Cum rezolv o problemă cu ecuație de gradul I?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Probleme rezolvate cu o ecuație

Cauți mărimea din care se pot deduce toate celelalte și o notezi cu $x$ . Scrii apoi restul datelor prin ea: dublul este $2 x$ , următorul număr este $x + 1$ . Aduni sau egalezi ce spune enunțul și ajungi la forma $a x + b = c$ , pe care o rezolvi mutând termenul liber și împărțind la coeficient. Din $3 x + 5 = 26$ iese $3 x = 21$ , deci $x = 7$ .

Multe probleme lungi ascund, de fapt, un singur lucru: o mărime necunoscută de bază, din care toate celelalte se pot scrie. Recunoști asta când poți spune „dacă aș ști numărul acesta, aș afla tot". Atunci notezi acel număr cu $x$ , scrii celelalte mărimi cu ajutorul lui (dublul e $2 x$ , „cu 5 mai mult" e $x + 5$ , numărul următor e $x + 1$ ), și formezi o singură ecuație de forma $a x + b = c$ , pe care o rezolvi în doi pași: muți $b$ în dreapta, apoi împarți la $a$ .

Exemplu: „Mă gândesc la un număr, îl înmulțesc cu 3 și adaug 5. Obțin 26." Scriem $3 x + 5 = 26 \Rightarrow 3 x = 21 \Rightarrow x = 7$ . La final verifici mereu în enunțul original, nu doar în ecuație, și scrii răspunsul în cuvinte.

De reținut

din $a x + b = c$ iese $x = \frac{c - b}{a}$ , cu $a \neq = 0$
numere consecutive: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ ; pare: $x$ , $x + 2$ , $x + 4$
verificarea se face în enunțul original

Greșeala tipică

Se împarte la coeficient înainte de a muta termenul liber, așa că din $3 x + 5 = 26$ iese $x + 5 = 26 : 3$ . Întâi se izolează termenul cu necunoscuta, apoi se împarte.

Exerciții din această mini-lecție

Suma a două numere este 72. Unul dintre ele este de 8 ori mai mare decât celălalt. Care este numărul mai mic?
- a) 6
- b) 7
- c) 8
- d) 9
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 8

Notăm cu $x$ numărul mic; cel mare este $8 x$ . Ecuația: $x + 8 x = 72 \Rightarrow 9 x = 72 \Rightarrow x = 8$ . Verificare: $8 + 64 = 72$ .
Suma a două numere este 90. Unul dintre ele este de 5 ori mai mare decât celălalt. Care este numărul mai mare?
- a) 15
- b) 45
- c) 75
- d) 85
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 75

Notăm cu $x$ numărul mic; cel mare este $5 x$ . Ecuația: $x + 5 x = 90 \Rightarrow 6 x = 90 \Rightarrow x = 15$ . Numărul mare este $5 \cdot 15 = 75$ . (15 este numărul mic, iar 45 ar fi jumătate din 90 — ambele răspund la altă întrebare.)
Suma a trei numere pare consecutive este 78. Care este cel mai mare dintre ele?
- a) 18
- b) 38
- c) 28
- d) 24
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 28

Notăm numerele $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ (pare consecutive): $3 x + 6 = 78 \Rightarrow 3 x = 72 \Rightarrow x = 24$ . Cel mai mare este $x + 4 = 28$ .

Întrebări conexe

Cât face suma a trei numere consecutive care dă 51?

Notezi numărul din mijloc cu $x$ , iar vecinii lui sunt $x - 1$ și $x + 1$ . Suma devine $3 x = 51$ , deci $x = 17$ , iar numerele sunt $16$ , $17$ și $18$ . Alegerea numărului din mijloc face să dispară termenii liberi și scurtează calculul.

Ce fac dacă ecuației îi iese soluția zero?

Zero este o soluție ca oricare alta, dacă are sens în context. La un număr căutat, răspunsul poate fi chiar zero. La un preț sau la un număr de obiecte cumpărate însă, valoarea zero arată de obicei că enunțul a fost tradus greșit.

Cum rezolv o ecuație cu paranteze și fracții?

Desfaci întâi parantezele, apoi înmulțești toată ecuația cu numitorul comun ca să scapi de fracții. Din $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ înmulțești cu $6$ și obții $3 x + 2 x = 60$ , deci $x = 12$ . Abia după curățare aduni termenii asemenea.

Cum împart o sumă de bani în părți inegale date?

Iei partea cea mai mică drept $x$ și scrii celelalte prin ea, după relațiile din enunț. Pentru $600$ de lei împărțiți astfel încât al doilea să primească dublul primului, ai $x + 2 x = 600$ , deci $x = 200$ și $400$ de lei. Suma părților trebuie să dea întregul.

Ce fac dacă din ecuație dispare necunoscuta?

Atunci egalitatea rămasă îți spune totul. Dacă obții ceva adevărat, precum $5 = 5$ , orice număr verifică ecuația. Dacă obții ceva fals, precum $3 = 7$ , ecuația nu are nicio soluție. La probleme, al doilea caz arată de obicei că datele se bat cap în cap.

Ce fac dacă soluția ecuației nu este un număr întreg?

Depinde ce reprezintă necunoscuta. La lungimi sau la bani o fracție este un răspuns bun: $x = 7, 5$ metri se acceptă. La numărul de copii sau de caiete, însă, un rezultat fracționar arată că enunțul a fost tradus greșit și ecuația trebuie refăcută.

Oamenii mai întreabă și: probleme rezolvate cu ecuații · ecuații de gradul I probleme · cum rezolv ax + b = c · probleme cu numere consecutive · exerciții cu ecuații de gradul întâi