Acasă · Clasa a VII-a · Lecții · Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului

Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului

Până acum ai învățat să rezolvi ecuații și sisteme de ecuații liniare: știi să rezolvi $a x + b = 0$ , știi metoda substituției și metoda reducerii. Dar la un test, la un concurs sau chiar în viața de zi cu zi, problemele nu vin scrise sub forma unei ecuații gata pregătite. Ele vin sub formă de text: „Un telefon și husa lui costă împreună 850 de lei, iar telefonul e cu 750 de lei mai scump decât husa. Cât costă fiecare?". Marele salt pe care îl faci în această lecție este să înveți cum transformi un text într-o ecuație sau într-un sistem — și apoi cum verifici că răspunsul tău chiar are sens. Este exact abilitatea care face diferența dintre un elev care „știe să calculeze" și unul care „știe să gândească matematic".

Ce vei învăța

Vei ști să parcurgi ordonat cei cinci pași ai rezolvării unei probleme cu ecuație sau sistem.
Vei ști să alegi și să notezi corect necunoscuta (una singură, $x$ , sau două, $x$ și $y$ ).
Vei ști să traduci enunțul în limbaj matematic, adică să scrii ecuația sau sistemul.
Vei ști să verifici soluția în textul problemei și să dai răspunsul cerut, cu unitatea de măsură potrivită.
Vei ști să decizi când folosești o singură ecuație și când un sistem de două ecuații liniare.

Hai să descoperim împreună

De ce avem nevoie de o metodă?

Imaginează-ți că prietenul tău îți spune: „M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 3, am adăugat 8 și mi-a ieșit 29. La ce număr m-am gândit?". Ai putea să încerci din cap: „poate 5?... $3 \cdot 5 + 8 = 23$ , prea puțin; poate 7?... $3 \cdot 7 + 8 = 29$ , da!". A mers prin încercări, pentru că numerele erau mici. Dar dacă rezultatul ar fi fost $29417$ sau dacă în problemă ar apărea fracții și zecimale? Metoda „ghicește și verifică" se blochează repede.

Aici intervine puterea algebrei: în loc să ghicim, dăm un nume necunoscutei (o literă), scriem relația din problemă sub formă de ecuație și lăsăm regulile de rezolvare să ne ducă la răspuns. Metoda este mereu aceeași, indiferent cât de mari sunt numerele. Această metodă are cinci etape clare, pe care le vei folosi toată viața.

Cei cinci pași ai metodei

Reține această structură — o vei repeta la fiecare problemă:

Alegerea și notarea necunoscutei. Citești cu atenție și te întrebi: „Ce anume mi se cere să aflu?". Acea mărime necunoscută o notezi cu o literă, de obicei $x$ (sau $x$ și $y$ , dacă sunt două necunoscute). Scrii clar ce reprezintă litera, împreună cu unitatea de măsură.
Traducerea enunțului în limbaj matematic. Transformi propozițiile din text în relații matematice, folosind necunoscuta. Rezultatul este o ecuație (dacă ai o necunoscută) sau un sistem de două ecuații (dacă ai două necunoscute).
Rezolvarea ecuației / sistemului. Aici folosești ce ai învățat deja: transformări echivalente pentru ecuație, metoda substituției sau a reducerii pentru sistem. Obții valorile necunoscutelor.
Verificarea soluției. Iei valoarea găsită și o pui înapoi în textul problemei (nu doar în ecuație!), ca să te asiguri că totul se potrivește și că răspunsul are sens (de exemplu, un preț nu poate fi negativ, iar numărul de elevi trebuie să fie număr natural).
Interpretarea rezultatului și răspunsul. Traduci valoarea numerică înapoi în limbajul problemei și scrii o propoziție de răspuns completă, cu unitatea de măsură. Problema cere „cât costă telefonul", nu cere „ $x = 800$ ".

Cheia întregii metode este pasul 1 și pasul 2: dacă notezi bine necunoscuta și traduci corect, restul este calcul „mecanic". Hai să vedem fiecare pas pe îndelete.

Pasul 1 — Cum alegem și notăm necunoscuta

Regula de aur: necunoscuta este, de cele mai multe ori, exact ceea ce ți se cere. Dacă întrebarea e „cât costă un caiet?", notează cu $x$ prețul unui caiet. Dacă întrebarea e „câți ani are Andrei?", notează cu $x$ vârsta lui Andrei.

Uneori e mai comod să notezi cu $x$ mărimea „cea mai mică" sau „cea de bază", iar celelalte mărimi le exprimi în funcție de ea. De exemplu, dacă „un număr e cu 5 mai mare decât altul", notezi numărul mic cu $x$ , iar numărul mare devine $x + 5$ . Astfel folosești o singură literă.

Foarte important: scrie mereu ce reprezintă litera și unitatea. Nu scrie doar „ $x$ ", ci „ $x$ = prețul unei cărți (în lei)" sau „ $x$ = numărul de biciclete". Această disciplină te ferește de greșeli și îți aduce puncte la examen.

Pasul 2 — Traducerea din limba română în limbaj matematic

Aceasta este partea cea mai importantă și, la început, cea mai grea. Trebuie să înveți să recunoști cuvintele-cheie care se transformă în operații și în semnul egal. Iată un mic dicționar de traducere:

Exprimarea din text	Traducerea matematică
„suma", „împreună", „în total", „la un loc"	adunare ( $+$ )
„mai mult cu", „mărit cu", „adăugăm"	$+$
„mai puțin cu", „micșorat cu", „diferența"	$-$
„de … ori mai mare", „dublul", „triplul"	înmulțire ( $\times$ )
„jumătate din", „a treia parte din", „împărțit la"	împărțire (fracție)
„este", „egal cu", „devine", „ajunge la", „are ca rezultat"	semnul $=$
„un număr"	necunoscuta $x$

Regula practică: fiecare propoziție care conține un „este" / „egal" îți dă o ecuație. Dacă în text există o singură relație de tip egalitate, vei avea o singură ecuație. Dacă există două relații independente (două condiții), vei avea două ecuații — deci un sistem.

Hai să traducem câteva fragmente:

„triplul unui număr, mărit cu 4, este 25" → $3 x + 4 = 25$ .
„un număr este cu 6 mai mic decât dublul altui număr" → $x = 2 y - 6$ .
„suma a două numere este 40" → $x + y = 40$ .
„diferența lor este 8" → $x - y = 8$ .

Observă: în ultimele două exemple avem două condiții despre aceleași două numere. De aceea folosim două litere și obținem un sistem: ${x + y = 40 x - y = 8$

Pasul 5 (îl anticipăm) — De ce contează unitatea de măsură și sensul

Sar puțin înainte, la interpretare, pentru că ea îți spune dacă pasul 1 a fost bine ales. După ce afli, să zicem, $x = 12$ , întreabă-te: „12 ce?". Dacă $x$ era „numărul de mere", răspunsul este „12 mere". Dacă $x$ era „vârsta în ani", răspunsul este „12 ani". O problemă bine rezolvată nu se termină cu un număr singur, ci cu o propoziție clară.

Când aleg o ecuație și când un sistem?

Aceasta este una dintre cele mai frecvente întrebări. Iată criteriul simplu:

O singură ecuație (o necunoscută $x$ ): folosești când în problemă apare, în esență, o singură mărime necunoscută de bază, iar toate celelalte mărimi pot fi exprimate în funcție de ea. Chiar dacă în problemă apar „două obiecte" (telefon și husă), dacă știi legătura dintre ele („telefonul e cu 750 mai scump"), poți nota husa cu $x$ și telefonul cu $x + 750$ — deci o singură literă.
Un sistem de două ecuații (necunoscutele $x$ și $y$ ): folosești când ai două mărimi necunoscute și două condiții (informații) independente care le leagă. Fiecare condiție dă o ecuație.

Adevărul liniștitor: de multe ori aceeași problemă se poate rezolva și cu o ecuație, și cu un sistem. Nu există „o singură cale corectă". Alege metoda care ți se pare mai clară. La început, mulți elevi preferă sistemul pentru că traducerea e mai directă („scriu fiecare informație ca o ecuație"), chiar dacă rezolvarea are un pas în plus.

Un exemplu complet, cu toți pașii vizibili

Să luăm problema din introducere: Un telefon și husa lui costă împreună 850 de lei, iar telefonul e cu 750 de lei mai scump decât husa. Cât costă fiecare?

Varianta cu o ecuație.

Pasul 1 (notare): Fie $x$ = prețul husei (în lei). Atunci prețul telefonului este $x + 750$ (lei), pentru că telefonul e cu 750 mai scump.
Pasul 2 (traducere): „împreună 850" → $x + (x + 750) = 850$ .
Pasul 3 (rezolvare): $2 x + 750 = 850 \Rightarrow 2 x = 100 \Rightarrow x = 50$ .
Pasul 4 (verificare): Husa = 50 lei, telefonul = $50 + 750 = 800$ lei. Împreună: $50 + 800 = 850$ lei ✔. Telefonul e cu $800 - 50 = 750$ lei mai scump ✔. Ambele prețuri sunt pozitive, deci au sens.
Pasul 5 (răspuns): Husa costă 50 de lei, iar telefonul 800 de lei.

Varianta cu sistem.

Pasul 1: $x$ = prețul telefonului (lei), $y$ = prețul husei (lei).
Pasul 2: „împreună 850" → $x + y = 850$ ; „telefonul cu 750 mai scump" → $x = y + 750$ .
Pasul 3: Din sistem, prin substituție: $(y + 750) + y = 850 \Rightarrow 2 y = 100 \Rightarrow y = 50$ , deci $x = 800$ .
Pasul 4 și 5: aceleași ca mai sus.

Ai văzut? Ambele drumuri duc în același loc. Poți consulta rezolvarea sistemelor prin metoda substituției și prin metoda reducerii pentru a alege tehnica de calcul preferată; iar pentru modelarea cu o singură ecuație, revezi modelarea situațiilor prin ecuații liniare.

Sfaturi care te scapă de greșeli

Citește enunțul de două ori înainte să scrii ceva. A doua oară, subliniază numerele și cuvintele-cheie („cu", „de … ori", „împreună", „este").
Notează întotdeauna ce reprezintă litera. Fără asta, la sfârșit nu mai știi ce ai calculat.
Verifică în text, nu doar în ecuație. Dacă înlocuiești în propria ecuație (care poate fi greșită), o vei „valida" greșit. Verificarea reală se face confruntând cu propozițiile problemei.
Dă răspunsul cerut. Uneori problema cere altceva decât $x$ : de pildă $x$ e prețul unui produs, dar întrebarea e „cât costă 5 produse?" — atunci răspunsul e $5 x$ , nu $x$ .

Acum ești pregătit să vezi metoda în acțiune pe mai multe tipuri de probleme.

Tipuri clasice de probleme pe care le vei întâlni

Deși metoda este mereu aceeași, enunțurile vin „îmbrăcate" în tot felul de contexte. Dacă recunoști tipul, traducerea devine mult mai ușoară:

Probleme cu numere. Un număr necunoscut și relații de tip „mai mare/mai mic cu", „dublul", „a treia parte". De obicei o singură ecuație. Exemplu de traducere: „numărul mărit cu triplul său este 48" → $x + 3 x = 48$ .
Probleme cu bani. Prețuri, sume, rest. Cuvintele-cheie tipice: „împreună", „mai scump cu", „de … ori mai mult". Atenție la unitate (lei, bani) și la sensul rezultatului: un preț nu poate fi negativ.
Probleme de vârste. Cheia este că, atunci când trec ani, se adaugă același număr la fiecare vârstă. Multe se rezolvă cu o ecuație, altele cu un sistem.
Probleme de geometrie în plan. Ecuația vine dintr-o proprietate cunoscută: suma unghiurilor unui triunghi ( $18 0^{\circ}$ ), formula perimetrului, egalitatea unor laturi într-un dreptunghi sau paralelogram. Necunoscuta este o lungime sau o măsură de unghi.
Probleme de „numărare" (obiecte de două feluri). Vehicule cu roți, bancnote de valori diferite, bile de două culori. Aici apar de regulă două condiții (numărul total și o a doua informație), deci se pretează la un sistem — dar aproape întotdeauna merg și cu o singură ecuație.

Nu trebuie să memorezi rețete separate pentru fiecare tip: aceleași cinci etape le rezolvă pe toate. Recunoașterea tipului te ajută doar să traduci mai repede.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un număr (o ecuație)

Dublul unui număr, micșorat cu 7, este egal cu numărul mărit cu 5. Află numărul.

Pasul 1. Fie $x$ = numărul căutat.
Pasul 2. „dublul, micșorat cu 7" → $2 x - 7$ ; „numărul mărit cu 5" → $x + 5$ ; „este egal cu" → $=$ . Ecuația: $2 x - 7 = x + 5$ .
Pasul 3. Trecem $x$ în stânga și numerele în dreapta: $2 x - x = 5 + 7 \Rightarrow x = 12$ .
Pasul 4 (verificare în text). Dublul lui 12 micșorat cu 7: $24 - 7 = 17$ . Numărul mărit cu 5: $12 + 5 = 17$ . $17 = 17$ ✔.
Pasul 5 (răspuns). Numărul căutat este 12.

Exemplul 2 — Problemă de bani (o ecuație)

Ana are de 3 ori mai mulți lei decât Bogdan. Împreună au 96 de lei. Câți lei are fiecare?

Pasul 1. Fie $x$ = suma lui Bogdan (lei). Atunci Ana are $3 x$ (lei).
Pasul 2. „împreună 96" → $x + 3 x = 96$ .
Pasul 3. $4 x = 96 \Rightarrow x = 24$ .
Pasul 4. Bogdan: 24 lei; Ana: $3 \cdot 24 = 72$ lei. Împreună: $24 + 72 = 96$ ✔; Ana are de 3 ori mai mult: $72 = 3 \cdot 24$ ✔.
Pasul 5. Bogdan are 24 de lei, iar Ana 72 de lei.

Exemplul 3 — Sistem de două ecuații (sumă și diferență)

Suma a două numere naturale este 74, iar diferența lor este 18. Care sunt numerele?

Pasul 1. Fie $x$ și $y$ cele două numere, cu $x > y$ .
Pasul 2. „suma 74" → $x + y = 74$ ; „diferența 18" → $x - y = 18$ . Sistemul: ${x + y = 74 x - y = 18$
Pasul 3 (metoda reducerii). Adunăm cele două ecuații: $(x + y) + (x - y) = 74 + 18 \Rightarrow 2 x = 92 \Rightarrow x = 46$ . Apoi din prima: $46 + y = 74 \Rightarrow y = 28$ .
Pasul 4. $46 + 28 = 74$ ✔; $46 - 28 = 18$ ✔. Ambele sunt numere naturale ✔.
Pasul 5. Numerele sunt 46 și 28.

Exemplul 4 — Când o ecuație și când sistem: aceeași problemă, două căi

Într-o parcare sunt mașini și motociclete, în total 30 de vehicule și 100 de roți. Câte mașini și câte motociclete sunt? (o mașină are 4 roți, o motocicletă are 2 roți)

Calea cu sistem.

Pasul 1. $x$ = numărul de mașini, $y$ = numărul de motociclete.
Pasul 2. „30 de vehicule" → $x + y = 30$ ; „100 de roți" → $4 x + 2 y = 100$ . ${x + y = 30 4 x + 2 y = 100$
Pasul 3 (substituție). Din prima: $y = 30 - x$ . Înlocuim: $4 x + 2 (30 - x) = 100 \Rightarrow 4 x + 60 - 2 x = 100 \Rightarrow 2 x = 40 \Rightarrow x = 20$ , deci $y = 10$ .
Pasul 4. $20 + 10 = 30$ ✔; roți: $4 \cdot 20 + 2 \cdot 10 = 80 + 20 = 100$ ✔.
Pasul 5. Sunt 20 de mașini și 10 motociclete.

Calea cu o ecuație. Fie $x$ = numărul de mașini; atunci motocicletele sunt $30 - x$ . Roțile: $4 x + 2 (30 - x) = 100$ , care duce la același $x = 20$ . Vezi cum aceeași problemă acceptă ambele metode?

Exemplul 5 — Interpretare atentă (răspunsul nu e $x$ )

Un caiet costă cu 2 lei mai mult decât un pix. Trei caiete și două pixuri costă împreună 26 de lei. Cât costă 5 pixuri?

Pasul 1. Fie $x$ = prețul unui pix (lei). Atunci un caiet costă $x + 2$ (lei).
Pasul 2. „trei caiete și două pixuri = 26" → $3 (x + 2) + 2 x = 26$ .
Pasul 3. $3 x + 6 + 2 x = 26 \Rightarrow 5 x = 20 \Rightarrow x = 4$ .
Pasul 4. Pix = 4 lei; caiet = 6 lei. $3 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 18 + 8 = 26$ ✔.
Pasul 5 (atenție la ce se cere!). Se cere prețul a 5 pixuri: $5 x = 5 \cdot 4 = 20$ lei. (Dacă am fi răspuns „4 lei", am fi răspuns la altă întrebare!)

Exemplul 6 — Problemă cu fracții și verificare a sensului

A treia parte dintr-un număr, adunată cu 10, dă jumătate din același număr. Află numărul.

Pasul 1. Fie $x$ = numărul.
Pasul 2. „a treia parte" → $\frac{x}{3}$ ; „jumătate" → $\frac{x}{2}$ . Ecuația: $\frac{x}{3} + 10 = \frac{x}{2}$ .
Pasul 3. Înmulțim totul cu 6 (numitorul comun): $2 x + 60 = 3 x \Rightarrow 60 = x$ , deci $x = 60$ .
Pasul 4. $\frac{60}{3} + 10 = 20 + 10 = 30$ și $\frac{60}{2} = 30$ . $30 = 30$ ✔.
Pasul 5. Numărul este 60.

Exemplul 7 — Problemă de vârste (proiecție în viitor)

Acum, Maria are 12 ani, iar mama ei are 38 de ani. Peste câți ani vârsta mamei va fi de 3 ori mai mare decât a Mariei?

Problemele de vârste cer atenție: dacă trece un anumit număr de ani, fiecare persoană îmbătrânește la fel — adăugăm același număr la fiecare vârstă.

Pasul 1. Fie $x$ = numărul de ani care trebuie să treacă.
Pasul 2. Peste $x$ ani, Maria va avea $12 + x$ ani, iar mama ei $38 + x$ ani. Condiția „vârsta mamei de 3 ori cât a Mariei" se scrie: $38 + x = 3 (12 + x)$ .
Pasul 3. $38 + x = 36 + 3 x \Rightarrow 38 - 36 = 3 x - x \Rightarrow 2 = 2 x \Rightarrow x = 1$ .
Pasul 4 (verificare în text). Peste 1 an: Maria va avea $13$ ani, mama $39$ ani. Într-adevăr $39 = 3 \cdot 13$ ✔. Rezultatul este pozitiv, deci are sens (vorbim despre viitor).
Pasul 5 (răspuns). Peste 1 an vârsta mamei va fi de 3 ori mai mare decât a Mariei.

Exemplul 8 — Problemă de geometrie în plan (unghiurile unui triunghi)

Într-un triunghi, al doilea unghi este cu $2 0^{\circ}$ mai mare decât primul, iar al treilea este de două ori cât primul. Află măsurile celor trei unghiuri. (Reține: suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ .)

Pasul 1. Fie $x$ = măsura primului unghi (în grade).
Pasul 2. Al doilea unghi este $x + 20$ , iar al treilea $2 x$ . Relația din geometrie ne dă ecuația: $x + (x + 20) + 2 x = 180$ .
Pasul 3. $4 x + 20 = 180 \Rightarrow 4 x = 160 \Rightarrow x = 40$ .
Pasul 4. Unghiurile sunt $4 0^{\circ}$ , $40 + 20 = 6 0^{\circ}$ și $2 \cdot 40 = 8 0^{\circ}$ . Suma: $40 + 60 + 80 = 18 0^{\circ}$ ✔; al doilea e cu $2 0^{\circ}$ mai mare decât primul ✔; al treilea e dublul primului ✔.
Pasul 5 (răspuns). Unghiurile triunghiului măsoară $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ și $8 0^{\circ}$ .

Observă că aceleași cinci etape funcționează și când „ingredientul" nu este un preț sau un număr abstract, ci o mărime geometrică. Ecuația a apărut dintr-o proprietate cunoscută (suma unghiurilor). Ori de câte ori într-o problemă de geometrie plană cunoști o relație (suma unghiurilor, perimetrul, egalitatea unor laturi), o poți transforma în ecuație exact în același mod.

Să exersăm

Rezolvă parcurgând TOȚI cei cinci pași: notează necunoscuta, scrie ecuația/sistemul, rezolvă, verifică în text, dă răspunsul cu unitate.

Triplul unui număr, mărit cu 2, este 20. Află numărul.
Un număr micșorat cu 9 este egal cu jumătate din el. Care este numărul?
Suma a două numere este 55, iar unul este cu 11 mai mare decât celălalt. Află numerele (folosește o singură ecuație).
Suma a două numere este 63, iar diferența lor este 9. Află numerele (folosește un sistem).
Andrei are de 4 ori mai multe timbre decât Radu. Împreună au 75 de timbre. Câte timbre are fiecare?
Un tricou și o șapcă costă împreună 130 de lei. Tricoul e cu 40 de lei mai scump decât șapca. Cât costă fiecare?
Într-o cutie sunt bile roșii și albastre, în total 48. Numărul bilelor roșii este dublul celui al bilelor albastre. Câte bile de fiecare culoare sunt?
Perimetrul unui dreptunghi este 54 cm, iar lungimea este cu 7 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului.
Adevărat sau fals (cu motivare): „Orice problemă cu două obiecte necunoscute se poate rezolva doar cu un sistem, niciodată cu o singură ecuație."
La un test cu 20 de întrebări, pentru fiecare răspuns corect primești 5 puncte, iar pentru fiecare greșit pierzi 2 puncte. Un elev a răspuns la toate și a obținut 65 de puncte. Câte răspunsuri corecte a dat? (folosește o ecuație)
Suma dintre un număr și dublul lui, micșorată cu 5, este 40. Află numărul.
Un tată și fiul său au împreună 44 de ani, iar tatăl are de 3 ori vârsta fiului. Ce vârstă are fiecare? (folosește un sistem cu $x$ = vârsta tatălui, $y$ = vârsta fiului)
Un pix costă $x$ lei, iar un caiet costă cu 3 lei mai mult. Patru pixuri și trei caiete costă 51 de lei. Cât costă un caiet?
Justifică: de ce este obligatoriu să scriem ce reprezintă necunoscuta la începutul rezolvării? Dă un exemplu în care lipsa acestei precizări duce la un răspuns greșit.
Într-o clasă, numărul fetelor este cu 4 mai mare decât numărul băieților. Dacă în clasă sunt 28 de elevi, câte fete și câți băieți sunt?
Suma a trei numere consecutive este 96. Află numerele. (Indiciu: notează numărul din mijloc cu $x$ ; celelalte sunt $x - 1$ și $x + 1$ .)
La un magazin, prețul unui produs a crescut cu 15 lei și a ajuns la 90 de lei. Care era prețul inițial? Ce pas al metodei ți-ar semnala imediat dacă ai obține un preț negativ?
Problemă mai grea. O sumă de 100 de lei este formată din bancnote de 5 lei și de 10 lei, în total 13 bancnote. Câte bancnote de fiecare fel sunt? (folosește un sistem)

Răspunsuri și explicații

$3 x + 2 = 20 \Rightarrow 3 x = 18 \Rightarrow x = 6$ . Verificare: $3 \cdot 6 + 2 = 20$ ✔. Numărul este 6.
$x - 9 = \frac{x}{2}$ . Înmulțim cu 2: $2 x - 18 = x \Rightarrow x = 18$ . Verificare: $18 - 9 = 9$ și $\frac{18}{2} = 9$ ✔. Numărul este 18.
Fie $x$ numărul mic; cel mare e $x + 11$ . $x + (x + 11) = 55 \Rightarrow 2 x = 44 \Rightarrow x = 22$ ; celălalt $= 33$ . Verificare: $22 + 33 = 55$ ✔, $33 - 22 = 11$ ✔. Numerele sunt 22 și 33.
${x + y = 63 x - y = 9$ . Adunând: $2 x = 72 \Rightarrow x = 36$ , apoi $y = 27$ . Verificare: $36 + 27 = 63$ ✔, $36 - 27 = 9$ ✔. Numerele sunt 36 și 27.
Fie $x$ = timbrele lui Radu; Andrei are $4 x$ . $x + 4 x = 75 \Rightarrow 5 x = 75 \Rightarrow x = 15$ ; Andrei $= 60$ . Verificare: $15 + 60 = 75$ ✔, $60 = 4 \cdot 15$ ✔. Radu 15, Andrei 60.
Fie $x$ = prețul șepcii; tricoul $x + 40$ . $x + (x + 40) = 130 \Rightarrow 2 x = 90 \Rightarrow x = 45$ ; tricoul $= 85$ . Verificare: $45 + 85 = 130$ ✔, $85 - 45 = 40$ ✔. Șapca 45 lei, tricoul 85 lei.
Fie $x$ = bilele albastre; roșii $2 x$ . $x + 2 x = 48 \Rightarrow 3 x = 48 \Rightarrow x = 16$ ; roșii $= 32$ . Verificare: $16 + 32 = 48$ ✔. 16 albastre, 32 roșii.
Fie $x$ = lățimea (cm); lungimea $x + 7$ . Perimetru: $2 (x + x + 7) = 54 \Rightarrow 2 (2 x + 7) = 54 \Rightarrow 4 x + 14 = 54 \Rightarrow 4 x = 40 \Rightarrow x = 10$ ; lungimea $= 17$ . Verificare: $2 (10 + 17) = 2 \cdot 27 = 54$ ✔. Lățime 10 cm, lungime 17 cm.
Fals. Multe astfel de probleme se pot rezolva și cu o singură ecuație, exprimând a doua mărime în funcție de prima (de ex. problemele 6 și 7 au două obiecte, dar le-am rezolvat cu o ecuație). Sistemul este util, dar nu obligatoriu.
Fie $x$ = răspunsuri corecte; greșite $20 - x$ . Punctaj: $5 x - 2 (20 - x) = 65 \Rightarrow 5 x - 40 + 2 x = 65 \Rightarrow 7 x = 105 \Rightarrow x = 15$ . Verificare: 15 corecte $\to 75$ p, 5 greșite $\to - 10$ p, total $65$ ✔. 15 răspunsuri corecte.
$x + 2 x - 5 = 40 \Rightarrow 3 x = 45 \Rightarrow x = 15$ . Verificare: $15 + 30 - 5 = 40$ ✔. Numărul este 15.
${x + y = 44 x = 3 y$ . Prin substituție: $3 y + y = 44 \Rightarrow 4 y = 44 \Rightarrow y = 11$ , deci $x = 33$ . Verificare: $33 + 11 = 44$ ✔; $33 = 3 \cdot 11$ ✔. Ambele vârste sunt numere naturale ✔. Tatăl are 33 de ani, iar fiul 11 ani.
Caietul costă $x + 3$ . $4 x + 3 (x + 3) = 51 \Rightarrow 4 x + 3 x + 9 = 51 \Rightarrow 7 x = 42 \Rightarrow x = 6$ ; caietul $= 9$ . Verificare: $4 \cdot 6 + 3 \cdot 9 = 24 + 27 = 51$ ✔. Un caiet costă 9 lei.
Fără precizarea necunoscutei nu știi la sfârșit ce reprezintă numărul găsit. Exemplu: la problema 6, dacă notezi $x$ dar nu spui dacă e prețul tricoului sau al șepcii, poți da răspunsul inversat (să spui că șapca costă 85 lei). Precizarea „ $x$ = prețul șepcii" elimină confuzia.
Fie $x$ = băieți; fete $x + 4$ . $x + (x + 4) = 28 \Rightarrow 2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ ; fete $= 16$ . Verificare: $12 + 16 = 28$ ✔, $16 - 12 = 4$ ✔. 12 băieți, 16 fete.
Numărul din mijloc $x$ : $(x - 1) + x + (x + 1) = 96 \Rightarrow 3 x = 96 \Rightarrow x = 32$ . Numerele: $31, 32, 33$ . Verificare: $31 + 32 + 33 = 96$ ✔. 31, 32 și 33.
Fie $x$ = prețul inițial. $x + 15 = 90 \Rightarrow x = 75$ . Prețul inițial era 75 lei. Pasul de verificare/interpretare (pasul 4-5) ți-ar semnala imediat o eroare dacă ar ieși preț negativ, pentru că un preț nu poate fi negativ — n-ar avea sens în context.
${x + y = 13 5 x + 10 y = 100$ , unde $x$ = bancnote de 5 lei, $y$ = de 10 lei. Din prima $x = 13 - y$ ; înlocuim: $5 (13 - y) + 10 y = 100 \Rightarrow 65 - 5 y + 10 y = 100 \Rightarrow 5 y = 35 \Rightarrow y = 7$ , deci $x = 6$ . Verificare: $6 + 7 = 13$ ✔; $5 \cdot 6 + 10 \cdot 7 = 30 + 70 = 100$ ✔. 6 bancnote de 5 lei și 7 bancnote de 10 lei.

De reținut

Orice problemă cu ecuație sau sistem se rezolvă în cinci pași: (1) notez necunoscuta, (2) scriu ecuația/sistemul, (3) rezolv, (4) verific în text, (5) interpretez și dau răspunsul cu unitate.
Notează întotdeauna ce reprezintă litera ( $x$ = …, în ce unitate). Necunoscuta este, de regulă, exact ce ți se cere.
Traducerea se face după cuvintele-cheie: „împreună/suma" $\to +$ , „mai mult/mai puțin" $\to \pm$ , „de … ori" $\to \times$ , „este/egal" $\to=$ .
Folosești o ecuație când ai o singură mărime de bază (celelalte exprimate prin ea) și un sistem când ai două necunoscute și două condiții independente. Multe probleme merg pe ambele căi.
Verificarea se face în textul problemei, nu doar în ecuația scrisă, iar răspunsul poate cere altceva decât $x$ (de ex. $5 x$ ).

Greșeli frecvente

Nu precizezi ce reprezintă necunoscuta. Ajungi cu un număr, dar nu mai știi „ce" este acel număr → răspuns inversat sau fără sens. Cum eviți: scrie clar „ $x = \dots$ (unitate)" înainte de orice calcul.
Traduci greșit „cu 3 mai mult" ca $\times 3$ în loc de $+ 3$ , sau „de 3 ori mai mult" ca $+ 3$ în loc de $\times 3$ . Cum eviți: memorează că „mai mult/mai puțin CU" înseamnă adunare/scădere, iar „de … ori mai mare" înseamnă înmulțire.
Verifici doar în ecuația ta. Dacă ecuația a fost scrisă greșit, verificarea „reușește" degeaba. Cum eviți: confruntă valorile găsite cu propozițiile din enunț, nu cu ecuația.
Răspunzi cu $x$ când problema cere altceva. De pildă afli prețul unui obiect, dar întrebarea era despre 5 obiecte. Cum eviți: recitește ultima propoziție a problemei înainte să scrii răspunsul și dă exact mărimea cerută, cu unitate.

Aplică acasă

Bonul de cumpărături. Ia un bon de la un magazin. Alege două produse și inventează o problemă de tip „împreună costă …, unul e cu … mai scump". Rezolv-o prin cei cinci pași, apoi verifică pe bon dacă prețurile tale au sens.
Vârstele din familie. Notează vârstele a două persoane din familie. Construiește o problemă („peste $n$ ani, suma vârstelor va fi …") și rezolv-o cu un sistem. Verifică soluția întrebând persoanele.
Pușculița. Ai un număr de monede de 50 de bani și de 1 leu care fac o sumă cunoscută. Scrie sistemul, rezolvă-l și numără efectiv monedele ca să confirmi verificarea. Este exact tipul de problemă din exercițiul 18 de la „Să exersăm".

Pentru părinți și profesori

Această lecție este despre metodă, nu doar despre calcul. Cel mai important lucru pe care îl puteți verifica nu este dacă elevul „a nimerit numărul", ci dacă parcurge ordonat cei cinci pași. Cereți-i mereu să spună cu voce tare: „Ce reprezintă $x$ ?" și „Ce cere de fapt problema?". Dacă poate răspunde clar la aceste două întrebări, transpunerea (cea mai grea parte) este stăpânită.

Întrebări utile de verificare: „De ce ai ales o singură ecuație și nu un sistem?", „Cum verifici că răspunsul e corect, fără să te uiți la ecuația ta?", „Dacă ți-ar fi ieșit un preț negativ, ce ai fi înțeles?". Semnul că elevul a înțeles cu adevărat este momentul în care, la o problemă nouă, începe spontan cu „Fie $x$ = …" și termină cu o propoziție de răspuns completă, cu unitate de măsură. Încurajați-l să rezolve unele probleme în ambele feluri (ecuație și sistem), ca să vadă că matematica oferă mai multe drumuri corecte spre același rezultat.

Întrebări frecvente

Care sunt cei cinci pași ai rezolvării unei probleme cu ecuație în clasa a 7-a? Sunt: (1) alegerea și notarea necunoscutei, (2) traducerea enunțului în ecuație sau sistem, (3) rezolvarea, (4) verificarea soluției în textul problemei și (5) interpretarea rezultatului, adică răspunsul cerut cu unitate de măsură. Parcurgerea lor în ordine te ferește de greșeli.

Cum îmi dau seama dacă folosesc o ecuație sau un sistem? Folosești o singură ecuație când există o singură mărime necunoscută de bază, iar celelalte pot fi exprimate în funcție de ea. Folosești un sistem când ai două necunoscute distincte și două informații (condiții) independente care le leagă. Multe probleme se pot rezolva în ambele feluri.

Ce înseamnă „notarea necunoscutei" și de ce e importantă? Înseamnă să dai un nume (o literă, de obicei $x$ sau $x$ și $y$ ) mărimii pe care o cauți și să scrii clar ce reprezintă, cu unitatea de măsură. Este importantă pentru că fără ea nu mai știi la sfârșit ce reprezintă numărul găsit și poți da un răspuns greșit sau inversat.

Cum traduc un text într-o ecuație? Cauți cuvintele-cheie: „suma/împreună" înseamnă adunare, „mai mult/mai puțin cu" înseamnă adunare/scădere, „de … ori mai mare" înseamnă înmulțire, iar „este/egal cu" înseamnă semnul egal. Fiecare relație de tip egalitate din text îți dă o ecuație.

De ce trebuie să verific soluția în textul problemei și nu în ecuație? Pentru că ecuația ta ar putea fi scrisă greșit; dacă verifici doar în ea, o „validezi" degeaba. Verificarea corectă înseamnă să înlocuiești valorile găsite direct în propozițiile enunțului și să vezi dacă toate condițiile se potrivesc.

Ce fac dacă îmi iese un rezultat negativ sau o fracție acolo unde nu are sens? Este semnalul pasului de interpretare că ceva nu se potrivește: un preț, un număr de obiecte sau o vârstă nu pot fi negative, iar un număr de persoane trebuie să fie natural. În acest caz recitești enunțul, verifici traducerea în ecuație și, uneori, constați că problema nu are soluție cu datele date.

Pot rezolva aceeași problemă și cu o ecuație, și cu un sistem? Da, foarte des. De exemplu, o problemă cu „două obiecte" poate fi rezolvată cu un sistem (o literă pentru fiecare obiect) sau cu o singură ecuație (o literă, cealaltă mărime exprimată prin ea). Alege metoda care ți se pare mai clară.

Răspunsul problemei este întotdeauna valoarea lui $x$ ? Nu neapărat. Uneori $x$ este o mărime intermediară, iar problema cere altceva — de exemplu prețul a 5 produse, adică $5 x$ , sau o altă necunoscută exprimată prin $x$ . De aceea recitești mereu ultima propoziție a problemei înainte să scrii răspunsul final.