De ce 2 + 3 · 4 este 14 și nu 20?

Pentru că înmulțirea are prioritate față de adunare. Calculezi întâi 3 · 4 = 12 și abia apoi 2 + 12 = 14. Ai obține 20 doar dacă ar exista paranteze: (2 + 3) · 4 = 20.

Acasă · Clasa a VI-a · Lecții · Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor în ℤ

Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor în ℤ

Până acum ai învățat, una câte una, toate cele patru operații cu numere întregi: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ba chiar și puterile. Acum vine momentul în care le pui pe toate la lucru în aceeași expresie. Întrebarea cheie este: când într-un calcul apar mai multe operații și mai multe rânduri de paranteze, cu ce începem și cu ce continuăm? În această lecție despre ordinea operațiilor cu numere întregi pentru clasa a 6-a vei învăța regulile clare care fac diferența dintre un răspuns corect și o greșeală. Vei vedea că, odată ce cunoști ordinea și regula semnelor la eliminarea parantezelor, calculele complicate devin o simplă succesiune de pași.

Ce vei învăța

Vei ști să stabilești corect ordinea efectuării operațiilor: mai întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile.
Vei ști să calculezi o expresie cu numere întregi care conține paranteze rotunde, pătrate și acolade.
Vei ști să elimini parantezele aplicând regula semnelor, când în față au semnul + sau semnul −.
Vei ști să folosești proprietățile operațiilor pentru a face calcule rapide, fără efort inutil.
Vei ști să recunoști și să eviți greșelile tipice care apar la calculele cu numere întregi în clasa a 6-a.

Hai să descoperim împreună

De ce avem nevoie de o regulă

Hai să pornim de la o întrebare simplă. Cât face:

$2 + 3 \cdot 4$

Dacă ai aduna întâi $2 + 3 = 5$ și apoi ai înmulți $5 \cdot 4 = 20$ , obții 20. Dacă ai înmulți întâi $3 \cdot 4 = 12$ și apoi ai aduna $2 + 12 = 14$ , obții 14. Două răspunsuri diferite la același calcul! Asta nu poate fi acceptat în matematică: un calcul trebuie să aibă un singur răspuns corect, oricine l-ar face, în orice colț al lumii.

Tocmai de aceea matematicienii s-au pus de acord asupra unei ordini a operațiilor – un fel de cod rutier al calculelor. La fel cum în trafic semafoarele și prioritățile sunt aceleași pentru toți ca să nu fie haos, în matematică ordinea operațiilor este aceeași pentru toți. Răspunsul corect la $2 + 3 \cdot 4$ este 14, fiindcă regula spune că înmulțirea se face înaintea adunării.

Regula de aur: cele trei trepte

Ține minte că operațiile nu au toate aceeași „putere". Unele sunt mai tari și se fac primele. Le împărțim pe trei trepte de prioritate:

Treapta 1 (cea mai puternică): PUTERILE. Mai întâi calculăm toate puterile, adică ridicările la putere precum $(- 2)^{3}$ sau $5^{2}$ .

Treapta 2 (mijlocie): ÎNMULȚIRILE și ÎMPĂRȚIRILE. După puteri, ne ocupăm de înmulțiri și împărțiri. Acestea două au aceeași prioritate între ele, deci le efectuăm în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.

Treapta 3 (cea mai slabă): ADUNĂRILE și SCĂDERILE. La final rămân adunările și scăderile. Și ele au aceeași prioritate între ele, așa că le facem tot de la stânga la dreapta.

Un mod simplu de a-ți aminti: „Puteri – Produse/Câturi – Plusuri/Minusuri", adică P, apoi ×÷, apoi +−. Sau, mai pe scurt: „ridic la putere, înmulțesc și împart, abia la urmă adun și scad".

Important de subliniat: de la stânga la dreapta contează mult la împărțiri și scăderi. De exemplu, la $20 - 8 - 3$ facem $20 - 8 = 12$ , apoi $12 - 3 = 9$ . Nu avem voie să facem întâi $8 - 3 = 5$ și apoi $20 - 5 = 15$ – ar fi greșit. La fel, $24 : 6 : 2$ înseamnă $24 : 6 = 4$ , apoi $4 : 2 = 2$ , nu $6 : 2 = 3$ urmat de $24 : 3 = 8$ .

Un prim exemplu fără paranteze

Să calculăm:

$- 3 + 4 \cdot 5 - 2^{3}$

Mergem treaptă cu treaptă.

Treapta 1 – puteri: $2^{3} = 8$ . Expresia devine $- 3 + 4 \cdot 5 - 8$ .
Treapta 2 – înmulțiri/împărțiri: $4 \cdot 5 = 20$ . Expresia devine $- 3 + 20 - 8$ .
Treapta 3 – adunări/scăderi (de la stânga la dreapta): $- 3 + 20 = 17$ , apoi $17 - 8 = 9$ .

Rezultat: 9. Observă cât de calm a fost totul: nu ne-am grăbit, am respectat treptele, iar calculul s-a desfăcut firesc.

Rolul parantezelor: ele schimbă prioritatea

Acum vine partea interesantă. Ce facem dacă vrem ca adunarea să se facă înaintea înmulțirii? Atunci folosim paranteze. Parantezele sunt instrumentul prin care spunem: „aici, oprește-te și calculează întâi ce e între paranteze, oricât de slabă ar fi operația".

Compară:

$2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$ (fără paranteze, înmulțirea are prioritate);
$(2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ (cu paranteze, adunarea se face prima).

Parantezele sunt ca niște cutii: tot ce e închis într-o cutie se rezolvă mai întâi, înainte ca acea cutie să participe la restul calculului.

În matematica de clasa a 6-a folosim trei feluri de paranteze, încuibate unele în altele:

paranteze rotunde $()$ – cele „dinăuntru", cele mai interioare;
paranteze pătrate (drepte) $[]$ – cuprind parantezele rotunde;
acolade ${}$ – cele „dinafară", care cuprind totul.

Ordinea în care le desfacem este dinăuntru spre afară: întâi rotundele, apoi pătratele, apoi acoladele. Este ca atunci când deschizi o cutie de cadou: scoți întâi cutia mică din interior, apoi pe cea mijlocie, apoi pe cea mare.

Notație: ${[()]}$ . Ai grijă să le potrivești corect: fiecare paranteză deschisă trebuie să aibă perechea ei închisă.

Regula semnelor la eliminarea parantezelor

Există o scurtătură foarte folositoare. Uneori nu trebuie să calculăm întâi ce e în paranteză, ci putem elimina (desface) parantezele și apoi să facem calculele. Aici intervine regula semnelor, una dintre cele mai importante reguli ale lecției despre paranteze în ℤ pentru clasa a 6-a.

Cazul 1: paranteza are în față semnul „+" (sau nu are niciun semn în față). Atunci eliminăm paranteza fără să schimbăm nimic – numerele rămân cu semnele lor.

$+ (a - b + c) = a - b + c$

Exemplu: $5 + (3 - 8 + 2) = 5 + 3 - 8 + 2$ . Termenii dinăuntru și-au păstrat semnele.

Cazul 2: paranteza are în față semnul „−". Atunci eliminăm paranteza schimbând semnul fiecărui termen dinăuntru: plus devine minus, iar minus devine plus.

$- (a - b + c) = - a + b - c$

Exemplu: $5 - (3 - 8 + 2) = 5 - 3 + 8 - 2$ . Fiecare semn din paranteză s-a inversat.

De ce funcționează asta? Gândește-te la modul. Semnul minus din fața parantezei înseamnă „opusul a tot ce e înăuntru". Iar opusul lui $(3 - 8 + 2)$ este $- 3 + 8 - 2$ . Este exact ca atunci când iei „opusul unei sume": fiecare termen își schimbă semnul. Poți recapitula ideea de opus în lecția Opusul unui număr întreg.

O imagine din viața reală: dacă un minus înseamnă „datorie" și ai o pungă cu mai multe sume, a lua opusul întregii pungi înseamnă că tot ce era câștig devine datorie și tot ce era datorie devine câștig. Toate semnele se răstoarnă.

Atenție: dacă paranteza este înmulțită cu un număr, regula simplă de mai sus nu se aplică direct – acolo trebuie distribuit numărul. În clasa a 6-a, la această lecție, lucrăm mai ales cu paranteze precedate doar de + sau de −, sau calculăm întâi conținutul lor.

Cele două drumuri către același răspuns

Hai să vedem că ambele metode duc la același rezultat. Calculăm $10 - (4 - 7)$ .

Drumul 1 – calculez întâi paranteza: $4 - 7 = - 3$ , deci $10 - (- 3) = 10 + 3 = 13$ .

Drumul 2 – elimin paranteza (minus în față, schimb semnele): $10 - 4 + 7 = 6 + 7 = 13$ .

Același răspuns, 13! Frumusețea este că poți alege drumul care ți se pare mai ușor. Când în paranteză sunt mai mulți termeni, eliminarea parantezelor e adesea mai rapidă.

Un exemplu cu toate cele trei tipuri de paranteze

Să calculăm pas cu pas:

$- 2 + {6 - [3 + (5 - 9)]}$

Mergem dinăuntru spre afară.

Paranteza rotundă: $(5 - 9) = - 4$ . Expresia devine $- 2 + {6 - [3 + (- 4)]}$ .
Calculăm în interiorul pătratelor: $3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1$ . Expresia devine $- 2 + {6 - [- 1]}$ .
Paranteza pătrată cu minus în față: $6 - (- 1) = 6 + 1 = 7$ . Expresia devine $- 2 + {7}$ .
Acolada: rămâne $- 2 + 7 = 5$ .

Rezultat: 5. Vezi? Pas cu pas, cutie cu cutie, fără grabă. Fiecare nivel se rezolvă complet înainte să trecem la următorul.

Combinăm ordinea operațiilor cu parantezele

În realitate, în interiorul unei paranteze pot exista și puteri, și înmulțiri. Atunci, în fiecare paranteză respectăm tot ordinea operațiilor: întâi puteri, apoi ×÷, apoi +−. Să vedem:

$[2 \cdot (- 3)^{2} - 4] : 7$

Puterea din rotundă: $(- 3)^{2} = 9$ (minus la putere pară dă plus). Devine $[2 \cdot 9 - 4] : 7$ .
Înmulțirea din pătrate: $2 \cdot 9 = 18$ . Devine $[18 - 4] : 7$ .
Scăderea din pătrate: $18 - 4 = 14$ . Devine $14 : 7$ .
Împărțirea finală: $14 : 7 = 2$ .

Rezultat: 2. Dacă vrei să-ți reîmprospătezi cum calculezi $(- 3)^{2}$ , revezi lecția Puterea cu exponent natural a unui număr întreg.

Calculul rapid: prietenul tău, proprietățile operațiilor

Uneori, în loc să calculezi „brut", poți folosi proprietățile operațiilor ca să mergi mai repede și să greșești mai puțin.

Comutativitatea și asociativitatea la adunare îți permit să schimbi ordinea și să grupezi termenii cum îți convine. La $- 17 + 25 + 17$ , în loc s-o iei de la stânga, observă că $- 17$ și $+ 17$ sunt opuse și se anulează: $(- 17 + 17) + 25 = 0 + 25 = 25$ . Mult mai rapid!

Distributivitatea te ajută la înmulțiri: $7 \cdot 98 = 7 \cdot (100 - 2) = 700 - 14 = 686$ . Sau invers, dai factorul comun în față: $13 \cdot 8 + 13 \cdot 2 = 13 \cdot (8 + 2) = 13 \cdot 10 = 130$ .

Trucul cu opusele care se anulează este foarte util la sume lungi de numere întregi: grupează plusurile mari cu minusurile lor și scapă de jumătate din muncă.

Algoritmul complet, pas cu pas

Ori de câte ori vezi o expresie lungă cu numere întregi, urmează acest plan:

Lucrează dinăuntru spre afară, paranteză după paranteză: rotunde → pătrate → acolade.
În fiecare paranteză, respectă ordinea: întâi puteri, apoi înmulțiri/împărțiri (stânga→dreapta), apoi adunări/scăderi (stânga→dreapta).
Alternativ, elimină parantezele folosind regula semnelor (plus în față = păstrezi semnele; minus în față = schimbi toate semnele), apoi calculezi.
Verifică semnele la fiecare pas – aici se fac cele mai multe greșeli.
La final, fă adunările și scăderile rămase, de la stânga la dreapta.

Respectând acest algoritm, nu vei mai avea de ce să te temi nici de cele mai stufoase expresii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ordinea de bază, fără paranteze

Calculează: $- 6 + 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4$ .

Rezolvare. Treapta 2 prima: $3 \cdot 5 = 15$ și $2 \cdot 4 = 8$ . Expresia devine $- 6 + 15 - 8$ . Acum treapta 3, de la stânga la dreapta: $- 6 + 15 = 9$ , apoi $9 - 8 = 1$ .

Răspuns: 1. Povestit simplu: am rezolvat întâi cele două înmulțiri, „cele mai tari" de aici, și abia apoi am combinat rezultatele prin adunare și scădere.

Exemplul 2 — eliminarea unei paranteze cu minus în față

Calculează: $12 - (5 - 9 + 3)$ .

Rezolvare prin eliminarea parantezei. Paranteza are minus în față, deci schimbăm toate semnele dinăuntru: $12 - 5 + 9 - 3$ . Acum de la stânga la dreapta: $12 - 5 = 7$ ; $7 + 9 = 16$ ; $16 - 3 = 13$ .

Verificare prin calcularea parantezei: $5 - 9 + 3 = - 1$ , deci $12 - (- 1) = 12 + 1 = 13$ . ✔

Răspuns: 13. Două drumuri, aceeași destinație – semn că am procedat corect.

Exemplul 3 — paranteze rotunde și pătrate

Calculează: $- 4 - [2 - (7 - 10)]$ .

Rezolvare. Începem cu rotunda: $7 - 10 = - 3$ . Devine $- 4 - [2 - (- 3)] = - 4 - [2 + 3] = - 4 - [5]$ . Acum pătrata cu minus în față: $- 4 - 5 = - 9$ .

Răspuns: −9. Observă pasul delicat: $2 - (- 3) = 2 + 3 = 5$ , fiindcă a scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui.

Exemplul 4 — toate cele trei tipuri de paranteze

Calculează: $20 - {8 + [6 - (4 + 3)] - 5}$ .

Rezolvare, dinăuntru spre afară.

Rotunda: $4 + 3 = 7$ . Devine $20 - {8 + [6 - 7] - 5}$ .
Pătrata: $6 - 7 = - 1$ . Devine $20 - {8 + (- 1) - 5}$ .
Acolada: $8 + (- 1) - 5 = 8 - 1 - 5 = 2$ . Devine $20 - 2$ .
Final: $20 - 2 = 18$ .

Răspuns: 18.

Exemplul 5 — puteri în interiorul parantezelor

Calculează: $[(- 2)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{4}] : (- 3)$ .

Rezolvare.

Puteri: $(- 2)^{3} = - 8$ (exponent impar → semnul minus se păstrează); $(- 1)^{4} = 1$ (exponent par → plus). Devine $[- 8 + 5 \cdot 1] : (- 3)$ .
Înmulțirea din pătrate: $5 \cdot 1 = 5$ . Devine $[- 8 + 5] : (- 3)$ .
Adunarea din pătrate: $- 8 + 5 = - 3$ . Devine $(- 3) : (- 3)$ .
Împărțirea finală: $(- 3) : (- 3) = 1$ (minus împărțit la minus dă plus).

Răspuns: 1.

Exemplul 6 — calcul rapid cu proprietățile operațiilor

Calculează inteligent: $- 48 + 17 + 48 - 17 + 100$ .

Rezolvare. Grupăm opusele: $(- 48 + 48) + (17 - 17) + 100 = 0 + 0 + 100 = 100$ .

Răspuns: 100. În loc de patru adunări „grele", am observat că termenii se anulează în perechi și am ajuns instant la rezultat. Acesta este calculul rapid cu numere întregi în acțiune.

Exemplul 7 — o mică problemă cu paranteze

Un submarin pornește de la adâncimea de $- 30$ m (sub nivelul mării). Coboară cu $3 \cdot (5 - 2)$ metri, apoi urcă cu $[20 - (4 + 6)]$ metri. La ce adâncime ajunge?

Rezolvare. Coborârea: $3 \cdot (5 - 2) = 3 \cdot 3 = 9$ m în jos, adică $- 9$ . Urcarea: $20 - (4 + 6) = 20 - 10 = 10$ m în sus, adică $+ 10$ . Adâncimea finală: $- 30 + (- 9) + 10 = - 30 - 9 + 10 = - 29$ .

Răspuns: la $- 29$ m, adică la 29 m sub nivelul mării.

Exemplul 8 — expresie lungă cu toate regulile la un loc

Calculează: $- 3 \cdot [8 - (2 - 5)^{2}] + 4 \cdot (- 2)$ .

Rezolvare, pas cu pas. Lucrăm întâi în interiorul parantezei pătrate, dinăuntru spre afară.

Rotunda: $2 - 5 = - 3$ . Devine $- 3 \cdot [8 - (- 3)^{2}] + 4 \cdot (- 2)$ .
Puterea din pătrate: $(- 3)^{2} = 9$ (exponent par → plus). Devine $- 3 \cdot [8 - 9] + 4 \cdot (- 2)$ .
Scăderea din pătrate: $8 - 9 = - 1$ . Devine $- 3 \cdot (- 1) + 4 \cdot (- 2)$ .
Înmulțirile (treapta 2): $- 3 \cdot (- 1) = 3$ (minus cu minus dă plus) și $4 \cdot (- 2) = - 8$ . Devine $3 + (- 8)$ .
Adunarea finală: $3 + (- 8) = 3 - 8 = - 5$ .

Răspuns: −5. Observă disciplina: am terminat complet ce era între paranteze înainte de a face înmulțirile din afara lor, și abia la final am adunat. Aici se vede limpede de ce conține lecția despre ordinea operațiilor cu numere întregi pentru clasa a 6-a atâtea trepte: fiecare are rolul ei și nu poate fi sărită.

Exemplul 9 — factor comun cu numere întregi

Calculează inteligent: $(- 7) \cdot 12 + (- 7) \cdot 8$ .

Rezolvare. Ambii termeni au factorul comun $(- 7)$ , deci îl scoatem în față (distributivitate): $(- 7) \cdot (12 + 8) = (- 7) \cdot 20 = - 140$ .

Răspuns: −140. Dacă am fi calculat brut, $(- 7) \cdot 12 = - 84$ și $(- 7) \cdot 8 = - 56$ , apoi $- 84 + (- 56) = - 140$ – același rezultat, dar cu mai mult efort și mai multe ocazii de a greși un semn. Recunoașterea factorului comun este o deprindere care îți va folosi mult la algebra din clasele mari.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând de fiecare dată ordinea operațiilor și regula semnelor. Scrie toți pașii!

1. Calculează: $7 + 2 \cdot 6$ .

2. Calculează: $(7 + 2) \cdot 6$ . Compară cu exercițiul 1: de ce diferă?

3. Calculează: $- 10 + 4 \cdot 3 - 2$ .

4. Calculează: $20 - 8 - 5$ (atenție la ordinea de la stânga la dreapta).

5. Calculează: $- 5 \cdot 4 + 18 : (- 3)$ .

6. Elimină paranteza și calculează: $9 + (6 - 11)$ .

7. Elimină paranteza și calculează: $9 - (6 - 11)$ .

8. Calculează: $15 - (8 - 3 + 2)$ .

9. Calculează: $- 4 - [5 - (2 - 9)]$ .

10. Calculează: $30 - {10 + [4 - (1 + 6)]}$ .

11. Calculează: $(- 2)^{2} \cdot 3 - (- 5)$ .

12. Calculează: $[(- 3)^{2} - 4 \cdot 2] : (- 1)$ .

13. Calcul rapid: $- 37 + 56 + 37 - 56$ .

14. Calcul rapid (distributivitate): $25 \cdot 7 - 25 \cdot 3$ .

15. Adevărat sau Fals? $- (3 - 8) = - 3 - 8$ . Justifică.

16. Completează cu numărul potrivit: $14 - (□ + 5) = 6$ .

17. Potrivește fiecare expresie cu rezultatul ei: a) $2 - (3 - 7)$ b) $- (4 - 4)$ c) $(- 1)^{5} \cdot 6$ Rezultate disponibile: $0$ ; $6$ ; $- 6$ .

18. Mică problemă. Temperatura dimineața era $- 7 ° C$ . Peste zi a crescut cu $2 \cdot (8 - 3)$ grade, iar seara a scăzut cu $[12 - (4 + 5)]$ grade. Ce temperatură arăta termometrul seara?

19. Calculează: $- 2 \cdot [10 - (3 - 8)] + 6$ .

20. Calcul rapid (factor comun): $(- 9) \cdot 15 + (- 9) \cdot 5$ .

Răspunsuri și explicații

1. $7 + 2 \cdot 6 = 7 + 12 = 19$ . Înmulțirea are prioritate față de adunare.

2. $(7 + 2) \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ . Paranteza schimbă prioritatea: adunarea se face prima. Diferă de exercițiul 1 fiindcă parantezele „forțează" adunarea înaintea înmulțirii.

3. $- 10 + 4 \cdot 3 - 2 = - 10 + 12 - 2 = 2 - 2 = 0$ . Întâi $4 \cdot 3 = 12$ , apoi de la stânga la dreapta.

4. $20 - 8 - 5 = 12 - 5 = 7$ . Scăderile se fac de la stânga la dreapta; nu $8 - 5$ întâi.

5. $- 5 \cdot 4 + 18 : (- 3) = - 20 + (- 6) = - 26$ . Întâi înmulțirea și împărțirea: $- 5 \cdot 4 = - 20$ , $18 : (- 3) = - 6$ ; apoi adunarea.

6. $9 + (6 - 11) = 9 + 6 - 11 = 15 - 11 = 4$ . Plus în față → semnele rămân. (Verificare: $6 - 11 = - 5$ , $9 + (- 5) = 4$ .) ✔

7. $9 - (6 - 11) = 9 - 6 + 11 = 3 + 11 = 14$ . Minus în față → schimbăm toate semnele. (Verificare: $6 - 11 = - 5$ , $9 - (- 5) = 14$ .) ✔

8. $15 - (8 - 3 + 2) = 15 - 8 + 3 - 2 = 7 + 3 - 2 = 8$ . Minus în față → toate semnele se inversează.

9. $- 4 - [5 - (2 - 9)]$ . Rotunda: $2 - 9 = - 7$ . Devine $- 4 - [5 - (- 7)] = - 4 - [5 + 7] = - 4 - 12 = - 16$ .

10. $30 - {10 + [4 - (1 + 6)]}$ . Rotunda: $1 + 6 = 7$ . Pătrata: $4 - 7 = - 3$ . Acolada: $10 + (- 3) = 7$ . Final: $30 - 7 = 23$ .

11. $(- 2)^{2} \cdot 3 - (- 5) = 4 \cdot 3 - (- 5) = 12 + 5 = 17$ . Puterea întâi: $(- 2)^{2} = 4$ ; apoi înmulțirea; apoi scăderea unui negativ devine adunare.

12. $[(- 3)^{2} - 4 \cdot 2] : (- 1) = [9 - 8] : (- 1) = 1 : (- 1) = - 1$ . Putere, apoi înmulțire, apoi scădere, apoi împărțire.

13. $- 37 + 56 + 37 - 56 = (- 37 + 37) + (56 - 56) = 0 + 0 = 0$ . Opusele se anulează.

14. $25 \cdot 7 - 25 \cdot 3 = 25 \cdot (7 - 3) = 25 \cdot 4 = 100$ . Am dat factorul comun 25 în față (distributivitate).

15. Fals. $- (3 - 8) = - 3 + 8 = 5$ , în timp ce $- 3 - 8 = - 11$ . La eliminarea parantezei cu minus în față trebuie schimbat semnul fiecărui termen, deci și al lui $- 8$ , care devine $+ 8$ . Cele două expresii nu sunt egale.

16. $14 - (□ + 5) = 6$ . Înseamnă $□ + 5 = 14 - 6 = 8$ , deci $□ = 8 - 5 = 3$ . (Verificare: $14 - (3 + 5) = 14 - 8 = 6$ .) ✔

17. a) $2 - (3 - 7) = 2 - (- 4) = 2 + 4 = 6$ . b) $- (4 - 4) = - 0 = 0$ . c) $(- 1)^{5} \cdot 6 = (- 1) \cdot 6 = - 6$ (exponent impar → $- 1$ ). Potriviri: a → 6, b → 0, c → −6.

18. Creșterea: $2 \cdot (8 - 3) = 2 \cdot 5 = 10$ grade în plus. Scăderea: $12 - (4 + 5) = 12 - 9 = 3$ grade în minus. Seara: $- 7 + 10 - 3 = 3 - 3 = 0 ° C$ . Termometrul arăta exact 0 °C.

19. $- 2 \cdot [10 - (3 - 8)] + 6$ . Rotunda: $3 - 8 = - 5$ . Pătrata: $10 - (- 5) = 10 + 5 = 15$ . Înmulțirea: $- 2 \cdot 15 = - 30$ . Final: $- 30 + 6 = - 24$ . Atenție: înmulțirea cu $- 2$ se face abia după ce ai terminat tot ce era în paranteza pătrată.

20. $(- 9) \cdot 15 + (- 9) \cdot 5 = (- 9) \cdot (15 + 5) = (- 9) \cdot 20 = - 180$ . Am scos factorul comun $(- 9)$ în față.

De reținut

Ordinea operațiilor are trei trepte: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile; în cadrul aceleiași trepte lucrăm de la stânga la dreapta.
Parantezele se desfac dinăuntru spre afară: rotunde $()$ → pătrate $[]$ → acolade ${}$ .
Regula semnelor la paranteze: plus în față ⇒ păstrezi semnele; minus în față ⇒ schimbi semnul fiecărui termen din paranteză.
A scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui: $a - (- b) = a + b$ .
Proprietățile operațiilor (opuse care se anulează, factor comun, distributivitate) duc la calcul rapid și mai puține greșeli.

Greșeli frecvente

Adun înainte de a înmulți. La $2 + 3 \cdot 4$ unii scriu $5 \cdot 4 = 20$ . Greșit! Înmulțirea are prioritate: $2 + 12 = 14$ . Respectă mereu treptele.
Uit să schimb toate semnele când e minus în față. La $9 - (6 - 11)$ unii schimbă doar primul semn: $9 - 6 - 11$ . Greșit. Toate semnele se inversează: $9 - 6 + 11 = 14$ .
Fac scăderile/împărțirile în ordine greșită. $20 - 8 - 5$ nu este $20 - 3 = 17$ , ci $12 - 5 = 7$ . Mergi strict de la stânga la dreapta.
Greșesc semnul la puteri cu bază negativă. $(- 2)^{2} = 4$ (par → plus), dar $(- 2)^{3} = - 8$ (impar → minus). Verifică paritatea exponentului înainte de a pune semnul.

Joc acasă

Jocul 1 — Cărțile cu semn. Ia o pungă cu bilețele: pe unele scrii numere pozitive (de la $+ 1$ la $+ 9$ ), pe altele negative (de la $- 1$ la $- 9$ ). Extrage 4 bilețele și formează o expresie cu o paranteză, de exemplu $a - (b + c) \cdot d$ unde puterea o adaugi tu opțional. Calculează respectând ordinea operațiilor, apoi cere unui părinte să verifice. Cine greșește mai puțin în 5 runde câștigă.

Jocul 2 — Liftul din bloc. Folosește butoanele liftului ca pe o axă a numerelor (subsolul = numere negative). Pleci de la etajul $- 2$ (al doilea subsol). Aruncă un zar de două ori: primul rezultat îl înmulțești cu $(+ 1)$ sau $(- 1)$ (tragi la sorți semnul) și urci/cobori atâtea etaje, la fel cu al doilea. Scrie expresia cu paranteze, de pildă $- 2 + 3 \cdot (+ 1) + 5 \cdot (- 1)$ , și calculează unde ajungi. Apoi mergeți efectiv cu liftul și verificați.

Jocul 3 — Provocarea celor patru paranteze. Scrie pe o foaie o expresie care să conțină toate cele trei tipuri de paranteze și cel puțin o putere, de exemplu ${2 - [(- 1)^{2} + (3 - 5)]}$ . Dă-i-o unui frate, prieten sau părinte s-o rezolve, iar tu rezolvă-o separat. Comparați răspunsurile: dacă diferă, găsiți împreună pasul în care unul dintre voi a greșit semnul sau ordinea.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează toate operațiile cu numere întregi învățate anterior, punându-le la lucru împreună. Cea mai frecventă sursă de eroare la clasa a VI-a nu este aritmetica în sine, ci gestionarea semnelor la eliminarea parantezelor și ordinea atunci când apar mai multe operații.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți-i mereu să scrie pașii, nu doar rezultatul. Un calcul în care fiecare linie e justificată poate fi verificat și corectat ușor; un rezultat „din cap" ascunde greșelile.
Folosiți întrebarea-cheie: „Ce operație are prioritate aici și de ce?" Astfel elevul verbalizează regula, nu o aplică mecanic.
La paranteze cu minus în față, întrebați: „Ce se întâmplă cu fiecare semn dinăuntru?" Insistați pe cuvântul fiecare – acolo se pierd punctele.
Verificați înțelegerea cerând două drumuri spre același rezultat: o dată calculând paranteza, o dată eliminând-o. Dacă rezultatele coincid, elevul a stăpânit regula; dacă diferă, ați localizat exact confuzia.
Pentru elevii care lucrează corect, ridicați ștacheta cu calculul rapid: „Poți face asta mai inteligent, grupând opusele sau dând factor comun?" Aceasta dezvoltă flexibilitatea de calcul, utilă mai târziu la algebră.

Un semn bun de stăpânire a lecției este când elevul, văzând o expresie lungă, nu se grăbește, ci spune calm: „întâi paranteza interioară, apoi…". Lăudați acest reflex de planificare.

Întrebări frecvente

Care este ordinea efectuării operațiilor cu numere întregi în clasa a 6-a? Mai întâi se calculează puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (de la stânga la dreapta), apoi adunările și scăderile (tot de la stânga la dreapta). Parantezele modifică această ordine: ce e în paranteză se rezolvă primul.

În ce ordine desfac parantezele rotunde, pătrate și acoladele? Întotdeauna dinăuntru spre afară: mai întâi parantezele rotunde $()$ , apoi cele pătrate $[]$ , apoi acoladele ${}$ . Te porți cu ele ca și cu niște cutii așezate una în alta: o deschizi pe cea mai mică din interior prima.

Ce se întâmplă cu semnele când elimin o paranteză cu minus în față? Schimbi semnul fiecărui termen din interior: plus devine minus și minus devine plus. De exemplu, $a - (b - c) = a - b + c$ . Dacă în față este plus, semnele rămân neschimbate.

De ce $2 + 3 \cdot 4$ este 14 și nu 20? Pentru că înmulțirea are prioritate față de adunare. Calculezi întâi $3 \cdot 4 = 12$ și abia apoi $2 + 12 = 14$ . Ai obține 20 doar dacă ar exista paranteze: $(2 + 3) \cdot 4 = 20$ .

Cât face $a - (- b)$ ? Face $a + b$ . A scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui, deci minus cu minus devine plus. De exemplu, $7 - (- 4) = 7 + 4 = 11$ .

Contează ordinea la scăderi și împărțiri? Da, foarte mult. Scăderile și împărțirile se fac strict de la stânga la dreapta. Astfel $20 - 8 - 5 = 7$ , nu 17, iar $24 : 6 : 2 = 2$ , nu 8.

Cum fac un calcul rapid cu numere întregi? Folosește proprietățile operațiilor: grupează numerele opuse care se anulează (ex. $- 17 + 17 = 0$ ), dă factorul comun în față ( $13 \cdot 8 + 13 \cdot 2 = 13 \cdot 10$ ) sau scrie un număr ca o sumă/diferență comodă ( $7 \cdot 98 = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 2$ ).

Ce greșesc cel mai des elevii la parantezele în ℤ? Cele mai frecvente greșeli sunt: schimbarea doar a primului semn (nu a tuturor) la paranteza cu minus în față, efectuarea adunării înaintea înmulțirii și greșirea semnului la puterile cu bază negativă. Verificarea pe două drumuri și scrierea fiecărui pas le previne.