Probleme rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul I

Există un moment magic în matematică: acela în care o problemă lungă, plină de cuvinte, se strânge într-un singur rând scurt de forma $ax+b=c$. Din acel rând, cu câteva transformări sigure, iese răspunsul. Această lecție este dedicată exact acestei arte — să rezolvi probleme reale (bani de buzunar, scoruri, kilograme de fructe, vârste, dimensiunile unei camere) cu ajutorul unei singure ecuații de gradul I. Vom lucra multe probleme complet, de la prima citire a enunțului până la răspunsul scris frumos, cu unitatea de măsură. La final vei putea privi orice enunț de tip „suma a două numere", „numere consecutive" sau „cu atât mai mult / mai puțin" și vei ști imediat ce necunoscută să alegi și ce ecuație să scrii.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști problemele care se rezolvă cu o singură ecuație de gradul I.
• Vei ști să exprimi mai multe mărimi în funcție de aceeași necunoscută $x$.
• Vei ști să scrii și să rezolvi ecuația de forma $ax+b=c$.
• Vei ști să redactezi complet rezolvarea, de la ecuație până la răspunsul formulat în cuvinte.
• Vei ști să rezolvi probleme cu numere consecutive și cu sume sau diferențe de mărimi.

Hai să descoperim împreună

Când folosim o singură ecuație de gradul I?

Recunoști imediat o astfel de problemă după un semn simplu: există o singură mărime necunoscută „de bază", iar toate celelalte date se pot scrie în funcție de ea. Dacă poți spune „dacă aș ști numărul acesta, aș afla tot", atunci ai nevoie de o singură necunoscută — deci de o singură ecuație.

Comparăm cu ce urmează în lecțiile viitoare: dacă în problemă apar două mărimi independente (nu poți scrie una simplu în funcție de cealaltă), vei folosi un sistem de două ecuații, temă tratată în Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de două ecuații liniare. Deocamdată rămânem la cazul cel mai frecvent și mai elegant: o necunoscută, o ecuație.

Metoda generală în pași ai învățat-o la Modelarea situațiilor prin ecuații liniare și la Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului. Aici o punem intens în practică. Reamintim pe scurt drumul, pentru că îl vom repeta la fiecare problemă.

Pasul 1 — Aleg necunoscuta. Notez cu $x$ mărimea necunoscută (un număr, o vârstă, un preț, o lungime) și îi precizez unitatea de măsură. De regulă aleg ca $x$ mărimea cea mai „mică" sau cea de care depind celelalte — așa evit fracțiile.

Pasul 2 — Exprim toate celelalte mărimi în funcție de $x$. Aceasta este inima metodei. Fiecare informație din text devine o expresie cu $x$.

Pasul 3 — Formez ecuația. Caut în enunț egalitatea care leagă totul: un total, o sumă, o comparație de tip „este egal cu". O scriu cu expresiile de la Pasul 2 și o aduc, prin calcul, la forma $ax+b=c$.

Pasul 4 — Rezolv ecuația folosind transformările echivalente din Ecuații echivalente. Transformări echivalente: grupez termenii cu $x$, apoi împart.

Pasul 5 — Verific și răspund. Înlocuiesc soluția în enunțul original și scriu răspunsul în cuvinte, cu unitate de măsură. Dacă răspunsul nu are sens (de exemplu, un număr de elevi negativ sau fracționar), îl resping.

Dicționarul care transformă cuvintele în $x$

Ca să scrii mărimile în funcție de $x$, ai nevoie de un mic dicționar „român → matematică". Învață-l bine; îl vei folosi la fiecare problemă din această lecție.

Observă un lucru esențial: toate expresiile din coloana a doua conțin același $x$. Tocmai de asta putem forma o singură ecuație — pentru că am reușit să scriem întreaga problemă cu o singură literă.

Cel mai simplu tipar: ecuația $ax+b=c$

Multe probleme „de gândit un număr" duc direct la forma $ax+b=c$. Să vedem de aproape ce înseamnă fiecare literă, pe un exemplu simplu.

„Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 5 și adaug 3. Obțin 38. La ce număr m-am gândit?"

• Necunoscuta: numărul la care se gândește, $x$.
• „Îl înmulțesc cu 5" → $5x$. Aici $a=5$.
• „adaug 3" → $5x+3$. Aici $b=3$.
• „Obțin 38" → egalitatea $5x+3=38$. Aici $c=38$.

Ecuația este $5x+3=38$. O rezolvăm: scădem 3 din ambii membri, $5x=35$, apoi împărțim la 5, $x=7$. Verificare în enunț: $5\cdot 7+3=35+3=38$. Corect.

Reține tiparul general:

$$ax+b=c\Rightarrow ax=c-b\Rightarrow x=\frac{c-b}{a},(a\ne 0).$$

Nu memora formula ca pe o vrajă; înțelege pașii: întâi eliberez $x$ de numărul adăugat (mut $b$ în dreapta), apoi îl eliberez de coeficient (împart la $a$).

Cel mai frecvent tipar din probleme: sume și diferențe

Cele mai multe probleme de gimnaziu spun, într-o formă sau alta: „două (sau trei) mărimi, împreună, dau un total". Aceasta este o sumă. Ideea-cheie: scrii fiecare mărime în funcție de $x$, apoi le aduni și pui suma egală cu totalul.

Să luăm un exemplu de gândit împreună, pas cu pas.

„Suma a două numere este 90. Unul dintre ele este de 4 ori mai mare decât celălalt. Care sunt numerele?"

• Pe care număr îl aleg ca $x$? Pe cel mic, ca să nu apară fracții. Notăm cu $x$ numărul mai mic.
• Numărul mare este „de 4 ori mai mare", deci $4x$.
• Egalitatea din enunț: „suma este 90", adică $x+4x=90$.
• Reducem termenii asemenea: $5x=90$, deci $x=18$.
• Numărul mare: $4x=4\cdot 18=72$.
• Verificare în enunț: suma $18+72=90$ (corect) și $72$ este într-adevăr de 4 ori $18$ (corect).

Imaginea de sus explică vizual de ce apare $5x$: numărul mic este „o parte", numărul mare este „patru părți", deci împreună sunt „cinci părți". Cinci părți egale fac 90, deci o parte face 18. Așa gândeau matematicienii înainte de a exista litera $x$ — iar ecuația nu face decât să scrie curat această idee.

Când în loc de „de câte ori mai mare" avem „cu cât mai mult", folosim o diferență adăugată. Exemplu:

„Într-o sală sunt 34 de persoane, copii și adulți. Adulții sunt cu 6 mai mulți decât copiii. Câți copii și câți adulți sunt?"

• Notăm cu $x$ numărul de copii.
• Adulți: „cu 6 mai mult decât copiii", deci $x+6$.
• Total: $x+(x+6)=34$.
• Rezolvăm: $2x+6=34\Rightarrow 2x=28\Rightarrow x=14$.
• Adulți: $x+6=20$.
• Verificare: $14+20=34$ (corect) și sunt cu $6$ mai mulți adulți (corect).

Observă cum aceeași metodă rezolvă și „de câte ori mai mult" (înmulțire) și „cu cât mai mult" (adunare). Diferența e doar în modul în care traducem cuvântul — de aceea dicționarul de mai sus e atât de important.

Tiparul special: numere consecutive

Un tip de problemă apare foarte des la teze și la olimpiade mici: numerele consecutive. Trebuie să știi să le scrii corect cu ajutorul lui $x$.

• Numere naturale consecutive: fiecare e cu 1 mai mare decât precedentul. Dacă primul este $x$, atunci următoarele sunt $x+1$, $x+2$, $x+3$, ... Exemplu: trei numere naturale consecutive sunt $x$, $x+1$, $x+2$.
• Numere pare consecutive: sar din 2 în 2 și sunt toate pare. Dacă primul par este $x$ (cu $x$ par), următoarele pare sunt $x+2$, $x+4$, ...
• Numere impare consecutive: la fel, sar din 2 în 2. Dacă primul impar este $x$, următoarele impare sunt $x+2$, $x+4$, ...

Atenție la o capcană des întâlnită: numerele pare consecutive NU se scriu $x,x+1,x+2$ (asta ar amesteca pare cu impare), ci $x,x+2,x+4$. La fel pentru impare. Diferența dintre două numere pare consecutive este mereu $2$, nu $1$.

Să lucrăm un exemplu de sumă cu numere consecutive.

„Suma a trei numere naturale consecutive este 72. Care sunt numerele?"

• Notăm cu $x$ cel mai mic dintre ele. Atunci numerele sunt $x$, $x+1$, $x+2$.
• Suma: $x+(x+1)+(x+2)=72$.
• Reducem: $3x+3=72$.
• Rezolvăm: $3x=69\Rightarrow x=23$.
• Numerele sunt $23$, $24$, $25$.
• Verificare: $23+24+25=72$ (corect).

Un truc frumos, pe care îl vei folosi ca să verifici rapid: la trei numere consecutive, numărul din mijloc este exact media (suma împărțită la 3). Aici $72:3=24$, deci numărul din mijloc este 24 — exact ce am obținut. Acest truc te ajută să prinzi din prima greșelile de calcul.

De ce contează redactarea corectă

La un test, nu primești punctaj doar pentru numărul final; primești punctaj pentru fiecare pas scris clar: alegerea necunoscutei, exprimarea datelor, formarea ecuației, rezolvarea și răspunsul. O rezolvare completă arată așa:

1. Propoziția „Notăm cu $x$ ..." (cu unitatea de măsură).
2. Exprimarea celorlalte mărimi cu $x$.
3. Ecuația scrisă limpede.
4. Rezolvarea pe rânduri, cu semnul $=$ aliniat.
5. Verificarea în enunț.
6. Propoziția de răspuns: „Răspuns: ...".

În secțiunea următoare vei vedea acest tipar aplicat de fiecare dată. Copiază-l ca model — este exact ce se cere la clasa a VII-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația $ax+b=c$ dintr-un enunț „de gândit un număr"

Enunț. Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 4, apoi scad 6 din rezultat și obțin 26. La ce număr m-am gândit?

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ numărul la care ne gândim.
• „Îl înmulțesc cu 4" → $4x$; „scad 6" → $4x-6$; „obțin 26" → ecuația: $$4x-6=26.$$
• Adunăm 6 la ambii membri: $4x=32$.
• Împărțim la 4: $x=8$.
• Verificare în enunț: $4\cdot 8-6=32-6=26$. Corect.

Răspuns: numărul este $8$.

Exemplul 2 — O problemă practică de tip $ax+b=c$ (bani)

Enunț. David a cumpărat 6 caiete identice și o gumă de șters care costă 5 lei. A plătit în total 41 de lei. Cât costă un caiet?

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ prețul unui caiet, în lei.
• 6 caiete costă $6x$ lei; guma costă $5$ lei; totalul plătit este $41$ lei: $$6x+5=41.$$
• Scădem 5: $6x=36$.
• Împărțim la 6: $x=6$.
• Verificare în enunț: $6\cdot 6+5=36+5=41$. Corect.

Răspuns: un caiet costă $6$ lei.

Observă cât de fidel urmează problema tiparul $ax+b=c$: $a=6$ (numărul de caiete), $b=5$ (guma) și $c=41$ (totalul).

Exemplul 3 — Sumă cu raport (una din cele mai frecvente probleme)

Enunț. Suma a două numere este 84. Unul dintre ele este de 6 ori mai mare decât celălalt. Află cele două numere.

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ numărul mai mic.
• Numărul mai mare, „de 6 ori mai mare", este $6x$.
• „Suma este 84": $$x+6x=84.$$
• Reducem termenii asemenea: $7x=84$.
• Împărțim la 7: $x=12$.
• Numărul mare: $6x=6\cdot 12=72$.
• Verificare în enunț: $12+72=84$ (corect) și $72=6\cdot 12$ (corect).

Răspuns: numerele sunt $12$ și $72$.

Exemplul 4 — Sumă cu diferență (cu cât mai mult)

Enunț. Într-o bibliotecă sunt 240 de cărți, împărțite în romane și cărți de știință. Numărul romanelor este cu 30 mai mare decât numărul cărților de știință. Câte cărți de fiecare fel sunt?

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ numărul cărților de știință.
• Romane: „cu 30 mai mult", deci $x+30$.
• Totalul cărților este 240: $$x+(x+30)=240.$$
• Reducem: $2x+30=240$.
• Scădem 30: $2x=210$.
• Împărțim la 2: $x=105$.
• Romane: $x+30=135$.
• Verificare în enunț: $105+135=240$ (corect) și $135-105=30$ (corect).

Răspuns: sunt $105$ cărți de știință și $135$ de romane.

Exemplul 5 — Numere pare consecutive

Enunț. Suma a trei numere pare consecutive este 90. Care sunt numerele?

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ cel mai mic număr par. Numerele pare consecutive sunt $x$, $x+2$, $x+4$.
• Suma lor este 90: $$x+(x+2)+(x+4)=90.$$
• Reducem termenii asemenea: $3x+6=90$.
• Scădem 6: $3x=84$.
• Împărțim la 3: $x=28$.
• Numerele sunt $28$, $30$, $32$.
• Verificare în enunț: $28+30+32=90$ (corect); toate sunt pare și consecutive (corect).

Răspuns: numerele sunt $28$, $30$ și $32$.

Verifică rapid cu trucul mediei: $90:3=30$, exact numărul din mijloc. Se potrivește.

Exemplul 6 — Problemă cu fracție dintr-un întreg

Enunț. Un turist a parcurs un traseu în două zile. În prima zi a parcurs $\frac{2}{5}$ din traseu, iar în a doua zi restul de 36 km. Cât de lung este traseul?

Rezolvare.

• Notăm cu $x$ lungimea traseului, în km.
• Prima zi: $\frac{2}{5}x$. A doua zi: $36$. Împreună dau întregul traseu $x$: $$\frac{2}{5}x+36=x.$$
• Mutăm $\frac{2}{5}x$ în membrul drept: $36=x-\frac{2}{5}x$.
• Cum $x=\frac{5}{5}x$, avem $x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x$, deci $36=\frac{3}{5}x$.
• Aflăm $x$: $x=36:\frac{3}{5}=36\cdot \frac{5}{3}=60$.
• Verificare în enunț: prima zi $\frac{2}{5}\cdot 60=24$ km; a doua zi $36$ km; total $24+36=60$ km. Corect.

Răspuns: traseul are $60$ km.

Aceasta este o problemă puțin mai grea, pentru că necunoscuta apare în ambii membri și lucrăm cu fracții. Totuși metoda este identică: scriem fiecare mărime cu $x$, formăm o egalitate și o aducem la forma cunoscută.

Exemplul 7 — Trei mărimi legate de aceeași necunoscută

Enunț. Trei frați — Andrei, Bogdan și Cristina — au împreună 45 de ani. Bogdan este cu 3 ani mai mare decât Andrei, iar Cristina are dublul vârstei lui Andrei. Ce vârstă are fiecare?

Rezolvare.

• Aici avem trei vârste necunoscute, dar toate se pot scrie în funcție de vârsta lui Andrei, cea „de bază". Notăm cu $x$ vârsta lui Andrei, în ani.
• Bogdan: „cu 3 ani mai mare", deci $x+3$.
• Cristina: „dublul vârstei lui Andrei", deci $2x$.
• „Împreună au 45 de ani" ne dă egalitatea: $$x+(x+3)+2x=45.$$
• Reducem termenii asemenea: $4x+3=45$.
• Scădem 3: $4x=42$... aici ne oprim și verificăm: $42$ nu se împarte exact la 4, deci ceva nu se potrivește. Reluăm cu grijă calculul: $x+x+3+2x=4x+3$, iar din $4x+3=45$ obținem $4x=42$. Într-adevăr $x=10,5$ nu ar fi o vârstă întreagă. Într-o problemă reală acesta este semnalul că datele nu se închid frumos; la teze, enunțurile sunt alese ca să iasă întreg. Verifică întotdeauna la final dacă rezultatul are sens.

Ca să vezi tiparul cu date care „ies rotund", schimbăm ușor totalul: dacă frații au împreună 47 de ani (restul enunțului la fel), atunci $4x+3=47\Rightarrow 4x=44\Rightarrow x=11$. Deci Andrei are $11$ ani, Bogdan $11+3=14$ ani, iar Cristina $2\cdot 11=22$ de ani.

• Verificare în enunț: $11+14+22=47$ (corect); Bogdan este cu $3$ ani mai mare decât Andrei (corect); Cristina are dublul lui Andrei, $22=2\cdot 11$ (corect).

Răspuns (pentru enunțul cu totalul de 47 de ani): Andrei are $11$ ani, Bogdan $14$ ani și Cristina $22$ de ani.

Reține ideea centrală: chiar dacă în problemă apar trei mărimi necunoscute, dacă toate se leagă de una singură, tot cu o singură ecuație le rezolvi. Numărul de necunoscute „vizibile" nu contează; contează câte sunt cu adevărat independente.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, respectând redactarea din exemple: alegi necunoscuta, scrii ecuația, o rezolvi, verifici și formulezi răspunsul. Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

1. Rezolvă ecuația: $5x+8=43$.
2. Rezolvă ecuația: $4x-9=27$.
3. Rezolvă ecuația: $7x+5=2x+30$.
4. Triplul unui număr, adunat cu 8, este egal cu 50. Află numărul.
5. Mă gândesc la un număr, îl înmulțesc cu 6 și scad 11; obțin 43. La ce număr m-am gândit?
6. Suma a două numere este 100. Unul este cu 24 mai mare decât celălalt. Află numerele.
7. Suma a două numere este 96. Unul este de 5 ori mai mare decât celălalt. Află numerele.
8. Suma a trei numere naturale consecutive este 96. Care sunt numerele?
9. Suma a trei numere impare consecutive este 63. Care sunt numerele?
10. Într-o parcare sunt 54 de vehicule: mașini și motociclete. Numărul mașinilor este de 2 ori mai mare decât al motocicletelor. Câte sunt de fiecare fel?
11. Maria a cumpărat 5 pixuri identice și un caiet de 8 lei. A plătit 33 de lei. Cât costă un pix?
12. Un dreptunghi are perimetrul de 46 cm, iar lungimea cu 7 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului.
13. Adevărat sau fals? Numărul $x=6$ este soluția ecuației $3x+4=22$. Justifică.
14. Adevărat sau fals? Există trei numere naturale consecutive a căror sumă este 100. Justifică.
15. Suma a trei numere naturale consecutive este 84. Fără a le calcula pe toate, spune cât este numărul din mijloc și explică de ce.
16. Ana are cu 8 ani mai mult decât fratele ei, Barbu. Împreună au 34 de ani. Ce vârstă are fiecare?
17. Un magazin a vândut într-o zi $\frac{1}{3}$ din merele avute dimineața, apoi 40 kg după-amiaza, iar la închidere au rămas 20 kg. Câte kilograme de mere erau la început?
18. Suma dintre un număr și dublul său, mărită cu 15, este egală cu 60. Află numărul.

Răspunsuri și explicații

1. $5x=43-8=35\Rightarrow x=7$. Verificare: $5\cdot 7+8=43$.
2. $4x=27+9=36\Rightarrow x=9$. Verificare: $4\cdot 9-9=27$.
3. Mutăm $2x$ în stânga și $5$ în dreapta: $7x-2x=30-5$, deci $5x=25\Rightarrow x=5$. Verificare: $7\cdot 5+5=40$ și $2\cdot 5+30=40$.
4. Ecuația: $3x+8=50\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=14$. Verificare: $3\cdot 14+8=50$. Numărul este 14.
5. Ecuația: $6x-11=43\Rightarrow 6x=54\Rightarrow x=9$. Verificare: $6\cdot 9-11=43$. Numărul este 9.
6. Notăm cu $x$ numărul mic; cel mare este $x+24$. Ecuația: $x+(x+24)=100\Rightarrow 2x+24=100\Rightarrow 2x=76\Rightarrow x=38$. Celălalt: $38+24=62$. Verificare: $38+62=100$. Numerele sunt 38 și 62.
7. Notăm cu $x$ numărul mic; cel mare este $5x$. Ecuația: $x+5x=96\Rightarrow 6x=96\Rightarrow x=16$. Celălalt: $5\cdot 16=80$. Verificare: $16+80=96$. Numerele sunt 16 și 80.
8. Numerele sunt $x$, $x+1$, $x+2$. Ecuația: $3x+3=96\Rightarrow 3x=93\Rightarrow x=31$. Verificare: $31+32+33=96$. Numerele sunt 31, 32, 33.
9. Numere impare consecutive: $x$, $x+2$, $x+4$. Ecuația: $3x+6=63\Rightarrow 3x=57\Rightarrow x=19$. Verificare: $19+21+23=63$; toate impare și consecutive. Numerele sunt 19, 21, 23.
10. Notăm cu $x$ numărul motocicletelor; mașinile sunt $2x$. Ecuația: $x+2x=54\Rightarrow 3x=54\Rightarrow x=18$. Mașini: $2\cdot 18=36$. Verificare: $18+36=54$. 18 motociclete și 36 de mașini.
11. Notăm cu $x$ prețul unui pix (lei). Ecuația: $5x+8=33\Rightarrow 5x=25\Rightarrow x=5$. Verificare: $5\cdot 5+8=33$. Un pix costă 5 lei.
12. Notăm cu $x$ lățimea (cm); lungimea este $x+7$. Perimetrul: $2(x+(x+7))=46\Rightarrow 2(2x+7)=46\Rightarrow 4x+14=46\Rightarrow 4x=32\Rightarrow x=8$. Lungimea: $8+7=15$. Verificare: $2(8+15)=2\cdot 23=46$. Lățimea 8 cm, lungimea 15 cm.
13. Adevărat. Înlocuim: $3\cdot 6+4=18+4=22$, exact membrul drept. Deci $x=6$ verifică ecuația.
14. Fals. Dacă numerele ar fi $x$, $x+1$, $x+2$, atunci $3x+3=100\Rightarrow 3x=97$, iar $97$ nu se împarte exact la 3 (nu dă număr natural). Deci nu există astfel de trei numere consecutive cu suma 100. (Trucul rapid: suma a trei consecutive este mereu multiplu de 3, iar 100 nu este multiplu de 3.)
15. Numărul din mijloc este $84:3=28$. La trei numere consecutive, numărul din mijloc este chiar media celor trei, deci suma împărțită la 3. (Verificare opțională: numerele sunt 27, 28, 29.)
16. Notăm cu $x$ vârsta lui Barbu; Ana are $x+8$. Ecuația: $x+(x+8)=34\Rightarrow 2x+8=34\Rightarrow 2x=26\Rightarrow x=13$. Ana: $13+8=21$. Verificare: $13+21=34$. Barbu are 13 ani, Ana are 21 de ani.
17. Notăm cu $x$ numărul de kilograme de la început. Ecuația: $\frac{1}{3}x+40+20=x\Rightarrow \frac{1}{3}x+60=x\Rightarrow 60=x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x\Rightarrow x=60\cdot \frac{3}{2}=90$. Verificare: $\frac{1}{3}\cdot 90=30$; $30+40+20=90$. Erau 90 kg de mere.
18. Notăm cu $x$ numărul. Ecuația: $x+2x+15=60\Rightarrow 3x+15=60\Rightarrow 3x=45\Rightarrow x=15$. Verificare: $15+30+15=60$. Numărul este 15.

De reținut

• O problemă se rezolvă cu o singură ecuație de gradul I atunci când toate mărimile pot fi scrise în funcție de aceeași necunoscută $x$.
• Forma standard este $ax+b=c$, cu soluția obținută în doi pași: $ax=c-b$, apoi $x=\frac{c-b}{a}$ (cu $a\ne 0$).
• Numere consecutive: naturale $x,x+1,x+2,\dots$; pare sau impare $x,x+2,x+4,\dots$ (sar din 2 în 2).
• La probleme de tip sumă, aduni expresiile cu $x$ și pui totalul; la tip diferență, scrii mărimea mai mare ca „mica $+$ diferența".
• Verificarea se face în enunțul original, nu doar în ecuație, iar răspunsul se scrie în cuvinte, cu unitatea de măsură.

Greșeli frecvente

• Scrii numere pare consecutive ca $x,x+1,x+2$. Greșit: acestea nu sunt toate pare. Pare consecutive sunt $x,x+2,x+4$; între ele diferența este 2.
• Alegi ca $x$ numărul mare la o problemă cu raport. Dacă notezi cu $x$ numărul mare, cel mic devine o fracție ($\frac{x}{6}$) și calculul se complică. Alege întotdeauna ca $x$ mărimea „de bază" (cea mică), ca să scrii celelalte prin înmulțire, nu prin împărțire.
• Uiți verificarea sau o faci doar în ecuație. Un răspuns poate verifica ecuația, dar să nu aibă sens în problemă (de exemplu, $x=4,5$ elevi). Verifică mereu în enunț și respinge soluțiile fără sens.
• Nu formulezi răspunsul în cuvinte. La test, „$x=7$" nu este un răspuns complet. Scrie propoziția: „Răspuns: un caiet costă 7 lei." Aici pierd cel mai des elevii puncte.

Aplică acasă

• Bonul de cumpărături. Ia un bon real de la magazin unde ai luat mai multe produse identice și încă un produs diferit (de exemplu, 4 iaurturi la același preț și o pâine). Ascunde prețul iaurtului și pune-l pe un membru al familiei să-l afle rezolvând ecuația $4x+(\text{preț paˆine})=(\text{total})$. Comparați cu bonul.
• Trei numere consecutive. Roagă pe cineva să se gândească la trei numere naturale consecutive și să-ți spună doar suma lor. Află-le tu mental împărțind suma la 3 (numărul din mijloc) și spunând vecinii lui. Explică-i de ce funcționează trucul.
• Împărțirea unei sume de bani. Dacă primești o sumă de bani pentru două activități, iar una „aduce" de câteva ori mai mult decât cealaltă (de exemplu, „la reciclare am strâns de 3 ori mai mult decât la vânzarea revistelor, în total 48 de lei"), scrie ecuația $x+3x=48$ și află cât reprezintă fiecare parte.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează transpunerea unei situații reale într-o ecuație de gradul I cu o singură necunoscută — o competență centrală în programa clasei a VII-a. Cel mai util sprijin pe care îl puteți oferi nu este să dați răspunsul, ci să puneți întrebările care declanșează metoda: „Ce nu știm în problemă? Hai să-l notăm cu $x$." și apoi „Cum scriem cealaltă mărime folosind același $x$?".

Întrebări de verificare pe care le puteți folosi:

• „De ce ai ales tocmai această mărime ca $x$?" (Un elev care înțelege va spune că astfel celelalte mărimi se scriu mai simplu.)
• „Care este propoziția din enunț care îți dă egalitatea?" (Găsirea egalității este pasul care separă elevul care înțelege de cel care ghicește.)
• „Cum verifici că răspunsul e corect, fără să te uiți în rezolvare?" (Răspuns așteptat: înlocuiește în enunțul original.)

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: scrie de la sine „Notăm cu $x$..." și precizează unitatea; exprimă corect numerele consecutive (pare cu $+2$, nu cu $+1$); verifică în enunț; și formulează răspunsul în cuvinte. Dacă elevul sare direct la calcul fără să scrie ecuația, cereți-i să „traducă în litere" enunțul înainte de a calcula.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă o problemă se rezolvă cu o singură ecuație sau cu un sistem? Dacă poți scrie toate mărimile necunoscute în funcție de una singură (adică una depinde de cealaltă printr-o relație clară — „de 3 ori mai mult", „cu 5 mai puțin"), atunci ai nevoie de o singură ecuație. Dacă ai două mărimi independente, care nu se pot exprima una prin cealaltă, folosești un sistem de două ecuații.

Ce necunoscută aleg când sunt două numere? Alege ca $x$ numărul mai mic sau mărimea de care depinde cealaltă. Astfel scrii cealaltă mărime prin înmulțire sau adunare ($3x$, $x+6$), evitând fracțiile care apar dacă alegi numărul mare.

Cum scriu corect numerele consecutive cu $x$? Naturale consecutive: $x,x+1,x+2,\dots$ (cresc din 1 în 1). Pare consecutive și impare consecutive: $x,x+2,x+4,\dots$ (cresc din 2 în 2), pentru că între două numere pare (sau două impare) vecine sunt exact 2 unități.

De ce trebuie să verific răspunsul în enunț, nu doar în ecuație? Pentru că ecuația poate fi corect rezolvată, dar soluția să nu aibă sens în realitate (de exemplu, un preț negativ sau un număr de persoane fracționar). Verificarea în enunț confirmă și că ai tradus corect problema, nu doar că ai calculat corect.

Ce înseamnă forma $ax+b=c$ și cum o rezolv rapid? Este ecuația de gradul I standard: $a$ este coeficientul lui $x$, $b$ un număr adăugat, $c$ rezultatul. O rezolvi în doi pași: muți $b$ în dreapta ($ax=c-b$), apoi împarți la $a$ ($x=\frac{c-b}{a}$).

Trebuie neapărat să scriu propoziția de răspuns la final? Da. La clasa a VII-a, redactarea completă include răspunsul formulat în cuvinte, cu unitatea de măsură. „$x=7$" arată doar soluția ecuației, nu răspunsul problemei; scrie „Răspuns: un caiet costă 7 lei".

Cum verific rapid o problemă cu trei numere consecutive? Împarte suma la 3: rezultatul este numărul din mijloc. Vecinii lui (cu $1$ mai mic și cu $1$ mai mare, sau cu $2$ pentru pare/impare) sunt celelalte două numere. Dacă suma nu se împarte exact la 3, problema nu are soluție în numere consecutive.

Ce fac dacă necunoscuta $x$ apare în ambii membri ai ecuației? Grupezi toți termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, folosind transformările echivalente. Exemplu: din $\frac{2}{5}x+36=x$ obții $36=x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x$, apoi $x=60$. Metoda este aceeași, doar cu un pas de grupare în plus.