Cum rezolv o problemă cu vârste?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Probleme cu vârste și bani

Pornești de la faptul că distanța dintre doi oameni în ani nu se schimbă niciodată; doar raportul dintre vârstele lor se modifică. Scrii cu $x$ numărul de ani care trec și îl adaugi la fiecare persoană deodată, sau îl scazi, dacă enunțul privește în urmă. Dintr-un tată de $30$ de ani și un fiu de $6$ ani obții $30 + x = 3 (6 + x)$ , deci $x = 6$ .

La problemele de vârste, ideea de aur este că diferența de vârstă rămâne mereu constantă în timp — se schimbă doar raportul dintre vârste. Traduci timpul astfel: peste $n$ ani înseamnă $+ n$ , iar acum $n$ ani (trecut) înseamnă $- n$ , și aplici schimbarea la toate persoanele deodată.

La problemele cu bani, folosești relația preț × cantitate = cost și rest = bancnotă − suma de plată.

Alegi o ecuație dacă poți exprima totul cu o singură necunoscută (de exemplu „cu 8 mai mare"), sau un sistem dacă ai două necunoscute independente și două condiții.

Exemplu minimal: Un tată are 30 de ani, fiul 6 ani. Peste câți ani tatăl va avea de 3 ori vârsta fiului? Notăm $x$ anii ce trec: $30 + x = 3 (6 + x) \Rightarrow 30 + x = 18 + 3 x \Rightarrow 12 = 2 x \Rightarrow x = 6$ . Verificare: peste 6 ani, $36 = 3 \cdot 12$ . Corect!

Mereu la final verifici: vârstele și prețurile trebuie să fie pozitive, iar un rezultat negativ arată de obicei un moment din trecut, nu din viitor.

De reținut

diferența de vârstă nu se schimbă în timp
peste $n$ ani înseamnă $+ n$ la toți; acum $n$ ani înseamnă $- n$ la toți
la bani: preț $\times$ cantitate $=$ cost, iar rest $=$ bancnotă $-$ plată

Greșeala tipică

Se adaugă anii doar unei persoane, iar celelalte rămân cu vârsta de azi. Timpul trece la fel pentru toți, deci schimbarea se aplică fiecărei vârste din enunț.

Exerciții din această mini-lecție

O mamă are 28 de ani, iar fiica ei are 4 ani. Peste câți ani mama va avea exact de 4 ori vârsta fiicei?
- a) Peste 2 ani
- b) Peste 4 ani
- c) Peste 6 ani
- d) Peste 8 ani
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Peste 4 ani

Notăm $x$ anii ce trec: $28 + x = 4 (4 + x) \Rightarrow 28 + x = 16 + 4 x \Rightarrow 12 = 3 x \Rightarrow x = 4$ . Verificare: peste 4 ani, mama are 32, fiica 8, iar $32 = 4 \cdot 8$ .
Un tată are 40 de ani, iar fiul său are 12 ani. Acum câți ani tatăl avea exact de 5 ori vârsta fiului?
- a) Acum 3 ani
- b) Acum 5 ani
- c) Acum 15 ani
- d) Acum 10 ani
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Acum 5 ani

Notăm cu $x$ anii trecuți de atunci: $40 - x = 5 (12 - x) \Rightarrow 40 - x = 60 - 5 x \Rightarrow 4 x = 20 \Rightarrow x = 5$ . Acum 5 ani, tatăl avea $35$ , fiul $7$ , iar $35 = 5 \cdot 7$ .
O elevă cumpără 4 caiete identice și primește rest de 10 lei dintr-o bancnotă de 50 de lei. Cât costă un caiet?
- a) 15 lei
- b) 10 lei
- c) 20 lei
- d) 30 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 10 lei

Notăm $x$ = prețul unui caiet: $50 - 4 x = 10 \Rightarrow 4 x = 40 \Rightarrow x = 10$ lei. Verificare: 4 caiete costă 40 lei, restul din 50 este 10 lei.

Întrebări conexe

Cum scriu vârsta cuiva acum 4 ani într-o ecuație?

Scazi $4$ din vârsta ei de acum. Dacă azi are $x$ ani, în urmă cu patru ani avea $x - 4$ ani. Aceeași scădere se aplică tuturor persoanelor din enunț, nu doar uneia. Fiind vorba de trecut, valoarea obținută trebuie să iasă pozitivă, altfel persoana încă nu se născuse.

Ce fac dacă problema cere vârstele a trei persoane?

Alegi drept necunoscută vârsta cea mai mică și scrii celelalte două prin ea. Dacă al doilea are cu $5$ ani mai mult, iar al treilea de două ori cât primul, obții $x$ , $x + 5$ și $2 x$ . Suma lor egalată cu totalul dat îți dă o singură ecuație.

Cum aflu prețul unui obiect dintr-o problemă cu rest?

Pleci de la relația dintre bancnota dată, suma plătită și restul primit. Dacă cineva plătește cu $50$ de lei, cumpără trei caiete la $x$ lei bucata și primește $17$ lei rest, atunci $50 - 3 x = 17$ . Rezultă $3 x = 33$ , deci un caiet costă $11$ lei.

De ce se schimbă raportul vârstelor, dacă diferența rămâne?

Fiindcă amândoi cresc cu același număr de ani, dar pornesc de la valori diferite. La $30$ și $6$ ani raportul e de cinci la unu; peste șase ani devin $36$ și $12$ , adică trei la unu. Diferența rămâne $24$ , însă valorile mari se apropie ca proporție.

Cum verific o problemă cu vârste după ce am aflat x?

Calculezi vârstele la momentul cerut și verifici dacă respectă condiția din text, nu doar ecuația. Pentru $x = 6$ obții $36$ și $12$ , iar $36$ este într-adevăr de trei ori $12$ . Dacă potrivirea nu se face, greșeala stă în felul cum ai tradus enunțul.

Cum scriu ecuația când cineva cumpără două feluri de obiecte?

Notezi cu litere diferite numărul de bucăți din fiecare fel și scrii două condiții. Una leagă numărul total de obiecte, cealaltă suma plătită. Pentru $x$ pixuri la $3$ lei și $y$ caiete la $5$ lei, cu $12$ obiecte și $46$ de lei, ai $x + y = 12$ și $3 x + 5 y = 46$ .

Oamenii mai întreabă și: probleme cu vârste rezolvate · probleme de vârste cu ecuații · peste câți ani tatăl va avea · diferența de vârstă rămâne constantă · probleme cu bani și ecuații