Probleme recapitulative cu rapoarte, proporții și procente

Ai parcurs deja un drum lung prin unitatea „Rapoarte, proporții și procente”: ai învățat ce este un raport, ce înseamnă un procent, cum se rezolvă o proporție, ce sunt mărimile direct și invers proporționale și cum funcționează regula de trei simplă. Acum a venit momentul cel mai interesant: să le pui pe toate la treabă. În această lecție recapitulativă nu mai înveți o noțiune nouă, ci înveți ceva la fel de important — cum recunoști despre ce fel de problemă este vorba și cum alegi metoda potrivită de rezolvare. Este exact tipul de gândire de care ai nevoie la teste, la Evaluarea Națională și, sincer, în viața de zi cu zi, când calculezi o reducere sau împarți o sumă cu prietenii.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști tipul de problemă: cu procent, cu proporție sau cu mărimi proporționale.
Vei ști să alegi metoda potrivită de rezolvare pentru fiecare situație.
Vei ști să rezolvi probleme combinate, din context practic și interdisciplinar (sport, bani, științe, hărți).
Vei ști să interpretezi rezultatul în contextul problemei și să verifici dacă răspunsul are sens.
Vei ști să eviți greșelile clasice care fac ca un calcul corect să ducă la un răspuns greșit.

Hai să descoperim împreună

De ce avem nevoie de o lecție de recapitulare?

Imaginează-ți că ai o trusă de scule. Ai în ea o cheie, o șurubelniță, un ciocan și un clește. Fiecare unealtă este foarte bună — dar numai dacă o folosești la lucrul potrivit. Nu bați un cui cu șurubelnița și nu strângi un șurub cu ciocanul. La fel stau lucrurile și cu matematica din această unitate: ai mai multe „unelte” (procentul, proporția, regula de trei, șirul de rapoarte egale), iar arta nu este să le știi pe fiecare separat, ci să alegi unealta potrivită pentru problema din față.

În exerciții, fiecare lecție îți spunea dinainte ce să faci: „rezolvă proporția”, „află procentul”. La un test adevărat, problema nu îți mai spune nimic. Trebuie să recunoști singur tipul. Hai să învățăm să citim semnele.

Pasul 1 — Citește cu atenție și subliniază datele

Prima regulă, valabilă mereu: citește problema de două ori. La prima citire înțelegi povestea. La a doua citire subliniezi numerele și cuvintele-cheie. Întreabă-te:

Ce mi se dă? (datele cunoscute)
Ce mi se cere? (necunoscuta)
În ce unitate de măsură este rezultatul? (lei, kg, km, elevi, grade)

Acest obicei simplu te scapă de jumătate dintre greșeli. Multe răspunsuri greșite nu vin din calcule slabe, ci din faptul că elevul a răspuns la altă întrebare decât cea pusă.

Pasul 2 — Recunoaște tipul problemei după cuvintele-semnal

Fiecare tip de problemă are cuvinte care îl trădează. Iată ghidul tău:

A. Problemă cu PROCENTE — apar cuvinte ca: procent, la sută, %, reducere, scumpire, TVA, dobândă, promovați, din total. Aici lucrezi cu o parte raportată la întreg, scrisă pe 100. Reține traducerea procentului în raport: $p % = \frac{p}{100}$

Dacă ți se cere cât reprezintă p% dintr-un număr N, calculezi $\frac{p}{100} \cdot N$ .
Dacă ți se dă o parte și procentul ei, iar întregul lipsește, împarți: $N = \frac{parte \cdot 100}{p}$ .

B. Problemă cu PROPORȚIE — ai două rapoarte care sunt egale și un termen necunoscut, sau ți se spune că un raport este egal cu altul. Cuvinte-semnal: raportul, în raport de, una pe alta, x se află la fel ca…. Aici folosești proprietatea fundamentală: într-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $a \cdot d = b \cdot c$ .

C. Problemă cu MĂRIMI DIRECT proporționale — când o mărime crește, cealaltă crește în aceeași măsură (de câte ori una, de atâtea ori și cealaltă). Cuvinte-semnal: mai multe produse → mai mult de plată, mai mulți litri → mai mulți km, se împarte proporțional cu. Raportul lor rămâne constant.

D. Problemă cu MĂRIMI INVERS proporționale — când o mărime crește, cealaltă scade de tot atâtea ori. Cuvinte-semnal: mai mulți muncitori → mai puține zile, viteză mai mare → timp mai mic, mai multe robinete → umplere mai rapidă. Produsul lor rămâne constant: $a_{1} \cdot b_{1} = a_{2} \cdot b_{2}$ .

Pasul 3 — Test rapid pentru direct vs. invers proporțional

Mulți elevi confundă direct cu invers. Există un truc sigur: gândește la o situație extremă.

Exemplu: „5 muncitori termină o casă în 12 zile. În câte zile o termină 10 muncitori?” Întreabă-te: dacă pun mai mulți muncitori, durează mai mult sau mai puțin? Evident mai puțin. Deci, când una crește, cealaltă scade → invers proporțional. Produsul rămâne constant: $5 \cdot 12 = 10 \cdot x$ , de unde $x = \frac{60}{10} = 6$ zile.

Alt exemplu: „3 caiete costă 15 lei. Cât costă 7 caiete?” Mai multe caiete → cost mai mare → direct proporțional. Raportul preț/număr rămâne constant: $\frac{15}{3} = \frac{x}{7}$ , deci $x = \frac{15 \cdot 7}{3} = 35$ lei.

Acest test cu „ce se întâmplă la extreme” îți va spune mereu corect dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale.

Pasul 4 — Alege metoda și scrie modelul matematic

Acum că ai recunoscut tipul, scrie relația matematică (modelul). Nu te arunca direct la cifre. Modelarea matematică înseamnă tocmai asta: traduci povestea într-o egalitate.

Procent → o înmulțire sau o împărțire cu 100.
Proporție → o egalitate de două rapoarte și produsul mezi = extremi.
Direct proporțional → rapoarte egale (regula de trei „în cruce” cu înmulțire).
Invers proporțional → produse egale (regula de trei „inversată”).

Pasul 5 — Calculează, apoi VERIFICĂ și interpretează

După ce ai obținut un număr, nu te opri. Pune-ți două întrebări:

Are sens mărimea? Dacă întrebarea era „câți elevi”, răspunsul trebuie să fie un număr natural pozitiv. Nu poți avea 12,5 elevi. Dacă întrebarea era despre o reducere, prețul final trebuie să fie mai mic decât prețul inițial.
Verifică prin înlocuire. Dacă ai aflat $x$ dintr-o proporție, pune-l la loc și vezi dacă produsul mezilor chiar este egal cu produsul extremilor.

În plus, scrie răspunsul în propoziție, cu unitatea de măsură: „Prețul final este de 68 de lei”, nu doar „68”. Aceasta este interpretarea rezultatului — pasul pe care examinatorii îl urmăresc cel mai atent.

Mini-poveste: cazul reducerii „înșelătoare”

Andrei vede un ghiozdan la 200 de lei cu eticheta „−25%”. Calculează reducerea și crede că plătește 50 de lei. Greșeala lui? A confundat valoarea reducerii cu suma plătită. Reducerea de 25% înseamnă $\frac{25}{100} \cdot 200 = 50$ de lei scăzuți. Așadar plătește $200 - 50 = 150$ de lei. Vezi cât de important este pasul de interpretare? Calculul lui Andrei (50 de lei) era chiar corect — dar el a răspuns la altceva. Mereu întreabă-te: numărul pe care l-am găsit este chiar ce mi se cere?

O hartă mentală a unității

Ca să ții totul împreună, reține lanțul logic al unității:

raport → procent (raport scris pe 100) → proporție (două rapoarte egale) → șir de rapoarte egale → mărimi direct/invers proporționale → regula de trei → aplicații (scara hărții, dobândă, TVA, reduceri).

Toate aceste noțiuni sunt rude apropiate. Procentul este un raport. Proporția este o egalitate de rapoarte. Regula de trei este o proporție rezolvată. Dacă privești unitatea așa, vei vedea că, de fapt, ai învățat un singur lucru mare, privit din unghiuri diferite. Dacă vrei să reiei o noțiune anume, întoarce-te la lecțiile Procentul ca raport, Proporția și proprietatea fundamentală sau Regula de trei simplă.

Un tabel de decizie pe care merită să-l înveți

Ca să nu te rătăcești în fața unei probleme noi, ține minte acest tabel scurt. El leagă ce vezi în enunț de ce scrii pe caiet. După câteva exerciții, vei aplica pașii aproape automat, fără să te mai gândești la el.

Ce ai în enunț	Ce tip este	Ce scrii (modelul)	Cum afli necunoscuta
Un procent și un număr-întreg	Procent dintr-un număr	$\frac{p}{100} \cdot N$	Înmulțești
O parte și procentul ei, întregul lipsește	Aflarea întregului	$\frac{p}{100} \cdot N = parte$	Împarți: $N = \frac{parte \cdot 100}{p}$
Două rapoarte egale, un termen lipsește	Proporție	$\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$	Produsul mezi = extremi
„De câte ori una, de atâtea ori cealaltă”	Direct proporțional	$\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$	Rapoarte egale
„Una crește, cealaltă scade”	Invers proporțional	$a_{1} \cdot b_{1} = a_{2} \cdot b_{2}$	Produse egale
„Se împarte proporțional cu…”	Șir de rapoarte egale	$\frac{x _{1}}{a _{1}} = \frac{x _{2}}{a _{2}} = \frac{S}{a _{1} + a _{2}}$	Afli factorul $k$

Observă un detaliu fin, dar foarte util: la direct proporțional rapoartele sunt egale, deci înmulțești „în cruce”; la invers proporțional produsele sunt egale, deci înmulțești „pe orizontală”. Această singură diferență — rapoarte egale față de produse egale — explică de ce un drum simplu (regula de trei) are două variante. Dacă reții doar atât, ai rezolvat deja jumătate din confuziile din unitatea aceasta.

Cum arată raționamentul complet, de la cap la coadă

Hai să vedem, o singură dată, întreg drumul pe o problemă, ca un model pe care să-l copiezi mereu. „Un croitor folosește 3 m de stofă pentru 2 cămăși. De câtă stofă are nevoie pentru 9 cămăși?” Pasul 1: citesc de două ori și subliniez — am 3 m, 2 cămăși, vreau metri pentru 9 cămăși. Pasul 2: mai multe cămăși înseamnă mai multă stofă, deci mărimile cresc împreună → direct proporțional. Pasul 3 (testul extremelor): dacă aș vrea 100 de cămăși, aș avea nevoie de mult mai multă stofă — confirmă „direct”. Pasul 4 (modelul): $\frac{3}{2} = \frac{x}{9}$ . Pasul 5 (calcul): $2 x = 27$ , deci $x = 13, 5$ m. Pasul 6 (interpretare și verificare): are sens (mai multă stofă pentru mai multe cămăși), iar $\frac{3}{2} = 1, 5$ și $\frac{13 , 5}{9} = 1, 5$ ✓. Răspuns scris în propoziție: „Croitorul are nevoie de 13,5 m de stofă.” Acesta este șablonul pe care îl repeți la fiecare problemă — și exact el îți aduce punctele întregi la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoști tipul (procent dintr-un număr)

Problemă. Într-o clasă de 25 de elevi, 60% au luat parte la concursul de matematică. Câți elevi au participat?

Recunoaștere. Apare „60%” și „din 25” → problemă cu procente, mai exact aflarea unui procent dintr-un număr.

Model și calcul. $60% din 25 = \frac{60}{100} \cdot 25 = \frac{60 \cdot 25}{100} = \frac{1500}{100} = 15.$

Interpretare. Au participat 15 elevi. Verificare de bun-simț: 60% înseamnă puțin mai mult de jumătate din 25, adică ceva peste 12 — iar 15 se potrivește. Răspunsul este număr natural, deci are sens.

Exemplul 2 — Recunoști tipul (aflarea întregului din procent)

Problemă. Un telefon s-a ieftinit cu 18%, adică cu 144 de lei. Care era prețul lui inițial?

Recunoaștere. Avem partea (144 lei) și procentul ei (18%), iar întregul (prețul inițial) lipsește → tot procente, dar metoda inversă.

Model și calcul. Dacă 18% din preț înseamnă 144 de lei, atunci: $\frac{18}{100} \cdot N = 144 \Rightarrow N = \frac{144 \cdot 100}{18} = \frac{14400}{18} = 800.$

Interpretare. Prețul inițial era de 800 de lei. Verificare: $18%$ din $800 = \frac{18}{100} \cdot 800 = 144$ . ✓

Exemplul 3 — Recunoști tipul (proporție cu termen necunoscut)

Problemă. Rețeta unei prăjituri cere zahăr și făină în raportul $\frac{2}{5}$ . Dacă folosim 350 g de făină, câte grame de zahăr punem?

Recunoaștere. „În raportul $\frac{2}{5}$ ” și un termen necunoscut → proporție.

Model și calcul. Notăm cu $z$ cantitatea de zahăr. Raportul zahăr/făină este același: $\frac{z}{350} = \frac{2}{5} .$ Aplicăm proprietatea fundamentală (produsul mezilor = produsul extremilor): $5 \cdot z = 2 \cdot 350 \Rightarrow 5 z = 700 \Rightarrow z = 140.$

Interpretare. Punem 140 g de zahăr. Verificare: $\frac{140}{350} = \frac{2}{5}$ (împărțim ambii termeni la 70). ✓

Exemplul 4 — Mărimi invers proporționale

Problemă. 4 imprimante identice tipăresc o comandă în 9 ore. În câte ore tipăresc aceeași comandă 6 imprimante?

Recunoaștere. Mai multe imprimante → mai puține ore. Când una crește, cealaltă scade → invers proporțional.

Model și calcul. La invers proporțional, produsul rămâne constant: $4 \cdot 9 = 6 \cdot x \Rightarrow 36 = 6 x \Rightarrow x = 6.$

Interpretare. Cele 6 imprimante termină comanda în 6 ore. Verificare de bun-simț: mai multe mașini, timp mai scurt (9 → 6 ore). Are sens. Atenție: dacă cineva ar fi rezolvat „direct proporțional” ( $\frac{4}{9} = \frac{6}{x}$ ), ar fi obținut $x = 13, 5$ ore — adică mai multe imprimante ar lucra mai mult, ceea ce este absurd. Iată de ce recunoașterea tipului este totul.

Exemplul 5 — Problemă combinată (procent + scumpire)

Problemă. O bicicletă costă 1200 de lei. Întâi se scumpește cu 10%, apoi noul preț se reduce cu 10%. Care este prețul final? Este același cu cel inițial?

Recunoaștere. Două procente aplicate succesiv → procente combinate. Atenție: al doilea procent se aplică la noul preț, nu la cel inițial.

Calcul pas cu pas.

Scumpire cu 10%: $\frac{10}{100} \cdot 1200 = 120$ lei. Preț nou: $1200 + 120 = 1320$ lei.
Reducere cu 10% din 1320: $\frac{10}{100} \cdot 1320 = 132$ lei. Preț final: $1320 - 132 = 1188$ lei.

Interpretare. Prețul final este de 1188 de lei, deci mai mic decât cel inițial (1200 lei), cu 12 lei. Surpriza: deși „+10%” și „−10%” par să se anuleze, ele se aplică pe baze diferite, așa că rezultatul nu revine la valoarea de start. Acesta este un raționament clasic la examen.

Exemplul 6 — Problemă interdisciplinară (împărțire proporțională)

Problemă. Trei prieteni au strâns bani de reciclare proporțional cu numărul de sticle predate: Maria 12 sticle, Vlad 18 sticle, Ana 30 de sticle. Au primit în total 60 de lei. Cât revine fiecăruia?

Recunoaștere. „Proporțional cu” → mărimi direct proporționale și șir de rapoarte egale.

Model și calcul. Sumele $m, v, a$ sunt proporționale cu 12, 18, 30: $\frac{m}{12} = \frac{v}{18} = \frac{a}{30} = k .$ Folosim proprietatea șirului de rapoarte egale: $k = \frac{m + v + a}{12 + 18 + 30} = \frac{60}{60} = 1.$ Deci $m = 12 \cdot 1 = 12$ lei, $v = 18 \cdot 1 = 18$ lei, $a = 30 \cdot 1 = 30$ lei.

Interpretare. Maria primește 12 lei, Vlad 18 lei, Ana 30 de lei. Verificare: $12 + 18 + 30 = 60$ lei. ✓ (Aici factorul a ieșit chiar 1, fiindcă numărul total de sticle era egal cu suma de lei — o coincidență plăcută care face verificarea ușoară.)

Exemplul 7 — Procent și proporție în aceeași problemă (dobândă)

Problemă. Mama depune 2500 de lei la bancă, cu o dobândă de 4% pe an. Ce sumă va avea în cont după un an, dacă nu retrage nimic?

Recunoaștere. Apare „dobândă de 4%” → întâi o problemă cu procente (aflăm dobânda), apoi o adunare simplă pentru suma finală. E un exemplu tipic de problemă în doi pași: nu te opri după primul calcul.

Model și calcul.

Dobânda pe un an: $\frac{4}{100} \cdot 2500 = \frac{10000}{100} = 100$ lei.
Suma după un an: $2500 + 100 = 2600$ lei.

Interpretare. După un an, în cont vor fi 2600 de lei. Verificare de bun-simț: dobânda (100 lei) este o parte mică din depunere, exact cum ne așteptăm la 4%, iar suma finală este mai mare decât cea depusă — are sens. Atenție la greșeala clasică: răspunsul nu este „100 lei” (aceea e doar dobânda), ci suma totală din cont.

Exemplul 8 — Recunoști capcana (procent din procent vs. adunarea procentelor)

Problemă. La un test grilă, Dan a rezolvat corect 50% dintre întrebări la prima încercare. Dintre cele rămase, a mai rezolvat corect jumătate la a doua încercare. Ce procent din tot testul a rezolvat corect?

Recunoaștere. Tentația este să aduni „50% + 50% = 100%”. Greșit! Al doilea „jumătate” se aplică doar întrebărilor rămase, nu întregului test. Este aceeași capcană a bazelor diferite de la Exemplul 5.

Model și calcul. Să lucrăm pe un test cu, să zicem, 20 de întrebări (alege un număr comod).

Prima încercare: $50%$ din 20 $= 10$ întrebări corecte.
Rămase: $20 - 10 = 10$ întrebări. Jumătate din ele: $\frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ corecte.
Total corecte: $10 + 5 = 15$ din 20, adică $\frac{15}{20} = \frac{75}{100} = 75%$ .

Interpretare. Dan a rezolvat corect 75% din test, nu 100%. Verificare: alegerea numărului 20 a fost doar un ajutor — rezultatul în procente nu depinde de el; ai obține tot 75% și cu 40, și cu 100 de întrebări. Acesta este un truc puternic: când o problemă are doar procente, „pune un total comod” (de obicei 100 sau un număr divizibil) și lucrează cu numere concrete.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, gradat, de la ușor la greu. La fiecare problemă, scrie întâi ce tip este (procent / proporție / direct / invers), apoi rezolvă.

Calculează $25%$ din $80$ .
Calculează $40%$ din $150$ lei.
Scrie procentul $7%$ sub formă de raport (fracție).
Rezolvă proporția: $\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$ .
Rezolvă proporția: $\frac{4}{x} = \frac{12}{21}$ .
Adevărat sau fals: „Dacă numărul de muncitori crește, numărul de zile necesare crește și el.” Justifică.
Încercuiește tipul corect. „8 metri de stofă costă 240 de lei. Cât costă 5 metri?” — este (a) invers proporțional; (b) direct proporțional; (c) procent.
Completează: Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul ______.
Un pulover de 250 de lei are o reducere de $30%$ . Cât plătești după reducere?
La un test, $80%$ dintre elevi au promovat, adică 20 de elevi. Câți elevi au fost în total?
6 robinete identice umplu un bazin în 8 ore. În câte ore îl umplu 4 robinete?
Pe o hartă cu scara $1 : 200000$ , două orașe sunt la $6$ cm. Care este distanța reală, în km?
Potrivește fiecare problemă (A–D) cu metoda potrivită (procent / proporție / direct / invers): A) „3 kg de mere costă 21 lei, cât costă 8 kg?” B) „15% dintr-o sumă reprezintă 45 lei, care e suma?” C) „2 zugravi termină în 12 zile, în câte zile termină 3 zugravi?” D) „raportul a două numere este 3/4, suma lor 56, care sunt numerele?”
O sumă de 480 de lei se împarte între doi frați în raportul $3 : 5$ . Cât primește fiecare?
Un magazin scumpește un produs de 60 de lei cu $25%$ , apoi îl reduce cu $20%$ . Care este prețul final?
Într-un campionat, o echipă a câștigat $60%$ din cele 20 de meciuri jucate, a remizat $15%$ și a pierdut restul. Câte meciuri a pierdut?
Un automobil consumă $6$ litri la $100$ km. De câți litri are nevoie pentru un drum de $250$ km? (direct proporțional)
Un teren dreptunghiular are lungimea și lățimea în raportul $5 : 2$ , iar perimetrul de $84$ m. Află lungimea și lățimea, apoi aria terenului.
Un depozit de 1500 de lei aduce o dobândă de $5%$ pe an. Ce sumă va fi în cont după un an?
La un atelier, 5 muncitori montează 40 de scaune într-o zi. Câte scaune montează 8 muncitori într-o zi, lucrând la fel? (Indică tipul și rezolvă.)
Un produs costă $80$ de lei. Se scumpește cu $50%$ , apoi noul preț se reduce cu $50%$ . Care este prețul final și de ce nu este $80$ de lei?
Problemă-sinteză. O bibliotecă are cărți în limba română și în limbi străine, în raportul $7 : 3$ . Cărțile în limbi străine sunt în număr de $360$ . Câte cărți are biblioteca în total și ce procent dintre ele sunt în limba română?

Răspunsuri și explicații

20. $\frac{25}{100} \cdot 80 = \frac{2000}{100} = 20$ . (Procent — un sfert din 80.)
60 lei. $\frac{40}{100} \cdot 150 = \frac{6000}{100} = 60$ .
$\frac{7}{100}$ . Procentul este, prin definiție, un raport cu numitorul 100.
$x = 4$ . Produsul mezilor = extremilor: $15 x = 6 \cdot 10 = 60 \Rightarrow x = 4$ . (Sau observi că $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ , deci $\frac{x}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 4$ .)
$x = 7$ . $12 x = 4 \cdot 21 = 84 \Rightarrow x = 7$ .
Fals. Mai mulți muncitori înseamnă mai puține zile — sunt mărimi invers proporționale. Confuzia este foarte frecventă; folosește testul cu extremele.
(b) direct proporțional. Mai mulți metri → cost mai mare. $\frac{240}{8} = \frac{x}{5} \Rightarrow x = 150$ lei (cost pentru 5 m).
extremilor. Aceasta este proprietatea fundamentală a proporției.
175 lei. Reducerea: $\frac{30}{100} \cdot 250 = 75$ lei. Preț plătit: $250 - 75 = 175$ lei. (Greșeala tipică: a răspunde „75” — acela e cât scazi, nu cât plătești.)
25 elevi. $\frac{80}{100} \cdot N = 20 \Rightarrow N = \frac{20 \cdot 100}{80} = 25$ . Verificare: $80%$ din $25 = 20$ . ✓
12 ore. Invers proporțional: $6 \cdot 8 = 4 \cdot x \Rightarrow 48 = 4 x \Rightarrow x = 12$ . Mai puține robinete → mai mult timp. ✓
12 km. Scara $1 : 200000$ înseamnă $1$ cm pe hartă = $200000$ cm real. Pentru 6 cm: $6 \cdot 200000 = 1200000$ cm $= 12000$ m $= 12$ km. (Vezi Scara unei hărți.)
A → direct proporțional (mai multe kg, mai mult de plată; răspuns: $8 \cdot 7 = 56$ lei). B → proporție/procent (aflarea întregului: suma $= \frac{45 \cdot 100}{15} = 300$ lei). C → invers proporțional (mai mulți zugravi, mai puține zile: $2 \cdot 12 = 3 \cdot x \Rightarrow x = 8$ zile). D → proporție / șir de rapoarte egale (numerele $24$ și $32$ ).
180 lei și 300 lei. $\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{a + b}{3 + 5} = \frac{480}{8} = 60$ . Deci $a = 3 \cdot 60 = 180$ , $b = 5 \cdot 60 = 300$ . Verificare: $180 + 300 = 480$ . ✓
60 lei. Scumpire: $60 + \frac{25}{100} \cdot 60 = 60 + 15 = 75$ lei. Reducere de $20%$ din 75: $\frac{20}{100} \cdot 75 = 15$ lei, deci $75 - 15 = 60$ lei. Curios: prețul final coincide cu cel inițial, fiindcă $+ 25%$ urmat de $- 20%$ se compensează exact ( $1, 25 \cdot 0, 80 = 1$ ). O interpretare frumoasă!
5 meciuri. Câștigate: $60%$ din 20 $= 12$ . Remize: $15%$ din 20 $= 3$ . Pierdute: $20 - 12 - 3 = 5$ . (Alternativ: pierdute $= 25%$ din 20 $= 5$ .)
15 litri. Direct proporțional: $\frac{6}{100} = \frac{x}{250} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 250}{100} = 15$ litri.
Lungime 30 m, lățime 12 m, arie 360 m². Perimetrul $= 2 (L + l) = 84 \Rightarrow L + l = 42$ . Cu $\frac{L}{5} = \frac{l}{2} = \frac{L + l}{7} = \frac{42}{7} = 6$ , rezultă $L = 30$ m, $l = 12$ m. Aria $= 30 \cdot 12 = 360$ m². Verificare: $30 : 12 = 5 : 2$ ✓ și $2 (30 + 12) = 84$ ✓.
1575 lei. Dobânda: $\frac{5}{100} \cdot 1500 = 75$ lei. Suma finală: $1500 + 75 = 1575$ lei. (Greșeala tipică: a răspunde „75” — aceea e doar dobânda, nu suma din cont.)
64 de scaune — direct proporțional. Mai mulți muncitori → mai multe scaune, deci cresc împreună. Un muncitor montează $40 : 5 = 8$ scaune, deci 8 muncitori montează $8 \cdot 8 = 64$ . (Sau prin proporție: $\frac{5}{40} = \frac{8}{x} \Rightarrow x = 64$ .)
60 lei. Scumpire: $80 + \frac{50}{100} \cdot 80 = 80 + 40 = 120$ lei. Reducere de $50%$ din 120: $\frac{50}{100} \cdot 120 = 60$ lei, deci $120 - 60 = 60$ lei. Nu revine la 80, fiindcă cele două procente se aplică pe baze diferite: $+ 50%$ se ia din 80, iar $- 50%$ se ia din 120, care e mai mare. Pe scurt, $1, 5 \cdot 0, 5 = 0, 75$ , adică prețul final este $75%$ din cel inițial.
1200 de cărți în total, dintre care 70% în limba română. Raportul $7 : 3$ și $360$ de cărți străine: factorul este $360 : 3 = 120$ . Cărți în română: $7 \cdot 120 = 840$ . Total: $840 + 360 = 1200$ . Procentul cărților în română: $\frac{840}{1200} = \frac{70}{100} = 70%$ . Verificare: $840 : 360 = 7 : 3$ ✓.

De reținut

Întâi recunoști tipul, apoi alegi metoda: procent (raport pe 100), proporție (produsul mezilor = extremilor), direct proporțional (rapoarte egale), invers proporțional (produse egale).
La direct vs. invers, folosește testul extremelor: dacă una crește și cealaltă scade → invers; dacă cresc împreună → direct.
La procente combinate, al doilea procent se aplică pe noua valoare, nu pe cea inițială.
Verifică mereu prin înlocuire și prin bun-simț, apoi scrie răspunsul în propoziție, cu unitatea de măsură.
Procentul, proporția și regula de trei sunt aceeași idee privită din unghiuri diferite: raporturi care se compară.

Greșeli frecvente

Confunzi reducerea cu suma plătită. „−30% din 250” îți dă cât scazi (75 lei), nu cât plătești (175 lei). Citește atent ce se cere.
Confunzi direct cu invers proporțional. Pui mai mulți muncitori și obții „mai multe zile” — semn că ai greșit tipul. Aplică testul extremelor înainte de a scrie modelul.
Aplici al doilea procent pe valoarea inițială. La scumpire urmată de reducere, baza se schimbă. Calculează pas cu pas, refolosind mereu valoarea cea mai recentă.
Uiți să interpretezi rezultatul. Un număr fără unitate de măsură și fără verificare nu este un răspuns complet. „15” poate fi greșit; „15 elevi, verificat” este corect.

Joc acasă

Detectivul de reduceri. Caută trei etichete cu reduceri (în magazin, în pliante sau online). Pentru fiecare, notează prețul inițial și procentul reducerii, apoi calculează cât plătești în realitate. Verifică dacă prețul afișat „după reducere” coincide cu calculul tău. Vei descoperi că uneori magazinele rotunjesc!
Rețeta proporțională. Ia o rețetă din bucătărie (de exemplu pentru 4 persoane). Transform-o, prin proporții, pentru 6 persoane și apoi pentru 10 persoane. Scrie noile cantități pentru fiecare ingredient. Este exact metoda din Exemplul 3 și un exercițiu real de mărimi direct proporționale.
Cronometrul invers. Cu un părinte, măsoară în cât timp speli singur 6 farfurii. Apoi estimează, prin proporționalitate inversă, în cât timp ați spăla aceleași 6 farfurii dacă ați fi 2 sau 3 persoane care lucrează la fel de repede. Compară estimarea cu realitatea — vei vedea „invers proporțional” cu propriile mâini.

Pentru părinți și învățători

Această lecție nu introduce noțiuni noi, ci consolidează discernământul: capacitatea elevului de a alege singur metoda potrivită. Este competența cel mai des testată la Evaluarea Națională, fiindcă reflectă înțelegerea reală, nu memorarea.

Cum sprijiniți elevul:

Înainte de orice calcul, cereți-i să spună cu voce tare ce tip de problemă crede că este și de ce. Justificarea contează mai mult decât răspunsul.
Folosiți „testul extremelor” ca ritual: „Dacă ar fi de două ori mai mulți, ar dura mai mult sau mai puțin?” Această întrebare elimină cea mai frecventă greșeală (direct vs. invers).
Insistați pe pasul de verificare și pe scrierea răspunsului în propoziție completă, cu unitate de măsură. Întrebați mereu: „Numărul găsit este chiar ce s-a cerut?”

Întrebări de control pentru a verifica înțelegerea:

„Cum recunoști o problemă cu procente față de una cu proporție?”
„De ce, când scumpești cu 10% și apoi reduci cu 10%, nu revii la prețul de start?”
„Dă-mi un exemplu de mărimi invers proporționale din viața reală.”

Dacă elevul ezită la o anumită noțiune, reluați lecția-sursă corespunzătoare (de exemplu Mărimi invers proporționale sau Probleme cu procente: reduceri, scumpiri, TVA și dobândă) înainte de a continua recapitularea.

Întrebări frecvente

Cum recunosc dacă o problemă este cu procente sau cu proporții? Caută cuvintele-semnal. Dacă apar „%”, „la sută”, „reducere”, „TVA”, „dobândă”, „din total”, este o problemă cu procente. Dacă ți se dau două rapoarte egale sau ți se cere un termen necunoscut dintr-o egalitate de rapoarte, este o proporție. De fapt, procentul este și el un raport (scris pe 100), așa că cele două sunt strâns înrudite.

Cum îmi dau seama dacă mărimile sunt direct sau invers proporționale? Folosește testul extremelor: imaginează-ți că mărești mult una dintre mărimi. Dacă cealaltă crește și ea (mai multe produse → mai mult de plată), sunt direct proporționale. Dacă cealaltă scade (mai mulți muncitori → mai puține zile), sunt invers proporționale.

De ce, dacă scumpesc cu 10% și apoi reduc cu 10%, nu obțin prețul inițial? Pentru că cele două procente se aplică pe baze diferite. Scumpirea se calculează din prețul mic inițial, iar reducerea din prețul mai mare obținut după scumpire. 10% dintr-un număr mare e mai mult decât 10% dintr-un număr mic, așa că prețul final iese mai mic decât cel de start.

Ce înseamnă „interpretarea rezultatului” și de ce e importantă? Înseamnă să verifici că numărul găsit are sens în contextul problemei și că răspunde exact la întrebare. De exemplu, dacă rezultatul „elevi” iese 12,5, ceva e greșit — nu pot exista jumătăți de elevi. Interpretarea te ferește de răspunsuri absurde și e punctată separat la examen.

Care e cea mai sigură metodă pentru o proporție cu necunoscută? Proprietatea fundamentală: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Din $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ obții $a \cdot d = b \cdot c$ , apoi rezolvi pentru necunoscută. La final, înlocuiește valoarea găsită ca să verifici egalitatea.

Cum verific dacă răspunsul meu este corect? Două metode: (1) verificarea prin înlocuire — pui rezultatul înapoi în relație și vezi dacă egalitatea se respectă; (2) verificarea prin bun-simț — te întrebi dacă mărimea, semnul și ordinul de mărime au sens (un preț redus trebuie să fie mai mic, un număr de persoane trebuie să fie natural).

Ce greșeli se fac cel mai des la problemele recapitulative cu proporții și procente? Confundarea reducerii cu suma plătită, confundarea proporționalității directe cu cea inversă, aplicarea celui de-al doilea procent pe valoarea greșită și omiterea pasului de verificare. Toate se evită citind problema de două ori și scriind răspunsul în propoziție completă.

Aceste tipuri de probleme apar la Evaluarea Națională de la clasa a VI-a? Da, foarte des. Exercițiile cu rapoarte, proporții și procente sunt printre cele mai frecvente, fiindcă verifică modelarea unei situații practice. Pentru pregătire țintită, vezi și lecția Recapitulare integrată: rapoarte, proporții și procente.