Dreptele $$PQ$$ și $$RS$$ se intersectează în $$O$$. Se duce bisectoarea unghiului $$\angle POR$$ și bisectoarea unghiului $$\angle QOS$$ (unghiuri opuse la vârf). Ce măsură are unghiul format de cele două bisectoare?

$$180°$$, indiferent de $$m(\angle POR)$$

$$90°$$, indiferent de $$m(\angle POR)$$

Depinde de măsura lui $$\angle POR$$, nu se poate ști fără date suplimentare

$$360°$$, indiferent de $$m(\angle POR)$$

Cum calculez unghiurile dintr-o figură?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Probleme recapitulative: perechi de unghiuri

Cauți perechile cunoscute și te muți din una în alta, pornind de la o măsură dată. Unghiurile opuse la vârf sunt egale, cele care completează o linie dreaptă adună $180°$ , cele care formează un colț drept adună $90°$ , iar toate unghiurile din jurul unui punct adună $360°$ . Dacă un unghi are $55°$ , cel opus lui are tot $55°$ , iar vecinul de pe aceeași dreaptă are $125°$ .

O problemă complexă cu unghiuri se rezolvă descompunând-o în relații simple: unghiuri opuse la vârf (congruente), adiacente (vârf și latură comună), complementare (sumă $90°$ ), suplementare (sumă $180°$ ) și unghiuri în jurul unui punct (sumă $360°$ ). Trei strategii ajută: A — pornești de la o măsură cunoscută și te plimbi din relație în relație; B — notezi necunoscuta cu $x$ când ai doar rapoarte între unghiuri; C — dacă apare o bisectoare, scrii jumătățile. O proprietate importantă: bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire (formează un unghi de $180°$ ). Fiecare pas al rezolvării trebuie justificat: nu doar cât, ci și de ce.

Exemplu: dacă $m (∠ A O C) = 55°$ , atunci $m (∠ B O D) = 55°$ (opuse la vârf), iar $m (∠ A O D) = 180° - 55° = 125°$ (suplementare, deoarece $C, O, D$ sunt coliniare).

De reținut

opuse la vârf: egale; pe aceeași dreaptă: sumă $180°$
complementare: sumă $90°$ ; în jurul unui punct: sumă $360°$
bisectoarele unghiurilor opuse la vârf formează împreună o linie dreaptă

Greșeala tipică

Se citește măsura unui unghi direct din desen, presupunând că arată drept sau că două unghiuri par egale; măsurile se deduc doar din relațiile scrise în ipoteză, fiindcă desenul nu este niciodată o dovadă.

Exerciții din această mini-lecție

Dreptele $E F$ și $G H$ se intersectează în $O$ . Se știe că $m (∠ E O G) = 71°$ . Cât este $m (∠ E O H)$ ?
- a) $71°$
- b) $109°$
- c) $19°$
- d) $180°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $109°$

$∠ E O G$ și $∠ E O H$ sunt suplementare, deoarece $G$ , $O$ , $H$ sunt coliniare (laturile $O G$ și $O H$ sunt în prelungire). Deci $m (∠ E O H) = 180° - 71° = 109°$ .
Dreptele $P Q$ și $R S$ se intersectează în $O$ . Se duce bisectoarea unghiului $∠ P O R$ și bisectoarea unghiului $∠ QO S$ (unghiuri opuse la vârf). Ce măsură are unghiul format de cele două bisectoare?
- a) $90°$ , indiferent de $m (∠ P O R)$
- b) Depinde de măsura lui $∠ P O R$ , nu se poate ști fără date suplimentare
- c) $180°$ , indiferent de $m (∠ P O R)$
- d) $360°$ , indiferent de $m (∠ P O R)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $180°$ , indiferent de $m (∠ P O R)$

Aceasta este proprietatea demonstrată în lecție: bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt întotdeauna în prelungire, adică formează un unghi alungit de $180°$ , indiferent de măsura unghiului $∠ P O R$ . (Bisectoarele perpendiculare, la $90°$ , apar în alt caz: la unghiuri adiacente suplementare.)
Unghiurile $∠ M O N$ și $∠ N O P$ sunt complementare. Se știe că $m (∠ M O N) = 27°$ . Cât este $m (∠ N O P)$ ?
- a) $63°$
- b) $153°$
- c) $33°$
- d) $27°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $63°$

Unghiuri complementare înseamnă că suma lor este $90°$ . Deci $m (∠ N O P) = 90° - 27° = 63°$ . Varianta b) ar rezulta dacă am confunda complementare cu suplementare ( $180° - 27°$ ), iar d) doar repetă unghiul dat.

Întrebări conexe

Ce pereche de unghiuri caut prima într-o figură cu două drepte?

Cauți unghiurile care stau față în față la punctul de intersecție, fiindcă ele au aceeași măsură și îți dau imediat o a doua valoare. Apoi treci la vecinii de pe aceeași dreaptă, care completează până la $180°$ . Cu aceste două relații acoperi toate cele patru unghiuri.

Ce fac dacă în problemă am doar rapoarte între unghiuri, fără nicio măsură?

Notezi unghiul mai mic cu $x$ și scrii celelalte în funcție de el. Dacă unul este de trei ori mai mare, îl scrii $3 x$ . Apoi folosești relația cunoscută, de exemplu suma de $90°$ , și obții o ecuație cu o singură necunoscută.

Ce se întâmplă cu unghiurile când apare o bisectoare?

Bisectoarea taie unghiul în două părți egale, deci fiecare are jumătate din măsura lui. Scriind aceste jumătăți, problema se transformă adesea într-o ecuație simplă. Este primul lucru de notat atunci când în figură apare o astfel de semidreaptă.

Cum folosesc suma unghiurilor din jurul unui punct?

Când mai multe unghiuri au vârful comun și acoperă tot planul din jurul lui, măsurile lor adună $360°$ . Scrii ecuația cu necunoscuta și afli ce lipsește: dacă trei dintre ele măsoară $110°$ , $95°$ și $60°$ , al patrulea are $95°$ . Este relația care închide figurile în formă de evantai.

Cum justific fiecare pas dintr-o problemă cu unghiuri?

Scrii lângă fiecare egalitate motivul ei, în paranteză: opuse la vârf, suplementare, bisectoare. Justificarea arată corectorului că rezultatul nu a fost ghicit din desen și aduce puncte separat de calculul propriu-zis.

Cum verific la final măsurile găsite pentru unghiuri?

Aduni unghiurile care ar trebui să dea o valoare cunoscută: $90°$ pentru un colț drept, $180°$ pentru o linie, $360°$ în jurul unui punct. Verifici și dacă mărimile găsite se potrivesc cu desenul, adică unghiul mai mare arată mai deschis.

Oamenii mai întreabă și: probleme cu unghiuri · perechi de unghiuri · unghiuri opuse la vârf și suplementare · cum aflu măsura unui unghi