Recapitulare integrată: numere întregi și raționale

Ai parcurs deja, lecție cu lecție, toată povestea numerelor întregi din mulțimea ℤ și a numerelor raționale din mulțimea ℚ. Acum a venit momentul să le aducem pe toate la aceeași masă și să le folosim împreună, exact așa cum ți se va cere la Evaluarea Națională de la clasa a VI-a. În această lecție nu învățăm reguli noi, ci ne antrenăm: vom rezolva exerciții tip examen cu calcule, ordinea operațiilor și ecuații, vom lucra probleme practice cu temperaturi, datorii, fracții și procente, și vom demasca cele mai frecvente greșeli la regula semnelor. Respiră adânc — la final vei privi o foaie de examen cu calm, nu cu emoție.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi exerciții tip examen cu numere întregi și cu numere raționale, alegând metoda cea mai rapidă.
• Vei ști să aplici corect regula semnelor la adunare, scădere, înmulțire și împărțire, fără să te încurci.
• Vei ști să respecți ordinea operațiilor (paranteze → puteri → înmulțiri și împărțiri → adunări și scăderi) în calcule combinate.
• Vei ști să rezolvi ecuații simple în ℤ și în ℚ și să-ți verifici soluția.
• Vei ști să traduci o problemă practică (temperaturi, datorii, procente dintr-o cantitate) în calcul și să eviți greșelile tipice.

Hai să descoperim împreună

Gândește-te la recapitulare ca la antrenamentul dinaintea unui meci important. Nu mai înveți cum se lovește mingea — știi deja. Te antrenezi să faci mișcările corect, repede și fără ezitare, sub presiunea timpului. La fel facem aici cu numerele.

1. Harta numerelor: de la ℤ la ℚ

Mai întâi, să vedem unde ne aflăm. Numerele întregi formează mulțimea $$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$$ adică numerele naturale, opusele lor și zero. Numerele raționale formează mulțimea ℚ și sunt toate numerele care se pot scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere întregi și $b\ne 0$. Aici intră fracțiile, numerele zecimale finite și cele periodice, dar și toate numerele întregi (de exemplu $-5=\frac{-5}{1}$).

Reține ideea cheie pentru examen: orice număr întreg este și rațional. Deci toate regulile de semn pe care le-ai învățat la ℤ funcționează identic la ℚ. Nu sunt două seturi de reguli, ci unul singur, aplicat o dată la numere „rotunde" și o dată la fracții și zecimale.

2. Recapitularea operațiilor — cele patru reguli de aur

Hai să strângem într-un singur loc tot ce trebuie să ai în cap automat.

Adunarea. Aici gândește în doi pași:

• Dacă numerele au același semn, aduni modulele (valorile fără semn) și păstrezi semnul comun. Exemplu: $(-7)+(-4)=-11$; $5+3=8$.
• Dacă numerele au semne diferite, scazi modulul mai mic din cel mai mare și pui semnul numărului cu modulul mai mare. Exemplu: $(-9)+4=-5$ (pentru că $9>4$, iar $9$ avea minus); $(-3)+8=5$.

O analogie care nu dă greș: gândește la bani. Pozitiv = ai, negativ = datorezi. $(-9)+4$ înseamnă „datorez 9, primesc 4" → rămân dator 5, adică $-5$.

Scăderea. Secretul e că scăderea se transformă mereu în adunare cu opusul: $$a-b=a+(-b).$$ Deci „a scădea" = „a aduna opusul". Exemplu: $3-10=3+(-10)=-7$. Și grijă la minus dublu: $5-(-2)=5+2=7$. Două minusuri lipite dau plus.

Înmulțirea și împărțirea. Aici domnește regula semnelor, scurtă și fără excepții: $$(+)\cdot (+)=+,(-)\cdot (-)=+,(+)\cdot (-)=-,(-)\cdot (+)=-.$$ Pe scurt: semne la fel → plus; semne diferite → minus. Identic la împărțire. Exemple: $(-6)\cdot (-3)=18$; $(-20):4=-5$; $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{9}{4}=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}$.

Un truc rapid pentru un produs lung: numără minusurile. Dacă sunt în număr par, rezultatul e pozitiv; dacă sunt în număr impar, e negativ. De exemplu $(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)=-6$ (trei minusuri, număr impar → minus).

3. Calcule cu numere raționale — metode eficiente

La ℚ, regulile de semn sunt aceleași, dar apare un pas în plus: lucrul cu fracțiile.

La adunare și scădere ai nevoie de același numitor. Aduci fracțiile la numitor comun (de obicei c.m.m.m.c. al numitorilor), apoi aduni sau scazi numărătorii. Exemplu: $$-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}.$$ Numitor comun: $12$. Atunci $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$ și $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$, deci $-\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=-\frac{7}{12}$.

La înmulțire e mai simplu: înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor (după ce ai stabilit semnul). Bun obicei: simplifică înainte de a înmulți, ca să nu lucrezi cu numere mari. Exemplu: $$\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{15}=\frac{5\cdot 4}{8\cdot 15}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}.$$ Mai elegant: simplifică $5$ cu $15$ și $4$ cu $8$ înainte: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

La împărțire, înmulțești cu inversul (răsturnatul) celei de-a doua fracții: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}.$$ Exemplu: $\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$.

Metoda eficientă pentru examen: dacă într-un calcul ai și zecimale, și fracții, alege o singură formă. De multe ori e mai rapid să transformi zecimalele în fracții (de exemplu $0,5=\frac{1}{2}$, $0,25=\frac{1}{4}$, $0,2=\frac{1}{5}$) și să lucrezi tot cu fracții.

4. Puterile — atenție mare la semn

O putere e o înmulțire repetată: $a^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$. Regula de semn la puteri:

• bază pozitivă → rezultat mereu pozitiv;
• bază negativă cu exponent par → rezultat pozitiv;
• bază negativă cu exponent impar → rezultat negativ.

Exemple: $(-2{)}^4=16$ (par → plus), $(-2{)}^3=-8$ (impar → minus).

Capcana de aur, cea care „mănâncă" puncte la examen: diferența dintre $(-2{)}^2$ și $-2^2$. $$(-2{)}^2=(-2)\cdot (-2)=4,-2^2=-(2\cdot 2)=-4.$$ Când minusul e în paranteză cu baza, intră în putere. Când minusul e în fața puterii, se aplică după. Citește mereu cu atenție unde sunt parantezele.

5. Ordinea operațiilor — coloana vertebrală a oricărui calcul combinat

Aceasta este regula care decide totul în calculele lungi. Ordinea, în patru trepte:

1. Parantezele, din interior spre exterior: mai întâi ( ), apoi [ ], apoi { }.
2. Puterile (ridicările la putere).
3. Înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
4. Adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta.

Atenție la un detaliu fin: înmulțirea și împărțirea sunt pe aceeași treaptă. Nu faci „toate înmulțirile, apoi toate împărțirile", ci le iei în ordine de la stânga la dreapta. La fel, adunarea și scăderea sunt pe aceeași treaptă. De exemplu $20:5\cdot 2=4\cdot 2=8$ (nu $20:10=2$).

6. Ecuațiile — cumpăna care trebuie să rămână în echilibru

O ecuație e ca o cumpănă (balanță) în echilibru: ce e în stânga semnului $=$ cântărește la fel cât ce e în dreapta. Ca să afli necunoscuta (de obicei $x$), faci aceeași operație în ambele părți, ca balanța să rămână echilibrată.

Strategia de bază:

1. Adu necunoscutele într-o parte și numerele în cealaltă (mută un termen schimbându-i semnul).
2. Fă calculele.
3. Împarte la coeficientul lui $x$.
4. Verifică soluția înlocuind-o în ecuația de la început.

Exemplu rapid: $x+7=3$. Scădem 7 din ambele părți: $x=3-7=-4$. Verificare: $-4+7=3$. ✔

La examen, verificarea e prietena ta: dacă ai timp, înlocuiește soluția. Dacă iese egalitate adevărată, ești sigur pe punctaj.

7. De la cuvinte la calcul — problemele practice

Exercițiile cele mai „de viață" cer să traduci o situație în limbaj matematic. Trei contexte apar des:

• Temperaturi: sub zero = negativ. „A scăzut cu" → scădere; „a crescut cu" → adunare. Variația = temperatura finală minus temperatura inițială.
• Datorii și bani: ai = pozitiv, datorezi = negativ. Soldul final = suma tuturor intrărilor și ieșirilor.
• Procente și fracții dintr-o cantitate: „$p\%$ din $N$" înseamnă $\frac{p}{100}\cdot N$; „$\frac{a}{b}$ din $N$" înseamnă $\frac{a}{b}\cdot N$.

Sfat de aur: scrie întâi ce reprezintă fiecare număr, apoi calculează. Un calcul corect pe o problemă greșit înțeleasă tot 0 puncte aduce.

8. Compararea și ordonarea numerelor — încă o probă de examen

Multe exerciții nu cer un calcul, ci o comparație sau o ordonare. Aici greșelile vin tocmai pentru că instinctul de la numerele naturale ne joacă feste: la negative, „pare mai mare" numărul cu cifre mari, dar de fapt e mai mic.

Regulile sunt simple dacă te gândești la axa numerelor:

• Pe axă, cu cât un număr e mai la dreapta, cu atât e mai mare. Deci $-2<3$, dar și $-5<-1$.
• Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ, iar $0$ stă între ele: $-7<0<1$.
• Între două numere negative, e mai mare cel care are modulul mai mic (e mai aproape de zero). De exemplu $-3>-8$, pentru că $-3$ e mai aproape de $0$.

Modulul (sau valoarea absolută) al unui număr, notat $|a|$, este distanța de la acel număr la zero pe axă. De aceea $|-5|=5$ și $|5|=5$: ambele sunt la 5 unități de zero. Modulul nu este niciodată negativ.

Ca să compari două fracții, ai trei unelte:

1. Același numitor: aduci fracțiile la numitor comun și compari numărătorii. Exemplu: $\frac{3}{5}$ și $\frac{2}{3}$ → numitor $15$: $\frac{9}{15}$ și $\frac{10}{15}$, deci $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$.
2. Transformarea în zecimale: $\frac{3}{5}=0,6$ și $\frac{2}{3}=0,66\dots$, aceeași concluzie.
3. Comparația cu un reper (de obicei cu $\frac{1}{2}$ sau cu $1$): uneori vezi imediat că una e sub jumătate și cealaltă peste.

Atenție specială la fracțiile negative: după ce le aduci la numitor comun, comparația se face exact ca la numerele întregi negative — cu modulul mai mic câștigă. De exemplu $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$ și $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$; cum $-9<-8$, rezultă $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$.

O întrebare care apare des: „cum compar repede $-3$ cu $-8$?". Gândește-te tot la axă — $-3$ e mai aproape de zero, deci e mai mare: $-3>-8$, deși la prima vedere $8$ pare „numărul mai mare". Tocmai aici greșesc mulți elevi, fiindcă transferă instinctul de la numerele naturale. Un alt reper util: când compari, întreabă-te „care e mai aproape de zero?"; cel mai apropiat de zero dintre două negative este mereu cel mai mare. Iar a ordona crescător înseamnă, pe axă, să citești numerele de la stânga la dreapta, exact în ordinea în care le întâlnești pornind din zona negativă spre cea pozitivă.

Acum că am strâns toate uneltele pe masă, hai să le punem la treabă pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul cu numere întregi și ordinea operațiilor

Calculează: $E=-12+3\cdot (-4)-(-6):2$.

Rezolvare, pas cu pas. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirea și împărțirea.

• $3\cdot (-4)=-12$ (semne diferite → minus).
• $(-6):2=-3$ (semne diferite → minus).

Înlocuim: $E=-12+(-12)-(-3)$. Atenție la minusul dublu: $-(-3)=+3$. $$E=-12-12+3=-24+3=-21.$$

Răspuns: $E=-21$.

Exemplul 2 — Capcana puterii cu bază negativă

Calculează: $A=(-3{)}^2-4\cdot (-2{)}^3+(-1{)}^{10}$.

Rezolvare. Mai întâi puterile.

• $(-3{)}^2=9$ (exponent par → plus).
• $(-2{)}^3=-8$ (exponent impar → minus).
• $(-1{)}^{10}=1$ (exponent par → plus).

Înlocuim: $A=9-4\cdot (-8)+1$. Acum înmulțirea: $4\cdot (-8)=-32$, deci în expresie scădem $-32$: $$A=9-(-32)+1=9+32+1=42.$$

Răspuns: $A=42$. Observă cum scăderea unui număr negativ ($-(-32)$) a devenit adunare.

Exemplul 3 — Calcul cu numere raționale și paranteze

Calculează: $B=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right):\frac{5}{6}$.

Rezolvare. Întâi paranteza. Numitor comun pentru $\frac{2}{3}$ și $\frac{1}{4}$ este $12$: $$\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}.$$ Acum împărțirea, prin înmulțire cu inversul: $$B=\frac{5}{12}:\frac{5}{6}=\frac{5}{12}\cdot \frac{6}{5}.$$ Simplificăm: $5$ cu $5$ și $6$ cu $12$: $$B=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $B=\frac{1}{2}$.

Exemplul 4 — Ecuație în ℤ cu verificare

Rezolvă ecuația: $3x-8=-2x+7$.

Rezolvare. Aducem necunoscutele în stânga și numerele în dreapta. Adunăm $2x$ în ambele părți și adunăm $8$ în ambele părți: $$3x+2x=7+8\Rightarrow 5x=15.$$ Împărțim la $5$: $x=3$.

Verificare (obligatorie la examen dacă ai timp): membrul stâng $3\cdot 3-8=9-8=1$; membrul drept $-2\cdot 3+7=-6+7=1$. Cele două laturi sunt egale. ✔

Răspuns: $x=3$.

Exemplul 5 — Ecuație cu numere raționale

Rezolvă: $\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$.

Rezolvare. Scădem $\frac{1}{2}$ din ambele părți. Numitor comun pentru $\frac{5}{6}$ și $\frac{1}{2}$ este $6$, iar $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$: $$\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$ Împărțim la $\frac{2}{3}$, adică înmulțim cu inversul $\frac{3}{2}$: $$x=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Verificare: $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$. ✔

Răspuns: $x=\frac{1}{2}$.

Exemplul 6 — Problemă practică cu temperaturi

Dimineața, la o stație meteo din munți, termometrul arăta $-6°\text{C}$. Până la prânz temperatura a crescut cu $9°\text{C}$, iar seara a scăzut cu $5°\text{C}$ față de prânz. Ce temperatură a fost seara? Cu câte grade diferă temperatura de seară față de cea de dimineață?

Rezolvare. Traducem în calcul, pas cu pas:

• Dimineața: $-6°\text{C}$.
• La prânz: $-6+9=3°\text{C}$ (a crescut → adunare).
• Seara: $3-5=-2°\text{C}$ (a scăzut → scădere).

Diferența seară − dimineață: $-2-(-6)=-2+6=4$. Seara a fost cu $4°\text{C}$ mai cald decât dimineața.

Răspuns: Seara au fost $-2°\text{C}$, cu $4°\text{C}$ peste temperatura de dimineață.

Exemplul 7 — Problemă cu fracții și procent dintr-o cantitate

Un elev are de citit o carte de $240$ de pagini. În prima zi citește $\frac{1}{4}$ din carte, iar în a doua zi citește $30\%$ din întreaga carte. Câte pagini i-au mai rămas de citit?

Rezolvare.

• Prima zi: $\frac{1}{4}\cdot 240=60$ pagini.
• A doua zi: $30\%\cdot 240=\frac{30}{100}\cdot 240=\frac{7200}{100}=72$ pagini.
• Citite în total: $60+72=132$ pagini.
• Rămase: $240-132=108$ pagini.

Răspuns: I-au mai rămas $108$ pagini de citit.

Exemplul 8 — Expresie rațională cu putere, înmulțire și minus dublu

Calculează: $C={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)$.

Rezolvare. Mergem pe ordinea operațiilor: întâi puterea, apoi înmulțirea, apoi adunările și scăderile.

• Puterea: ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ (exponent par → rezultat pozitiv; ridicăm și numărătorul, și numitorul la pătrat).
• Înmulțirea: $\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$ (semne diferite → minus).
• Minusul dublu: $-\left(-\frac{1}{4}\right)=+\frac{1}{4}$.

Înlocuim și aducem la numitor comun $4$: $$C=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1-2+1}{4}=\frac{0}{4}=0.$$

Răspuns: $C=0$. Observă cum gruparea celor două $\frac{1}{4}$ ($\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$) anulează exact $-\frac{1}{2}$.

Exemplul 9 — Ordonarea unor numere raționale negative

Ordonează crescător numerele: $-\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{5}{6}$, $-1$.

Rezolvare. Le aducem pe toate la același numitor, ca să le putem compara după numărător. Numitorul comun al lui $4$, $3$, $6$ și $1$ este $12$: $$-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12},-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12},-\frac{5}{6}=-\frac{10}{12},-1=-\frac{12}{12}.$$ Comparăm numărătorii (toți negativi): $-12<-10<-9<-8$. Cu cât numărătorul negativ e mai mic, cu atât fracția e mai mică. Deci ordinea crescătoare este: $$-1<-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}.$$

Răspuns: $-1,-\frac{5}{6},-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$. Verificare rapidă: cea mai apropiată de zero ($-\frac{2}{3}$) e cea mai mare, exact cum ne așteptam.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Exercițiile sunt aranjate de la ușor la greu — nu sări peste verificare.

Numere întregi — calcule de bază

1. Calculează: $(-8)+(-5)$.
2. Calculează: $(-15)+9$.
3. Calculează: $7-12$.
4. Calculează: $-4-(-10)$.
5. Calculează: $(-6)\cdot (-7)$.
6. Calculează: $(-48):6$.

Ordinea operațiilor și puteri

7. Calculează: $-10+4\cdot (-3)$.
8. Calculează: $(-2{)}^3+(-3{)}^2$.
9. Calculează diferența dintre $(-5{)}^2$ și $-5^2$.
10. Calculează: $18-2\cdot [3-(-4)]+5$.

Adevărat sau fals (justifică pe scurt)

11. $(-3{)}^4=-81$.
12. $a-(-b)=a+b$, pentru orice numere întregi $a$ și $b$.

Numere raționale

13. Calculează: $-\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$.
14. Calculează: $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}$.
15. Calculează: $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{9}{10}$.
16. Calculează: $\frac{4}{9}:\left(-\frac{8}{3}\right)$.

Ecuații

17. Rezolvă: $x-5=-11$.
18. Rezolvă: $4x+3=-9$.
19. Rezolvă: $\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

Probleme practice

20. La miezul nopții temperatura era $-3°\text{C}$. Până la ora 5 dimineața a scăzut cu $4°\text{C}$, apoi până la prânz a crescut cu $11°\text{C}$. Ce temperatură era la prânz?
21. Maria avea în cont $250$ de lei. A cheltuit $\frac{2}{5}$ din sumă pe o carte și apoi a primit $40$ de lei. Ce sumă are acum în cont?
22. Într-o clasă sunt $30$ de elevi. $40\%$ dintre ei merg cu autobuzul, $\frac{1}{3}$ vin pe jos, iar restul vin cu bicicleta. Câți elevi vin cu bicicleta?

Comparare, ordonare și mixt (nivel examen)

23. Calculează: ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$.
24. Calculează separat $-2^4$ și $(-2{)}^4$ și spune cu cât diferă.
25. Pune semnul corect ($<$, $=$ sau $>$) între $-\frac{3}{5}$ și $-\frac{2}{3}$.
26. Ordonează crescător numerele: $-2$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{2}$, $0$.
27. Rezolvă: $\frac{3}{4}x=-\frac{9}{8}$.
28. Un produs costă $80$ de lei. Se scumpește cu $25\%$, apoi noul preț se ieftinește cu $\frac{1}{5}$. Cât costă produsul la final?

Răspunsuri și explicații

1. $(-8)+(-5)=-13$. Același semn → aduni modulele ($8+5=13$) și păstrezi minusul.
2. $(-15)+9=-6$. Semne diferite → scazi ($15-9=6$), semnul lui $15$ (minus).
3. $7-12=7+(-12)=-5$. Scăderea devine adunare cu opusul.
4. $-4-(-10)=-4+10=6$. Minus dublu → plus.
5. $(-6)\cdot (-7)=42$. Semne la fel → plus.
6. $(-48):6=-8$. Semne diferite → minus.
7. $-10+4\cdot (-3)=-10+(-12)=-22$. Întâi înmulțirea, apoi adunarea.
8. $(-2{)}^3+(-3{)}^2=-8+9=1$. Exponent impar → minus; exponent par → plus.
9. $(-5{)}^2=25$ și $-5^2=-25$; diferența $25-(-25)=50$. Atenție unde e paranteza.
10. $18-2\cdot [3-(-4)]+5=18-2\cdot [3+4]+5=18-2\cdot 7+5=18-14+5=9$.
11. Fals. $(-3{)}^4=81$ (exponent par → rezultat pozitiv). $-81$ ar fi $-3^4$.
12. Adevărat. A scădea opusul lui $b$ înseamnă a aduna $b$: $a-(-b)=a+b$. Regula minusului dublu.
13. $-\frac{3}{5}+\frac{1}{2}$: numitor comun $10$. $-\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=-\frac{1}{10}$.
14. $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}=\frac{7}{8}-\frac{6}{8}=\frac{1}{8}$.
15. $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{9}{10}=-\frac{18}{30}=-\frac{3}{5}$ (simplificat cu $6$). Semne diferite → minus.
16. $\frac{4}{9}:\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{4}{9}\cdot \left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{12}{72}=-\frac{1}{6}$. Înmulțești cu inversul; semn minus.
17. $x-5=-11\Rightarrow x=-11+5=-6$. Verificare: $-6-5=-11$. ✔
18. $4x+3=-9\Rightarrow 4x=-12\Rightarrow x=-3$. Verificare: $4\cdot (-3)+3=-12+3=-9$. ✔
19. $\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1$. Verificare: $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. ✔
20. La ora 5: $-3-4=-7°\text{C}$. La prânz: $-7+11=4°\text{C}$. Răspuns: $4°\text{C}$.
21. Cheltuit: $\frac{2}{5}\cdot 250=100$ lei. Rămas: $250-100=150$ lei. Plus $40$: $150+40=190$ lei. Răspuns: $190$ de lei.
22. Cu autobuzul: $40\%\cdot 30=12$ elevi. Pe jos: $\frac{1}{3}\cdot 30=10$ elevi. Cu bicicleta: $30-12-10=8$ elevi. Răspuns: $8$ elevi.
23. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$. Puterea întâi (exponent par → plus), apoi adunarea. Răspuns: $1$.
24. $-2^4=-(2^4)=-16$ (minusul în față, se aplică după), iar $(-2{)}^4=16$ (minusul în paranteză, exponent par → plus). Diferă cu $16-(-16)=32$. Răspuns: $-16$ și $16$, diferență $32$.
25. Numitor comun $15$: $-\frac{3}{5}=-\frac{9}{15}$ și $-\frac{2}{3}=-\frac{10}{15}$. Cum $-9>-10$, rezultă $-\frac{3}{5}>-\frac{2}{3}$. Răspuns: $-\frac{3}{5}>-\frac{2}{3}$.
26. Pozitivele sunt mai mari decât negativele, iar $0$ stă la mijloc. Între negative, $-2<-\frac{3}{2}$ (modulul $2>1,5$). Ordinea crescătoare: $-2<-\frac{3}{2}<0<\frac{1}{2}$. Răspuns: $-2,-\frac{3}{2},0,\frac{1}{2}$.
27. $\frac{3}{4}x=-\frac{9}{8}$. Înmulțim cu inversul lui $\frac{3}{4}$, adică $\frac{4}{3}$: $x=-\frac{9}{8}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{36}{24}=-\frac{3}{2}$. Verificare: $\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{8}$. ✔ Răspuns: $x=-\frac{3}{2}$.
28. Scumpire: $25\%\cdot 80=20$, deci noul preț este $80+20=100$ lei. Ieftinire cu $\frac{1}{5}$ din $100$: $\frac{1}{5}\cdot 100=20$, deci $100-20=80$ lei. Răspuns: $80$ de lei (atenție: procentul și fracția se aplică la baze diferite, așa că prețul nu se întoarce „din întâmplare" la cel inițial — verifică mereu la ce cantitate raportezi).

De reținut

• Regula semnelor e una singură pentru ℤ și ℚ: la înmulțire/împărțire, semne la fel → plus, semne diferite → minus; numărul de minusuri par → plus, impar → minus.
• Scăderea = adunare cu opusul: $a-b=a+(-b)$, iar minusul dublu $-(-b)=+b$.
• Ordinea operațiilor: paranteze → puteri → înmulțiri și împărțiri (stânga→dreapta) → adunări și scăderi (stânga→dreapta).
• La fracții: numitor comun pentru $+$ și $-$; la $:$ înmulțești cu inversul; simplifică înainte de a înmulți.
• La ecuații: izolezi $x$ făcând aceeași operație în ambele părți și verifici soluția înlocuind-o.
• La comparare: pe axă, mai la dreapta = mai mare; orice pozitiv > orice negativ; între două negative e mai mare cel cu modulul mai mic (mai aproape de zero). Fracțiile le compari aducându-le la același numitor.

Greșeli frecvente

• Confuzia $(-a{)}^2$ cu $-a^2$. $(-2{)}^2=4$, dar $-2^2=-4$. Verifică mereu dacă minusul e în paranteză (intră în putere) sau în fața puterii (se aplică după). Vezi și lecția Puterea cu exponent natural a unui număr întreg.
• Uitarea minusului dublu. $5-(-3)$ NU e $2$, ci $5+3=8$. Două minusuri lipite dau plus. Detalii în Scăderea numerelor întregi.
• Încălcarea ordinii operațiilor. A aduna înainte de a înmulți (de exemplu $2+3\cdot 4=20$ în loc de $14$). Înmulțirea și împărțirea se fac mereu înaintea adunării și scăderii. Recapitulează la Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor în ℤ.
• Adunarea fracțiilor fără numitor comun. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$. Întâi aduci la același numitor: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Vezi Adunarea numerelor raționale.

Joc acasă

1. Termometrul din bucătărie. Scrie pe trei bilețele temperaturi negative diferite (de exemplu $-7$, $-2$, $-9$) și trei „variații" (de exemplu „+5", „−3", „+8"). Trage la sorți o temperatură de pornire și două variații, apoi calculează temperatura finală. Verifică-te apoi pe foaie. Joacă 5 runde și ține scor cu cine (tu sau părintele) răspunde corect mai repede.

2. Banca de acasă. Folosește monede sau bilețele „+10 lei" (intrare) și „−10 lei" (datorie/cheltuială). Amestecă 6-8 bilețele, trage-le pe rând și ține socoteala soldului ca un calcul cu numere întregi. La final, compară soldul obținut „din cap" cu cel calculat scris. E exact ce face un casier, doar că tu te antrenezi pentru examen.

3. Cursa parantezelor. Scrie pe o foaie un calcul lung, de exemplu $12-3\cdot [4-(-2)]+(-5)$, și cere părintelui să-l rezolve fără să respecte ordinea operațiilor, „cum îi vine". Apoi rezolvă-l tu corect și arată unde apare diferența. Vei vedea negru pe alb de ce ordinea operațiilor nu e opțională.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o recapitulare integrată înainte de Evaluarea Națională: scopul nu este să predați conținut nou, ci să consolidați automatismele și să eliminați greșelile recurente. Iată câteva sugestii concrete:

• Cereți „gândirea cu voce tare". La fiecare exercițiu, rugați elevul să spună înainte de a scrie: „ce semn va avea rezultatul?" și „ce operație fac prima?". Diagnosticul timpuriu al raționamentului prinde greșeala înainte ca ea să se fixeze.
• Insistați pe verificarea ecuațiilor. Întrebarea „dacă pui soluția înapoi, iese egalitate?" transformă verificarea într-un reflex care salvează puncte la examen.
• Lucrați perechile-capcană. Puneți alături $(-3{)}^2$ și $-3^2$, sau $5-(-2)$ și $5-2$. Elevul trebuie să explice diferența. Dacă o explică el, a înțeles-o.
• Cronometrați blând. După ce corectitudinea e solidă, adăugați un cronometru ușor pe seturi de 5 exerciții, ca să simuleze presiunea de examen, dar fără să transformați antrenamentul în sursă de stres.
• Cum verificați înțelegerea: dați-i un calcul combinat nou (de exemplu $-6+2\cdot (-3{)}^2-(-4)$) și urmăriți dacă respectă ordinea: puteri întâi, apoi înmulțire, apoi adunările/scăderile de la stânga la dreapta. Concret: $(-3{)}^2=9$, apoi $2\cdot 9=18$, apoi $-6+18=12$, iar $-(-4)=+4$, deci $12+4=16$. Răspunsul corect aici este $16$.

Pentru o privire de ansamblu asupra examenului, vedeți și lecțiile Strategii de rezolvare și gestionarea timpului și Greșeli frecvente la examen și cum le eviți.

Întrebări frecvente

Care este regula semnelor pentru numere întregi la examen? La înmulțire și împărțire: semne la fel dau plus, semne diferite dau minus. La adunare, dacă semnele sunt la fel aduni modulele și păstrezi semnul; dacă sunt diferite, scazi modulele și pui semnul numărului „mai mare". Aceste reguli sunt identice pentru numere întregi și raționale.

Care e diferența dintre $(-2{)}^2$ și $-2^2$? $(-2{)}^2=4$, pentru că minusul este în paranteză și intră în ridicarea la putere. $-2^2=-4$, pentru că minusul rămâne în față și se aplică după ce ridici $2$ la pătrat. Este una dintre cele mai frecvente greșeli la Evaluarea Națională, așa că citește mereu cu atenție unde sunt parantezele.

În ce ordine se fac operațiile într-un calcul combinat? Întâi parantezele (din interior spre exterior), apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile de la stânga la dreapta, și la final adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta. Înmulțirea și împărțirea sunt pe aceeași treaptă, la fel adunarea și scăderea.

Cum rezolv repede o ecuație de tipul $ax+b=c$? Muți $b$ în dreapta schimbându-i semnul, obții $ax=c-b$, apoi împarți ambele părți la $a$. Termini verificând soluția: înlocuiești valoarea găsită în ecuația inițială și confirmi că cele două laturi sunt egale.

Cum aflu un procent dintr-o cantitate la examen? „$p\%$ din $N$" înseamnă $\frac{p}{100}\cdot N$. De exemplu $30\%$ din $240$ este $\frac{30}{100}\cdot 240=72$. La fel, „$\frac{a}{b}$ din $N$" înseamnă $\frac{a}{b}\cdot N$. Aceste tipuri de exerciții apar des în problemele practice.

De ce scăderea se transformă în adunare cu opusul? Pentru că $a-b$ înseamnă același lucru cu $a+(-b)$. Acest truc îți permite să folosești o singură regulă (regula de adunare) și să nu te mai încurci la minusurile duble: $a-(-b)=a+b$.

Cum adun două fracții cu numitori diferiți? Le aduci la același numitor (de obicei c.m.m.m.c. al numitorilor), apoi aduni numărătorii și păstrezi numitorul comun. De exemplu $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$. La final, simplifică rezultatul dacă se poate.

Cum mă pregătesc eficient pentru exercițiile cu numere întregi și raționale la EN VI? Exersează zilnic seturi mici și mixte (calcule, ordinea operațiilor, o ecuație, o problemă practică), verifică-ți mereu rezultatele și ține o listă cu greșelile pe care le repeți. Recapitulează regula semnelor și capcana puterilor, pentru că acolo se pierd cele mai multe puncte. Continuă cu lecția Recapitulare integrată: rapoarte, proporții și procente.