Adunarea numerelor raționale

Ai învățat deja să aduni numere întregi, cu plusurile și minusurile lor, și știi foarte bine să aduni fracții obișnuite din clasa a V-a. Acum vine momentul în care punem cele două abilități cap la cap: adunarea numerelor raționale, adică adunarea unor fracții care pot fi și negative. Vestea bună e că nu înveți reguli complet noi — combini două lucruri pe care le stăpânești deja. Hai să vedem cum se leagă totul, pas cu pas, până când orice sumă de numere raționale ți se va părea simplă.

Ce vei învăța

Vei ști să aduni două numere raționale cu același semn și cu semne diferite.
Vei ști să aduci fracțiile la același numitor înainte de a le aduna.
Vei ști să folosești proprietățile adunării (comutativitate, asociativitate, element neutru, opus) ca să calculezi mai repede și mai sigur.
Vei ști să aduni expresii în care apar și fracții, și numere zecimale în același calcul.

Hai să descoperim împreună

De unde plecăm

Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$ , unde $a$ și $b$ sunt numere întregi, iar $b \neq = 0$ . Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu $Q$ . În $Q$ intră absolut toate numerele cu care ai lucrat până acum: numerele naturale, numerele întregi, fracțiile pozitive și negative, numerele zecimale finite și cele periodice. De exemplu, $3 = \frac{3}{1}$ , $- 5 = \frac{- 5}{1}$ , $0, 7 = \frac{7}{10}$ și $- \frac{2}{3}$ sunt toate numere raționale.

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre cum arată aceste numere, poți reciti lecția Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere. Iar pentru semn și mărime, lecția Opusul și modulul unui număr rațional îți va fi de mare ajutor — pentru că adunarea numerelor raționale se sprijină exact pe aceste două idei: semnul și modulul.

Două „motoare" pe care le ai deja

Adunarea numerelor raționale folosește două lucruri pe care le-ai învățat deja separat:

Regula de semn de la numere întregi. Când ai adunat numere întregi (vezi Adunarea numerelor întregi), ai descoperit o regulă în două cazuri: dacă numerele au același semn, aduni modulele și păstrezi semnul; dacă au semne diferite, scazi modulele și păstrezi semnul celui cu modul mai mare.
Aducerea la același numitor de la fracții. Două fracții cu numitori diferiți nu se pot aduna direct; mai întâi le aduci la un numitor comun, de obicei cel mai mic multiplu comun (vezi Cel mai mic multiplu comun).

Toată lecția de azi înseamnă: întâi aplici regula de semn, apoi (sau în același timp) lucrezi cu fracții aducându-le la numitor comun. Atât.

Pasul 1 — Adunarea a două numere raționale cu același numitor

Cel mai ușor caz este când fracțiile au deja același numitor. Atunci adunăm numărătorii (ținând cont de semnele lor, exact ca la numere întregi) și păstrăm numitorul.

$\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}$

Hai cu un exemplu concret. Calculăm $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ . Numitorul rămâne $7$ , iar la numărător adunăm: $2 + 3 = 5$ . Deci rezultatul este $\frac{5}{7}$ .

Acum cu un semn negativ: $\frac{- 2}{7} + \frac{3}{7}$ . Numitorul rămâne $7$ . La numărător adunăm două numere întregi cu semne diferite: $- 2 + 3 = 1$ . Rezultatul este $\frac{1}{7}$ .

Și un caz în care suma numărătorilor e negativă: $\frac{- 5}{7} + \frac{3}{7}$ . La numărător: $- 5 + 3 = - 2$ . Rezultatul este $\frac{- 2}{7}$ , pe care îl scriem de obicei $- \frac{2}{7}$ .

Observă cât de natural e: semnul „stă" la numărător, iar numitorul ne spune doar în câte părți am împărțit întregul. De aceea, când numitorul e același, adunarea fracțiilor raționale e doar o adunare de numere întregi la numărător.

Pasul 2 — Când numitorii sunt diferiți: aducem la numitor comun

Dacă numitorii sunt diferiți, nu putem aduna direct, la fel ca în clasa a V-a. „Felii" de mărimi diferite nu se pot pune cap la cap. Mai întâi le facem de aceeași mărime, adică le aducem la același numitor.

Pașii sunt mereu aceiași:

Găsim numitorul comun, de obicei c.m.m.m.c. al numitorilor.
Amplificăm fiecare fracție ca să ajungă la acel numitor (înmulțim numărător și numitor cu același factor).
Adunăm numărătorii (cu regula de semn), păstrând numitorul comun.
Simplificăm rezultatul, dacă se poate.

Să calculăm $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$ .

Numitorii sunt $6$ și $4$ . Cel mai mic multiplu comun este $12$ (pentru că $6 = 2 \cdot 3$ , $4 = 2^{2}$ , deci c.m.m.m.c. $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ ).
Amplificăm: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$ și $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .
Adunăm: $\frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2 + 9}{12} = \frac{11}{12}$ .

Rezultatul $\frac{11}{12}$ este deja ireductibil, așa că ne oprim.

Pasul 3 — Punem și semnele negative

Acum combinăm cele două motoare. Calculăm $\frac{- 1}{4} + \frac{5}{6}$ .

C.m.m.m.c. al lui $4$ și $6$ este $12$ .
Amplificăm: $\frac{- 1}{4} = \frac{- 3}{12}$ (am înmulțit cu $3$ ) și $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ (am înmulțit cu $2$ ).
Adunăm numărătorii ca numere întregi: $- 3 + 10 = 7$ .
Rezultatul este $\frac{7}{12}$ .

Și un caz în care rezultatul iese negativ: $\frac{- 5}{6} + \frac{1}{4}$ .

Numitor comun $12$ . Amplificăm: $\frac{- 5}{6} = \frac{- 10}{12}$ și $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ .
La numărător: $- 10 + 3 = - 7$ .
Rezultatul este $\frac{- 7}{12} = - \frac{7}{12}$ .

Vezi tiparul? Aducerea la numitor comun nu schimbă semnele. Semnul fiecărei fracții rămâne lipit de numărătorul ei. După ce ai numitorul comun, faci o singură adunare de numere întregi la numărător și gata.

Regula de semn, spusă pe scurt

Ca să nu te încurci, ține minte regula de semn exact ca la numere întregi, aplicată la numărători după ce ai numitor comun:

Același semn (amândouă pozitive sau amândouă negative): aduni modulele și pui semnul comun. Exemplu: $- \frac{1}{5} + (- \frac{2}{5}) = - \frac{3}{5}$ .
Semne diferite: scazi modulul mai mic din cel mai mare și pui semnul fracției cu modul mai mare. Exemplu: $- \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ (modulul mai mare, $\frac{4}{5}$ , e pozitiv, deci rezultatul e pozitiv).

O analogie cu banii și datoriile

Gândește-te la numerele raționale pozitive ca la bani pe care îi ai și la cele negative ca la datorii, dar de data asta în „bucăți" de fracție.

Dacă ai $\frac{3}{4}$ dintr-o pizza și mai primești încă $\frac{1}{2}$ de pizza, ai $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$ de pizza, adică o pizza întreagă și încă un sfert.

Dacă datorezi $\frac{3}{4}$ dintr-o pizza unui prieten (deci $- \frac{3}{4}$ ) și apoi îi mai dai înapoi $\frac{1}{2}$ de pizza, datoria ta scade. Practic faci $- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}$ : mai datorezi un sfert de pizza. Modelul „bani și datorii" te ajută să simți de ce semnele se comportă așa.

Adunarea pe axa numerelor

Un alt mod de a „vedea" adunarea numerelor raționale este pe axa numerelor. Fiecare număr rațional are un loc precis pe axă: pozitivele la dreapta lui $0$ , negativele la stânga, iar fracțiile între numerele întregi (de exemplu $\frac{1}{2}$ stă fix la jumătatea drumului dintre $0$ și $1$ , iar $- \frac{3}{4}$ la trei sferturi de drum între $0$ și $- 1$ ).

Ca să aduni $a + b$ , pornești din punctul $a$ și faci un „pas" de lungime egală cu modulul lui $b$ : spre dreapta dacă $b$ este pozitiv, spre stânga dacă $b$ este negativ. Unde te oprești, acolo este rezultatul. De exemplu, pentru $- \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$ pornești din $- \frac{3}{4}$ (puțin la stânga lui $0$ ) și faci un pas de $\frac{1}{2}$ spre dreapta; ajungi la $- \frac{1}{4}$ . Axa îți confirmă exact ce ai calculat: ești tot în zona negativă, dar mai aproape de $0$ . Acest model „cu pași" este chiar ideea pe care o vei folosi la jocul cu termometrul de mai jos.

De ce funcționează regula de semn

Poate te întrebi de ce, la semne diferite, scădem modulele în loc să le adunăm. Gândește-te din nou la modelul cu bani și datorii. Dacă ai $\frac{4}{5}$ dintr-o pizza (un „bun") și datorezi $\frac{1}{5}$ de pizza (o „lipsă"), o parte din ce ai se „duce" pe acoperirea datoriei. Rămâi cu diferența, $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ , și ești tot pe plus, fiindcă aveai mai mult decât datorai. Dacă, dimpotrivă, datoria ar fi fost mai mare decât bunul, ai fi rămas pe minus. De aceea semnul rezultatului îl dă întotdeauna termenul „mai mare ca modul" — partea care domină. Regula de semn nu este o convenție rece de memorat, ci descrie exact ce se întâmplă când pui la un loc o cantitate și o lipsă din aceeași cantitate.

Pasul 4 — Proprietățile adunării în ℚ

Adunarea numerelor raționale are aceleași proprietăți frumoase ca adunarea numerelor întregi. Ele nu sunt doar de memorat, ci sunt unelte care îți simplifică viața la calcul.

1. Comutativitatea. Ordinea termenilor nu contează: $a + b = b + a$ De exemplu, $\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$ . Poți rearanja termenii cum îți e mai comod.

2. Asociativitatea. Când aduni trei sau mai multe numere, poți grupa cum vrei: $(a + b) + c = a + (b + c)$ Asta înseamnă că poți aduna mai întâi acei termeni care „se potrivesc" bine între ei (de exemplu cei care au deja același numitor sau cei care se anulează).

3. Element neutru: numărul 0. Dacă aduni $0$ la orice număr rațional, nu se schimbă nimic: $a + 0 = 0 + a = a$ De aceea $0$ se numește element neutru la adunare. Exemplu: $- \frac{7}{9} + 0 = - \frac{7}{9}$ .

4. Opusul (element simetric). Orice număr rațional $a$ are un opus, notat $- a$ , astfel încât suma lor este zero: $a + (- a) = 0$ De exemplu, opusul lui $\frac{4}{5}$ este $- \frac{4}{5}$ , iar $\frac{4}{5} + (- \frac{4}{5}) = 0$ . Această proprietate e foarte puternică: ori de câte ori vezi un număr și opusul lui într-o sumă, îi poți „șterge" pe amândoi, pentru că dau $0$ .

Cum folosim proprietățile inteligent. Să calculăm $\frac{3}{8} + \frac{5}{7} + (- \frac{3}{8})$ . În loc să aducem totul la numitor comun mare, folosim comutativitatea și asociativitatea ca să grupăm opusele: $\frac{3}{8} + (- \frac{3}{8}) + \frac{5}{7} = 0 + \frac{5}{7} = \frac{5}{7} .$ Am evitat complet numitorul comun $56$ . Asta înseamnă calcul deștept: caut perechi de opuse și termeni cu același numitor înainte să mă apuc de înmulțiri.

Pasul 5 — Când apar și fracții, și numere zecimale

Uneori într-un calcul găsești și fracții, și numere zecimale. Nu te speria: un număr zecimal este tot un număr rațional, deci îl putem transforma în fracție sau invers. Ai două drumuri și alegi care e mai comod.

Drumul 1: totul în fracții. Transformi zecimalele în fracții ordinare. De exemplu $0, 5 = \frac{1}{2}$ , $0, 25 = \frac{1}{4}$ , $0, 2 = \frac{1}{5}$ , $1, 5 = \frac{3}{2}$ . Apoi aduni ca la fracții.

Calculăm $\frac{1}{4} + 0, 5$ . Transformăm: $0, 5 = \frac{1}{2}$ . Numitor comun $4$ : $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ . (Dacă vrei, $\frac{3}{4} = 0, 75$ .)

Drumul 2: totul în zecimale. Transformi fracțiile în zecimale, dar numai dacă ies zecimale finite, comode. De exemplu $\frac{1}{4} = 0, 25$ , $\frac{3}{4} = 0, 75$ , $\frac{1}{2} = 0, 5$ . Apoi aduni zecimalele direct (cu regula de semn, exact ca la întregi, dar cu virgulă).

Calculăm tot $\frac{1}{4} + 0, 5$ pe drumul 2: $\frac{1}{4} = 0, 25$ , deci $0, 25 + 0, 5 = 0, 75$ . Același rezultat — bineînțeles.

Sfat de aur: dacă o fracție are zecimală infinită (de exemplu $\frac{1}{3} = 0, 333 \dots$ ), nu o transforma în zecimală, ci ține totul în fracții. Altfel rotunjești și pierzi din exactitate.

Caz special — un număr întreg plus o fracție

Apare des situația în care aduni un număr întreg cu o fracție, de exemplu $2 + \frac{1}{3}$ sau $- 3 + \frac{2}{5}$ . Trucul este să-ți amintești că orice număr întreg se scrie ca fracție cu numitorul $1$ : $2 = \frac{2}{1}$ și $- 3 = \frac{- 3}{1}$ . De aici totul merge la fel ca până acum.

Calculăm $- 3 + \frac{2}{5}$ . Scriem $- 3 = \frac{- 15}{5}$ (am amplificat cu $5$ ca să ajung la numitorul $5$ ). Apoi $\frac{- 15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{- 15 + 2}{5} = \frac{- 13}{5} = - \frac{13}{5}$ . Dacă vrei, poți scrie rezultatul și ca număr mixt: $- 2 \frac{3}{5}$ .

Și un caz pozitiv: $2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$ . Vezi că numitorul comun cu un întreg este chiar numitorul fracției — un pas în plus foarte mic.

Adunarea mai multor numere raționale deodată

Uneori ai de adunat trei, patru sau chiar mai multe numere raționale într-un singur calcul. Tentația e să le aduni două câte două, dar e mult mai rapid și mai sigur să găsești un singur numitor comun pentru toate și să aduni toți numărătorii o singură dată.

Calculăm $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ .

Numitorii sunt $2$ , $3$ și $4$ . C.m.m.m.c. al lor: $2 = 2$ , $3 = 3$ , $4 = 2^{2}$ , deci c.m.m.m.c. $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ .
Amplificăm fiecare fracție la numitorul $12$ : $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ , $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ , $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ .
Adunăm toți numărătorii deodată: $6 + 4 + 3 = 13$ . Rezultatul este $\frac{13}{12}$ .

Și cu semne amestecate: $- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + (- \frac{1}{6})$ .

C.m.m.m.c. al lui $2$ , $3$ și $6$ este $6$ . Amplificăm: $- \frac{1}{2} = - \frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , iar $- \frac{1}{6}$ rămâne.
Adunăm numărătorii ca numere întregi: $- 3 + 4 - 1 = 0$ . Rezultatul este $\frac{0}{6} = 0$ .

Vezi cât de elegant: când aduni numărători cu semn, îi poți pune pe toți într-un singur șir și îi calculezi exact ca pe o sumă de numere întregi. Un singur numitor comun, o singură adunare, un singur rezultat.

Atenție la simplificarea finală

După ce aduni, verifică mereu dacă rezultatul se mai poate simplifica. De exemplu, dacă obții $\frac{4}{6}$ , mai poți împărți numărător și numitor cu $2$ și ajungi la $\frac{2}{3}$ . Un rezultat lăsat nesimplificat nu e greșit, dar la examen se cere de obicei fracția ireductibilă. Dacă vrei să-ți amintești cum recunoști o fracție ireductibilă, recitește lecția Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile. Regula scurtă: o fracție e ireductibilă atunci când numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun în afară de $1$ .

O poveste scurtă: cronometrul lui Andrei

Andrei se antrenează la înot și își notează cât de departe e de recordul lui personal, în secunde. La un test e cu $- \frac{3}{4}$ de secundă față de record (a fost mai rapid cu trei sferturi de secundă, deci „minus" e bine pentru el aici, înseamnă sub timpul-record). La testul următor e cu $+ \frac{1}{2}$ de secundă față de record (puțin mai lent). Care e bilanțul celor două abateri? Adună-le: $- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}$ . Per total, Andrei e tot sub record, cu un sfert de secundă. Vezi cum adunarea numerelor raționale apare firesc când urmărim creșteri și scăderi în viața reală? Banii, temperaturile, secundele, nivelul apei — toate folosesc exact aceste reguli.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Același numitor, semne diferite

Calculează $\frac{7}{10} + (- \frac{9}{10})$ .

Numitorul este același, $10$ , deci adunăm doar numărătorii, ca numere întregi: $7 + (- 9) = - 2$ . Rezultatul este $\frac{- 2}{10}$ . Simplificăm cu $2$ : $\frac{- 2}{10} = - \frac{1}{5}$ .

Răspuns: $- \frac{1}{5}$ .

Exemplul 2 — Numitori diferiți, ambele negative

Calculează $- \frac{2}{3} + (- \frac{1}{6})$ .

C.m.m.m.c. al lui $3$ și $6$ este $6$ . Amplificăm prima fracție cu $2$ : $- \frac{2}{3} = - \frac{4}{6}$ . A doua e deja cu numitorul $6$ . Cum au același semn (ambele negative), adunăm modulele și păstrăm minusul: $- \frac{4}{6} + (- \frac{1}{6}) = - \frac{5}{6}$ .

Răspuns: $- \frac{5}{6}$ .

Exemplul 3 — Numitori diferiți, semne diferite, simplificare la final

Calculează $\frac{5}{8} + (- \frac{1}{12})$ .

Descompunem numitorii: $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ . C.m.m.m.c. $= 2^{3} \cdot 3 = 24$ . Amplificăm: $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ (înmulțit cu $3$ ) și $- \frac{1}{12} = - \frac{2}{24}$ (înmulțit cu $2$ ). Adunăm numărătorii: $15 + (- 2) = 13$ . Rezultatul este $\frac{13}{24}$ , care este ireductibil.

Răspuns: $\frac{13}{24}$ .

Exemplul 4 — Trei termeni, folosim proprietățile

Calculează $- \frac{5}{9} + \frac{2}{3} + \frac{5}{9}$ .

Observăm că $- \frac{5}{9}$ și $\frac{5}{9}$ sunt opuse. Folosim comutativitatea și asociativitatea ca să le grupăm: $(- \frac{5}{9} + \frac{5}{9}) + \frac{2}{3} = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} .$ Nici nu a mai fost nevoie de numitor comun mare.

Răspuns: $\frac{2}{3}$ .

Exemplul 5 — Fracție plus număr zecimal

Calculează $- \frac{3}{4} + 1, 2$ .

Transformăm zecimala în fracție: $1, 2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ . C.m.m.m.c. al lui $4$ și $5$ este $20$ . Amplificăm: $- \frac{3}{4} = - \frac{15}{20}$ și $\frac{6}{5} = \frac{24}{20}$ . Adunăm: $- 15 + 24 = 9$ , deci $\frac{9}{20}$ . (Verificare în zecimale: $- 0, 75 + 1, 2 = 0, 45 = \frac{9}{20}$ . ✓)

Răspuns: $\frac{9}{20}$ (adică $0, 45$ ).

Exemplul 6 — Calcul mai lung, organizat inteligent

Calculează $\frac{1}{2} + (- \frac{3}{4}) + \frac{1}{4} + (- \frac{1}{2})$ .

Grupăm opusele: $\frac{1}{2}$ cu $- \frac{1}{2}$ dau $0$ . Rămâne $- \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{- 3 + 1}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $- \frac{1}{2}$ . Vezi cât de mult ajută să cauți perechi de opuse înainte de orice?

Exemplul 7 — Trei fracții cu numitori diferiți

Calculează $\frac{1}{2} + (- \frac{2}{3}) + \frac{5}{6}$ .

C.m.m.m.c. al lui $2$ , $3$ și $6$ este $6$ . Amplificăm: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ , $- \frac{2}{3} = - \frac{4}{6}$ , iar $\frac{5}{6}$ rămâne. Adunăm numărătorii într-un singur șir: $3 - 4 + 5 = 4$ . Rezultatul este $\frac{4}{6}$ , pe care îl simplificăm cu $2$ și obținem $\frac{2}{3}$ .

Răspuns: $\frac{2}{3}$ .

Exemplul 8 — Număr întreg plus fracție negativă

Calculează $4 + (- \frac{7}{3})$ .

Scriem întregul ca fracție cu numitorul $3$ : $4 = \frac{12}{3}$ . Apoi $\frac{12}{3} + (- \frac{7}{3}) = \frac{12 - 7}{3} = \frac{5}{3}$ . Ca număr mixt, $\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$ .

Răspuns: $\frac{5}{3}$ (adică $1 \frac{2}{3}$ ).

Exemplul 9 — De ce nu transformăm orice fracție în zecimală

Calculează $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ .

Am putea fi tentați să scriem $\frac{1}{3} \approx 0, 33$ și $\frac{1}{6} \approx 0, 16$ , dar atunci am aproxima și am pierde exactitatea. Mai bine ținem totul în fracții: c.m.m.m.c. al lui $3$ și $6$ este $6$ , deci $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Rezultatul exact este $\frac{1}{2} = 0, 5$ , nu $0, 49$ , cât ar fi dat aproximările. Lecția: când apar zecimale infinite, fracțiile sunt prietenul tău.

Răspuns: $\frac{1}{2}$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Adu fracțiile la numitor comun unde e nevoie și simplifică rezultatul final. Sunt așezate de la ușor la greu.

Calculează: $\frac{2}{9} + \frac{4}{9}$ .
Calculează: $\frac{- 3}{8} + \frac{5}{8}$ .
Calculează: $- \frac{4}{7} + (- \frac{2}{7})$ .
Calculează: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ .
Calculează: $\frac{3}{4} + (- \frac{1}{6})$ .
Calculează: $- \frac{2}{5} + \frac{7}{10}$ .
Adevărat sau fals? $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$ .
Completează numitorul comun cel mai mic pentru $\frac{5}{6} + \frac{1}{8}$ : numitorul comun este $□$ .
Încercuiește rezultatul corect pentru $- \frac{5}{12} + \frac{1}{4}$ : a) $- \frac{1}{6}$ ; b) $- \frac{1}{3}$ ; c) $\frac{2}{3}$ .
Calculează folosind proprietățile: $\frac{7}{11} + \frac{3}{5} + (- \frac{7}{11})$ .
Calculează: $- \frac{5}{6} + \frac{2}{3} + (- \frac{1}{2})$ .
Calculează cu numere zecimale și fracții: $\frac{1}{4} + 0, 3$ .
Calculează: $- 1, 5 + \frac{2}{3}$ .
Completează termenul care lipsește: $- \frac{3}{7} + □ = 0$ .
Potrivește fiecare sumă cu rezultatul ei.
A) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ B) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ C) $\frac{1}{4} + (- \frac{3}{4})$
Rezultate: I) $- \frac{1}{4}$ ; II) $\frac{3}{4}$ ; III) $- \frac{1}{2}$ .
Mică problemă. Dimineața temperatura era de $- 2, 5$ °C. Până la prânz a crescut cu $\frac{15}{4}$ °C. Ce temperatură s-a măsurat la prânz?
Mică problemă. Maria a citit luni $\frac{1}{3}$ dintr-o carte, marți încă $\frac{1}{4}$ , iar miercuri încă $\frac{1}{6}$ . Ce fracție din carte a citit în cele trei zile? A terminat cartea?
Provocare. Calculează rapid, grupând inteligent: $\frac{2}{3} + (- \frac{7}{10}) + \frac{1}{3} + \frac{7}{10}$ .
Calculează cu un singur numitor comun: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ .
Calculează: $- \frac{3}{10} + \frac{2}{5} + (- \frac{1}{2})$ .
Calculează: $5 + (- \frac{8}{3})$ .
Provocare. Află numărul care, adunat la suma $- \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ , dă rezultatul $0$ .

Răspunsuri și explicații

$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Același numitor: $2 + 4 = 6$ , deci $\frac{6}{9}$ , apoi simplifici cu $3$ .
$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ . Numărători: $- 3 + 5 = 2$ , deci $\frac{2}{8}$ , simplifici cu $2$ .
$- \frac{6}{7}$ . Ambele negative: aduni modulele, $4 + 2 = 6$ , păstrezi minusul.
$\frac{5}{6}$ . Numitor comun $6$ : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .
$\frac{7}{12}$ . Numitor comun $12$ : $\frac{9}{12} + (- \frac{2}{12}) = \frac{7}{12}$ .
$\frac{3}{10}$ . Numitor comun $10$ : $- \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ .
Adevărat. Sunt opuse, iar suma unui număr cu opusul lui este $0$ .
$24$ . $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , deci c.m.m.m.c. $= 2^{3} \cdot 3 = 24$ .
a) $- \frac{1}{6}$ . Numitor comun $12$ : $- \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = - \frac{2}{12} = - \frac{1}{6}$ .
$\frac{3}{5}$ . $\frac{7}{11}$ și $- \frac{7}{11}$ sunt opuse, se anulează; rămâne $\frac{3}{5}$ .
$- \frac{2}{3}$ . Numitor comun $6$ : $- \frac{5}{6} + \frac{4}{6} + (- \frac{3}{6}) = \frac{- 5 + 4 - 3}{6} = \frac{- 4}{6} = - \frac{2}{3}$ .
$\frac{11}{20}$ (adică $0, 55$ ). $0, 3 = \frac{3}{10}$ ; numitor comun $20$ : $\frac{5}{20} + \frac{6}{20} = \frac{11}{20}$ .
$- \frac{5}{6}$ . $- 1, 5 = - \frac{3}{2}$ ; numitor comun $6$ : $- \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = - \frac{5}{6}$ .
$\frac{3}{7}$ . Termenul căutat este opusul lui $- \frac{3}{7}$ , adică $\frac{3}{7}$ .
A → II ( $\frac{3}{4}$ ); B → I ( $- \frac{1}{4}$ ); C → III ( $- \frac{1}{2}$ ). A: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . B: $- \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$ . C: $\frac{1}{4} + (- \frac{3}{4}) = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ .
$1, 25$ °C (adică $\frac{5}{4}$ °C). $- 2, 5 + \frac{15}{4} = - \frac{10}{4} + \frac{15}{4} = \frac{5}{4} = 1, 25$ .
$\frac{3}{4}$ din carte; nu a terminat. Numitor comun $12$ : $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Mai are de citit $\frac{1}{4}$ .
$1$ . Grupezi opusele: $- \frac{7}{10}$ cu $\frac{7}{10}$ dau $0$ ; rămâne $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .
$\frac{2}{3}$ . Numitor comun $12$ : $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
$- \frac{2}{5}$ . Numitor comun $10$ : $- \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + (- \frac{5}{10}) = \frac{- 3 + 4 - 5}{10} = \frac{- 4}{10} = - \frac{2}{5}$ .
$\frac{7}{3}$ (adică $2 \frac{1}{3}$ ). $5 = \frac{15}{3}$ ; deci $\frac{15}{3} + (- \frac{8}{3}) = \frac{15 - 8}{3} = \frac{7}{3}$ .
$\frac{1}{2}$ . Mai întâi $- \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = - \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2}$ . Numărul căutat este opusul lui $- \frac{1}{2}$ , adică $\frac{1}{2}$ .

De reținut

Pentru a aduna numere raționale: adu fracțiile la același numitor, apoi adună numărătorii după regula de semn de la numere întregi, păstrând numitorul comun.
Același semn: aduni modulele și păstrezi semnul. Semne diferite: scazi modulele și păstrezi semnul celui cu modul mai mare.
Adunarea în $Q$ este comutativă și asociativă, are element neutru $0$ și fiecare număr are un opus care, adunat, dă $0$ .
Folosește proprietățile ca să grupezi opusele și termenii cu același numitor — așa calculezi mai repede și greșești mai puțin.
Un număr zecimal este tot rațional: îl poți scrie ca fracție (sau invers) ca să-l aduni cu fracțiile.

Greșeli frecvente

Aduni și numitorii. Greșit: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ . Numitorul nu se adună; întâi aduci la numitor comun: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .
Uiți să amplifici și numărătorul. Când treci $\frac{1}{6}$ la numitorul $12$ , înmulțești și sus, și jos cu $2$ : $\frac{2}{12}$ , nu $\frac{1}{12}$ . Altfel schimbi valoarea fracției.
Greșești semnul la termeni diferiți. La $- \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ , numărătorii sunt $- 5$ și $+ 1$ : $- 5 + 1 = - 4$ . Nu uita că minusul rămâne lipit de numărătorul lui.
Transformi în zecimală o fracție periodică. $\frac{1}{3}$ nu este $0, 33$ ; este $0, 333 \dots$ Dacă rotunjești, pierzi exactitatea. Ține astfel de fracții ca fracții.

Joc acasă

Cărțile de joc cu semn. Ia cartonașe și scrie pe ele fracții, unele cu plus, altele cu minus (de exemplu $\frac{1}{2}$ , $- \frac{3}{4}$ , $\frac{1}{6}$ , $- \frac{2}{3}$ ). Trage câte două cartonașe la întâmplare și calculează suma pe caiet. Verifică-te transformând rezultatul și termenii în zecimale, dacă se poate. Cine greșește mai puțin în 10 trageri câștigă.
Rețeta înjumătățită. Caută o rețetă din bucătărie care folosește cantități în fracții (de exemplu $\frac{3}{4}$ cană făină, $\frac{1}{2}$ cană zahăr). Adună două ingrediente de același fel ca să afli cât amestec total iese, apoi gândește-te ce înseamnă „minus" aici (de exemplu, cât scoți dacă ai pus prea mult). Scrie două sume de numere raționale pornind de la rețetă.
Termometrul de hârtie. Desenează pe o foaie o axă verticală gradată de la $- 5$ la $+ 5$ , cu jumătăți și sferturi. „Pornește" de la o temperatură negativă (de exemplu $- 2 \frac{1}{2}$ ) și adună creșteri sau scăderi în fracții, mutând un deget pe axă. Verifică prin calcul fiecare oprire. E un mod practic de a „vedea" adunarea numerelor raționale.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două abilități pe care copilul le are deja: regula de semn de la numere întregi și aducerea fracțiilor la numitor comun. Cel mai util lucru pe care îl puteți face este să-l ajutați să separe clar cei doi pași: „întâi fac numitorii la fel, apoi adun numărătorii cu semn". Multe greșeli vin din amestecarea pașilor.

Întrebări bune de pus:

„De ce nu putem aduna direct $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ? Ce facem mai întâi?" (răspuns: aducem la numitor comun)
„Ce semn va avea rezultatul lui $- \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ și de unde știi înainte să calculezi?" (modulul mai mare e negativ)
„Vezi vreo pereche de opuse în această sumă pe care le-am putea anula?" (antrenează folosirea proprietăților)

Cum verificați înțelegerea: cereți-i să rezolve o sumă în două moduri — o dată în fracții, o dată în zecimale (când se poate) — și să compare rezultatele. Dacă obține același număr, a înțeles legătura. Lăudați procesul corect, nu doar răspunsul: organizarea pe pași e mai valoroasă decât viteza. Dacă greșește semnul, întoarceți-vă scurt la modelul „bani și datorii" sau la axa numerelor.

Întrebări frecvente

Cum aduni două numere raționale cu același semn?
Aduci fracțiile la același numitor, apoi aduni modulele numărătorilor și păstrezi semnul comun. De exemplu, $- \frac{1}{4} + (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + (- \frac{2}{4}) = - \frac{3}{4}$ .

Cum aduni două numere raționale cu semne diferite?
Le aduci la numitor comun, apoi la numărători scazi modulul mai mic din cel mai mare și pui semnul fracției cu modul mai mare. Exemplu: $- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

De ce trebuie să aduc fracțiile la același numitor înainte de adunare?
Pentru că numitorul arată în câte părți egale e împărțit întregul. Dacă „feliile" au mărimi diferite, nu se pot pune cap la cap. Numitorul comun face toate feliile de aceeași mărime, ca să le poți număra împreună.

Ce este elementul neutru la adunarea numerelor raționale?
Este numărul $0$ . Adunat la orice număr rațional, nu schimbă valoarea: $a + 0 = a$ . De aceea $0$ se numește element neutru.

Ce înseamnă opusul unui număr rațional la adunare?
Opusul lui $a$ este $- a$ , numărul cu același modul, dar semn schimbat. Suma unui număr cu opusul lui este mereu $0$ , de exemplu $\frac{3}{5} + (- \frac{3}{5}) = 0$ . Această proprietate ajută la anularea termenilor în calcule lungi.

Cum adun o fracție cu un număr zecimal?
Le aduci în aceeași formă: ori transformi zecimala în fracție, ori (dacă fracția dă zecimală finită) transformi fracția în zecimală. De exemplu $\frac{1}{4} + 0, 5 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ , sau $0, 25 + 0, 5 = 0, 75$ .

Trebuie să folosesc mereu cel mai mic multiplu comun ca numitor?
Nu obligatoriu — orice numitor comun funcționează (de exemplu produsul numitorilor). Dar c.m.m.m.c. dă numere mai mici și simplificări mai puține, deci e cel mai comod și recomandat.

Cum folosesc proprietățile adunării ca să calculez mai repede?
Caută perechi de opuse (care dau $0$ ) și termeni cu același numitor, apoi grupează-i folosind comutativitatea și asociativitatea. Așa eviți numitori comuni mari și reduci șansele de greșeală.

Cum adun trei sau mai multe numere raționale?
Găsești un singur numitor comun pentru toate fracțiile (de obicei c.m.m.m.c. al numitorilor), amplifici fiecare fracție la acel numitor, apoi aduni toți numărătorii deodată, cu regula de semn. La final simplifici. De exemplu, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .

Poate fi suma a două numere raționale un număr întreg?
Da. Dacă numărătorii adunați dau un multiplu al numitorului comun, rezultatul se simplifică până la un întreg. De exemplu $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ sau $- \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{4}{4} = - 1$ . La fel, suma unui număr cu opusul lui dă întotdeauna întregul $0$ .