Unghiuri opuse la vârf și congruența lor

Te-ai uitat vreodată la două bețe de chibrit așezate în formă de „X", sau la lamele deschise ale unei foarfeci? În acel punct unde liniile se încrucișează apar patru unghiuri, iar între ele se ascunde o regulă elegantă pe care matematicienii o folosesc de mii de ani. În această lecție vei descoperi ce sunt unghiurile opuse la vârf, de ce ele sunt mereu congruente (adică au exact aceeași măsură) și cum poți afla toate cele patru unghiuri formate de două drepte care se intersectează, chiar dacă ți se dă doar unul singur. E o lecție de geometrie care îți dă o „superputere": dintr-o singură informație, deduci totul.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști unghiurile opuse la vârf într-o figură formată de două drepte concurente.
Vei ști să identifici corect perechile de unghiuri opuse la vârf și să nu le confunzi cu unghiurile alăturate.
Vei ști să justifici congruența unghiurilor opuse la vârf folosind unghiuri suplementare.
Vei ști să determini măsurile tuturor unghiurilor formate de două drepte care se intersectează, pornind de la o singură măsură dată.
Vei ști să rezolvi probleme cu ecuații simple în care apar unghiuri opuse la vârf.

Hai să descoperim împreună

Punctul de pornire: două drepte concurente

Îți amintești din lecțiile de geometrie că o dreaptă este o linie care se întinde la nesfârșit în ambele sensuri. Două drepte distincte din plan se pot afla în câteva situații: pot fi paralele (nu se întâlnesc niciodată) sau se pot intersecta într-un punct. Când două drepte se taie exact într-un singur punct, spunem că ele sunt drepte concurente, iar punctul comun se numește punctul de intersecție sau, mai pe scurt, vârful.

Hai să desenăm. Luăm dreapta $A B$ și dreapta $C D$ și le facem să se intersecteze în punctul $O$ .

Observă imediat un lucru: în jurul punctului $O$ se formează patru unghiuri. Ele „umplu" tot spațiul din jurul vârfului, ca patru felii de pizza care, puse împreună, fac un cerc complet. Hai să le numim, mergând în jurul punctului $O$ :

unghiul $A O C$ (sus, între semidreapta $O A$ și semidreapta $O C$ );
unghiul $C O B$ (la dreapta);
unghiul $B O D$ (jos);
unghiul $D O A$ (la stânga).

Aceste patru unghiuri sunt „eroii" lecției de astăzi. Tot ce vom face de acum încolo se învârte în jurul lor.

Ce înseamnă „opuse la vârf"

Privește din nou figura în formă de X. Două dintre cele patru unghiuri se află „față în față", de o parte și de alta a vârfului, fără să se atingă decât în punctul $O$ . Acestea sunt unghiurile opuse la vârf.

În figura noastră:

$A O C$ și $B O D$ sunt prima pereche de unghiuri opuse la vârf (unul sus, celălalt jos, exact peste vârf);
$C O B$ și $D O A$ sunt a doua pereche de unghiuri opuse la vârf (unul la dreapta, celălalt la stânga).

Iată acum definiția pe care trebuie să o reții, scrisă corect, ca la gimnaziu:

Definiție. Două unghiuri se numesc opuse la vârf dacă au același vârf, iar laturile unuia sunt prelungirile (semidreptele opuse) laturilor celuilalt.

Hai să descifrăm definiția cuvânt cu cuvânt, pentru că fiecare parte contează.

„Au același vârf" — ambele unghiuri pornesc din punctul $O$ . Logic: ele se formează acolo unde dreptele se taie.

„Laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt" — aici e cheia. Gândește-te la unghiul $A O C$ . Laturile lui sunt semidreapta $O A$ și semidreapta $O C$ . Acum prelungește semidreapta $O A$ dincolo de $O$ : ajungi la semidreapta $O B$ (pentru că $A$ , $O$ , $B$ sunt pe aceeași dreaptă, deci $O B$ este prelungirea lui $O A$ ). La fel, prelungirea semidreptei $O C$ este semidreapta $O D$ . Iar semidreptele $O B$ și $O D$ sunt chiar laturile unghiului $B O D$ . Vezi? Laturile lui $B O D$ sunt fix prelungirile laturilor lui $A O C$ . De aceea $A O C$ și $B O D$ sunt opuse la vârf.

O imagine mentală utilă: dacă te așezi în punctul $O$ și privești pe o latură a unui unghi, atunci unghiul opus la vârf este exact ceea ce vezi dacă te întorci cu spatele și privești fix în direcția opusă, pe ambele laturi.

Atenție: opuse la vârf NU înseamnă alăturate

E foarte ușor să confunzi. Unghiurile $A O C$ și $C O B$ stau unul lângă altul, împart latura comună $O C$ și sunt vecine. Acestea NU sunt opuse la vârf — sunt unghiuri alăturate (despre ele, ca unghiuri adiacente, vei învăța mai multe în lecția despre unghiuri adiacente). Unghiurile opuse la vârf NU au nicio latură comună; ele se „ating" doar în punctul $O$ .

Reține regula simplă de recunoaștere: opuse la vârf = stau față în față, peste vârf, fără latură comună.

Marea descoperire: unghiurile opuse la vârf sunt congruente

Acum vine partea spectaculoasă. Hai să facem un mic experiment cu măsuri concrete.

Presupunem că unghiul $A O C$ are măsura de $50°$ . Vrei să afli cât are unghiul opus la vârf, $B O D$ . Înainte de a calcula, hai să ne folosim de o idee din lecțiile viitoare despre unghiuri suplementare, pe care o introducem aici exact cât ne trebuie.

Observă că semidreptele $O A$ și $O B$ sunt în prelungire (formează dreapta $A B$ ). Asta înseamnă că unghiul $A O B$ este un unghi alungit, de $180°$ . Acum, unghiurile $A O C$ și $C O B$ stau împreună pe această dreaptă și, puse cap la cap, formează exact unghiul de $180°$ . Spunem că ele sunt unghiuri suplementare — suma lor este $180°$ .

Deci: $A O C + C O B = 180°.$

Dacă $A O C = 50°$ , atunci: $C O B = 180° - 50° = 130°.$

Acum repetăm raționamentul pe cealaltă dreaptă. Semidreptele $O C$ și $O D$ sunt și ele în prelungire (formează dreapta $C D$ ), deci unghiul $C O D$ este tot de $180°$ . Pe această dreaptă, unghiurile $C O B$ și $B O D$ sunt suplementare: $C O B + B O D = 180°.$

De aici: $B O D = 180° - C O B = 180° - 130° = 50°.$

Și... surpriză! Am obținut $B O D = 50°$ , exact cât $A O C$ . Cele două unghiuri opuse la vârf au aceeași măsură. Spunem că sunt congruente și scriem: $A O C \equiv B O D .$

(Simbolul „ $\equiv$ " se citește „congruent cu" și înseamnă, pentru unghiuri, că au măsuri egale.)

De ce funcționează MEREU: justificarea generală

Poate te întrebi: a fost doar noroc cu $50°$ ? Nu, deloc! Hai să refacem raționamentul fără să mai dăm un număr concret, ca să vedem că merge pentru orice măsură. Vom nota măsura lui $A O C$ cu o literă, să zicem $x$ .

Pas 1. Pe dreapta $A B$ , unghiurile $A O C$ și $C O B$ sunt suplementare: $A O C + C O B = 180° \Rightarrow C O B = 180° - x .$

Pas 2. Pe dreapta $C D$ , unghiurile $C O B$ și $B O D$ sunt suplementare: $C O B + B O D = 180° \Rightarrow B O D = 180° - C O B .$

Pas 3. Înlocuim ce am găsit la Pasul 1: $B O D = 180° - (180° - x) = 180° - 180° + x = x .$

Așadar $B O D = x = A O C$ , indiferent de cât e $x$ . Iată ideea esențială a justificării: ambele unghiuri opuse la vârf sunt suplementare cu același unghi (cu $C O B$ ). Iar dacă două unghiuri sunt suplementare cu același al treilea unghi, atunci ele sunt egale între ele — pentru că amândouă sunt egale cu „ $180°$ minus același lucru".

Putem scrie frumos această concluzie ca o proprietate (teoremă) pe care o vei folosi tot timpul:

Proprietate. Două unghiuri opuse la vârf sunt congruente (au măsuri egale).

Și, în mod analog, cealaltă pereche este și ea congruentă: $C O B \equiv D O A$ . Așadar, din cele patru unghiuri formate de două drepte concurente, avem două perechi de unghiuri egale.

O analogie ca să nu uiți

Imaginează-ți un fluture cu aripile deschise. Cele două aripi de sus și de jos (perechea verticală) sunt identice ca formă, iar cele două aripi din stânga și din dreapta (perechea orizontală) sunt și ele identice între ele. Punctul $O$ este corpul fluturelui. Aripile „față în față" peste corp sunt mereu la fel — exact ca unghiurile opuse la vârf.

O altă analogie: o foarfecă. Când deschizi foarfeca, unghiul dintre lame (sus) este exact egal cu unghiul dintre mânere (jos). Oricât ai deschide foarfeca, cele două unghiuri opuse la vârf rămân egale. De-asta, dacă vezi cât de larg sunt deschise mânerele, știi automat cât de larg sunt deschise și lamele.

Cum afli toate cele patru unghiuri dintr-unul singur

Aceasta este partea practică pe care o vei folosi în majoritatea problemelor. Dacă cunoști un unghi format de două drepte concurente, le poți afla pe toate patru, folosind două reguli:

Unghiul opus la vârf are aceeași măsură (sunt congruente).
Un unghi alăturat (vecin, pe aceeași dreaptă) este suplementul lui — adică $180°$ minus măsura dată.

Hai să le punem în practică pe un exemplu rapid. Dacă $A O C = 70°$ , atunci:

$B O D = 70°$ (opus la vârf cu $A O C$ );
$C O B = 180° - 70° = 110°$ (alăturat, suplement);
$D O A = 110°$ (opus la vârf cu $C O B$ ).

Verificare frumoasă: cele patru unghiuri trebuie să adune $360°$ (un cerc complet în jurul vârfului). Calculăm: $70° + 110° + 70° + 110° = 360°$ . Perfect, totul se potrivește! Despre suma unghiurilor formate în jurul unui punct vei afla mai multe în lecția următoare.

Un caz special drăguț

Ce se întâmplă dacă cele două drepte se taie astfel încât toate cele patru unghiuri să fie egale? Atunci fiecare are $360° : 4 = 90°$ . Adică dreptele sunt perpendiculare! Acesta este un caz aparte al unghiurilor opuse la vârf, în care cele patru unghiuri sunt toate drepte. Vei studia perpendicularitatea pe larg în lecția despre drepte perpendiculare.

Acum că ai înțeles ideea, hai să vedem cum arată totul în exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem perechile

Dreptele $M N$ și $P Q$ se intersectează în punctul $O$ . Identifică perechile de unghiuri opuse la vârf.

Rezolvare. În jurul lui $O$ se formează patru unghiuri: $M O P$ , $P O N$ , $N O Q$ și $QO M$ . Căutăm unghiurile care stau „față în față", fără latură comună.

$M O P$ are laturile $O M$ și $O P$ . Prelungirile lor sunt $O N$ și $O Q$ , care formează unghiul $N O Q$ . Deci $M O P$ și $N O Q$ sunt opuse la vârf.
Rămân $P O N$ și $QO M$ , care sunt și ele opuse la vârf (a doua pereche).

Răspuns: perechile sunt $(M O P, N O Q)$ și $(P O N, QO M)$ .

Exemplul 2 — Aflăm toate unghiurile

Două drepte se intersectează în $O$ și unul dintre unghiuri are măsura de $35°$ . Află măsurile celorlalte trei unghiuri.

Rezolvare. Notăm unghiul dat cu $1 = 35°$ . Mergem în jurul vârfului:

$3$ (opus la vârf cu $1$ ) $= 35°$ .
$2$ (alăturat cu $1$ , suplementul lui) $= 180° - 35° = 145°$ .
$4$ (opus la vârf cu $2$ ) $= 145°$ .

Verificare: $35° + 145° + 35° + 145° = 360°$ . Corect.

Răspuns: celelalte unghiuri sunt $35°$ , $145°$ și $145°$ .

Exemplul 3 — Justificarea congruenței (cu raționament)

Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în $O$ . Arată, justificat, că $A O D \equiv B O C$ .

Rezolvare. Vrem să demonstrăm că cele două unghiuri opuse la vârf sunt congruente, folosind unghiuri suplementare.

Pas 1. Punctele $A$ , $O$ , $B$ sunt coliniare (pe dreapta $A B$ ), deci $A O C$ și $B O C$ sunt suplementare: $A O C + B O C = 180°. (1)$

Pas 2. Punctele $C$ , $O$ , $D$ sunt coliniare (pe dreapta $C D$ ), deci $A O C$ și $A O D$ sunt suplementare: $A O C + A O D = 180°. (2)$

Pas 3. Din $(1)$ și $(2)$ , ambele sume sunt egale cu $180°$ , deci sunt egale între ele: $A O C + B O C = A O C + A O D .$ Scădem $A O C$ din ambii membri și obținem: $B O C = A O D .$

Așadar $A O D \equiv B O C$ , ceea ce trebuia arătat. Ideea-cheie: ambele sunt suplementare cu același unghi, $A O C$ .

Exemplul 4 — Cu o ecuație

Două drepte se intersectează în $O$ . Un unghi are măsura $(2 x + 10) °$ , iar unghiul opus la vârf are măsura $(3 x - 20) °$ . Află $x$ și măsura fiecăruia.

Rezolvare. Unghiurile sunt opuse la vârf, deci congruente. Punem măsurile egale: $2 x + 10 = 3 x - 20.$

Trecem necunoscutele într-o parte și numerele în cealaltă: $10 + 20 = 3 x - 2 x \Rightarrow 30 = x .$

Deci $x = 30$ . Calculăm fiecare unghi: $2 x + 10 = 2 \cdot 30 + 10 = 70°, 3 x - 20 = 3 \cdot 30 - 20 = 70°.$

Verificare: ambele dau $70°$ — corect, fiind opuse la vârf, trebuie să fie egale.

Răspuns: $x = 30$ , iar fiecare dintre cele două unghiuri are $70°$ .

Exemplul 5 — Cu unghiuri suplementare (alăturate)

Două drepte se intersectează în $O$ . Un unghi are măsura $(4 y) °$ , iar unul alăturat lui (vecin, pe aceeași dreaptă) are măsura $(5 y + 9) °$ . Află $y$ și cele patru unghiuri.

Rezolvare. Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci suma lor este $180°$ : $4 y + 5 y + 9 = 180 \Rightarrow 9 y + 9 = 180 \Rightarrow 9 y = 171 \Rightarrow y = 19.$

Calculăm: $4 y = 4 \cdot 19 = 76°, 5 y + 9 = 5 \cdot 19 + 9 = 95 + 9 = 104°.$

Acum aflăm toate patru: avem un unghi de $76°$ și unul de $104°$ . Opușii lor la vârf au aceleași măsuri:

$76°$ și opusul lui $76°$ ;
$104°$ și opusul lui $104°$ .

Verificare: $76° + 104° = 180°$ (sunt suplementare) și $76° + 104° + 76° + 104° = 360°$ . Corect.

Răspuns: $y = 19$ ; unghiurile sunt $76°$ , $104°$ , $76°$ , $104°$ .

Exemplul 6 — Trei drepte prin același punct

Trei drepte distincte trec prin punctul $O$ . Câte perechi de unghiuri opuse la vârf se formează? (Numărăm doar perechile formate din câte două drepte.)

Rezolvare. Unghiurile opuse la vârf apar de fiecare dată când două drepte se intersectează. Cu trei drepte, putem alege perechi de drepte astfel: $(d_{1}, d_{2})$ , $(d_{1}, d_{3})$ și $(d_{2}, d_{3})$ — adică $3$ perechi de drepte. Fiecare pereche de drepte concurente produce două perechi de unghiuri opuse la vârf.

Deci numărul total de perechi de unghiuri opuse la vârf este: $3 perechi de drepte \times 2 = 6 perechi de unghiuri opuse la v \overset{a}{ˆ} rf .$

Răspuns: se formează $6$ perechi de unghiuri opuse la vârf.

Exemplul 7 — Când ni se dă diferența a două unghiuri

Două drepte se intersectează în $O$ . Unul dintre unghiurile formate este cu $40°$ mai mare decât un unghi alăturat lui. Află cele patru unghiuri.

Rezolvare. Notăm unghiul mai mic cu $u$ . Atunci unghiul mai mare, fiind cu $40°$ mai mult, este $u + 40°$ . Cele două sunt alăturate (vecine, pe aceeași dreaptă), deci sunt suplementare — suma lor este $180°$ : $u + (u + 40) = 180.$

Rezolvăm ecuația: $2 u + 40 = 180 \Rightarrow 2 u = 140 \Rightarrow u = 70.$

Deci unghiul mic are $u = 70°$ , iar cel mare are $u + 40 = 110°$ . Opușii lor la vârf au aceleași măsuri, așa că cele patru unghiuri sunt $70°$ , $110°$ , $70°$ , $110°$ .

Verificare: $70° + 110° = 180°$ (sunt suplementare) și $70° + 110° + 70° + 110° = 360°$ . Corect.

Răspuns: unghiurile sunt $70°$ , $110°$ , $70°$ și $110°$ .

Exemplul 8 — Drumul de la o singură măsură la toate patru

Dreptele $E F$ și $G H$ se intersectează în $O$ , iar $E O G = 118°$ . Află $F O H$ , $GO F$ și $H O E$ , justificând fiecare pas.

Rezolvare. Procedăm ordonat, folosind cele două reguli (opus la vârf $=$ egal; alăturat $=$ suplement).

$F O H$ este opus la vârf cu $E O G$ (laturile $O F$ , $O H$ sunt prelungirile laturilor $O E$ , $O G$ ), deci $F O H = 118°$ .
$GO F$ este alăturat lui $E O G$ pe dreapta $E F$ (împart latura $O G$ ), deci este suplementul lui: $GO F = 180° - 118° = 62°$ .
$H O E$ este opus la vârf cu $GO F$ , deci $H O E = 62°$ .

Verificare: $118° + 62° + 118° + 62° = 360°$ . Corect.

Răspuns: $F O H = 118°$ , $GO F = 62°$ , $H O E = 62°$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă un desen acolo unde te ajută. Răspunsurile sunt mai jos, dar încearcă singur întâi!

Completează: Două unghiuri sunt opuse la vârf dacă au același ________ , iar laturile unuia sunt ________ laturilor celuilalt.
Adevărat sau fals: Unghiurile opuse la vârf au întotdeauna o latură comună.
Adevărat sau fals: Două unghiuri opuse la vârf au întotdeauna aceeași măsură.
Dreptele $A B$ și $C D$ se intersectează în $O$ . Scrie cele două perechi de unghiuri opuse la vârf.
Un unghi format de două drepte concurente are $40°$ . Cât are unghiul opus la vârf?
Un unghi format de două drepte concurente are $40°$ . Cât are un unghi alăturat lui?
Două drepte se intersectează și unul dintre unghiuri are $128°$ . Află celelalte trei unghiuri.
Încercuiește varianta corectă. Dacă un unghi opus la vârf are $90°$ , atunci dreptele sunt: a) paralele; b) perpendiculare; c) concurente sub un unghi ascuțit.
Două unghiuri opuse la vârf au măsurile $(x + 25) °$ și $(3 x - 15) °$ . Află $x$ .
La problema 9, cât are fiecare unghi?
Un unghi are măsura $(6 a) °$ , iar unghiul alăturat lui are $(4 a) °$ . Află $a$ și cele două unghiuri.
Adevărat sau fals: Suma celor patru unghiuri formate de două drepte concurente este $180°$ .
Potrivește fiecare unghi din coloana stângă cu măsura corectă din coloana dreaptă, știind că un unghi format de două drepte concurente are $55°$ .
- A. unghiul dat
- B. opusul la vârf al unghiului dat
- C. un unghi alăturat
- D. opusul la vârf al unghiului alăturat
- (măsuri: $55°$ , $125°$ , $55°$ , $125°$ )
Două drepte se intersectează în $O$ . Unul dintre unghiuri este de trei ori mai mare decât un unghi alăturat lui. Află cele patru unghiuri. (Indiciu: unghiurile alăturate sunt suplementare.)
Desenează două drepte concurente astfel încât unul dintre unghiurile formate să fie de $60°$ . Marchează toate cele patru unghiuri cu măsurile lor.
Unghiurile opuse la vârf au măsurile $(2 x + 30) °$ și $(x + 50) °$ . Află $x$ și măsura fiecărui unghi.
Mică problemă. Trei lame ale unei roți se întâlnesc în centru, formând trei drepte care trec prin același punct. Câte perechi de unghiuri opuse la vârf se formează în total?
Provocare. Două drepte se intersectează în $O$ . Suma a două unghiuri opuse la vârf este $144°$ . Cât are fiecare dintre cele patru unghiuri?
Un unghi format de două drepte concurente este cu $30°$ mai mare decât un unghi alăturat lui. Află cele patru unghiuri. (Indiciu: unghiurile alăturate sunt suplementare.)
Adevărat sau fals: Dacă unul dintre cele patru unghiuri formate de două drepte concurente este obtuz, atunci opusul lui la vârf este ascuțit.

Răspunsuri și explicații

vârf ; prelungirile. Aceasta este chiar definiția unghiurilor opuse la vârf.
Fals. Unghiurile opuse la vârf NU au latură comună; ele se ating doar în vârf. Unghiurile cu latură comună sunt cele alăturate.
Adevărat. Aceasta este proprietatea principală a lecției: unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
Perechile sunt $(A O C, B O D)$ și $(A O D, B O C)$ . (Numele unghiurilor pot fi scrise și în altă ordine a literelor, de exemplu $C O A$ în loc de $A O C$ .)
$40°$ . Unghiul opus la vârf are aceeași măsură ca unghiul dat.
$140°$ . Un unghi alăturat este suplementul: $180° - 40° = 140°$ .
Opusul la vârf: $128°$ . Unghiurile alăturate: $180° - 128° = 52°$ fiecare. Deci cele trei sunt $128°$ , $52°$ , $52°$ . Verificare: $128 + 52 + 128 + 52 = 360°$ .
b) perpendiculare. Dacă un unghi este de $90°$ , opusul lui la vârf este tot $90°$ , iar cele alăturate sunt $180° - 90° = 90°$ ; toate patru sunt drepte, deci dreptele sunt perpendiculare.
Fiind opuse la vârf, sunt egale: $x + 25 = 3 x - 15$ . Rezultă $25 + 15 = 3 x - x$ , adică $40 = 2 x$ , deci $x = 20$ .
Înlocuim $x = 20$ : $x + 25 = 45°$ și $3 x - 15 = 60 - 15 = 45°$ . Fiecare unghi are $45°$ (egale, fiind opuse la vârf).
Fiind alăturate, sunt suplementare: $6 a + 4 a = 180$ , deci $10 a = 180$ , adică $a = 18$ . Unghiurile: $6 a = 108°$ și $4 a = 72°$ . Verificare: $108 + 72 = 180°$ .
Fals. Suma celor patru unghiuri din jurul vârfului este $360°$ (un cerc complet), nu $180°$ .
A $= 55°$ ; B $= 55°$ (opusul la vârf are aceeași măsură); C $= 125°$ (suplementul: $180° - 55°$ ); D $= 125°$ (opusul unghiului alăturat).
Notăm unghiul mic cu $u$ ; cel mare este $3 u$ . Fiind alăturate, sunt suplementare: $u + 3 u = 180$ , deci $4 u = 180$ , adică $u = 45°$ și $3 u = 135°$ . Cele patru unghiuri: $45°$ , $135°$ , $45°$ , $135°$ .
Desen: două drepte în formă de X, cu un unghi de $60°$ . Celelalte: opusul $= 60°$ , alăturatele $= 180° - 60° = 120°$ fiecare. Deci $60°$ , $120°$ , $60°$ , $120°$ .
Fiind opuse la vârf, sunt egale: $2 x + 30 = x + 50$ , deci $2 x - x = 50 - 30$ , adică $x = 20$ . Fiecare unghi: $2 \cdot 20 + 30 = 70°$ și $20 + 50 = 70°$ . Ambele au $70°$ .
Trei drepte prin același punct dau $3$ perechi de drepte, fiecare cu $2$ perechi de unghiuri opuse la vârf, deci $3 \times 2 =$ $6$ perechi.
Două unghiuri opuse la vârf sunt egale, deci fiecare este jumătate din sumă: $144° : 2 = 72°$ . Acesta și opusul lui au $72°$ . Unghiurile alăturate: $180° - 72° = 108°$ . Cele patru unghiuri: $72°$ , $108°$ , $72°$ , $108°$ .
Notăm unghiul mic cu $u$ ; cel mare este $u + 30$ . Fiind alăturate, sunt suplementare: $u + (u + 30) = 180$ , deci $2 u + 30 = 180$ , adică $2 u = 150$ și $u = 75°$ . Cel mare are $75 + 30 = 105°$ . Cele patru unghiuri: $75°$ , $105°$ , $75°$ , $105°$ . Verificare: $75 + 105 = 180°$ .
Fals. Opusul la vârf are aceeași măsură, deci dacă un unghi este obtuz, opusul lui este tot obtuz (nu ascuțit). Ascuțite sunt cele două unghiuri alăturate lui.

De reținut

Unghiuri opuse la vârf = două unghiuri cu același vârf, formate de două drepte concurente, ale căror laturi sunt prelungirile unele altora (stau față în față peste vârf, fără latură comună).
Două drepte concurente formează patru unghiuri și două perechi de unghiuri opuse la vârf.
Proprietatea fundamentală: unghiurile opuse la vârf sunt congruente (au aceeași măsură).
Justificarea: ambele unghiuri opuse la vârf sunt suplementare cu același al treilea unghi, deci sunt egale între ele.
Dintr-un singur unghi le poți afla pe toate: opusul are aceeași măsură, iar alăturatul este suplementul lui ( $180°$ minus). Cele patru adună $360°$ .

Greșeli frecvente

Confundă „opuse la vârf" cu „alăturate". Unghiurile vecine, care împart o latură, NU sunt opuse la vârf. Verifică mereu: opușii la vârf nu au nicio latură comună, stau față în față peste punctul de intersecție.
Crede că unghiurile opuse la vârf sunt suplementare (adună $180°$ ). Nu! Ele sunt egale. Cele care adună $180°$ sunt perechile alăturate (suplementare). Nu amesteca cele două reguli.
Crede că cele patru unghiuri adună $180°$ . În jurul unui punct ai un cerc complet, deci suma este $360°$ , nu $180°$ .
La probleme cu ecuații, pune semnul greșit. Dacă unghiurile sunt opuse la vârf, scrii egalitate între expresii. Dacă sunt alăturate, scrii suma $= 180°$ . Citește cu atenție dacă unghiurile sunt „opuse" sau „alăturate" înainte de a forma ecuația.

Joc acasă

1. Foarfeca matematică. Ia o foarfecă obișnuită și deschide-o ușor. Observă unghiul dintre lame (sus) și unghiul dintre mânere (jos): sunt opuse la vârf. Roagă un părinte să țină foarfeca fixă și măsoară cu raportorul cele două unghiuri. Vei vedea că sunt egale. Deschide foarfeca mai mult și măsoară din nou — rămân egale între ele de fiecare dată. Notează trei perechi de măsuri într-un tabel.

2. X-ul din scobitori. Pune două scobitori (sau două creioane) pe masă în formă de „X", încrucișate. Cu raportorul, măsoară un unghi, apoi măsoară unghiul opus la vârf. Verifică egalitatea. Apoi măsoară un unghi alăturat și verifică dacă, împreună cu primul, dau $180°$ . Mișcă scobitorile și repetă de câteva ori.

3. Vânătoarea de X-uri prin casă. Timp de cinci minute, caută prin casă locuri unde două linii se intersectează formând „X"-uri: gratii, gardul de la balcon, plasa de la fereastră, modelul de pe o față de masă, literele „X" de pe ambalaje. Pentru fiecare, indică cu degetul cele două perechi de unghiuri opuse la vârf. Câte ai găsit?

Pentru părinți și învățători

Această lecție este una dintre primele în care elevul nu doar observă o proprietate geometrică, ci o justifică printr-un raționament. Accentul pedagogic ar trebui pus pe înțelegerea ideii „suplementare cu același unghi → egale", nu pe memorarea mecanică a faptului că „opușii sunt egali".

Cum sprijiniți elevul:

Începeți cu un desen mare, în formă de X, și cereți-i să numească cele patru unghiuri. Mulți elevi greșesc denumirea unghiurilor — exersați notația cu trei litere, vârful la mijloc (de exemplu $A O C$ ).
Cereți-i să arate cu degetul perechile de unghiuri opuse la vârf ÎNAINTE de orice calcul. Recunoașterea vizuală corectă este jumătate din succes.
Verificați înțelegerea cu o întrebare „de ce": „De ce sunt egale unghiurile opuse la vârf?" Răspunsul bun nu este „pentru că așa e regula", ci „pentru că amândouă sunt suplementare cu același unghi".

Întrebări utile de pus:

„Dacă acest unghi are $X °$ , cât are opusul lui la vârf? Dar vecinul?"
„Cele patru unghiuri câte grade adună la un loc? De ce $360°$ și nu $180°$ ?"
„Aici unghiurile sunt opuse la vârf sau alăturate? Atunci scriem egalitate sau sumă $= 180°$ ?"

Cum verificați că a înțeles: dați-i un singur unghi (de exemplu $73°$ ) și cereți-i să completeze toate cele patru unghiuri și să verifice că suma este $360°$ . Dacă reușește singur și poate explica de ce, lecția este însușită. Pentru un plus de provocare, dați-i o problemă cu ecuație simplă (ca Exemplul 4), unde trebuie să decidă singur dacă pune egalitate sau sumă.

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile opuse la vârf, pe scurt? Sunt două unghiuri formate de două drepte care se intersectează, așezate „față în față" peste punctul de intersecție, ale căror laturi sunt prelungiri unele altora. Ele nu au latură comună și sunt întotdeauna egale ca măsură (congruente).

De ce sunt congruente unghiurile opuse la vârf? Pentru că fiecare dintre ele este suplementar (adună $180°$ ) cu același unghi vecin. Dacă două unghiuri sunt suplementare cu același al treilea unghi, atunci sunt egale între ele, deoarece amândouă reprezintă „ $180°$ minus aceeași măsură".

Unghiurile opuse la vârf sunt egale sau adună $180°$ ? Sunt egale. Perechea care adună $180°$ este formată din unghiuri alăturate (suplementare), nu din opuse la vârf. Este greșeala cea mai frecventă, așa că reține: opuse la vârf = egale; alăturate pe aceeași dreaptă = suma $180°$ .

Câte unghiuri se formează când două drepte se intersectează? Se formează exact patru unghiuri în jurul punctului de intersecție. Ele alcătuiesc două perechi de unghiuri opuse la vârf, iar suma tuturor celor patru este $360°$ .

Cum aflu toate unghiurile dacă știu doar unul? Unghiul opus la vârf are aceeași măsură ca cel dat. Fiecare unghi alăturat este suplementul lui, adică $180°$ minus măsura dată. Astfel, dintr-un singur unghi le obții pe toate patru, iar la final poți verifica adunând: trebuie să dea $360°$ .

Ce sunt drepte concurente? Sunt două (sau mai multe) drepte care se intersectează, adică au cel puțin un punct comun. Două drepte concurente se taie într-un singur punct, numit vârf sau punct de intersecție, și acolo se formează unghiurile opuse la vârf.

Pot fi unghiurile opuse la vârf ascuțite și obtuze în aceeași figură? Da. Dacă unul dintre cele patru unghiuri este ascuțit (sub $90°$ ), opusul lui la vârf este tot ascuțit, iar cele două alăturate sunt obtuze (peste $90°$ ) și egale între ele. Singura excepție este când toate patru sunt de $90°$ , caz în care dreptele sunt perpendiculare.

La ce îmi folosesc unghiurile opuse la vârf în problemele de geometrie? Sunt o unealtă de bază pentru a deduce măsuri necunoscute fără să le măsori. Le vei folosi des la unghiurile formate de drepte paralele tăiate de o secantă, la calcule cu măsuri de unghiuri și în multe demonstrații cu triunghiuri.