Puterea cu exponent natural a unui număr întreg

Ai învățat deja în clasa a V-a ce înseamnă puterea unui număr natural: o înmulțire scurtată, în care același număr se repetă de mai multe ori. Acum facem un pas mai departe și ducem ideea de putere în lumea numerelor întregi, acolo unde apar și numerele negative. O să descoperi un lucru surprinzător și foarte util: la o bază negativă, semnul rezultatului depinde de exponent — uneori iese pozitiv, alteori negativ. Dacă înțelegi bine acest tipar, vei rezolva rapid calcule care altora le par grele.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii o putere a unui număr întreg ca produs de factori egali și să o calculezi corect.
• Vei ști să stabilești semnul unei puteri când baza este negativă, după cum exponentul este par sau impar.
• Vei ști să faci diferența clară între (-2)⁴ și -2⁴, o capcană care încurcă mulți elevi.
• Vei ști să aplici regulile de calcul cu puteri (produsul, câtul și puterea puterii) în mulțimea numerelor întregi ℤ.
• Vei ști să rezolvi calcule numerice combinate, respectând ordinea operațiilor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă o putere

Să ne reamintim. A ridica un număr la o putere înseamnă a-l înmulți cu el însuși de un anumit număr de ori. Scrierea sub formă de putere este doar o prescurtare elegantă a unei înmulțiri lungi.

De exemplu, în loc să scriem 3 · 3 · 3 · 3, scriem mult mai scurt 3⁴. Aici:

• numărul 3 care se repetă se numește bază;
• numărul 4, scris mic și sus, ne spune de câte ori apare baza în înmulțire și se numește exponent;
• rezultatul, 81, se numește putere.

Definiție. Fie a un număr întreg și n un număr natural, n ≥ 2. Puterea a n-a a lui a este produsul a n factori egali cu a:

aⁿ = a · a · a · … · a (de n ori)

Citim aⁿ ca „a la puterea n" sau „a la a n-a".

Lucrul nou și important este că de data aceasta baza poate fi un număr întreg, deci poate fi și negativă, de exemplu (-2), (-7) sau (-10).

2. Cazurile speciale: exponentul 1 și exponentul 0

Două situații merită reținute pe de rost, pentru că apar des:

• Orice număr la puterea întâi este egal cu el însuși: a¹ = a. De exemplu, (-6)¹ = -6. E logic: dacă baza apare „o singură dată", nu se schimbă nimic.
• Orice număr întreg nenul ridicat la puterea zero este egal cu 1: a⁰ = 1, pentru a ≠ 0. Deci (-5)⁰ = 1, 7⁰ = 1, (-100)⁰ = 1.

Această regulă pare ciudată la prima vedere — „de zero ori" cum poate da 1? O vei înțelege deplin la regula câtului, mai jos. Deocamdată reține: la puterea 0, orice bază nenulă dă 1.

3. Cum scriem o putere cu bază negativă — folosește parantezele!

Iată cel mai important detaliu din toată lecția. Când baza este un număr negativ, trebuie obligatoriu să o închidem în paranteze.

Compară cu atenție aceste două scrieri:

• (-2)⁴ înseamnă: baza este -2, iar ea se înmulțește de 4 ori: (-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2).
• -2⁴ înseamnă: baza este doar 2, ridicăm la a 4-a și abia apoi punem minusul în față: -2⁴ = -(2 · 2 · 2 · 2) = -(16) = -16.

Vezi diferența uriașă? La (-2)⁴ minusul intră în înmulțire de patru ori, iar la -2⁴ minusul stă deoparte, neatins. Rezultatele sunt complet diferite:

(-2)⁴ = 16, dar -2⁴ = -16.

Regula de scriere: dacă vrei ca semnul minus să facă parte din bază, închide baza în paranteze. Fără paranteze, exponentul „prinde" doar numărul, nu și minusul din față.

4. Semnul unei puteri cu bază negativă — marele tipar

Acum ajungem la inima lecției. Să calculăm câteva puteri ale lui -2 și să fim atenți la semnul rezultatului. Folosim regula semnelor de la înmulțirea numerelor întregi (minus ori minus dă plus, minus ori plus dă minus).

• (-2)¹ = -2 → negativ
• (-2)² = (-2)·(-2) = +4 → pozitiv
• (-2)³ = (-2)·(-2)·(-2) = (+4)·(-2) = -8 → negativ
• (-2)⁴ = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = (+4)·(+4) = +16 → pozitiv
• (-2)⁵ = -32 → negativ

Observi cum se aprinde și se stinge semnul, ca un bec care clipește: negativ, pozitiv, negativ, pozitiv… De ce se întâmplă asta? Pentru că la fiecare înmulțire cu un număr negativ, semnul se schimbă. Factorii negativi „se anulează" doi câte doi: două minusuri alăturate dau un plus.

• Dacă exponentul este par, factorii negativi se grupează perfect în perechi, fiecare pereche dă plus, deci rezultatul este pozitiv.
• Dacă exponentul este impar, perechile acoperă aproape tot, dar rămâne mereu un minus „singur, fără pereche", deci rezultatul este negativ.

Regula semnului unei puteri. Fie a un număr întreg.

• Dacă baza este pozitivă (a > 0), puterea este întotdeauna pozitivă, indiferent de exponent.
• Dacă baza este negativă (a < 0):
  • exponent par → putere pozitivă;
  • exponent impar → putere negativă.

Pe scurt, un mic vers care te ajută să ții minte: „bază negativă, exponent par → rezultat frumos (pozitiv); exponent impar → rezultat ascuns (negativ)."

Marea putere a acestei reguli este că poți afla semnul fără să faci calculul. De exemplu, (-3)¹⁰⁰ este pozitiv (100 e par), iar (-3)⁹⁹ este negativ (99 e impar), chiar dacă numerele în sine sunt uriașe.

5. Un caz special foarte util: puterile lui (−1)

Numărul -1 are o comportare deosebit de simplă și apare des în probleme:

• (-1) la orice exponent par dă +1;
• (-1) la orice exponent impar dă -1.

Deci (-1)² = 1, (-1)³ = -1, (-1)¹⁰⁰⁰ = 1, (-1)²⁰²⁵ = -1. Practic, (-1)ⁿ este un mic „comutator" de semn, care îți spune doar dacă răspunsul e plus sau minus. Îl vei folosi mult în clasele următoare.

Ca să fixezi ideea, hai să privim un mic tabel comparativ între puterile lui 2 și ale lui -2. Vei vedea clar că valorile sunt aceleași, dar la baza negativă apare semnul care alternează:

Observă: pe rândurile pare, 2ⁿ și (-2)ⁿ sunt identice; pe rândurile impare, diferă doar prin semn. Acesta este, de fapt, întreg secretul lecției strâns într-un singur tabel.

6. Regulile de calcul cu puteri

Aceleași reguli pe care le-ai învățat pentru numere naturale rămân valabile și pentru numere întregi. Singura grijă în plus: ținem cont de semnul bazei. Le luăm pe rând.

a) Produsul a două puteri cu aceeași bază — exponenții se adună:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

De ce? Pentru că pur și simplu numărăm câte ori apare baza în total. Exemplu cu bază întreagă:

(-2)³ · (-2)⁴ = (-2)³⁺⁴ = (-2)⁷ = -128.

b) Câtul a două puteri cu aceeași bază (bază nenulă, m ≥ n) — exponenții se scad:

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Exemplu:

(-3)⁷ : (-3)⁴ = (-3)⁷⁻⁴ = (-3)³ = -27.

Acum înțelegi și de unde vine a⁰ = 1: dacă împărțim o putere la ea însăși, de exemplu (-3)⁵ : (-3)⁵, după regulă obținem (-3)⁰. Dar orice număr împărțit la el însuși dă 1. Deci (-3)⁰ = 1. Frumos, nu?

c) Puterea unei puteri — exponenții se înmulțesc:

(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Atenție: aici exponenții se înmulțesc, nu se adună. Exemplu:

[(-2)³]² = (-2)³·² = (-2)⁶ = 64.

d) Puterea unui produs — fiecare factor se ridică la putere:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Exemplu: [(-2) · 3]² = (-6)² = 36, și verificăm: (-2)² · 3² = 4 · 9 = 36. Identic.

Atenție la o capcană: regula produsului și a câtului funcționează numai dacă baza este aceeași. Nu poți aduna exponenții la (-2)³ · (-3)⁴, pentru că bazele sunt diferite (-2 și -3). În acest caz, calculezi fiecare putere separat și apoi înmulțești: (-8) · 81 = -648.

7. O mică poveste ca să ții minte

Imaginează-ți semnul minus ca pe un buton care schimbă culoarea unui semafor dintr-o stare în alta. La fiecare factor (-2) apăsăm o dată butonul. Pornim de la verde (pozitiv).

• O apăsare → roșu (negativ).
• Două apăsări → înapoi la verde (pozitiv).
• Trei apăsări → iar roșu.
• Patru apăsări → iar verde.

Numărul de apăsări este chiar exponentul. Par de apăsări → revii la verde (pozitiv); impar de apăsări → rămâi pe roșu (negativ). Exact regula par/impar! Data viitoare când vezi o bază negativă, întreabă-te doar: „de câte ori apăs butonul — număr par sau impar?"

8. Unde folosim puterile cu semn

Poate te întrebi: la ce-mi folosesc puterile bazelor negative în viața reală? Răspunsul e că ele apar oriunde un proces alternează între două stări. Iată câteva exemple potrivite vârstei tale:

• Pași înainte și înapoi. Imaginează-ți un robot care la fiecare comandă își dublează deplasarea și își schimbă direcția: înainte, înapoi, înainte, înapoi. Direcția lui după n comenzi este chiar semnul lui (-2)ⁿ — par înseamnă „înainte", impar înseamnă „înapoi".
• Tabla de șah și culorile. Pătrățelele alternează negru-alb exact ca semnul lui (-1)ⁿ. Multe jocuri de logică folosesc acest tipar.
• Calcule mari, scrise scurt. Puterile comprimă înmulțiri uriașe: în loc să scrii 2 înmulțit cu el însuși de zece ori, scrii 2¹⁰ = 1024. La informatică și la științe, această scriere economisește enorm timp și spațiu.

Ideea de fond este aceeași peste tot: exponentul îți spune „de câte ori", iar semnul bazei plus paritatea exponentului îți spun „în ce direcție".

Reține și legătura cu lecția despre înmulțirea numerelor întregi și cea despre împărțirea numerelor întregi: puterea nu e altceva decât o înmulțire repetată, iar câtul puterilor se sprijină pe împărțire. În lecția următoare, despre ordinea operațiilor și paranteze în ℤ, vom combina puterile cu toate celelalte operații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul de bază cu semn

Calculează: (-3)², (-3)³, (-3)⁴.

Rezolvare. Scriem fiecare putere ca înmulțire repetată și folosim regula semnelor.

• (-3)² = (-3)·(-3) = 9. Exponent par → pozitiv.
• (-3)³ = (-3)·(-3)·(-3) = 9·(-3) = -27. Exponent impar → negativ.
• (-3)⁴ = (-3)·(-3)·(-3)·(-3) = 9·9 = 81. Exponent par → pozitiv.

Răspuns: 9, -27, 81. Observă cum semnul se schimbă exact după regula par/impar.

Exemplul 2 — Capcana parantezelor

Calculează și compară: (-5)² și -5².

Rezolvare. Citim cu atenție unde este baza.

• La (-5)², baza este -5: (-5)² = (-5)·(-5) = 25.
• La -5², baza este doar 5, iar minusul stă în față: -5² = -(5·5) = -25.

Răspuns: (-5)² = 25, dar -5² = -25. Deși seamănă, sunt complet diferite. Parantezele decid totul.

Exemplul 3 — Semnul fără calcul

Stabilește semnul puterilor, fără a le calcula: (-7)⁵⁰, (-7)⁵¹, (-2)²⁰²⁶, (-9)⁹⁹⁹.

Rezolvare. Toate au bază negativă, deci ne uităm doar la exponent: par sau impar.

• (-7)⁵⁰: 50 e par → pozitiv.
• (-7)⁵¹: 51 e impar → negativ.
• (-2)²⁰²⁶: 2026 e par → pozitiv.
• (-9)⁹⁹⁹: 999 e impar → negativ.

Răspuns: +, −, +, −. Nu a fost nevoie de niciun calcul lung — doar de regula par/impar.

Exemplul 4 — Produs și cât de puteri

Calculează: a) (-2)⁵ · (-2)²; b) (-3)⁸ : (-3)⁶.

Rezolvare.

a) Aceeași bază (-2), deci adunăm exponenții: (-2)⁵ · (-2)² = (-2)⁵⁺² = (-2)⁷ = -128 (exponent impar → negativ).

b) Aceeași bază (-3), deci scădem exponenții: (-3)⁸ : (-3)⁶ = (-3)⁸⁻⁶ = (-3)² = 9 (exponent par → pozitiv).

Răspuns: a) -128; b) 9.

Exemplul 5 — Puterea puterii

Calculează: a) [(-2)³]²; b) [(-1)⁷]⁵.

Rezolvare. La puterea unei puteri înmulțim exponenții.

a) [(-2)³]² = (-2)³·² = (-2)⁶ = 64 (exponent par → pozitiv).

b) [(-1)⁷]⁵ = (-1)⁷·⁵ = (-1)³⁵ = -1 (exponent impar → negativ).

Răspuns: a) 64; b) -1.

Exemplul 6 — Calcul combinat cu ordinea operațiilor

Calculează: E = (-2)⁴ + (-3)³ - (-1)⁷.

Rezolvare. Mai întâi calculăm fiecare putere (puterile se efectuează înaintea adunării și scăderii).

• (-2)⁴ = 16 (par → pozitiv).
• (-3)³ = -27 (impar → negativ).
• (-1)⁷ = -1 (impar → negativ).

Înlocuim: E = 16 + (-27) - (-1) = 16 - 27 + 1.

Calculăm de la stânga la dreapta: 16 - 27 = -11, apoi -11 + 1 = -10.

Răspuns: E = -10.

Exemplul 7 — Suma puterilor lui (−1)

Calculează: S = (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ + … + (-1)¹⁰.

Rezolvare. Termenii alternează: -1, +1, -1, +1, …. Sunt 10 termeni, deci 5 perechi de forma (-1) + (+1) = 0.

S = [(-1)+1] + [(-1)+1] + [(-1)+1] + [(-1)+1] + [(-1)+1] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Răspuns: S = 0. Trucul: la o sumă de puteri ale lui -1 cu număr par de termeni consecutivi care începe de la exponentul 1, totul se anulează și rezultatul este 0.

Exemplul 8 — Combinăm trei reguli într-un singur calcul

Calculează: F = [(-2)²]³ : (-2)⁴.

Rezolvare. Lucrăm pas cu pas, în ordinea în care apar regulile.

• Întâi puterea puterii (înmulțim exponenții): [(-2)²]³ = (-2)²·³ = (-2)⁶.
• Acum avem F = (-2)⁶ : (-2)⁴. Aceeași bază, deci scădem exponenții: (-2)⁶⁻⁴ = (-2)².
• Calculăm: (-2)² = 4.

Răspuns: F = 4. Am folosit, pe rând, regula puterii puterii și regula câtului — exact cum vei face la calculele combinate din lecțiile următoare.

Exemplul 9 — De ce baza pozitivă dă mereu pozitiv

Calculează (-3)⁴ și 3⁴ și explică legătura.

Rezolvare. 3⁴ = 3·3·3·3 = 81. Pentru (-3)⁴ avem exponent par, deci toate cele patru minusuri se grupează în două perechi, fiecare dând plus: (-3)⁴ = 81. Cele două rezultate sunt egale.

Răspuns: ambele dau 81. Concluzie utilă: când exponentul este par, (-a)ⁿ = aⁿ. Când exponentul este impar, (-a)ⁿ = -(aⁿ). Aceasta este, pe scurt, întreaga regulă a semnului scrisă cu litere.

Exemplul 10 — Puterile lui (−1) ca „comutator de semn"

Calculează: G = (-2)³ · (-1)⁴ + (-3)² · (-1)⁵.

Rezolvare. Puterile lui -1 ne dau doar un semn, pe care îl folosim apoi ca factor obișnuit.

• (-1)⁴ = 1 (exponent par → pozitiv).
• (-1)⁵ = -1 (exponent impar → negativ).
• (-2)³ = -8 și (-3)² = 9.

Înlocuim cu grijă: G = (-8)·1 + 9·(-1) = -8 + (-9) = -17.

Răspuns: G = -17. Vezi cum (-1)ⁿ lucrează exact ca un întrerupător: nu schimbă valoarea, ci doar semnul factorului pe care îl însoțește.

Exemplul 11 — Când câtul dă puterea zero

Calculează: H = (-4)⁵ : (-4)⁵ + (-2)³.

Rezolvare. Privim întâi câtul a două puteri identice.

• (-4)⁵ : (-4)⁵ = (-4)⁵⁻⁵ = (-4)⁰ = 1.
• (-2)³ = -8.

Adunăm: H = 1 + (-8) = -7.

Răspuns: H = -7. De fiecare dată când împărți o putere la ea însăși obții baza la puterea 0, adică 1 — încă o dovadă vie a regulii a⁰ = 1.

Exemplul 12 — Ordonăm puteri cu semn

Ordonează descrescător: (-2)⁵, (-3)², (-1)⁷, 2³.

Rezolvare. Calculăm fiecare valoare, folosind regula par/impar pentru semn.

• (-2)⁵ = -32 (impar → negativ).
• (-3)² = 9 (par → pozitiv).
• (-1)⁷ = -1 (impar → negativ).
• 2³ = 8 (bază pozitivă → pozitiv).

Comparăm numerele: cel mai mare este 9, urmează 8, apoi -1, iar cel mai mic este -32.

Răspuns: (-3)² > 2³ > (-1)⁷ > (-2)⁵. Trucul la ordonare: numerele pozitive sunt mereu mai mari decât cele negative, iar dintre două negative este mai mare cel mai apropiat de zero.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie pașii, nu doar răspunsul final.

1. Calculează: (-4)², (-4)³, (-1)⁵, (-1)⁶, 0⁷, (-10)³.

2. Stabilește semnul, fără a calcula valoarea: (-6)¹⁰⁰, (-8)⁴⁵, (-2)²⁰²⁶, (-3)⁹⁹⁹, 5²⁰²⁴.

3. Adevărat sau fals? Justifică pe scurt. a) (-3)² = -9 b) -3² = -9 c) (-2)³ = -8 d) (-1)²⁰²⁶ = 1 e) (-5)⁰ = 0 f) (-2)⁴ = (-4)²

4. Calculează și compară perechile, scriind ce simbol potrivit pui între ele (<, > sau =): a) (-5)² … -5² b) (-2)⁴ … (-2)⁵ c) (-3)² … (-2)³

5. Scrie ca o singură putere, apoi calculează: (-2)³ · (-2)⁴.

6. Scrie ca o singură putere, apoi calculează: (-3)² · (-3)².

7. Scrie ca o singură putere, apoi calculează: (-2)⁹ : (-2)⁶.

8. Scrie ca o singură putere, apoi calculează: (-7)⁵ : (-7)³.

9. Calculează folosind regula puterii puterii: [(-2)³]², [(-1)⁵]⁷, [(-3)²]².

10. Completează exponentul lipsă: (-2)³ · (-2)^◻ = (-2)⁷.

11. Calculează respectând ordinea operațiilor: (-2)³ + (-3)².

12. Calculează respectând ordinea operațiilor: (-1)⁵ - (-2)⁴.

13. Calculează: (-2)⁴ · (-3)² - (-5)².

14. Calculează suma: T = (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ + … + (-1)⁹.

15. Ordonează crescător numerele: (-2)³, (-3)², (-1)⁴, -2⁴.

16. Mică problemă. Andrei spune că (-2)⁶ și 2⁶ sunt egale, iar Bianca spune că (-2)⁵ și 2⁵ sunt egale. Cine are dreptate? Calculează și explică.

17. Găsește toate numerele întregi a pentru care a² = 25. Câte soluții ai găsit?

18. Provocare. Fără a calcula valoarea exactă, stabilește semnul expresiei (-3)⁴¹ · (-2)¹² : (-5)⁷, folosind doar regulile de semn.

19. Scrie ca o singură putere, apoi calculează: (-2)² · (-2)³ · (-2).

20. Calculează respectând ordinea operațiilor: (-1)¹⁰⁰ · (-3)² - (-2)⁴.

21. Găsește numărul natural a știind că (-2)ᵃ = -32.

22. Adevărat sau fals? Justifică: (-10)⁴ = 10⁴.

Răspunsuri și explicații

1. (-4)² = 16 (par→+); (-4)³ = -64 (impar→−); (-1)⁵ = -1; (-1)⁶ = 1; 0⁷ = 0 (zero la orice putere nenulă e zero); (-10)³ = -1000 (impar→−).

2. (-6)¹⁰⁰ → + (100 par); (-8)⁴⁵ → − (45 impar); (-2)²⁰²⁶ → + (2026 par); (-3)⁹⁹⁹ → − (999 impar); 5²⁰²⁴ → + (bază pozitivă, mereu pozitiv).

3. a) Fals: (-3)² = 9, nu -9. b) Adevărat: la -3² minusul stă afară, -3² = -9. c) Adevărat: (-2)³ = -8. d) Adevărat: exponent par → 1. e) Fals: orice bază nenulă la puterea 0 dă 1, deci (-5)⁰ = 1. f) Adevărat: (-2)⁴ = 16 și (-4)² = 16.

4. a) (-5)² = 25, -5² = -25, deci 25 > -25 → >. b) (-2)⁴ = 16, (-2)⁵ = -32, deci 16 > -32 → >. c) (-3)² = 9, (-2)³ = -8, deci 9 > -8 → >.

5. Aceeași bază, adunăm exponenții: (-2)³⁺⁴ = (-2)⁷ = -128.

6. (-3)²⁺² = (-3)⁴ = 81.

7. (-2)⁹⁻⁶ = (-2)³ = -8.

8. (-7)⁵⁻³ = (-7)² = 49.

9. [(-2)³]² = (-2)⁶ = 64; [(-1)⁵]⁷ = (-1)³⁵ = -1; [(-3)²]² = (-3)⁴ = 81.

10. (-2)³ · (-2)^◻ = (-2)⁷ înseamnă 3 + ◻ = 7, deci ◻ = 4.

11. (-2)³ + (-3)² = -8 + 9 = 1.

12. (-1)⁵ - (-2)⁴ = -1 - 16 = -17.

13. (-2)⁴ · (-3)² - (-5)² = 16 · 9 - 25 = 144 - 25 = 119.

14. Sunt 9 termeni: -1+1-1+1-1+1-1+1-1. Patru perechi (-1+1)=0 plus ultimul (-1)⁹ = -1. Deci T = 0 - 1 = -1.

15. Calculăm: (-2)³ = -8; (-3)² = 9; (-1)⁴ = 1; -2⁴ = -16. Ordonate crescător: -16 < -8 < 1 < 9, adică -2⁴ < (-2)³ < (-1)⁴ < (-3)².

16. (-2)⁶ = 64 și 2⁶ = 64 → egale, deci Andrei are dreptate (exponent par, semnul dispare). (-2)⁵ = -32, dar 2⁵ = 32 → diferite, deci Bianca greșește (exponent impar, baza negativă păstrează minusul).

17. a² = 25 are soluțiile a = 5 și a = -5, pentru că 5² = 25 și (-5)² = 25. Sunt două soluții întregi.

18. Semnele: (-3)⁴¹ → − (41 impar); (-2)¹² → + (12 par); (-5)⁷ → − (7 impar). Acum combinăm semnele: (−) · (+) : (−). Mai întâi (−)·(+) = (−), apoi (−):(−) = (+). Rezultatul expresiei este pozitiv.

19. Aceeași bază (-2), deci adunăm toți exponenții (al treilea factor are exponent 1): 2 + 3 + 1 = 6. Deci (-2)⁶ = 64.

20. (-1)¹⁰⁰ = 1 (par); (-3)² = 9; (-2)⁴ = 16. Înlocuim: 1 · 9 - 16 = 9 - 16 = -7.

21. Rezultatul -32 este negativ, deci exponentul trebuie să fie impar. Cum (-2)⁵ = -32, avem a = 5.

22. Adevărat: exponentul 4 este par, deci semnul bazei dispare. (-10)⁴ = 10000 și 10⁴ = 10000 — sunt egale.

De reținut

• aⁿ înseamnă a înmulțit cu el însuși de n ori; a¹ = a și a⁰ = 1 (pentru a ≠ 0).
• La bază negativă: exponent par → rezultat pozitiv; exponent impar → rezultat negativ.
• (-2)⁴ și -2⁴ nu sunt la fel: parantezele decid dacă minusul face parte din bază.
• Reguli de calcul cu aceeași bază: la produs adun exponenții, la cât scad exponenții, la putere a puterii înmulțesc exponenții.
• Poți afla semnul unei puteri fără să o calculezi, doar privind baza și paritatea exponentului.

Greșeli frecvente

• Confuzia (-2)⁴ cu -2⁴. Mulți scriu -2⁴ = 16. Greșit: -2⁴ = -16, fiindcă minusul nu e în paranteză. Verifică mereu unde stă semnul minus înainte de a calcula.
• „Bază negativă înseamnă rezultat negativ". Nu! Depinde de exponent. (-3)² este pozitiv (9), nu negativ. Aplică regula par/impar, nu te lua după semnul bazei singur.
• Adunarea exponenților la baze diferite. (-2)³ · (-3)² NU este (-6)⁵. Bazele sunt diferite, deci calculezi separat: (-8)·9 = -72. Regula exponenților se aplică doar la aceeași bază.
• Confuzia „putere a puterii" cu „produs". La [(-2)³]² exponenții se înmulțesc (3·2=6), nu se adună. Iar la (-2)³ · (-2)² se adună (3+2=5). Întreabă-te: e o putere ridicată din nou la putere, sau e un produs de puteri?

Joc acasă

1. Semaforul semnelor. Ia o foaie și scrie pe ea „PAR → +" și „IMPAR → −". Roagă un părinte sau un coleg să-ți spună rapid puteri cu bază negativă, de exemplu (-4)⁷, (-9)¹⁰, (-2)¹⁵. Tu trebuie să strigi instantaneu doar semnul, fără să calculezi. Cine greșește semnul cedează un punct. Jucați 10 runde — antrenezi reflexul par/impar.

2. Capcana parantezelor. Pregătește 8 cartonașe. Pe jumătate scrie expresii de tip (-3)², pe cealaltă jumătate de tip -3². Amestecă-le și extrage câte unul; spune valoarea corectă. Verifică cu un calculator (atenție: pe multe calculatoare -3² chiar dă -9, exact ca regula noastră — bun prilej să verifici că ai înțeles). Câștigi câte un punct pentru fiecare răspuns corect.

3. Lanțul puterilor. Scrie pe o bandă de hârtie puterile lui -2 de la (-2)¹ la (-2)⁶ și calculează-le: -2, 4, -8, 16, -32, 64. Lipește banda pe perete și observă cu ochii cum semnul „clipește" alternativ. Provoacă pe cineva din familie să continue șirul până la (-2)⁸ fără calculator, folosind doar regula că fiecare termen se obține înmulțind precedentul cu -2.

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune accent pe două idei cheie: regula semnului (par/impar la bază negativă) și distincția dintre (-2)⁴ și -2⁴. Sunt exact punctele unde se fac cele mai multe greșeli la teze și la Evaluarea Națională, așa că merită exersate până devin automatisme.

Cum sprijiniți elevul:

• Începeți prin a-i cere să scrie puterea „desfășurat", ca produs de factori, înainte de a calcula. Astfel vede cu ochii de câte ori apare minusul.
• Insistați pe diferența dintre cele două scrieri cu paranteze. Întrebați des: „Aici baza este -2 sau doar 2? Unde stă minusul?"
• Pentru semn, încurajați răspunsul rapid: „par sau impar?" înainte de orice calcul. E un reflex care economisește timp și previne erori.

Întrebări utile de verificat înțelegerea:

• „De ce (-3)² iese pozitiv, dar (-3)³ iese negativ?" (Răspuns așteptat: pentru că factorii negativi se grupează în perechi; la par toate au pereche, la impar rămâne unul singur.)
• „Cât face (-5)⁰ și de ce?" (1, pentru orice bază nenulă.)
• „Când pot aduna exponenții?" (Doar la produs cu aceeași bază.)

Dacă elevul confundă produsul cu puterea puterii, reveniți la sensul fiecărei operații, nu la memorarea formulei. Înțelegerea „de câte ori apare baza în total" este mai durabilă decât o regulă învățată pe de rost.

Întrebări frecvente

Cum calculez puterea unui număr întreg negativ în clasa a 6-a? Scrii baza (numărul negativ) de atâtea ori cât arată exponentul și înmulțești pas cu pas, ținând cont de regula semnelor. De exemplu, (-2)³ = (-2)·(-2)·(-2) = -8. Apoi poți verifica semnul cu regula par/impar.

De ce (-2)⁴ este pozitiv, dar (-2)⁵ este negativ? Pentru că la exponent par toți factorii negativi se grupează în perechi, iar fiecare pereche de minusuri dă plus, deci rezultatul iese pozitiv. La exponent impar rămâne mereu un factor negativ fără pereche, care „colorează" rezultatul în negativ.

Care este diferența dintre (-3)² și -3²? La (-3)² baza este -3, închisă în paranteze, deci (-3)² = 9. La -3² baza este doar 3, iar minusul rămâne în față: -3² = -9. Parantezele schimbă complet rezultatul.

Cum stabilesc semnul unei puteri fără să o calculez? Te uiți la bază și la exponent. Dacă baza este pozitivă, puterea e mereu pozitivă. Dacă baza este negativă, exponent par înseamnă pozitiv, iar exponent impar înseamnă negativ. Nu ai nevoie de valoarea numerică.

Cât face un număr întreg la puterea zero? Orice număr întreg nenul ridicat la puterea zero este egal cu 1. De exemplu, (-7)⁰ = 1 și 12⁰ = 1. Singura excepție este 0⁰, care nu se definește la acest nivel.

Când adun și când înmulțesc exponenții? Aduni exponenții când înmulțești puteri cu aceeași bază (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ). Înmulțești exponenții când ridici o putere la o altă putere ((aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ). Iar când împarți puteri cu aceeași bază, scazi exponenții.

Pot aplica regulile la puteri cu baze diferite, cum ar fi (-2)³ · (-3)²? Nu poți aduna exponenții pentru că bazele sunt diferite. Calculezi fiecare putere separat și apoi efectuezi operația: (-8) · 9 = -72. Regulile cu exponenți cer obligatoriu aceeași bază.

Câte soluții întregi are ecuația a² = 16? Are două soluții: a = 4 și a = -4, pentru că atât 4² cât și (-4)² dau 16. În general, o putere pară a două numere opuse dă același rezultat pozitiv.

Ce înseamnă „paritatea" exponentului și de ce contează? Paritatea arată dacă un număr este par (se împarte exact la 2: 0, 2, 4, 6, 8, …) sau impar (1, 3, 5, 7, 9, …). La o putere cu bază negativă, doar paritatea exponentului decide semnul rezultatului: par înseamnă pozitiv, impar înseamnă negativ. Ca să afli rapid paritatea unui exponent mare, privește doar ultima lui cifră — dacă se termină în 0, 2, 4, 6 sau 8, exponentul este par; dacă se termină în 1, 3, 5, 7 sau 9, este impar.

Cât face 0 la o putere și 0⁰? Zero ridicat la orice exponent natural nenul dă tot 0, fiindcă înmulțești zerouri între ele: 0³ = 0·0·0 = 0. Singura situație nedefinită la acest nivel este 0⁰, care nu primește o valoare în clasa a VI-a.