Scara unei hărți și alte aplicații ale proporțiilor

Ai deschis vreodată o hartă pe telefon și te-ai întrebat cum încape un oraș întreg pe un ecran cât palma? Sau cum știe un cartograf că două puncte aflate la 3 cm pe hartă sunt, de fapt, la 6 kilometri unul de altul? Răspunsul este o singură idee matematică pe care deja o stăpânești: proporția. În această lecție vei vedea cum aceeași unealtă – rapoartele și proporțiile – te ajută să citești o hartă, să dublezi o rețetă de prăjituri, să prepari un amestec corect și să calculezi cât de repede a mers un autocar. Hai să transformăm matematica în ceva pe care îl folosești în fiecare zi.

Ce vei învăța

• Vei ști să înțelegi ce înseamnă scara unei hărți ca raport între distanța de pe hartă și distanța reală.
• Vei ști să calculezi distanța reală când cunoști distanța de pe hartă și scara.
• Vei ști să afli distanța de pe hartă când cunoști distanța reală și scara.
• Vei ști să aplici proporțiile la rețete, amestecuri și viteză medie.
• Vei ști să modelezi matematic o situație practică folosind rapoarte și proporții.

Hai să descoperim împreună

De unde pornim: ce știm deja

În lecțiile anterioare ai învățat ce este raportul a două numere, ce este proporția și proprietatea ei fundamentală și cum funcționează mărimile direct proporționale. Mai știi și regula de trei simplă. Toate acestea sunt instrumentele tale de lucru. Lecția de azi nu aduce o formulă magică nouă, ci îți arată cât de departe ajung aceste instrumente în lumea reală.

Îți reamintesc proprietatea fundamentală a proporțiilor, pentru că pe ea ne sprijinim tot timpul:

Într-o proporție $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $a\cdot d=b\cdot c$.

Cu această regulă putem afla orice termen necunoscut. Ține-o aproape; o vom folosi în aproape fiecare exemplu.

Ce este scara unei hărți

Imaginează-ți că vrei să desenezi pe o foaie de caiet drumul de la tine de acasă până la școală. Drumul real are, să zicem, 800 de metri. Evident, nu poți desena 800 de metri pe o foaie. Așa că micșorezi totul de același număr de ori: dacă micșorezi de 10 000 de ori, cei 800 de metri devin 8 centimetri pe foaie. Tocmai ai folosit o scară.

Definiție. Scara unei hărți este raportul dintre o distanță măsurată pe hartă și distanța reală corespunzătoare, exprimate în aceeași unitate de măsură.

$$\text{Scara}=\frac{\text{distanța pe harta˘}}{\text{distanța reala˘}}$$

Scara se scrie de obicei sub forma $1:n$ (citim „unu la n”), unde $n$ ne spune de câte ori este micșorată realitatea. De exemplu, scara $1:100000$ înseamnă că 1 cm pe hartă reprezintă 100 000 cm în realitate, adică 1 km.

Ideea-cheie: aceeași unitate de măsură

Aici se face cea mai frecventă greșeală, așa că ne oprim puțin. Scara este un raport, iar un raport are sens doar dacă cele două mărimi sunt în aceeași unitate. Nu putem împărți centimetri la kilometri direct. De aceea, înainte de orice calcul, transformăm totul în aceeași unitate – de obicei în centimetri.

Reamintește-ți transformările:

• 1 m = 100 cm
• 1 km = 1000 m = 1000 · 100 cm = 100 000 cm

Deci, dacă scara este $1:100000$:

$$\frac{1\text{ cm pe harta˘}}{100000\text{ cm real}}=\frac{1\text{ cm}}{1\text{ km}}$$

Vezi? Scara $1:100000$ înseamnă, simplu spus, „1 cm pe hartă = 1 km în realitate”. Tabelul de mai jos te ajută să ții minte câteva scări des întâlnite:

Scara numerică și scara grafică

Pe hărțile reale vei întâlni scara scrisă în două feluri și e bine să le recunoști pe amândouă, pentru că exprimă exact același lucru.

• Scara numerică este cea pe care am folosit-o până acum: un raport de forma $1:n$, de exemplu $1:100000$. Este un număr „pur”, fără unitate, tocmai pentru că ambele distanțe sunt în aceeași unitate și unitățile se simplifică.
• Scara grafică este o riglă desenată direct pe hartă, împărțită în segmente, sub care scrie la cât corespunde fiecare segment în realitate (de pildă „0 — 1 — 2 km”). Marele ei avantaj: dacă tipărești harta mai mică sau mai mare, scara grafică se micșorează sau se mărește odată cu ea și rămâne corectă, în timp ce scara numerică ar deveni falsă.

Cele două spun același lucru. Dacă pe scara grafică un segment de 1 cm înseamnă 1 km, atunci scara numerică este $1:100000$. Trecerea de la una la alta este tot o transformare de unități, exact ceea ce am exersat mai sus.

Cele două întrebări pe care le vei rezolva mereu

La scara unei hărți, întotdeauna apar două tipuri de probleme. Le numim „dus” și „întors”:

1) Din hartă în realitate (calculezi distanța reală). Cunoști distanța pe hartă și scara, vrei distanța reală. Folosești:

$$\text{distanța reala˘}=\text{distanța pe harta˘}\times n$$

unde $n$ este numărul din scara $1:n$. Pur și simplu înmulțești, pentru că realitatea este de $n$ ori mai mare.

2) Din realitate pe hartă (calculezi distanța pe hartă). Cunoști distanța reală și scara, vrei distanța de pe hartă. Folosești:

$$\text{distanța pe harta˘}=\frac{\text{distanța reala˘}}{n}$$

Aici împarți, pentru că pe hartă totul este de $n$ ori mai mic.

De ce funcționează? Pentru că scara este o proporție. Dacă scara este $1:n$, atunci pentru orice pereche de distanțe (pe hartă $h$, reală $R$, în aceeași unitate) avem:

$$\frac{h}{R}=\frac{1}{n}$$

Aplicând proprietatea fundamentală: $h\cdot n=R\cdot 1$, deci $R=h\cdot n$ și $h=\frac{R}{n}$. Iată de unde vin cele două formule – nu trebuie să le memorezi mecanic, le poți redescoperi mereu din proporție.

Un avertisment util: scara este despre lungimi

Scara se aplică lungimilor (distanțe între puncte), nu direct suprafețelor. E o capcană în care se cade ușor. Dacă o hartă este la scara $1:1000$, atunci 1 cm pe hartă înseamnă 1000 cm reali – asta este clar. Dar o suprafață de $1$ cm² pe hartă nu corespunde la $1000$ cm² reali, ci la $1000\cdot 1000=1000000$ cm² reali, pentru că suprafața depinde de două lungimi (lungime × lățime), iar fiecare se mărește de 1000 de ori.

Pentru clasa a VI-a îți este suficient să reții ideea: când calculezi distanțe, folosești scara așa cum am învățat; când ai de-a face cu suprafețe, fii atent, pentru că micșorarea „lucrează” de două ori. Vei studia în detaliu acest lucru mai târziu, la arii; deocamdată, păstrează în minte că în lecția noastră toate calculele sunt despre distanțe.

O poveste scurtă ca să prinzi ideea

Andrei și Maria plănuiesc o drumeție. Au o hartă turistică la scara $1:50000$. Andrei măsoară cu rigla traseul: 12 cm. „Înseamnă că mergem 12 km?” întreabă Maria. „Nu chiar”, zice Andrei. „1 cm înseamnă 50 000 cm reali, adică jumătate de kilometru. Deci 12 cm înseamnă 12 · 0,5 = 6 km.” Maria verifică altfel: $12\cdot 50000=600000$ cm $=6$ km. Aceeași distanță reală, două drumuri spre răspuns. Matematica e onestă: dacă raționamentul e corect, ajungi la același rezultat indiferent de calea aleasă.

Alte aplicații ale proporțiilor: rețete, amestecuri, viteză

Scara hărții e doar începutul. Proporțiile apar peste tot unde două mărimi cresc sau scad „la pas”, adică direct proporțional.

Rețete. Dacă o rețetă pentru 4 porții cere 200 g de făină, atunci pentru 6 porții ai nevoie de mai multă făină, în aceeași proporție. Cantitatea de făină și numărul de porții sunt direct proporționale: dacă dublezi porțiile, dublezi și făina.

Amestecuri. Când prepari o limonadă din suc concentrat și apă în raportul $1:4$, asta înseamnă: pentru fiecare parte de suc pui 4 părți de apă. Dacă mărești cantitatea totală, păstrezi același raport, altfel gustul se schimbă.

Viteză medie. Aici intervine o mărime nouă, dar cu aceeași logică. Viteza medie este raportul dintre distanța parcursă și timpul în care a fost parcursă:

$$v=\frac{d}{t}$$

Din această relație scoatem și celelalte două: distanța $d=v\cdot t$ și timpul $t=\frac{d}{v}$. Dacă mergi cu viteză constantă, distanța și timpul sunt direct proporționale: în dublu de timp parcurgi dublu de drum.

Un truc de memorie: acoperă cu degetul mărimea pe care o cauți în triunghiul $\frac{d}{v\cdot t}$. Dacă acoperi $d$, rămâne $v\cdot t$. Dacă acoperi $v$, rămâne $\frac{d}{t}$. Dacă acoperi $t$, rămâne $\frac{d}{v}$. Atenție la unități: dacă viteza e în km/h, timpul trebuie în ore, iar distanța în km.

Cum modelăm o situație practică

A „modela matematic” înseamnă a traduce o situație din viața reală în limbajul numerelor, ca s-o poți rezolva. Pașii sunt mereu aceiași:

1. Citește cu atenție și află ce mărimi apar și ce se cere.
2. Stabilește relația: mărimile sunt direct proporționale (cresc împreună) sau invers proporționale (una crește, cealaltă scade)?
3. Scrie proporția sau folosește regula de trei simplă.
4. Verifică unitățile – aceeași unitate de fiecare parte.
5. Rezolvă cu proprietatea fundamentală și verifică dacă răspunsul are sens.

Pe acești cinci pași vom construi toate exemplele care urmează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din hartă în realitate

Pe o hartă la scara $1:200000$, distanța dintre două orașe este de 7 cm. Care este distanța reală dintre ele?

Rezolvare. Scara $1:200000$ ne spune că 1 cm pe hartă reprezintă 200 000 cm reali. Folosim formula:

$$R=h\cdot n=7\cdot 200000=1400000\text{ cm}$$

Transformăm în kilometri: $1400000$ cm $=14000$ m $=14$ km.

Răspuns: distanța reală este de 14 km. Are sens: 1 cm = 2 km, deci 7 cm = 14 km. ✔

Exemplul 2 — Din realitate pe hartă

Distanța reală dintre două sate este de 9 km. Ce distanță le va separa pe o hartă la scara $1:300000$?

Rezolvare. Mai întâi transformăm distanța reală în centimetri:

$$9\text{ km}=9\cdot 100000=900000\text{ cm}$$

Acum împărțim la $n=300000$:

$$h=\frac{R}{n}=\frac{900000}{300000}=3\text{ cm}$$

Răspuns: pe hartă, cele două sate vor fi la 3 cm distanță. Verificare: 1 cm = 3 km, deci 9 km = 3 cm. ✔

Exemplul 3 — Aflarea scării

Un parc are lungimea reală de 600 m. Pe un plan, această lungime este desenată cu 4 cm. La ce scară este realizat planul?

Rezolvare. Scara este raportul dintre distanța de pe plan și cea reală, în aceeași unitate. Transformăm 600 m în cm:

$$600\text{ m}=600\cdot 100=60000\text{ cm}$$

Scriem raportul și îl simplificăm până când la numărător avem 1:

$$\text{Scara}=\frac{4}{60000}=\frac{4:4}{60000:4}=\frac{1}{15000}$$

Răspuns: planul este realizat la scara $1:15000$. Adică 1 cm pe plan = 15 000 cm = 150 m în realitate. Verificare: 4 · 150 m = 600 m. ✔

Exemplul 4 — Rețetă (mărimi direct proporționale)

O rețetă de clătite pentru 8 porții cere 3 ouă și 400 g de făină. Câte ouă și câtă făină sunt necesare pentru 12 porții?

Rezolvare. Numărul de porții și ingredientele sunt mărimi direct proporționale. Folosim regula de trei simplă, separat pentru fiecare ingredient.

Pentru ouă:

$$\begin{array}{rl}8\text{ porții}& ⟶3\text{ oua˘}\\ 12\text{ porții}& ⟶x\text{ oua˘}\end{array}\frac{8}{12}=\frac{3}{x}$$

Cu proprietatea fundamentală: $8\cdot x=12\cdot 3$, deci $8x=36$, de unde $x=4,5$. Cum nu putem folosi o jumătate de ou comod, în practică rotunjim la 4 sau 5 ouă; matematic, răspunsul exact este 4,5 ouă.

Pentru făină:

$$\frac{8}{12}=\frac{400}{y}⟹8y=12\cdot 400=4800⟹y=600\text{ g}$$

Răspuns: pentru 12 porții sunt necesare 4,5 ouă și 600 g de făină. Verificare prin proporționalitate: trecem de la 8 la 12 porții, adică înmulțim cu $\frac{12}{8}=1,5$; iar $3\cdot 1,5=4,5$ și $400\cdot 1,5=600$. ✔

Exemplul 5 — Amestec (păstrarea raportului)

Pentru o limonadă, raportul dintre suc concentrat și apă trebuie să fie $1:4$. Cătălin vrea să prepare 2 litri de limonadă în total. Câți mililitri de suc concentrat și câți de apă îi trebuie?

Rezolvare. Raportul $1:4$ înseamnă că amestecul se împarte în $1+4=5$ părți egale. Totalul este $2$ litri $=2000$ ml, deci o parte are:

$$\frac{2000}{5}=400\text{ ml}$$

• Suc concentrat: $1$ parte $=1\cdot 400=400$ ml.
• Apă: $4$ părți $=4\cdot 400=1600$ ml.

Răspuns: îi trebuie 400 ml suc și 1600 ml apă. Verificare: $400+1600=2000$ ml $=2$ litri, iar $\frac{400}{1600}=\frac{1}{4}$. ✔

Exemplul 6 — Viteză medie

Un autocar parcurge 180 km în 3 ore, mergând cu viteză constantă.

a) Care este viteza medie? b) Ce distanță va parcurge în 5 ore, cu aceeași viteză? c) În cât timp va parcurge 300 km?

Rezolvare.

a) Viteza medie:

$$v=\frac{d}{t}=\frac{180\text{ km}}{3\text{ h}}=60\text{ km/h}$$

b) Distanța în 5 ore, cu $v=60$ km/h:

$$d=v\cdot t=60\cdot 5=300\text{ km}$$

c) Timpul pentru 300 km:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{300}{60}=5\text{ ore}$$

Răspuns: a) 60 km/h; b) 300 km; c) 5 ore. Observă cum punctele b) și c) se confirmă reciproc: 5 ore ↔ 300 km. ✔

Exemplul 7 — Două hărți, aceeași distanță

Două orașe sunt situate la 24 km unul de altul. Pe harta A apar la 6 cm, iar pe harta B la 8 cm. Care este scara fiecărei hărți și care hartă este mai „detaliată” (la scară mai mare)?

Rezolvare. Transformăm distanța reală: $24$ km $=2400000$ cm.

Harta A: $\frac{6}{2400000}=\frac{1}{400000}$, deci scara $1:400000$.

Harta B: $\frac{8}{2400000}=\frac{1}{300000}$, deci scara $1:300000$.

Cu cât numărul $n$ este mai mic, cu atât scara este mai mare și harta arată mai multe detalii pe aceeași suprafață. Cum $300000<400000$, harta B este mai detaliată.

Răspuns: harta A are scara $1:400000$, harta B are scara $1:300000$; harta B este mai detaliată. ✔

Exemplul 8 — Problemă în doi pași: hartă + viteză

Pe o hartă la scara $1:250000$, drumul dintre două sate măsoară 10 cm. Un grup de elevi parcurge acest drum cu bicicleta, cu viteza medie de 15 km/h. În cât timp ajung?

Rezolvare. Această problemă combină două aplicații ale proporțiilor pe care le-am studiat, așa că o rezolvăm pe pași, exact ca în lista de modelare.

Pasul 1 — distanța reală. Scara $1:250000$ ne spune că 1 cm pe hartă reprezintă 250 000 cm reali. Deci:

$$R=h\cdot n=10\cdot 250000=2500000\text{ cm}$$

Transformăm în kilometri: $2500000$ cm $=25000$ m $=25$ km.

Pasul 2 — timpul. Acum avem distanța reală ($d=25$ km) și viteza medie ($v=15$ km/h). Folosim formula timpului:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\text{ ore}=1\text{ ora˘ și }40\text{ de minute}$$

(Pentru a transforma $\frac{5}{3}$ ore în minute: partea întreagă este 1 oră, iar restul $\frac{2}{3}$ de oră $=\frac{2}{3}\cdot 60=40$ de minute.)

Răspuns: elevii ajung în 1 oră și 40 de minute. Observă cum aceeași unealtă – proporția – a lucrat de două ori: o dată pentru hartă, o dată pentru viteză. ✔

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Scrie de fiecare dată proporția sau formula folosită, nu doar rezultatul.

1. Completează: scara $1:100000$ înseamnă că 1 cm pe hartă reprezintă ……… km în realitate.

2. Transformă în centimetri: a) 5 km; b) 250 m; c) 0,5 km.

3. Pe o hartă la scara $1:50000$, distanța dintre două localități este de 8 cm. Calculează distanța reală (în km).

4. Distanța reală dintre două orașe este de 35 km. Ce distanță le separă pe o hartă la scara $1:700000$?

5. Adevărat sau fals? La scara $1:250000$, 1 cm pe hartă înseamnă 2,5 km în realitate.

6. Un lac are lungimea reală de 1200 m. Pe un plan apare cu 6 cm. Află scara planului.

7. Încercuiește scara mai mare (harta mai detaliată): $1:25000$ sau $1:250000$.

8. O rețetă pentru 6 porții de prăjitură cere 300 g de zahăr. Câte grame de zahăr trebuie pentru 10 porții?

9. Pentru o vopsea verde, raportul dintre albastru și galben este $2:3$. Câți mililitri din fiecare culoare folosești pentru 250 ml de vopsea verde?

10. Un biciclist parcurge 45 km în 3 ore. Care este viteza lui medie?

11. Cu viteza medie de 80 km/h, ce distanță parcurge o mașină în 2 ore și jumătate?

12. Un tren parcurge 240 km cu viteza medie de 60 km/h. În cât timp ajunge?

13. Potrivește fiecare scară cu semnificația ei:

• a) $1:1000$    (i) 1 cm = 5 km
• b) $1:100000$    (ii) 1 cm = 10 m
• c) $1:500000$    (iii) 1 cm = 1 km

14. Pe o hartă la scara $1:150000$, traseul unei drumeții măsoară 11 cm. Câți kilometri are traseul real?

15. O fântână și o casă sunt la 600 m una de alta. Desenează-le pe un plan la scara $1:20000$. La ce distanță, în cm, le pui pe plan? (și fă desenul)

16. Un amestec de beton se face din ciment, nisip și pietriș în raportul $1:2:4$. Pentru 70 kg de amestec, câte kilograme din fiecare componentă folosești?

17. Doi prieteni pleacă în drumeție. Pe hartă (scara $1:80000$) traseul are 15 cm. Dacă merg cu viteza medie de 4 km/h, în cât timp parcurg traseul real? (problemă în doi pași)

18. Adevărat sau fals? Dacă pe o hartă mărim distanța dintre două puncte, dar păstrăm aceeași scară, atunci distanța reală dintre ele crește.

Răspunsuri și explicații

1. 1 km. Scara $1:100000$: 1 cm = 100 000 cm = 1 km.

2. a) $5\cdot 100000=500000$ cm; b) $250\cdot 100=25000$ cm; c) $0,5\cdot 100000=50000$ cm.

3. $R=8\cdot 50000=400000$ cm $=4000$ m $=$ 4 km. (1 cm = 0,5 km, deci 8 cm = 4 km.)

4. $35$ km $=3500000$ cm; $h=\frac{3500000}{700000}=$ 5 cm.

5. Adevărat. $250000$ cm $=2500$ m $=2,5$ km.

6. $1200$ m $=120000$ cm; scara $=\frac{6}{120000}=\frac{1}{20000}$, deci $1:20000$.

7. $1:25000$ este scara mai mare (numărul $n$ mai mic → mai multe detalii).

8. $\frac{6}{10}=\frac{300}{x}\Rightarrow 6x=3000\Rightarrow x=$ 500 g. (Înmulțim cu $\frac{10}{6}$: $300\cdot \frac{10}{6}=500$.)

9. Raportul $2:3$ are $2+3=5$ părți; o parte $=\frac{250}{5}=50$ ml. Albastru: $2\cdot 50=$ 100 ml; galben: $3\cdot 50=$ 150 ml. Verificare: $100+150=250$ ml.

10. $v=\frac{45}{3}=$ 15 km/h.

11. $d=v\cdot t=80\cdot 2,5=$ 200 km.

12. $t=\frac{240}{60}=$ 4 ore.

13. a)–(ii) 1 cm = 10 m; b)–(iii) 1 cm = 1 km; c)–(i) 1 cm = 5 km.

14. $R=11\cdot 150000=1650000$ cm $=16500$ m $=$ 16,5 km.

15. $600$ m $=60000$ cm; $h=\frac{60000}{20000}=$ 3 cm.

un segment de 3 cm desenat cu rigla, cu un punct la fiecare capăt etichetat „fântână" și „casă"

16. Raportul $1:2:4$ are $1+2+4=7$ părți; o parte $=\frac{70}{7}=10$ kg. Ciment: $10$ kg; nisip: $2\cdot 10=20$ kg; pietriș: $4\cdot 10=40$ kg. Verificare: $10+20+40=70$ kg.

17. Pas 1 (distanța reală): $R=15\cdot 80000=1200000$ cm $=12$ km. Pas 2 (timpul): $t=\frac{d}{v}=\frac{12}{4}=$ 3 ore.

18. Adevărat. La aceeași scară, distanța pe hartă și cea reală sunt direct proporționale: dacă una crește, crește și cealaltă.

De reținut

• Scara unei hărți este raportul $\frac{\text{distanța pe harta˘}}{\text{distanța reala˘}}$, calculat cu ambele distanțe în aceeași unitate (de obicei cm). Se scrie $1:n$.
• Din hartă în realitate înmulțești: $R=h\cdot n$. Din realitate pe hartă împarți: $h=\frac{R}{n}$.
• Transformările-cheie: $1$ km $=100000$ cm și $1$ m $=100$ cm.
• La rețete și amestecuri păstrezi raportul; împărți totalul la suma părților ca să afli o parte.
• Viteza medie: $v=\frac{d}{t}$, de unde $d=v\cdot t$ și $t=\frac{d}{v}$, cu unități potrivite.
• Aceeași scară poate fi scrisă numeric ($1:n$) sau grafic (o riglă desenată pe hartă); ambele spun același lucru, dar scara grafică rămâne corectă chiar dacă harta e mărită sau micșorată la tipărire.

Greșeli frecvente

• Uiți să transformi în aceeași unitate. A împărți centimetri la kilometri direct dă un rezultat fals. Transformă totul în cm înainte de a calcula scara. Cum eviți: scrie mereu unitatea lângă număr și verifică să fie aceeași sus și jos.
• Confunzi „înmulțesc” cu „împart”. De la hartă spre realitate mărești (înmulțești cu $n$); de la realitate spre hartă micșorezi (împarți la $n$). Cum eviți: întreabă-te „rezultatul ar trebui să fie mai mare sau mai mic?” înainte de a calcula.
• Crezi că $1:250000$ e o scară mai mare decât $1:25000$. Este invers: cu cât $n$ e mai mic, cu atât scara e mai mare și mai detaliată. Cum eviți: gândește-te că împărțirea la un număr mai mic micșorează realitatea mai puțin.
• La amestecuri, împarți totalul la numărul de culori, nu la numărul de părți. La raportul $2:3$ sunt 5 părți, nu 2. Cum eviți: adună întotdeauna termenii raportului ca să afli câte părți egale ai.

Joc acasă

1. Cartograful din sufragerie. Măsoară cu un metru lungimea reală a camerei tale (de exemplu 4 m). Alege o scară comodă, de pildă $1:50$ (1 cm = 50 cm = 0,5 m). Desenează pe o foaie planul camerei: 4 m $=400$ cm, deci pe plan $\frac{400}{50}=8$ cm. Adaugă masa și patul la aceeași scară. Ai făcut o hartă reală!

2. Bucătarul proporțional. Ia o rețetă din carte (sau de pe o pungă de ingrediente) și rescrie-o pentru jumătate din porții, apoi pentru dublu. Calculează fiecare ingredient cu regula de trei. Dacă ai voie, gătiți împreună varianta micșorată și verificați că iese gustoasă.

3. Cronometrul drumeției. Cu un cronometru (telefon), măsoară în câte secunde parcurgi 50 de metri mergând normal. Calculează viteza ta medie în m/s, apoi estimează în cât timp ai parcurge 1 km. Compară estimarea cu un test real pe o distanță cunoscută.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă matematica de viața de zi cu zi, ceea ce crește motivația elevului. Iată cum o puteți sprijini:

• Începeți de la o hartă reală. Deschideți o hartă rutieră tipărită sau o aplicație și căutați legenda cu scara. Întrebați: „Ce înseamnă acest $1:n$?” Lăsați copilul să verbalizeze înainte de a calcula.
• Insistați pe unități. Cea mai frecventă eroare este amestecul cm/km. Cereți elevului să spună cu voce tare unitatea la fiecare pas și să verifice că sus și jos sunt la fel.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Rezultatul ar trebui să fie mai mare sau mai mic decât distanța de pe hartă? De ce?”; „Care hartă e mai detaliată, $1:50000$ sau $1:500000$?”; „Dacă dublez porțiile, ce se întâmplă cu cantitatea de zahăr?”
• Folosiți estimarea. Înainte de calculul exact, cereți o estimare („cam câți km?”). Estimarea dezvăluie dacă elevul a înțeles ideea, nu doar procedura.
• Verificarea finală. Un elev care a înțeles poate explica de ce înmulțim într-un caz și împărțim în celălalt, raportându-se la proporție, nu la o regulă memorată. Dacă reușește asta, e pe drumul cel bun.

Pentru aprofundare, reluați împreună regula de trei simplă și mărimile direct proporționale, iar pentru consolidare lecția următoare, probleme recapitulative cu rapoarte, proporții și procente.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă scara 1:100 000 la o hartă? Înseamnă că realitatea este micșorată de 100 000 de ori: 1 cm pe hartă reprezintă 100 000 cm reali, adică 1 km. Deci o distanță de 3 cm pe această hartă corespunde la 3 km în realitate.

Cum calculez distanța reală din distanța de pe hartă? Înmulțești distanța de pe hartă cu numărul $n$ din scara $1:n$, având grijă să lucrezi în aceeași unitate. De exemplu, la scara $1:50000$, o distanță de 6 cm dă $6\cdot 50000=300000$ cm $=3$ km.

Cum aflu scara unei hărți dacă știu ambele distanțe? Împarți distanța de pe hartă la distanța reală, exprimate în aceeași unitate, apoi simplifici raportul până când la numărător obții 1. De exemplu, 4 cm pe plan pentru 600 m real: $\frac{4}{60000}=\frac{1}{15000}$, deci scara $1:15000$.

Care scară este mai mare, 1:25 000 sau 1:250 000? Scara $1:25000$ este mai mare, pentru că numărul de la numitor este mai mic. O scară mai mare arată o suprafață mai mică, dar cu mai multe detalii; o scară mai mică (numitor mare) cuprinde o zonă mai întinsă, dar cu mai puține detalii.

De ce trebuie să transform totul în aceeași unitate? Pentru că scara este un raport, iar un raport are sens doar între mărimi de același fel exprimate la fel. Dacă împarți centimetri la kilometri fără transformare, obții un număr greșit. De aceea aducem totul, de regulă, în centimetri.

Cum calculez viteza medie? Viteza medie este raportul dintre distanța parcursă și timpul necesar: $v=\frac{d}{t}$. Dacă un autocar face 180 km în 3 ore, viteza medie este $\frac{180}{3}=60$ km/h. Atenție ca distanța și timpul să fie în unități potrivite (km și ore pentru km/h).

Cum împart un amestec după un raport dat, de exemplu 1:4? Aduni termenii raportului ca să afli numărul total de părți ($1+4=5$), împarți cantitatea totală la acest număr ca să afli o parte, apoi înmulțești fiecare termen cu valoarea unei părți. La 2 litri și raportul $1:4$: o parte = 400 ml, deci 400 ml și 1600 ml.

Sunt distanța de pe hartă și cea reală mărimi direct proporționale? Da. La aceeași scară, dacă distanța de pe hartă crește, crește proporțional și distanța reală, iar raportul lor rămâne constant și egal cu scara. Tocmai de aceea putem rezolva problemele cu hărți folosind proporții și regula de trei simplă.