Probleme practice cu ecuații și sisteme: vârste și bani

Câți ani va avea tatăl tău când tu vei avea de două ori vârsta de acum? Peste câte săptămâni vor avea doi prieteni care economisesc aceeași sumă de bani? Câți lei costă un caiet dacă știi doar cât ai plătit pe câteva caiete și un pix? Toate acestea sunt probleme practice cu ecuații pe care le poți rezolva transformând cuvintele într-o egalitate matematică. În această lecție vei învăța cum să modelezi problemele de vârste și problemele cu bani folosind fie o singură ecuație, fie un sistem de două ecuații liniare, și cum să verifici că răspunsul are sens în viața reală.

Ce vei învăța

• Vei ști să modelezi relații dintre vârste (acum, în trecut și peste câțiva ani) folosind o ecuație sau un sistem.
• Vei ști să rezolvi probleme cu bani transpunând enunțul în limbaj matematic: sume, rest de plată, preț pe unitate și cantități.
• Vei ști să alegi între o singură ecuație și un sistem, în funcție de câte necunoscute are problema.
• Vei ști să verifici dacă rezultatul obținut are sens în situația reală și să interpretezi corect un răspuns.
• Vei ști să recunoști capcana diferenței de vârstă, care rămâne mereu constantă în timp.

Hai să descoperim împreună

Această lecție continuă drumul început în Etapele rezolvării unei probleme cu ecuație sau sistem, în Probleme rezolvate cu ecuații de gradul I și în Probleme rezolvate cu sisteme de două ecuații liniare. Acum aplicăm tot ce am învățat pe două tipuri de probleme care apar mereu la teze, la evaluări și în viața de zi cu zi: vârstele și banii.

Reamintim planul de lucru în patru pași

Indiferent de tema problemei, folosim mereu același plan, pe care îl știi deja:

1. Alegem necunoscutele și le notăm cu litere (de obicei $x$, $y$). Scriem clar ce reprezintă fiecare, cu unitatea de măsură (ani, lei, kilograme).
2. Traducem enunțul în ecuații. Fiecare propoziție cu informație numerică devine o egalitate.
3. Rezolvăm ecuația sau sistemul, folosind transformările echivalente pe care le știi.
4. Verificăm și interpretăm rezultatul: îl punem înapoi în enunț și ne întrebăm dacă are sens (o vârstă nu poate fi negativă, un preț nu poate fi negativ).

Al patrulea pas este cel pe care mulți elevi îl sar. La problemele practice el este obligatoriu, pentru că răspunsul trebuie să fie realist, nu doar corect algebric.

Partea I: Problemele de vârste

Cheia tuturor problemelor de vârste este o observație foarte simplă, dar foarte puternică:

Diferența de vârstă dintre două persoane rămâne mereu aceeași, oricât timp ar trece.

De ce? Pentru că amândoi îmbătrânesc cu același număr de ani în același timp. Dacă acum sora ta este cu 3 ani mai mare decât tine, ea a fost cu 3 ani mai mare și acum cinci ani, și va fi cu 3 ani mai mare și peste douăzeci de ani. Timpul îi adaugă amândurora aceeași cantitate, deci diferența nu se schimbă niciodată.

Ce se schimbă în timp este raportul dintre vârste. Când erai mic, tata avea, poate, de cinci ori vârsta ta. Acum are, poate, de trei ori. Peste mulți ani va avea doar de două ori. Raportul scade mereu spre 1, dar diferența rămâne fixă. Această idee este inima majorității problemelor de vârste.

Cum traducem timpul care trece?

• Vârsta unei persoane acum o notăm cu o literă, de exemplu $x$.
• Peste $n$ ani, vârsta ei va fi $x+n$ (adunăm anii care trec).
• Acum $n$ ani (adică în trecut), vârsta ei era $x-n$ (scădem anii de atunci).

Foarte important: peste înseamnă viitor, deci adunăm; acum ... ani sau în urmă cu ... ani înseamnă trecut, deci scădem. Multe greșeli vin din confundarea acestor două expresii.

Sub-exemplu concret 1 (cu o singură necunoscută). Un tată are acum 39 de ani, iar fiul său are 11 ani. Peste câți ani tatăl va avea exact de 3 ori vârsta fiului?

Necunoscuta este numărul de ani care trebuie să treacă; o notăm $x$.

• Peste $x$ ani, tatăl va avea $39+x$ ani.
• Peste $x$ ani, fiul va avea $11+x$ ani.
• Condiția „tatăl de 3 ori cât fiul" devine:

$$39+x=3(11+x).$$

Rezolvăm: $39+x=33+3x$, deci $39-33=3x-x$, adică $6=2x$, de unde $x=3$.

Verificare: peste 3 ani, tatăl are 42, fiul are 14, iar $42=3\cdot 14$. Corect! Răspuns: peste 3 ani.

Observă că aici a fost suficientă o singură ecuație, pentru că aveam o singură necunoscută (numărul de ani).

Sub-exemplu concret 2 (cu sistem). Ana și Bogdan au împreună 46 de ani, iar Ana este cu 8 ani mai mare decât Bogdan. Ce vârstă are fiecare?

Aici avem două vârste necunoscute, deci alegem două litere:

• $a$ = vârsta Anei (în ani);
• $b$ = vârsta lui Bogdan (în ani).

Traducem cele două informații:

$$\{\begin{array}{l}a+b=46\\ a-b=8\end{array}$$

Rezolvăm cel mai simplu prin metoda reducerii: adunând cele două ecuații, $b$ se elimină: $2a=54$, deci $a=27$. Apoi $b=46-27=19$.

Verificare: $27+19=46$ (corect) și $27-19=8$ (corect). Ana are 27 de ani, Bogdan are 19 ani.

Partea a II-a: Problemele cu bani

Problemele cu bani se traduc la fel de natural. Ideile-cheie de care ne folosim:

• Preț pe unitate × cantitate = cost. Dacă un caiet costă $x$ lei, atunci 5 caiete costă $5x$ lei.
• Suma plătită = suma costurilor. Dacă plătești caietele și un pix, prețul total este suma celor două costuri.
• Rest = bancnota dată − suma de plată. Dacă dai 50 de lei și trebuie să plătești $S$ lei, primești rest $50-S$ lei.
• Când ai o singură necunoscută (un singur preț necunoscut), folosești o ecuație. Când ai două prețuri necunoscute și două informații, folosești un sistem.

Sub-exemplu concret 3 (o ecuație). Un caiet costă $x$ lei. Ana cumpără 3 caiete și un pix de 4 lei și plătește în total 22 de lei. Cât costă un caiet?

Costul celor 3 caiete este $3x$, plus pixul de 4 lei, deci:

$$3x+4=22.$$

De aici $3x=18$, deci $x=6$. Verificare: $3\cdot 6+4=18+4=22$. Corect! Un caiet costă 6 lei.

Sub-exemplu concret 4 (sistem). La un chioșc, 2 sucuri și 3 covrigi costă 19 lei, iar 1 suc și 2 covrigi costă 11 lei. Cât costă un suc și cât costă un covrig?

Două prețuri necunoscute → două litere:

• $s$ = prețul unui suc (lei);
• $c$ = prețul unui covrig (lei).

$$\{\begin{array}{l}2s+3c=19\\ s+2c=11\end{array}$$

Rezolvăm prin substituție: din a doua ecuație, $s=11-2c$. Înlocuim în prima:

$$2(11-2c)+3c=19\Rightarrow 22-4c+3c=19\Rightarrow 22-c=19\Rightarrow c=3.$$

Atunci $s=11-2\cdot 3=5$. Verificare: $2\cdot 5+3\cdot 3=10+9=19$ (corect) și $5+2\cdot 3=11$ (corect). Un suc costă 5 lei, un covrig costă 3 lei.

Cum alegem: o ecuație sau un sistem?

Regula practică este simplă și o folosești de fiecare dată:

• Dacă în problemă poți exprima totul printr-o singură necunoscută, scrii o singură ecuație. De obicei asta se întâmplă când una dintre mărimi este dată exact în funcție de cealaltă (de exemplu „cu 8 mai mult", „de 3 ori mai mult", „cu 150 mai puțin").
• Dacă ai două mărimi necunoscute independente și două condiții care le leagă, e mai comod să scrii un sistem de două ecuații.

Adevărul este că multe probleme se pot rezolva în ambele feluri. De pildă, problema Anei și a lui Bogdan de mai sus se poate rezolva și cu o singură necunoscută: dacă notăm vârsta lui Bogdan cu $b$, atunci Ana are $b+8$, iar suma dă $b+(b+8)=46$, adică $2b+8=46$, deci $b=19$. Alege metoda care ți se pare mai clară și mai puțin predispusă la greșeli.

Verificarea și interpretarea: pasul care nu lipsește niciodată

La problemele practice, un răspuns „corect din calcul" nu este suficient dacă nu are sens în realitate. Iată la ce te uiți:

• O vârstă trebuie să fie un număr pozitiv. Un rezultat de tip $x=-2$ ani nu poate fi o vârstă. Uneori, la o problemă de tip „peste câți ani", un rezultat negativ are totuși un înțeles: evenimentul s-a petrecut deja, în trecut. Vom vedea asta la exerciții.
• Un preț sau o sumă de bani trebuie să fie pozitiv (sau cel puțin nul).
• Numărul de obiecte (caiete, bilete) trebuie să fie un număr natural: nu poți cumpăra 2,5 caiete.
• Anumite mărimi, precum prețuri, pot avea zecimale (de exemplu 10,50 lei), dar altele nu. Judecă mereu în funcție de context.

Dacă rezultatul contrazice contextul, întoarce-te și verifică traducerea enunțului: probabil ai confundat „peste" cu „acum ... ani" sau ai scris raportul invers.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Vârste, cu o ecuație (raport în viitor)

Un tată are 34 de ani, iar fiul său are 4 ani. Peste câți ani tatăl va avea de 3 ori vârsta fiului?

Pasul 1 — necunoscuta. Notăm cu $x$ numărul de ani care trebuie să treacă.

Pasul 2 — ecuația. Peste $x$ ani, tatăl are $34+x$, fiul are $4+x$, iar condiția este:

$$34+x=3(4+x).$$

Pasul 3 — rezolvarea. $34+x=12+3x\Rightarrow 34-12=3x-x\Rightarrow 22=2x\Rightarrow x=11.$

Pasul 4 — verificarea. Peste 11 ani: tatăl are $34+11=45$, fiul are $4+11=15$, iar $45=3\cdot 15$. Corect și realist. Răspuns: peste 11 ani.

Exemplul 2 — Vârste, cu sistem (sumă și diferență)

Diferența dintre vârstele a doi veri este de 3 ani, iar suma vârstelor lor este 29. Ce vârstă are fiecare?

Pasul 1. $a$ = vârsta vărului mai mare, $b$ = vârsta vărului mai mic (ani).

Pasul 2. $\{\begin{array}{l}a-b=3\\ a+b=29\end{array}$

Pasul 3. Prin reducere, adunăm ecuațiile: $2a=32\Rightarrow a=16$. Apoi $b=29-16=13$.

Pasul 4. $16-13=3$ (corect), $16+13=29$ (corect). Răspuns: 16 ani și 13 ani.

Exemplul 3 — Vârste, cu trecut și prezent (sistem)

Acum 4 ani, mama avea de 4 ori vârsta fiicei sale. Acum, mama are de 3 ori vârsta fiicei. Ce vârstă are fiecare acum?

Pasul 1. $m$ = vârsta mamei acum, $d$ = vârsta fiicei acum (ani).

Pasul 2. Condiția din prezent: $m=3d$. Condiția din trecut (acum 4 ani vârstele erau $m-4$ și $d-4$): $m-4=4(d-4)$. Sistemul:

$$\{\begin{array}{l}m=3d\\ m-4=4(d-4)\end{array}$$

Pasul 3. Înlocuim $m=3d$ în a doua ecuație: $3d-4=4(d-4)=4d-16$. De aici $-4+16=4d-3d$, adică $12=d$. Atunci $m=3\cdot 12=36$.

Pasul 4. Acum: $36=3\cdot 12$ (corect). Acum 4 ani: mama avea 32, fiica avea 8, iar $32=4\cdot 8$ (corect). Răspuns: mama are 36 de ani, fiica 12 ani.

Observă cât de important a fost să scădem 4 din ambele vârste pentru momentul din trecut. O greșeală clasică este să scazi doar dintr-una singură.

Exemplul 4 — Bani, cu rest de plată (o ecuație)

Un elev cumpără 4 stilouri identice și primește rest 10 lei dintr-o bancnotă de 50 de lei. Cât costă un stilou?

Pasul 1. $x$ = prețul unui stilou (lei).

Pasul 2. Suma de plată este $4x$, iar restul este $50-4x$. Cum restul este 10 lei:

$$50-4x=10.$$

Pasul 3. $50-10=4x\Rightarrow 40=4x\Rightarrow x=10.$

Pasul 4. 4 stilouri costă $4\cdot 10=40$ lei, restul din 50 este $50-40=10$ lei. Corect. Răspuns: un stilou costă 10 lei.

Exemplul 5 — Bani, preț pe unitate și cantități (sistem)

La o piață, 3 kg de mere și 2 kg de pere costă 34 de lei, iar 1 kg de mere și 1 kg de pere costă 13 lei. Cât costă un kilogram din fiecare?

Pasul 1. $m$ = prețul unui kilogram de mere, $p$ = prețul unui kilogram de pere (lei).

Pasul 2. $\{\begin{array}{l}3m+2p=34\\ m+p=13\end{array}$

Pasul 3. Din a doua ecuație, $m=13-p$. Înlocuim în prima:

$$3(13-p)+2p=34\Rightarrow 39-3p+2p=34\Rightarrow 39-p=34\Rightarrow p=5.$$

Atunci $m=13-5=8$.

Pasul 4. $3\cdot 8+2\cdot 5=24+10=34$ (corect), $8+5=13$ (corect). Răspuns: merele 8 lei/kg, perele 5 lei/kg.

Exemplul 6 — Vârste, cu interpretarea unui rezultat negativ

Un tată are 40 de ani, iar fiul său are 10 ani. Peste câți ani tatăl va avea de 5 ori vârsta fiului?

Pasul 1. $x$ = numărul de ani care trec.

Pasul 2. $40+x=5(10+x)$.

Pasul 3. $40+x=50+5x\Rightarrow 40-50=5x-x\Rightarrow -10=4x\Rightarrow x=-2,5.$

Pasul 4 — interpretarea. Rezultatul este negativ, deci nu există un moment în viitor când tatăl să fie de 5 ori mai bătrân decât fiul. Semnul minus ne spune că un astfel de moment a fost în trecut: acum $2,5$ ani. Și acolo apare o problemă — acum $2,5$ ani fiul ar fi avut $7,5$ ani, iar tatăl $37,5$, și într-adevăr $37,5=5\cdot 7,5$. Deci matematica e corectă, dar concluzia realistă este: în viitor nu se va mai întâmpla niciodată ca tatăl să fie de 5 ori cât fiul, pentru că raportul dintre vârste scade în timp. Acesta este un exemplu perfect de ce interpretarea rezultatului este esențială.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind de fiecare dată necunoscutele, ecuația sau sistemul, calculul și verificarea. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Un frate are 14 ani, iar sora sa are 9 ani. Peste câți ani suma vârstelor lor va fi 33?

2. Diferența dintre vârstele a doi colegi este 3 ani, iar suma vârstelor este 29 de ani. Ce vârstă are fiecare?

3. Un tată are 34 de ani, iar fiul său are 4 ani. Peste câți ani tatăl va avea de 3 ori vârsta fiului?

4. Adevărat sau fals, cu justificare: „Diferența de vârstă dintre două persoane se schimbă pe măsură ce trece timpul."

5. Un pix costă cu 2 lei mai mult decât o gumă. Împreună costă 10 lei. Cât costă fiecare?

6. Cinci caiete costă 30 de lei. Cât costă 8 caiete la același preț pe bucată?

7. Ana are acum de 2 ori vârsta lui Radu. Împreună au 27 de ani. Câți ani are fiecare?

8. Acum 6 ani, o persoană avea 20 de ani. Ce vârstă va avea peste 10 ani?

9. Un telefon se vinde cu o reducere de 150 de lei, iar prețul redus este 850 de lei. Cât costa telefonul înainte de reducere?

10. Doi prieteni au împreună 350 de lei. Unul are de 4 ori mai mult decât celălalt. Cât are fiecare?

11. Peste 8 ani, o fată va avea de 3 ori vârsta pe care o are acum. Ce vârstă are acum?

12. Un bunic are 60 de ani, iar nepotul său are 15 ani. Acum câți ani bunicul avea de 6 ori vârsta nepotului?

13. La magazin, 3 kg de mere și 2 kg de pere costă 34 de lei, iar 1 kg de mere și 1 kg de pere costă 13 lei. Cât costă un kilogram din fiecare?

14. Un elev plătește 4 caiete cu o bancnotă de 50 de lei și primește rest 10 lei. Cât costă un caiet?

15. Vârsta mamei este acum de 5 ori vârsta fiicei. Peste 4 ani, mama va avea de 3 ori vârsta fiicei. Ce vârste au acum?

16. La cinema, 2 bilete întregi și 3 bilete reduse costă 156 de lei, iar 1 bilet întreg și 2 bilete reduse costă 89 de lei. Cât costă un bilet întreg și cât un bilet redus?

17. Justifică: la problema „un tată de 40 de ani și un fiu de 10 ani — peste câți ani tatăl va fi de 5 ori vârsta fiului?" se obține $x=-2,5$. Ce înseamnă rezultatul negativ și de ce evenimentul nu se va mai petrece în viitor?

18. Andrei are acum 40 de lei și pune deoparte câte 20 de lei în fiecare săptămână. Maria are 160 de lei, dar cheltuie 10 lei pe săptămână. După câte săptămâni vor avea sume egale și cât va avea fiecare atunci?

Răspunsuri și explicații

1. Suma actuală este $14+9=23$. Peste $x$ ani, fiecare crește cu $x$, deci suma crește cu $2x$: $23+2x=33\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$. Peste 5 ani.

2. $\{\begin{array}{l}a-b=3\\ a+b=29\end{array}$ Prin adunare: $2a=32\Rightarrow a=16$, apoi $b=13$. 16 ani și 13 ani.

3. $34+x=3(4+x)\Rightarrow 34+x=12+3x\Rightarrow 22=2x\Rightarrow x=11$. Verificare: 45 și 15, $45=3\cdot 15$. Peste 11 ani.

4. Fals. Diferența de vârstă rămâne mereu constantă, pentru că ambele persoane îmbătrânesc cu același număr de ani în același timp. Se schimbă raportul dintre vârste, nu diferența.

5. Notăm guma $g$, pixul $g+2$. Atunci $g+(g+2)=10\Rightarrow 2g+2=10\Rightarrow g=4$. Guma costă 4 lei, pixul 6 lei.

6. Prețul unui caiet: $30:5=6$ lei. Opt caiete: $8\cdot 6=48$ lei. 48 de lei.

7. Notăm $r$ = vârsta lui Radu, Ana are $2r$. Atunci $r+2r=27\Rightarrow 3r=27\Rightarrow r=9$. Radu 9 ani, Ana 18 ani.

8. Acum are $20+6=26$ de ani. Peste 10 ani: $26+10=36$. 36 de ani.

9. $x-150=850\Rightarrow x=1000$. 1000 de lei.

10. Notăm suma mai mică $b$, cealaltă $4b$. Atunci $b+4b=350\Rightarrow 5b=350\Rightarrow b=70$. 70 de lei și 280 de lei.

11. $x+8=3x\Rightarrow 8=2x\Rightarrow x=4$. Verificare: peste 8 ani are 12, iar $12=3\cdot 4$. 4 ani.

12. Notăm cu $x$ numărul de ani în urmă. Atunci $60-x=6(15-x)\Rightarrow 60-x=90-6x\Rightarrow 5x=30\Rightarrow x=6$. Verificare: acum 6 ani bunicul avea 54, nepotul 9, iar $54=6\cdot 9$. Acum 6 ani.

13. $\{\begin{array}{l}3m+2p=34\\ m+p=13\end{array}$ Din a doua, $m=13-p$; înlocuind: $3(13-p)+2p=34\Rightarrow 39-p=34\Rightarrow p=5$, $m=8$. Merele 8 lei/kg, perele 5 lei/kg.

14. $50-4x=10\Rightarrow 4x=40\Rightarrow x=10$. Un caiet costă 10 lei.

15. Notăm $d$ = vârsta fiicei, $m=5d$. Peste 4 ani: $m+4=3(d+4)$. Înlocuim: $5d+4=3d+12\Rightarrow 2d=8\Rightarrow d=4$, $m=20$. Verificare: peste 4 ani mama are 24, fiica 8, iar $24=3\cdot 8$. Mama 20 de ani, fiica 4 ani.

16. $\{\begin{array}{l}2i+3r=156\\ i+2r=89\end{array}$ Din a doua, $i=89-2r$; înlocuind: $2(89-2r)+3r=156\Rightarrow 178-r=156\Rightarrow r=22$, $i=89-44=45$. Verificare: $2\cdot 45+3\cdot 22=90+66=156$. Bilet întreg 45 lei, bilet redus 22 lei.

17. Rezultatul $x=-2,5$ este negativ, deci nu există un moment în viitor care să îndeplinească condiția. Semnul minus arată că momentul căutat ar fi fost în trecut (acum $2,5$ ani). Cum raportul dintre vârstele tatălui și fiului scade mereu în timp (de la valori mari spre 1), tatăl a fost cândva de 5 ori mai bătrân (acum $2,5$ ani), iar acum este exact de 4 ori mai bătrân ($40=4\cdot 10$); pe viitor raportul va continua să scadă spre 1 și nu va mai reveni niciodată la 5. De aceea evenimentul nu se mai poate petrece în viitor.

18. Notăm cu $s$ numărul de săptămâni. Andrei are $40+20s$, Maria are $160-10s$. Egalitatea: $40+20s=160-10s\Rightarrow 30s=120\Rightarrow s=4$. Atunci fiecare are $40+20\cdot 4=120$ lei (verificare: Maria $160-40=120$). După 4 săptămâni, câte 120 de lei fiecare.

De reținut

• Diferența de vârstă este constantă în timp; se schimbă doar raportul dintre vârste. Aceasta este cheia problemelor de vârste.
• Peste $n$ ani înseamnă $+n$ (viitor); acum $n$ ani / în urmă cu $n$ ani înseamnă $-n$ (trecut). Aplică schimbarea la toate vârstele din problemă simultan.
• La bani: preț pe unitate × cantitate = cost; suma plătită = suma costurilor; rest = bancnota − suma de plată.
• O necunoscută → o ecuație; două necunoscute independente + două condiții → un sistem. Alege metoda cea mai clară pentru tine.
• Verifică și interpretează mereu: vârstele și prețurile sunt pozitive, numărul de obiecte este natural, iar un rezultat negativ trebuie explicat în context.

Greșeli frecvente

• Adaugi anii doar la o singură persoană. Când trec $n$ ani, îmbătrânesc toți. Scrie $+n$ (sau $-n$) la fiecare vârstă din problemă, nu doar la una.
• Confunzi „peste" cu „acum ... ani". „Peste" e viitor (aduni), „acum ... ani" e trecut (scazi). Citește enunțul de două ori înainte să traduci.
• Scrii raportul invers. „Tatăl are de 3 ori vârsta fiului" se scrie $T=3F$, nu $F=3T$. Un test rapid: cine e mai mare trebuie să iasă cu vârsta mai mare la final.
• Sari peste verificare și accepți un rezultat fără sens. Un preț negativ, o vârstă negativă sau 2,5 caiete sunt semnale că ai greșit traducerea sau că răspunsul trebuie interpretat (ca la Exemplul 6).

Aplică acasă

1. Vârstele din familia ta. Notează vârstele reale ale două persoane din familie (de exemplu tu și un frate/o soră). Calculează diferența lor de vârstă și verifică pe vârstele de acum câțiva ani (din poze sau documente) că această diferență a rămas mereu aceeași. Apoi formulează singur o problemă de tip „peste câți ani unul va avea de $k$ ori vârsta celuilalt" și rezolvă-o.

2. Bonul de la magazin. Ia un bon de cumpărături cu două produse cumpărate în cantități diferite (de exemplu 2 pâini și 3 iaurturi cu total afișat). Ascunde prețurile unitare, cere și un al doilea bon cu alte cantități din aceleași produse și încearcă să afli prețurile pe bucată scriind un sistem de două ecuații. Verifică apoi cu prețurile reale de pe raft.

3. Planul de economii. Alege o sumă pe care vrei să o strângi (de exemplu pentru un cadou) și o sumă fixă pe care o poți pune deoparte în fiecare săptămână. Scrie o ecuație de forma „sumă strânsă = sumă pe săptămână × număr de săptămâni" și află după câte săptămâni atingi ținta. Compară cu un prieten care pornește de la altă sumă de bază.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează transpunerea unei situații reale în ecuații și sisteme (competențele 1.2 și 6.2 din programă), fără a introduce noțiuni de clasa a VIII-a. Sprijinul cel mai util este să insistați pe cei patru pași: ce notăm cu literă, cum traducem fiecare propoziție, cum rezolvăm și, mai ales, cum verificăm.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune elevului:

• „De ce diferența de vârstă nu se schimbă niciodată?" (Răspunsul corect arată că a înțeles ideea centrală.)
• „Aici e vorba de trecut sau de viitor? Deci adunăm sau scădem?"
• „Ai o singură necunoscută sau două? De ce ai ales o ecuație / un sistem?"
• „Are sens răspunsul tău? Poate exista un preț sau o vârstă negativă?"

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: notează clar necunoscutele cu unitate de măsură, aplică schimbarea de ani la toate vârstele, verifică rezultatul înlocuindu-l în enunțul original și poate explica în cuvinte de ce un rezultat negativ nu are sens ca „număr de ani în viitor". Dacă greșește, cel mai des cauza este traducerea enunțului, nu calculul; reluați împreună doar pasul al doilea.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o problemă de vârste la clasa a 7-a? Notezi cu o literă vârsta necunoscută (acum), exprimi vârstele din trecut cu $-n$ și cele din viitor cu $+n$, apoi traduci condiția din enunț într-o ecuație sau un sistem. Rezolvi, verifici și interpretezi rezultatul în context.

De ce diferența de vârstă rămâne mereu constantă? Pentru că ambele persoane îmbătrânesc cu același număr de ani în același timp. Dacă adaugi aceeași cantitate la două numere, diferența lor nu se schimbă. Se schimbă doar raportul dintre ele.

Când folosesc o ecuație și când un sistem la problemele practice? Dacă poți exprima totul cu o singură necunoscută (de exemplu una dintre mărimi e „cu atât mai mare" sau „de atâtea ori" față de cealaltă), folosești o ecuație. Dacă ai două mărimi necunoscute independente și două condiții, folosești un sistem de două ecuații.

Ce fac dacă la o problemă de vârste îmi iese un rezultat negativ? Rezultatul negativ înseamnă de obicei că momentul căutat nu este în viitor, ci în trecut. Verifici dacă are sens în context; uneori concluzia corectă este că evenimentul „nu se va mai petrece niciodată în viitor", cum se întâmplă când raportul dintre vârste tot scade.

Cum traduc o problemă cu bani în ecuație? Folosești relația preț pe unitate × cantitate = cost și faptul că suma plătită este suma tuturor costurilor. Pentru rest, scrii rest = bancnota dată − suma de plată. Fiecare informație numerică din enunț devine o egalitate.

Poate un preț sau un număr de obiecte să fie cu zecimale? Un preț poate avea zecimale (de exemplu 10,50 lei), dar numărul de obiecte cumpărate trebuie să fie un număr natural. De aceea, dacă îți iese „2,5 caiete", ai greșit undeva traducerea enunțului.

Ce greșeală fac cel mai des elevii la problemele de vârste? Cea mai frecventă este să adauge anii care trec doar unei persoane, uitând de cealaltă. Când trec $n$ ani, toate vârstele cresc cu $n$. A doua greșeală des întâlnită este confundarea lui „peste" (viitor, aduni) cu „acum ... ani" (trecut, scazi).

Unde învăț pașii generali de rezolvare a unei probleme cu ecuație sau sistem? Poți relua Etapele rezolvării unei probleme cu ecuație sau sistem, apoi Probleme rezolvate cu ecuații de gradul I și Probleme rezolvate cu sisteme de două ecuații liniare. În lecția următoare vei aplica aceleași idei la probleme de mișcare, amestecuri și geometrie.