Ce este reperul cartezian și ce cadrane are?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Reperul cartezian: axe, origine, cadrane

Este format din două axe perpendiculare care se taie în origine: cea orizontală se numește axa absciselor, cea verticală axa ordonatelor, iar pe amândouă se folosește aceeași unitate. Ele taie planul în patru zone numite cadrane, numărate pornind din colțul de sus-dreapta și continuând împotriva acelor de ceasornic, cu semnele $(+, +)$ , $(-, +)$ , $(-, -)$ și $(+, -)$ . Punctele așezate chiar pe axe nu aparțin niciunui cadran, fiindcă au o coordonată nulă.

Un reper cartezian ortogonal $x O y$ este format din două axe perpendiculare — $O x$ , axa absciselor (orizontală), și $O y$ , axa ordonatelor (verticală) — care se intersectează în originea $O$ , cu sensuri pozitive alese (dreapta, respectiv sus) și aceeași unitate de măsură pe ambele axe. Pe o dreaptă un singur număr fixează un punct; în plan sunt necesare două numere, câte unul pentru fiecare direcție independentă.

Cele două axe împart planul în patru cadrane, numerotate din dreapta sus, în sens invers acelor de ceasornic: cadranul I (dreapta sus), al II-lea (stânga sus), al III-lea (stânga jos), al IV-lea (dreapta jos). Semnele coordonatelor sunt $(+, +)$ , $(-, +)$ , $(-, -)$ , $(+, -)$ .

Punctele situate pe axe nu aparțin niciunui cadran, pentru că au cel puțin o coordonată nulă, iar zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Reperul are trei simetrii remarcabile: fie $A (x, y)$ un punct oarecare. Simetricul față de $O x$ este $(x, - y)$ , față de $O y$ este $(- x, y)$ , iar față de origine este $(- x, - y)$ . Simetria față de origine leagă întotdeauna cadranele diagonal opuse — I cu al III-lea și al II-lea cu al IV-lea.

De reținut

axele se taie în origine și au aceeași unitate de măsură
cadranele se numără din dreapta sus, invers acelor de ceasornic
punctele de pe axe nu se află în niciun cadran

Greșeala tipică

Cadranele sunt numărate în sensul acelor de ceasornic sau pornind din stânga sus, iar toate răspunsurile ies mutate. Numărătoarea corectă începe din colțul din dreapta sus și înaintează invers față de acele ceasornicului.

Exerciții din această mini-lecție

Precizați în ce cadran se află punctul $B (- 5, 8)$ .
- a) cadranul I
- b) cadranul al II-lea
- c) cadranul al III-lea
- d) cadranul al IV-lea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cadranul al II-lea

Abscisa $- 5 < 0$ , ordonata $8 > 0$ , deci punctul este în cadranul al II-lea (stânga sus). Varianta a) ar fi corectă doar dacă ambele coordonate ar fi pozitive — ignoră semnul abscisei. Varianta c) ignoră faptul că ordonata este pozitivă, nu negativă. Varianta d) inversează rolurile: ar fi corectă dacă abscisa era pozitivă și ordonata negativă, adică citește semnele pe dos.
Punctul $E (0, - 7)$ se află:
- a) în cadranul al III-lea
- b) în cadranul al IV-lea
- c) pe axa $O y$ , sub origine
- d) chiar în originea reperului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pe axa $O y$ , sub origine

Abscisa lui $E$ este $0$ , deci punctul se află pe axa $O y$ , la $7$ unități sub origine. Variantele a) și b) greșesc pentru că tratează $0$ ca fiind negativ sau pozitiv — dar zero nu este nici pozitiv, nici negativ, deci $E$ nu poate îndeplini condiția de semn a niciunui cadran. Varianta d) e greșită fiindcă originea cere ambele coordonate nule, iar ordonata lui $E$ este $- 7 \neq = 0$ .
Simetricul punctului $A (- 4, 6)$ față de axa $O x$ este:
- a) $(- 4, - 6)$
- b) $(4, 6)$
- c) $(4, - 6)$
- d) $(- 4, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 4, - 6)$

Simetria față de axa $O x$ păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei: $(x, y) \to (x, - y)$ , deci $A (- 4, 6) \to (- 4, - 6)$ . Varianta b) schimbă greșit semnul abscisei — aceasta este regula pentru simetria față de axa $O y$ , nu față de $O x$ . Varianta c) schimbă ambele semne — aceasta e simetria față de origine. Varianta d) nu schimbă nimic, ca și cum punctul ar fi propriul simetric.

Întrebări conexe

În ce cadran se află un punct cu ambele coordonate negative?

În al treilea, adică în colțul din stânga jos. Perechea de semne este acolo $(-, -)$ , deci punctul se află și la stânga axei verticale, și sub cea orizontală. Un exemplu este $P (- 5, - 2)$ .

De ce trebuie aceeași unitate pe ambele axe?

Pentru ca figurile să nu se deformeze: un pătrat desenat cu unități diferite ar arăta ca un dreptunghi, iar un cerc ar ieși turtit. Formulele pentru distanțe și pentru pante presupun tocmai această egalitate a unităților.

Ce se schimbă dacă aleg originea în alt punct?

Toate coordonatele se modifică, dar figurile rămân aceleași ca formă și mărime. Alegerea reperului este o convenție, iar într-o problemă se preferă poziția care dă cele mai multe zerouri, de obicei cu originea într-un vârf al figurii.

Ce cadrane leagă simetria față de origine?

Primul cu al treilea și al doilea cu al patrulea, adică perechile așezate în diagonală. Simetricul lui $A (x, y)$ față de origine este $(- x, - y)$ , deci amândouă semnele se schimbă, iar punctul sare în cadranul opus.

Unde se folosește reperul cartezian în afara matematicii?

În hărți și navigație, unde poziția se dă prin două numere, în grafica pe calculator, unde fiecare punct de pe ecran are o adresă, și în statistică, la reprezentarea datelor. Peste tot ideea este aceeași: două numere fixează o poziție.

Ce înseamnă că reperul este ortogonal?

Că cele două axe fac între ele un unghi drept. Există și repere cu axe oblice, dar la ele formula distanței arată altfel, iar calculele devin mai grele. La liceu se lucrează aproape exclusiv cu axe perpendiculare.

Oamenii mai întreabă și: reperul cartezian · cadranele planului · axa absciselor și axa ordonatelor · semnele coordonatelor pe cadrane · sistem de axe perpendiculare