Cât este sinus de 120 de grade?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Reducerea la primul cadran: sin(π−x)

Este $\frac{3}{2}$ , la fel ca sinusul de $6 0^{\circ}$ . Scrii unghiul ca $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ și folosești faptul că sinusul nu se schimbă la această trecere, în timp ce cosinusul își schimbă semnul: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ . Motivul este simetria față de axa verticală, care păstrează ordonata și inversează abscisa.

Reducerea la primul cadran transformă un unghi din cadranul II într-un unghi ascuțit, folosind simetria cercului trigonometric față de axa $O y$ . Punctele $M (x)$ și $M (π - x)$ sunt simetrice față de $O y$ : au aceeași ordonată, iar abscisele lor sunt opuse. De aici formulele: $sin (π - x) = sin x$ (sinusul rămâne neschimbat) și $cos (π - x) = - cos x$ (cosinusul își schimbă semnul), valabile pentru orice număr real $x$ . Cu ele, cele trei unghiuri obtuze uzuale se obțin direct din tabelul primului cadran: $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = 3 /2$ și $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - 1/2$ ; $sin 13 5^{\circ} = 2 /2$ și $cos 13 5^{\circ} = - 2 /2$ ; $sin 15 0^{\circ} = 1/2$ și $cos 15 0^{\circ} = - 3 /2$ . Un unghi din cadranul II se scrie sub forma $π - x$ scăzându-l din $π$ (sau din $18 0^{\circ}$ ); la fracții, se aduce $π$ la același numitor, ca în $π - 5 π /6 = π /6$ . Formulele confirmă și regula semnelor pe cadranul II: sinus pozitiv, cosinus negativ. O aplicație directă: într-un triunghi $A B C$ , din $A = π - (B + C)$ rezultă $sin A = sin (B + C)$ .

De reținut

$sin (π - x) = sin x$
$cos (π - x) = - cos x$
unghiurile din cadranul II se scriu ca $18 0^{\circ}$ minus un unghi ascuțit

Greșeala tipică

Se schimbă semnul și la sinus, nu doar la cosinus; oglindirea față de axa verticală păstrează înălțimea punctului, deci sinusul rămâne neatins.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $sin (π - x)$ , în funcție de $sin x$ ?
- a) $- sin x$
- b) $sin x$
- c) $cos x$
- d) $- cos x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin x$

Punctele $M (x)$ și $M (π - x)$ sunt simetrice față de axa $O y$ , iar simetria față de $O y$ păstrează ordonata, adică sinusul. Deci $sin (π - x) = sin x$ .
Cât este $cos 12 0^{\circ}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $- \frac{1}{2}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $- \frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{2}$

$12 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ , deci $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Punctele $M (x)$ și $M (π - x)$ de pe cercul trigonometric sunt simetrice față de:
- a) axa $O x$
- b) axa $O y$
- c) origine
- d) prima bisectoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) axa $O y$

Simetria față de $O y$ schimbă semnul abscisei (cosinusul) și păstrează ordonata (sinusul) — exact comportamentul formulelor $sin (π - x) = sin x$ și $cos (π - x) = - cos x$ .

Întrebări conexe

Cum calculez sinusul lui pi minus x?

Rămâne egal cu sinusul lui $x$ , fără schimbare de semn. Explicația stă în simetria față de axa verticală: cele două puncte de pe cerc au aceeași ordonată. De aceea două unghiuri care se completează până la $18 0^{\circ}$ au același sinus.

Cum calculez cosinusul lui pi minus x?

Iese cosinusul lui $x$ cu semn schimbat. Simetria față de axa verticală inversează abscisa, iar cosinusul este chiar abscisa. Așa se explică de ce cosinusul unui unghi obtuz este întotdeauna negativ.

Cât este cosinus de 150 de grade?

Este $- \frac{3}{2}$ . Scrii unghiul ca $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ , iei cosinusul de $3 0^{\circ}$ , adică $\frac{3}{2}$ , și îi schimbi semnul. Sinusul aceluiași unghi rămâne pozitiv și este egal cu $\frac{1}{2}$ .

De ce sinusul rămâne același, iar cosinusul își schimbă semnul?

Pentru că oglindirea față de axa verticală mută punctul la aceeași înălțime, dar de partea cealaltă a axei. Înălțimea, adică ordonata, este sinusul și nu se modifică; depărtarea pe orizontală, adică abscisa, își schimbă sensul, deci cosinusul iese cu semn opus.

Cum reduc un unghi de 170 de grade la primul cadran?

Îl scazi din $18 0^{\circ}$ și obții $1 0^{\circ}$ . De aici, sinusul de $17 0^{\circ}$ este egal cu sinusul de $1 0^{\circ}$ , iar cosinusul de $17 0^{\circ}$ este cosinusul de $1 0^{\circ}$ luat cu minus. La fracții cu $π$ procedezi la fel, aducând totul la același numitor.

Oamenii mai întreabă și: cât face sin 120 · sinus de 120 de grade · reducerea la primul cadran · valori pentru unghiuri obtuze