Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) prin descompunere

Ți s-a întâmplat vreodată să ai două cantități de obiecte și să vrei să le împarți în grupe egale, cât mai mari posibil, fără să-ți rămână nimic pe dinafară? Sau să vrei să simplifici o fracție „urâtă" dintr-o singură mișcare, nu pas cu pas? În spatele acestor situații stă o singură idee puternică: cel mai mare divizor comun, pe scurt c.m.m.d.c. În clasa a V-a l-ai găsit numărând divizorii unul câte unul. Acum, în clasa a VI-a, vei învăța o metodă mult mai rapidă și elegantă — descompunerea în factori primi — care funcționează chiar și pentru numere mari, unde enumerarea ar dura o veșnicie. Hai să descoperim cum!

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale.
• Vei ști să determini c.m.m.d.c. prin descompunere în factori primi, alegând factorii primi comuni la puterea cea mai mică.
• Vei ști să compari noua metodă cu metoda prin enumerare din clasa a V-a și să înțelegi de ce descompunerea este mai puternică.
• Vei ști să folosești c.m.m.d.c. în aplicații practice: simplificarea fracțiilor și împărțirea obiectelor în grupe egale.
• Vei ști să recunoști când două numere au c.m.m.d.c. egal cu 1 și ce înseamnă asta.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „divizor comun"?

Să pornim de la lucruri pe care le știi deja. Un divizor al unui număr este un număr natural care îl împarte exact, fără rest. De exemplu, divizorii lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6 și 12. Divizorii lui 18 sunt: 1, 2, 3, 6, 9 și 18.

Acum hai să ne uităm la cele două liste una lângă alta:

• Divizorii lui 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Divizorii lui 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Observi că unele numere apar în ambele liste? Acestea sunt divizorii comuni: 1, 2, 3 și 6. Sunt numerele care împart exact și pe 12, și pe 18, în același timp.

Dintre toți acești divizori comuni, care este cel mai mare? Evident, 6. Și exact acest număr îl numim cel mai mare divizor comun al lui 12 și 18. Scriem:

c.m.m.d.c.(12, 18) = 6

Definiția pe care trebuie să o știi

Definiție. Cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale (nu toate nule) este cel mai mare număr natural care le împarte pe toate, fără rest.

Notația oficială este c.m.m.d.c.(a, b) sau, prescurtat, (a, b) cu paranteze rotunde. De exemplu, (12, 18) = 6. În manuale vei întâlni ambele scrieri; noi vom folosi mai ales forma desfășurată c.m.m.d.c., ca să fie limpede.

Problema metodei prin enumerare

În clasa a V-a determinai c.m.m.d.c. exact așa cum am făcut mai sus: scriai toți divizorii fiecărui număr, îi comparai și alegeai pe cel mai mare divizor comun. Metoda funcționează perfect... dar numai pentru numere mici.

Imaginează-ți însă că trebuie să găsești c.m.m.d.c.(360, 840). Câți divizori are 360? Are 24 de divizori! Iar 840 are 32! Să scrii toate aceste liste, să le compari și să nu greșești nimic ar dura mult și ar fi ușor de încurcat. Trebuie o metodă mai inteligentă.

Ideea genială: descompunerea în factori primi

În lecția anterioară ai învățat să descompui un număr în produs de factori primi (numere prime). Această descompunere este ca o „carte de identitate" a numărului: îți arată exact din ce „cărămizi prime" este construit.

De exemplu:

• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²

Acum gândește așa: un număr îl împarte pe 12 doar dacă este construit din cărămizile lui 12. La fel pentru 18. Deci un divizor comun trebuie să fie construit doar din cărămizi pe care le au amândouă numerele. Iar cel mai mare astfel de număr folosește toate cărămizile comune posibile.

Hai să le punem una sub alta și să le aliniem pe factori primi:

Pentru fiecare factor prim comun, ne întrebăm: care este puterea cea mai mică?

• La factorul 2: avem 2² (în 12) și 2¹ (în 18). Cea mai mică putere este 2¹.
• La factorul 3: avem 3¹ (în 12) și 3² (în 18). Cea mai mică putere este 3¹.

Înmulțim aceste alegeri:

c.m.m.d.c.(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6

Exact același rezultat ca prin enumerare! Dar mult mai rapid și sigur.

Regula de aur, în trei pași

Algoritmul c.m.m.d.c. prin descompunere: Pasul 1. Descompune fiecare număr în produs de factori primi (cu puteri). Pasul 2. Alege doar factorii primi comuni (cei care apar la toate numerele). Pasul 3. Ia fiecare factor comun la puterea cea mai mică și înmulțește-i. Produsul este c.m.m.d.c.

Reține mantra: factori primi COMUNI, la puterea cea mai MICĂ. Repetă-o de câteva ori — este cheia întregii lecții. (Atenție: la lecția următoare, despre c.m.m.m.c., regula va fi aproape opusă, deci e bine să o fixezi bine acum.)

De ce „puterea cea mai mică"? O explicație care prinde

Mulți elevi se întreabă: de ce minimă și nu maximă? Hai să înțelegem cu adevărat.

Gândește-te la factorul 2. În 12 = 2² × 3 avem două „bucăți" de 2 disponibile. În 18 = 2 × 3² avem doar o bucată de 2. Dacă vrem un număr care să-i împartă pe amândoi, el poate folosi cel mult atâtea bucăți de 2 câte are numărul mai sărac în 2. Adică doar una. Dacă ar cere două bucăți de 2, n-ar putea împărți pe 18, fiindcă 18 are doar una!

Deci la divizorul comun trebuie să ne adaptăm la numărul care are mai puțin din fiecare factor. De aceea luăm puterea cea mai mică. E ca atunci când împarți o gustare între prieteni: poți da fiecăruia doar atât cât permite cantitatea cea mai mică pe care o ai.

Ce facem cu factorii care NU sunt comuni?

Foarte simplu: îi ignorăm complet la c.m.m.d.c. Dacă un factor prim apare doar la un număr, nu și la celălalt, atunci el nu poate face parte dintr-un divizor comun (fiindcă celălalt număr nici nu conține acel factor).

De exemplu, la c.m.m.d.c.(12, 35):

• 12 = 2² × 3
• 35 = 5 × 7

Nu există niciun factor prim comun! Singurul număr care îi împarte pe amândoi este 1. Deci c.m.m.d.c.(12, 35) = 1. Despre asemenea numere spunem că sunt prime între ele (vei studia asta în detaliu peste câteva lecții — vezi lecția Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.).

Mai mult de două numere? Aceeași regulă!

Frumusețea metodei este că merge la fel și pentru trei, patru sau mai multe numere. Un factor este „comun" doar dacă apare la toate numerele, și îl iei tot la puterea cea mai mică dintre toate.

Să găsim c.m.m.d.c.(24, 36, 60):

• 24 = 2³ × 3
• 36 = 2² × 3²
• 60 = 2² × 3 × 5

Factori comuni la toate trei: 2 și 3 (factorul 5 apare doar la 60, deci iese din joc).

• La 2: puterile sunt 2³, 2², 2² → cea mai mică este 2².
• La 3: puterile sunt 3¹, 3², 3¹ → cea mai mică este 3¹.

c.m.m.d.c.(24, 36, 60) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

O comparație clară a celor două metode

Ambele dau același răspuns — doar drumul e diferit. Pentru numere mici poți folosi oricare; pentru numere mari, descompunerea câștigă detașat.

O aplicație care îți va plăcea: împărțirea în grupe egale

Iată un tip de problemă în care c.m.m.d.c. este eroul. Ai 24 de creioane albastre și 36 de creioane roșii. Vrei să faci pachete identice, fiecare pachet să aibă același număr de creioane albastre și același număr de roșii, fără să-ți rămână vreun creion. Care este numărul cel mai mare de pachete pe care îl poți face?

Numărul de pachete trebuie să împartă exact și pe 24, și pe 36 → trebuie să fie divizor comun. Iar „cel mai mare număr de pachete" înseamnă cel mai mare divizor comun. Cum ai văzut, c.m.m.d.c.(24, 36) = 12. Deci poți face 12 pachete, fiecare cu 24 : 12 = 2 creioane albastre și 36 : 12 = 3 creioane roșii.

A doua aplicație: simplificarea fracțiilor dintr-o singură mișcare

Când simplifici o fracție, împarți numărătorul și numitorul la același număr. Dacă împarți la c.m.m.d.c. al lor, obții direct fracția ireductibilă (cea mai simplă posibilă), fără să mai repeți simplificarea de mai multe ori.

De exemplu, fracția 24/36. Știm c.m.m.d.c.(24, 36) = 12. Împărțim sus și jos la 12:

24/36 = (24 : 12)/(36 : 12) = 2/3

Gata — fracția 2/3 nu se mai poate simplifica, pentru că 2 și 3 sunt prime între ele. Vei aprofunda această idee în lecția Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — clasic, două numere

Determină c.m.m.d.c.(48, 60).

Pasul 1 — descompunem:

• 48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3
• 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Pasul 2 — factori comuni: 2 și 3 (factorul 5 apare doar la 60 → îl ignorăm).

Pasul 3 — puterea cea mai mică:

• La 2: 2⁴ și 2² → alegem 2².
• La 3: 3¹ și 3¹ → alegem 3¹.

c.m.m.d.c.(48, 60) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

Verificare: 48 : 12 = 4 (exact) și 60 : 12 = 5 (exact). Corect!

Exemplul 2 — numere mari, unde enumerarea ar fi un coșmar

Determină c.m.m.d.c.(360, 840).

Descompunem:

• 360 = 2³ × 3² × 5
• 840 = 2³ × 3 × 5 × 7

Factori comuni: 2, 3 și 5 (factorul 7 apare doar la 840).

• La 2: 2³ și 2³ → 2³.
• La 3: 3² și 3¹ → cea mai mică este 3¹.
• La 5: 5¹ și 5¹ → 5¹.

c.m.m.d.c.(360, 840) = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120.

Verificare: 360 : 120 = 3 și 840 : 120 = 7. Amândouă exacte. Observă cât de scurtă a fost rezolvarea față de a scrie zeci de divizori!

Exemplul 3 — trei numere

Determină c.m.m.d.c.(90, 126, 198).

Descompunem:

• 90 = 2 × 3² × 5
• 126 = 2 × 3² × 7
• 198 = 2 × 3² × 11

Factori comuni la toate trei: 2 și 3 (5 apare doar la 90, 7 doar la 126, 11 doar la 198).

• La 2: 2¹, 2¹, 2¹ → 2¹.
• La 3: 3², 3², 3² → cea mai mică este 3².

c.m.m.d.c.(90, 126, 198) = 2 × 3² = 2 × 9 = 18.

Verificare: 90 : 18 = 5, 126 : 18 = 7, 198 : 18 = 11. Toate exacte!

Exemplul 4 — numere prime între ele

Determină c.m.m.d.c.(35, 24).

Descompunem:

• 35 = 5 × 7
• 24 = 2³ × 3

Factori comuni: niciunul! Nu există vreun factor prim care să apară la amândouă.

c.m.m.d.c.(35, 24) = 1.

Spunem că 35 și 24 sunt prime între ele: singurul lor divizor comun este 1. Atenție — asta NU înseamnă că numerele în sine sunt prime (24 nu e număr prim!), ci doar că nu au factori primi în comun.

Exemplul 5 — aplicație cu împărțirea în grupe

Un florar are 56 de trandafiri și 70 de lalele. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fiecare buchet cu același număr de trandafiri și același număr de lalele. Care este numărul maxim de buchete? Câte flori de fiecare fel are un buchet?

Numărul de buchete trebuie să împartă exact și pe 56, și pe 70 → este un divizor comun. „Numărul maxim" → căutăm c.m.m.d.c.(56, 70).

• 56 = 2³ × 7
• 70 = 2 × 5 × 7

Factori comuni: 2 și 7.

• La 2: 2³ și 2¹ → 2¹.
• La 7: 7¹ și 7¹ → 7¹.

c.m.m.d.c.(56, 70) = 2 × 7 = 14.

Deci se pot face 14 buchete. Fiecare buchet are 56 : 14 = 4 trandafiri și 70 : 14 = 5 lalele.

Exemplul 6 — simplificarea unei fracții cu c.m.m.d.c.

Adu fracția 84/120 la forma ireductibilă, folosind c.m.m.d.c.

Descompunem:

• 84 = 2² × 3 × 7
• 120 = 2³ × 3 × 5

Factori comuni: 2 și 3.

• La 2: 2² și 2³ → 2².
• La 3: 3¹ și 3¹ → 3¹.

c.m.m.d.c.(84, 120) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

Împărțim sus și jos la 12:

84/120 = (84 : 12)/(120 : 12) = 7/10.

Cum 7 și 10 sunt prime între ele (7 = 7, 10 = 2 × 5, fără factori comuni), fracția 7/10 este ireductibilă. Gata dintr-o singură împărțire!

Să exersăm

Pentru fiecare exercițiu, lucrează pe caiet și descompune mai întâi numerele în factori primi.

1. Scrie toți divizorii numerelor 16 și 24, apoi încercuiește divizorii comuni și subliniază cel mai mare dintre ei.

2. Determină prin descompunere: c.m.m.d.c.(20, 30).

3. Determină prin descompunere: c.m.m.d.c.(45, 75).

4. Determină prin descompunere: c.m.m.d.c.(72, 96).

5. Determină c.m.m.d.c.(108, 144).

6. Determină c.m.m.d.c. pentru trei numere: c.m.m.d.c.(40, 60, 100).

7. Adevărat sau fals? c.m.m.d.c.(13, 26) = 13. Justifică.

8. Adevărat sau fals? Dacă două numere sunt prime între ele, c.m.m.d.c. al lor este 0.

9. Completează: c.m.m.d.c.(2³ × 3² × 5, 2² × 3 × 7) = 2… × 3… = ….

10. Două numere sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c. al lor este ….

11. Potrivește fiecare pereche cu c.m.m.d.c.-ul ei: a) (18, 24) b) (25, 40) c) (21, 49) d) (14, 21) Valori: 5, 6, 7, 7.

12. Simplifică fracția 90/120 folosind c.m.m.d.c. și scrie forma ireductibilă.

13. Un cofetar are 48 de bomboane de ciocolată și 64 de jeleuri. Vrea cutii identice, cu toate dulciurile folosite. Care este numărul maxim de cutii și ce conține fiecare?

14. Determină c.m.m.d.c.(11, 28). Sunt cele două numere prime între ele?

15. O bucată de pânză de 120 cm și una de 156 cm trebuie tăiate în fâșii egale, cât mai lungi, fără rest. Ce lungime are fiecare fâșie și câte fâșii ies în total din ambele bucăți?

16. Găsește un număr natural mai mare ca 1 care să fie divizor comun al numerelor 50 și 75, fără a fi cel mai mare divizor comun al lor.

17. Adevărat sau fals? c.m.m.d.c.(a, b) este întotdeauna mai mic sau egal cu cel mai mic dintre numerele a și b. Explică pe un exemplu.

18. Determină c.m.m.d.c.(126, 210, 294) prin descompunere în factori primi.

Răspunsuri și explicații

1. Divizorii lui 16: 1, 2, 4, 8, 16. Divizorii lui 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divizori comuni: 1, 2, 4, 8. Cel mai mare este 8, deci c.m.m.d.c.(16, 24) = 8.

2. 20 = 2² × 5; 30 = 2 × 3 × 5. Comuni: 2 (minim 2¹) și 5 (minim 5¹). c.m.m.d.c. = 2 × 5 = 10.

3. 45 = 3² × 5; 75 = 3 × 5². Comuni: 3 (minim 3¹) și 5 (minim 5¹). c.m.m.d.c. = 3 × 5 = 15.

4. 72 = 2³ × 3²; 96 = 2⁵ × 3. Comuni: 2 (minim 2³) și 3 (minim 3¹). c.m.m.d.c. = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.

5. 108 = 2² × 3³; 144 = 2⁴ × 3². Comuni: 2 (minim 2²) și 3 (minim 3²). c.m.m.d.c. = 4 × 9 = 36.

6. 40 = 2³ × 5; 60 = 2² × 3 × 5; 100 = 2² × 5². Comuni la toate trei: 2 (minim 2²) și 5 (minim 5¹). c.m.m.d.c. = 4 × 5 = 20. (Factorul 3 apare doar la 60, deci iese.)

7. Adevărat. 26 = 2 × 13, iar 13 este prim, deci 13 împarte și pe 13, și pe 26. Cum 13 este chiar unul dintre numere, el este cel mai mare divizor comun posibil. c.m.m.d.c.(13, 26) = 13.

8. Fals. Dacă sunt prime între ele, c.m.m.d.c. este 1, nu 0. Numărul 1 împarte orice număr natural, deci este mereu divizor comun; 0 nu este niciodată c.m.m.d.c. al unor numere nenule.

9. Comuni: 2 și 3. La 2: minim între 2³ și 2² este 2². La 3: minim între 3² și 3¹ este 3¹. Rezultat: 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12.

10. … egal cu 1.

11. a) 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3 → c.m.m.d.c. = 2 × 3 = 6. b) 25 = 5², 40 = 2³ × 5 → 5. c) 21 = 3 × 7, 49 = 7² → 7. d) 14 = 2 × 7, 21 = 3 × 7 → 7. Deci: a→6, b→5, c→7, d→7.

12. 90 = 2 × 3² × 5; 120 = 2³ × 3 × 5. c.m.m.d.c. = 2 × 3 × 5 = 30. 90/120 = (90 : 30)/(120 : 30) = 3/4. (3 și 4 sunt prime între ele → ireductibilă.)

13. 48 = 2⁴ × 3; 64 = 2⁶. Comun: doar 2, minim 2⁴ = 16. Deci 16 cutii, fiecare cu 48 : 16 = 3 bomboane și 64 : 16 = 4 jeleuri.

14. 11 este prim; 28 = 2² × 7. Niciun factor comun → c.m.m.d.c.(11, 28) = 1. Da, sunt prime între ele.

15. 120 = 2³ × 3 × 5; 156 = 2² × 3 × 13. Comuni: 2 (minim 2²) și 3 (minim 3¹). c.m.m.d.c. = 4 × 3 = 12 cm lungimea fiecărei fâșii. Număr de fâșii: 120 : 12 = 10 și 156 : 12 = 13, deci în total 10 + 13 = 23 de fâșii.

16. 50 = 2 × 5², 75 = 3 × 5². Divizorii comuni sunt 1, 5 și 25; c.m.m.d.c. = 25. Un divizor comun mai mare ca 1, dar diferit de c.m.m.d.c., este 5.

17. Adevărat. c.m.m.d.c.(a, b) împarte ambele numere, deci nu poate fi mai mare decât cel mai mic dintre ele. Exemplu: c.m.m.d.c.(8, 20) = 4, iar 4 ≤ 8. Caz special: dacă unul divide pe celălalt, c.m.m.d.c. este chiar cel mic, ca la (6, 18) → 6.

18. 126 = 2 × 3² × 7; 210 = 2 × 3 × 5 × 7; 294 = 2 × 3 × 7². Comuni la toate: 2 (minim 2¹), 3 (minim 3¹), 7 (minim 7¹). c.m.m.d.c. = 2 × 3 × 7 = 42. (5 apare doar la 210, deci iese.) Verificare: 126 : 42 = 3, 210 : 42 = 5, 294 : 42 = 7.

De reținut

• c.m.m.d.c. = cel mai mare număr natural care împarte exact toate numerele date.
• Algoritmul prin descompunere: factori primi COMUNI, fiecare la puterea cea mai MICĂ, apoi îi înmulțești.
• Factorii primi care NU apar la toate numerele nu intră în c.m.m.d.c.
• Dacă numerele nu au niciun factor prim comun, c.m.m.d.c. = 1 și se numesc prime între ele.
• Aplicații cheie: împărțirea în grupe egale (cât mai mari) și simplificarea fracțiilor până la forma ireductibilă.

Greșeli frecvente

• Confuzia putere minimă / putere maximă. La c.m.m.d.c. iei puterea cea mai mică. (La c.m.m.m.c., lecția următoare, vei lua puterea cea mai mare — nu le amesteca!) Mantra: c.m.m.d.c. = divizor = număr mai mic = putere mai mică.
• Includerea factorilor necomuni. Dacă un factor prim apare doar la un singur număr, NU îl pui în c.m.m.d.c. Mulți elevi îl „strecoară" din greșeală și obțin un rezultat prea mare.
• A scrie 0 în loc de 1 când nu există factori comuni. c.m.m.d.c. nu este niciodată 0 pentru numere nenule; minimul posibil este 1, fiindcă 1 împarte orice număr.
• A uita puterile la descompunere. Dacă scrii 360 = 2 × 3 × 5 fără exponenți, pierzi factori și greșești. Numără cu grijă de câte ori apare fiecare factor prim: 360 = 2³ × 3² × 5.

Joc acasă

1. Cutiile perfecte. Ia două grămezi de obiecte mărunte din casă: de exemplu 30 de nasturi și 42 de boabe de fasole. Provocarea: împarte-le în cât mai multe cutii identice, fiecare cu același număr de nasturi și de fasole, fără să rămână nimic. Calculează întâi c.m.m.d.c.(30, 42) pe hârtie, apoi verifică „pe viu" punând obiectele în cutii. (Răspuns: c.m.m.d.c. = 6 → 6 cutii, fiecare cu 5 nasturi și 7 boabe.)

2. Duelul metodelor. Joacă cu un coleg sau cu un părinte. Cineva alege două numere între 20 și 100. Unul rezolvă prin enumerarea divizorilor, celălalt prin descompunere. Cronometrați! Pentru numere mari vei vedea limpede de ce descompunerea câștigă. Schimbați rolurile la fiecare rundă.

3. Vânătoarea de fracții ireductibile. Scrie pe bilețele 5 fracții „urâte" (de exemplu 36/48, 50/75, 84/126). Amestecă-le într-un bol. Trage câte una, calculează c.m.m.d.c. al numărătorului și numitorului și simplifică pe loc la forma ireductibilă. Câte poți simplifica corect în 5 minute?

Pentru părinți și învățători

Această lecție face trecerea de la metoda intuitivă din clasa a V-a (enumerarea divizorilor) la un algoritm structurat bazat pe descompunerea în factori primi. Cheia înțelegerii nu este memorarea, ci de ce se ia puterea minimă.

Cum sprijiniți elevul:

• Înainte de algoritm, asigurați-vă că descompunerea în factori primi (lecția 14) este solidă. Dacă elevul greșește exponenții, totul se prăbușește. Cereți-i să descompună câteva numere „de încălzire" (de ex. 24, 36, 60).
• Folosiți analogia „cărămizilor": un divizor comun se construiește doar din cărămizi pe care le au amândouă numerele, și nu poate folosi mai multe decât are numărul mai sărac în acea cărămidă.
• Insistați pe verificare: după ce află c.m.m.d.c., elevul împarte fiecare număr la rezultat și confirmă că nu rămâne rest.

Întrebări bune de pus:

• „De ce luăm puterea cea mai mică, nu cea mai mare?" (răspunsul corect arată înțelegere reală)
• „Ce se întâmplă dacă cele două numere nu au niciun factor comun?"
• „Cum ai folosi asta ca să simplifici o fracție într-un singur pas?"

Semnale că a înțeles: poate rezolva un exemplu cu trei numere fără ajutor, recunoaște imediat când două numere sunt prime între ele și nu confundă regula cu cea de la c.m.m.m.c. (care urmează). Un mini-test bun: dați-i o problemă aplicată („împărțire în grupe egale") fără să spuneți cuvântul c.m.m.d.c. și vedeți dacă recunoaște singur că trebuie folosit.

Întrebări frecvente

Ce este c.m.m.d.c. în clasa a 6-a? c.m.m.d.c. înseamnă „cel mai mare divizor comun" și este cel mai mare număr natural care împarte exact toate numerele date, fără rest. În clasa a VI-a îl determini cel mai des prin descompunere în factori primi.

Cum calculez c.m.m.d.c. prin descompunere în factori primi? Descompui fiecare număr în factori primi, alegi factorii primi comuni tuturor numerelor și iei fiecare la puterea cea mai mică, apoi îi înmulțești. De exemplu, c.m.m.d.c.(12, 18) = 2 × 3 = 6.

De ce se ia puterea cea mai mică la c.m.m.d.c.? Pentru că un divizor comun nu poate folosi mai multe „bucăți" dintr-un factor prim decât are numărul care conține cel mai puțin din acel factor. Astfel, divizorul rămâne valabil pentru toate numerele simultan.

Care e diferența dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.? La c.m.m.d.c. iei doar factorii primi comuni, la puterea cea mai mică, și obții un divizor. La c.m.m.m.c. iei toți factorii primi care apar (comuni și necomuni), la puterea cea mai mare, și obții un multiplu. Vezi lecția despre c.m.m.m.c. pentru detalii.

Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele? Înseamnă că nu au niciun factor prim comun, deci c.m.m.d.c. al lor este 1. De exemplu, 8 și 15 sunt prime între ele, chiar dacă niciunul nu este număr prim.

Poate fi c.m.m.d.c. egal cu unul dintre numere? Da. Dacă un număr îl împarte exact pe celălalt, atunci c.m.m.d.c. este chiar numărul mai mic. De exemplu, c.m.m.d.c.(6, 18) = 6, fiindcă 6 împarte exact pe 18.

La ce folosește c.m.m.d.c. în viața reală? Îl folosești când vrei să împarți două cantități în cele mai mari grupe egale posibile (pachete, buchete, cutii) fără să rămână rest, sau când vrei să simplifici o fracție direct la forma ireductibilă, împărțind numărătorul și numitorul la c.m.m.d.c.

Pot determina c.m.m.d.c. și prin enumerarea divizorilor? Da, ca în clasa a V-a: scrii toți divizorii, alegi cel mai mare divizor comun. Metoda dă același rezultat, dar devine lentă și predispusă la greșeli pentru numere mari, unde descompunerea în factori primi este mult mai eficientă.