8 tractoare ară un teren în 15 zile. Vrem să aflăm în câte zile ară același teren 12 tractoare, lucrând în același ritm. Ce tip de problemă este aceasta?

Proporție cu procente combinate

O rețetă pentru 4 persoane folosește 320 g de făină. Vrem să aflăm câte grame de făină sunt necesare pentru 7 persoane, păstrând aceeași rețetă. Ce tip de problemă este aceasta?

Împărțirea unui număr în părți invers proporționale

Cum recunosc tipul unei probleme cu proporții?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Recunoști tipul: procent, proporție, direct/invers

Te uiți la cuvintele din enunț și la felul în care se schimbă mărimile. Semnul procentual, reducerea sau taxa cer lucrul cu rapoarte raportate la $100$ . Două rapoarte egale cu un termen necunoscut cer înmulțirea în cruce. Dacă mărirea unei mărimi o mărește și pe cealaltă, legătura este directă; dacă o micșorează, este inversă. La trei robinete care umplu un bazin în $10$ ore, cinci robinete au nevoie de $6$ ore.

Ideea-cheie a lecției nu e o formulă nouă, ci discernământul: recunoști singur tipul problemei înainte de a calcula.

Procent: apar „%”, „la sută”, „reducere”, „TVA”, „dobândă” — folosești $p % = \frac{p}{100}$ .
Proporție: două rapoarte egale cu un termen necunoscut — proprietatea fundamentală $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ .
Direct proporțional: mărimile cresc împreună — rapoarte egale, $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$ .
Invers proporțional: una crește, cealaltă scade — produse egale, $a_{1} \cdot b_{1} = a_{2} \cdot b_{2}$ .

Testul extremelor îți dă tipul rapid: dacă exagerezi o mărime și cealaltă crește, e direct; dacă scade, e invers.

Exemplu: „3 robinete umplu un bazin în 10 ore. În câte ore îl umplu 5 robinete?” Mai multe robinete → mai puțin timp → invers proporțional: $3 \cdot 10 = 5 \cdot x \Rightarrow x = 6$ ore.

După calcul, verifică mereu prin înlocuire și scrie răspunsul în propoziție, cu unitatea de măsură.

De reținut

procent: $p % = \frac{p}{100}$
legătură directă: toate rapoartele ies egale; legătură inversă: toate produsele ies egale
proporție: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$

Greșeala tipică

Se aplică regula de trei simplă directă la o situație în care mărimile se schimbă în sens contrar, de exemplu la muncitori și timp; înainte de calcul se stabilește sensul legăturii, exagerând mental una dintre mărimi.

Exerciții din această mini-lecție

8 tractoare ară un teren în 15 zile. Vrem să aflăm în câte zile ară același teren 12 tractoare, lucrând în același ritm. Ce tip de problemă este aceasta?
- a) Procent dintr-un număr
- b) Mărimi direct proporționale
- c) Mărimi invers proporționale
- d) Proporție cu procente combinate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Mărimi invers proporționale

Testul extremelor: dacă am avea mult mai multe tractoare, terenul s-ar ara în mult mai puține zile. Când o mărime crește, cealaltă scade, deci mărimile sunt invers proporționale (produsul rămâne constant: $8 \cdot 15 = 12 \cdot x \Rightarrow x = 10$ zile).
O rețetă pentru 4 persoane folosește 320 g de făină. Vrem să aflăm câte grame de făină sunt necesare pentru 7 persoane, păstrând aceeași rețetă. Ce tip de problemă este aceasta?
- a) Mărimi direct proporționale
- b) Mărimi invers proporționale
- c) Procent dintr-un număr
- d) Împărțirea unui număr în părți invers proporționale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Mărimi direct proporționale

Testul extremelor: dacă am găti pentru mult mai multe persoane, ar fi nevoie de mult mai multă făină. Când o mărime crește, cealaltă crește la fel, deci mărimile sunt direct proporționale ( $320 : 4 = 80$ g/persoană, iar pentru $7$ persoane: $80 \cdot 7 = 560$ g).
Un telefon costă 1200 de lei. Se reduce cu $25%$ . Cât costă telefonul după reducere?
- a) $900$ lei
- b) $300$ lei
- c) $950$ lei
- d) $1500$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $900$ lei

Reducerea este $\frac{25}{100} \cdot 1200 = 300$ lei. Prețul plătit este $1200 - 300 = 900$ lei. Verificare directă: $75%$ din $1200 = 900$ lei. Varianta b) este doar reducerea, nu prețul final; varianta d) apare dacă am adăugat greșit procentul în loc să-l scădem.

Întrebări conexe

Ce este testul extremelor și cum îl folosesc?

Îți imaginezi o valoare exagerat de mare pentru una dintre mărimi și te întrebi ce se întâmplă cu cealaltă. Dacă și ea crește, legătura este directă; dacă scade, este inversă. Metoda funcționează chiar și când numerele din enunț sunt greu de comparat.

Cum trec de la un procent la o fracție și înapoi?

Un procent se scrie ca fracție cu numitorul $100$ , apoi se simplifică: $40%$ devine $\frac{2}{5}$ . Invers, aduci fracția la numitorul $100$ sau împarți numărătorul la numitor și înmulțești cu o sută. Cele două scrieri spun același lucru.

Cum interpretez rezultatul unei probleme cu procente?

Îl scrii într-o propoziție completă, cu unitatea de măsură, și verifici dacă răspunde exact la întrebare. Un număr fără explicație poate însemna reducerea sau prețul final, iar diferența dintre ele decide dacă rezolvarea este completă.

Ce cuvinte din enunț arată o problemă cu procente?

Semnul procentual, formulările la sută, reducere, majorare, taxă, dobândă sau parte dintr-un total. Toate trimit la un raport cu numitorul $100$ . Când în enunț apar doar două perechi de valori, este mai probabil să fie vorba despre proporționalitate.

Cum împart o sumă în părți proporționale cu 2, 3 și 5?

Aduni numerele date, obții 10 părți, apoi împarți suma la 10 ca să afli cât valorează o parte. Pentru 600 de lei, o parte face 60, deci împărțirea dă 120, 180 și 300 de lei. Verificarea cere ca cele trei sume să dea la loc totalul.

Ce este regula de trei simplă inversă?

Este procedeul folosit când o mărime crește, iar cealaltă scade în aceeași măsură: mai mulți muncitori, mai puține zile. Se scrie egalitatea produselor, nu a rapoartelor: dacă 5 muncitori termină în 6 zile, atunci 3 muncitori au nevoie de $\frac{5 \cdot 6}{3} = 10$ zile.

Oamenii mai întreabă și: probleme cu rapoarte și proporții · recapitulare procente și proporții · direct sau invers proporțional · cum aleg metoda la o problemă cu procente