taie laturile în $P$ și $Q$ ; arce egale din $P$ și $Q$ care se taie în $M$ ; trasezi $O M$ . La verificare cu raportorul, cele două jumătăți trebuie să fie egale.

8. A → 2 ( $120° : 2 = 60°$ ); B → 1 ( $60° : 2 = 30°$ ); C → 4 ( $160° : 2 = 80°$ ); D → 3 ( $180° : 2 = 90°$ ).

9. Cum $O t$ este bisectoare, $m (tO B) = m (A O t) = 33°$ , iar $m (A O B) = 33° + 33° = 66°$ .

10. Dacă jumătatea este $52°$ , unghiul are $2 \cdot 52° = 104°$ . Dacă unghiul are $138°$ , jumătatea are $138° : 2 = 69°$ .

11. $m (A O C) = 72° : 2 = 36°$ ; apoi $m (A O D) = 36° : 2 = 18°$ .

12. $m (B O M) = 46° : 2 = 23°$ și $m (B O N) = 34° : 2 = 17°$ . Unghiul dintre bisectoare: $m (M O N) = 23° + 17° = 40°$ . (Verificare: $\frac{46° + 34°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$ .)

13. Bisectoarea dă unghiuri egale: $2 x + 8 = x + 20 \Rightarrow x = 12$ . Atunci $m (A O t) = 2 \cdot 12 + 8 = 32°$ și $m (tO B) = 12 + 20 = 32°$ ; deci $m (A O B) = 32° + 32° = 64°$ . (Răspuns: $x = 12$ , unghiul $= 64°$ .)

14. Adevărat. Unghiul alungit are $180°$ ; bisectoarea îl taie în două unghiuri de câte $180° : 2 = 90°$ , adică două unghiuri drepte. Două unghiuri drepte alăturate înseamnă că bisectoarea este perpendiculară pe dreapta laturilor.

15. $m (A O M) = 110° : 2 = 55°$ . Cum $O P$ este în interiorul lui $A O M$ și $m (A O P) = 20°$ , avem $m (P O M) = 55° - 20° = 35°$ .

16. $m (B O M) = \frac{m ( A O B )}{2}$ și $m (B O N) = \frac{m ( B O C )}{2}$ . Atunci $m (M O N) = m (B O M) + m (B O N) = \frac{m ( A O B ) + m ( B O C )}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$ . (Suma e $90°$ pentru că unghiurile sunt complementare.)

17. Unghiurile opuse la vârf nu schimbă datele: ne interesează doar $A O B = 50°$ , iar $O M$ este bisectoarea lui. Deci $m (A O M) = 50° : 2 = 25°$ .

18. Bisectoarea unghiului de $120°$ formează cu fiecare ac un unghi de $120° : 2 = 60°$ . Furnica merge la $60°$ față de fiecare ac.

19. Întâi aflăm al doilea unghi: $m (B O C) = 180° - 124° = 56°$ . Apoi jumătățile: $m (B O M) = 124° : 2 = 62°$ și $m (B O N) = 56° : 2 = 28°$ . Unghiul dintre bisectoare: $m (M O N) = 62° + 28° = 90°$ . (Confirmă regula: bisectoarele a două unghiuri suplementare adiacente sunt perpendiculare, deci rezultatul este mereu $90°$ .)

20. Notăm $m (A O B) = u$ . Atunci $m (A O M) = \frac{u}{2}$ , iar din enunț $\frac{u}{2} = u - 18°$ . De aici $u - \frac{u}{2} = 18°$ , adică $\frac{u}{2} = 18°$ , deci $u = 36°$ . (Verificare: jumătatea este $18°$ , cu exact $18°$ mai mică decât $36°$ .)

De reținut

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârf care împarte unghiul în două unghiuri congruente (egale).
Proprietatea fundamentală: fiecare jumătate are măsura $\frac{u}{2}$ , unde $u$ este măsura unghiului întreg. Deci împărțim la 2 ca să aflăm jumătatea și înmulțim cu 2 ca să refacem întregul.
Cu raportorul și rigla: măsori unghiul, îl împarți la 2, marchezi jumătatea și trasezi semidreapta.
Cu compasul și rigla (fără măsurare): arc din vârf → punctele $P$ , $Q$ pe laturi → arce egale din $P$ și $Q$ → punctul $M$ → trasezi $O M$ .
Un unghi are o singură bisectoare. Bisectoarea unghiului drept dă $45°$ , iar a unghiului alungit dă $90°$ (perpendiculară).

Greșeli frecvente

Confuzia semidreaptă / dreaptă / segment. Bisectoarea este o semidreaptă: pornește din vârf și merge într-o singură direcție. Nu este o dreaptă întreagă și nici un segment care se oprește.
Uiți să verifici dacă ai jumătatea sau întregul. Întreabă-te mereu: „Ce mi se dă — unghiul mare sau o jumătate?" Dacă ai întregul, împarți la 2; dacă ai jumătatea, înmulțești cu 2. Mulți elevi greșesc inversând operația.
La compas, schimbi deschiderea între pași. Arcele din $P$ și din $Q$ trebuie trasate cu exact aceeași deschidere de compas; dacă o modifici, punctul $M$ nu mai cade pe bisectoare. Tot așa, la primul arc, deschiderea din $O$ trebuie să taie ambele laturi.
Marcarea greșită pe raportor. Verifică ce gradație folosești: dacă latura $O A$ este pe $0°$ , citești în continuare $20°, 30°, 40°...$ Nu amesteca cele două șiruri de numere de pe raportor (interior și exterior).

Joc acasă

1. Bisectoarea prin pliere. Ia o foaie de hârtie și desenează un unghi oarecare cu rigla, marcând clar vârful și cele două laturi. Decupează în jurul lui (sau lasă-l pe foaie) și pliază hârtia astfel încât o latură să cadă exact peste cealaltă. Apasă bine îndoitura. Desfă foaia: linia de îndoire care pleacă din vârf este chiar bisectoarea! Măsoară cu raportorul cele două jumătăți — vei vedea că sunt egale. Ai construit bisectoarea fără niciun instrument de măsură, doar prin simetrie.

2. Ceasul cu bisectoare. Privește un ceas cu ace (sau desenează unul). Alege o oră, de exemplu 2:00 (unghi de $60°$ ) sau 4:00 (unghi de $120°$ ). Calculează unghiul dintre ace, apoi spune unde ar trece bisectoarea și ce unghi ar face cu fiecare ac. Verifică desenând bisectoarea cu rigla din centrul cadranului.

3. Provocarea cu compasul. Roagă un părinte să-ți deseneze trei unghiuri diferite (unul ascuțit, unul drept, unul obtuz) fără să-ți spună măsurile. Construiește bisectoarea fiecăruia doar cu compasul și rigla. La final, măsoară cu raportorul ca să verifici că ai împărțit corect în două. Cronometrează-te și încearcă să fii din ce în ce mai rapid și mai precis.

Pentru părinți și învățători

Această lecție îmbină o noțiune teoretică simplă (bisectoarea ca semidreaptă care înjumătățește un unghi) cu două deprinderi practice de construcție. Recomandarea principală: lăsați copilul să deseneze efectiv, nu doar să citească. Geometria de clasa a VI-a se învață cu rigla, raportorul și compasul în mână.

Cum sprijiniți pas cu pas:

Începeți prin a verifica vocabularul: vârf, latură, semidreaptă, congruent. Cereți copilului să arate cu degetul fiecare element pe un desen.
Insistați pe distincția semidreaptă vs. dreaptă vs. segment — este sursa cea mai frecventă de confuzie.
La construcția cu compasul, atrageți atenția asupra unui singur lucru: nu se schimbă deschiderea compasului între arcele trasate din $P$ și din $Q$ . Dacă deschiderea „scapă", refaceți pasul.

Întrebări bune de pus:

„Dacă unghiul are $84°$ , cât are fiecare jumătate? Dar dacă o jumătate are $84°$ , cât are unghiul întreg?" (testează cele două sensuri: împărțire vs. înmulțire).
„De ce construcția cu compasul nu are nevoie de raportor?" (răspunsul leagă de simetrie: $O P = O Q$ și $M P = M Q$ ).
„Câte bisectoare are un unghi?" (răspuns: una singură).

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să construiască o bisectoare cu compasul, apoi să o măsoare cu raportorul pentru a confirma că jumătățile sunt egale. Dacă măsurătoarea diferă cu mult mai mult de $1°$ – $2°$ , problema e de obicei deschiderea compasului sau ascuțirea creionului, nu de înțelegere. Pentru elevii mai avansați, propuneți exercițiile 12, 16 și 13, care leagă bisectoarea de ecuații și de perechi de unghiuri.

Întrebări frecvente

Ce este bisectoarea unui unghi pe scurt? Bisectoarea unui unghi este semidreapta care pornește din vârful unghiului și îl împarte în două unghiuri congruente, adică egale. Fiecare dintre cele două unghiuri are exact jumătate din măsura unghiului întreg.

Cum construiesc bisectoarea cu compasul și rigla? Trasezi mai întâi un arc din vârful $O$ care taie ambele laturi în punctele $P$ și $Q$ . Apoi, cu aceeași deschidere de compas, trasezi câte un arc din $P$ și din $Q$ care se intersectează într-un punct $M$ . În final, trasezi cu rigla semidreapta $O M$ — aceasta este bisectoarea. Nu ai nevoie de raportor.

Cum construiesc bisectoarea cu raportorul? Măsori unghiul cu raportorul, împarți măsura la 2 și obții valoarea fiecărei jumătăți. Marchezi pe raportor un punct la acea valoare și trasezi cu rigla semidreapta din vârf prin acel punct. De exemplu, pentru un unghi de $70°$ marchezi la $35°$ .

Câte bisectoare are un unghi? Un unghi are exact o singură bisectoare. Există o singură semidreaptă din vârf care împarte unghiul în două jumătăți perfect egale; orice altă semidreaptă ar produce două unghiuri inegale.

Bisectoarea este o dreaptă, o semidreaptă sau un segment? Bisectoarea este o semidreaptă. Are origine fixă (vârful unghiului) și se prelungește într-o singură direcție, prin interiorul unghiului. Nu este o dreaptă întreagă și nici un segment care se oprește la o anumită distanță.

Cât măsoară bisectoarea unui unghi drept? Bisectoarea împarte unghiul drept de $90°$ în două unghiuri de câte $45°$ . Așa poți obține un unghi precis de $45°$ fără să măsori, doar cu compasul.

De ce funcționează construcția cu compasul fără să măsor unghiul? Pentru că alegi puncte simetrice: $P$ și $Q$ sunt egal depărtate de vârf, iar $M$ este egal depărtat de $P$ și de $Q$ . Această simetrie face ca semidreapta $O M$ să suprapună perfect o jumătate a unghiului peste cealaltă, deci cele două unghiuri rezultate sunt automat congruente.

Care e diferența dintre bisectoarea unghiului și mediatoarea segmentului? Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri egale și pleacă din vârful unghiului. Mediatoarea împarte un segment în două părți egale și este perpendiculară pe el, prin mijlocul lui. Sunt construcții diferite, dar ambele se fac elegant cu compasul; vei studia mediatoarea în lecția despre mediatoarea unui segment.