Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente

Îți amintești cum, la ecuații, „mutai" termeni dintr-o parte în alta și obțineai valoarea lui $x$? La inecuații vom face ceva foarte asemănător, dar cu o singură deosebire care poate face diferența dintre un răspuns corect și unul greșit la Evaluarea Națională. Gândește-te la o balanță: dacă un taler e mai greu decât celălalt, el rămâne mai greu chiar dacă adaugi aceeași greutate pe ambele talere. Dar dacă „întorci" balanța cu susul în jos, partea grea ajunge sus, iar cea ușoară jos — sensul se schimbă. Exact aceasta este cheia lecției de azi: rezolvarea inecuațiilor de gradul I prin transformări echivalente și celebra regulă a schimbării sensului inegalității. Hai să o stăpânim perfect.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi o inecuație de gradul I de forma $ax+b\ge 0$ (sau $\le$, $<$, $>$) aplicând transformări echivalente, pas cu pas.
• Vei ști să folosești corect proprietățile inegalităților: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea în ambii membri.
• Vei ști să schimbi sensul inegalității de fiecare dată când înmulțești sau împarți cu un număr negativ — fără să uiți vreodată.
• Vei ști să scrii soluția finală ca interval și să o reprezinți pe axă.
• Vei ști să verifici dacă rezultatul obținut este corect, alegând valori de test.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „transformări echivalente"

În lecțiile anterioare ai învățat ce este o inecuație de gradul I și cum arată mulțimea soluțiilor ei reprezentată pe axă și ca interval. Astăzi trecem la partea practică: cum ajungem efectiv la acea mulțime de soluții.

A rezolva o inecuație înseamnă a găsi toate numerele reale care, puse în locul lui $x$, transformă inecuația într-o propoziție adevărată. Nu vom încerca numerele unul câte unul (ar fi imposibil, pentru că sunt infinite). În schimb, vom transforma inecuația în altele mai simple, dar echivalente.

Definiție. Două inecuații se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții.

O transformare echivalentă este o operație care schimbă forma inecuației, dar nu schimbă mulțimea soluțiilor. Scopul nostru este să pornim de la inecuația dată și, prin astfel de transformări, să ajungem la o formă simplă de tipul: $$x\ge \text{numa˘r},x\le \text{numa˘r},x<\text{numa˘r}\text{sau}x>\text{numa˘r}.$$

Din această formă simplă citim imediat răspunsul. Ca să folosim transformări echivalente corect, trebuie să știm exact ce avem voie să facem în ambii membri. Acestea sunt proprietățile inegalităților.

2. Prima proprietate: adunarea sau scăderea aceluiași număr

Revenim la imaginea balanței. Dacă talerul din stânga este mai greu decât cel din dreapta și pun aceeași greutate pe ambele talere, stânga rămâne tot mai grea. La fel se întâmplă cu inegalitățile.

Proprietatea 1 (adunarea/scăderea). Dacă la ambii membri ai unei inegalități adunăm (sau scădem) același număr real, sensul inegalității se păstrează.

Dacă $a<b$, atunci $a+c<b+c$ și $a-c<b-c$, pentru orice număr real $c$.

Să verificăm pe numere concrete. Știm că $3<7$.

• Adunăm $5$ la ambii membri: $3+5<7+5$, adică $8<12$. Adevărat, sensul s-a păstrat.
• Scădem $10$ din ambii membri: $3-10<7-10$, adică $-7<-3$. Adevărat din nou.

Chiar și când adunăm un număr negativ, regula rămâne aceeași, pentru că a scădea înseamnă a aduna un număr negativ. Din $3<7$, adunând $-4$: $-1<3$. Corect.

La ce ne folosește? Această proprietate justifică „trecerea unui termen dintr-un membru în celălalt cu semn schimbat". De exemplu, din $x-5<2$, adun $5$ în ambii membri și obțin $x<7$. Practic, $-5$ a „sărit" în dreapta devenind $+5$. Sensul $<$ a rămas neschimbat.

3. A doua proprietate: înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv

Ce se întâmplă dacă înmulțim ambii membri cu un număr? Depinde de semnul acelui număr. Începem cu cazul simplu, cu un număr pozitiv.

Proprietatea 2 (înmulțirea/împărțirea cu un număr pozitiv). Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inegalități cu același număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează.

Dacă $a<b$ și $c>0$, atunci $a\cdot c<b\cdot c$ și $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$.

Verificăm cu $2<5$:

• Înmulțim cu $3$ (pozitiv): $2\cdot 3<5\cdot 3$, adică $6<15$. Adevărat.
• Împărțim la $2$ (pozitiv): $\frac{2}{2}<\frac{5}{2}$, adică $1<2,5$. Adevărat.

Totul se comportă „normal", exact cum ai fi anticipat. Numărul pozitiv nu ne dă bătăi de cap.

4. Regula esențială: înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ

Aici este inima lecției și locul unde greșesc cei mai mulți elevi. Ce se întâmplă dacă înmulțim ambii membri cu un număr negativ?

Să pornim de la o inegalitate pe care o știm sigur adevărată: $3<7$. Înmulțim ambii membri cu $-1$. Obținem în stânga $3\cdot (-1)=-3$ și în dreapta $7\cdot (-1)=-7$. Întrebarea este: cum se compară $-3$ cu $-7$?

Pe axa numerelor, $-3$ este la dreapta lui $-7$ (este mai mare), pentru că cu cât un număr negativ este „mai apropiat de zero", cu atât este mai mare. Deci: $$-3>-7.$$

Observă ce s-a întâmplat! Am pornit de la $3\boxed{<}7$ și am ajuns la $-3\boxed{>}-7$. Semnul inegalității s-a inversat! Din „mai mic" a devenit „mai mare".

Aceasta se întâmplă la orice număr negativ, nu doar la $-1$. Să mai verificăm cu $-2$, pornind de la $4<6$:

• $4\cdot (-2)=-8$ și $6\cdot (-2)=-12$.
• Cum $-8>-12$, avem din nou inversarea: din $<$ a devenit $>$.

REGULA DE AUR. Când înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inegalități cu același număr negativ, sensul inegalității se schimbă (se inversează): $$<⟶>>⟶<\le ⟶\ge \ge ⟶\le$$

Reține: schimbarea sensului nu depinde de semnele numerelor $a$ și $b$, ci doar de semnul numărului cu care înmulțim sau împărțim. Dacă acel număr este negativ, întorci semnul. Punct. Această regulă este verificată la aproape fiecare Evaluare Națională, așa că o vom exersa intens.

5. Pașii de rezolvare a unei inecuații de gradul I

Acum avem toate uneltele. Iată algoritmul pe care îl vei aplica de fiecare dată la o inecuație de forma $ax+b\ge 0$ (sau cu $\le$, $<$, $>$). Îl vom numi „izolarea necunoscutei".

Pasul 1 — Aducem termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt. Folosim Proprietatea 1 (adunare/scădere). Termenii care conțin $x$ merg, de obicei, în stânga, iar numerele libere în dreapta.

Pasul 2 — Reducem termenii asemenea. Ajungem la o formă simplă $ax\square c$, unde $\square$ este unul dintre semnele $<,\le ,>,\ge$, iar $a$ este coeficientul lui $x$.

Pasul 3 — Împărțim ambii membri la coeficientul $a$, ca să rămână $x$ singur.

• Dacă $a>0$: sensul se păstrează.
• Dacă $a<0$: sensul se schimbă (Regula de aur!).

Pasul 4 — Scriem soluția ca interval și, dacă se cere, o reprezentăm pe axă.

Pasul 5 — Verificăm alegând o valoare din interval și, eventual, una din afara lui.

Hai să vedem algoritmul „la lucru" pe un exemplu ghidat, înainte de secțiunea dedicată exemplelor.

Exemplu ghidat. Rezolvă inecuația $2x-6\ge 0$ în mulțimea numerelor reale.

• Pasul 1. Adun $6$ la ambii membri (Proprietatea 1): $2x-6+6\ge 0+6$, deci $2x\ge 6$. Sensul rămâne $\ge$.

• Pasul 2. Forma este deja redusă: $2x\ge 6$.

• Pasul 3. Împart ambii membri la $2$. Cum $2>0$, sensul se păstrează: $\frac{2x}{2}\ge \frac{6}{2}$, adică $x\ge 3$.

• Pasul 4. Mulțimea soluțiilor este $S=[3,+\infty )$. (Capătul $3$ este inclus, pentru că avem $\ge$; folosim paranteză dreaptă $[$.)

• Pasul 5 — verificarea. Aleg $x=5$ (este în interval): $2\cdot 5-6=10-6=4\ge 0$. Adevărat. Aleg $x=0$ (nu este în interval): $2\cdot 0-6=-6\ge 0$? Fals — corect, pentru că $0\notin S$. Rezultatul este confirmat.

6. Un exemplu cu schimbarea sensului, ca să nu uiți regula

Să vedem ce se schimbă când coeficientul lui $x$ este negativ. Rezolvăm $-3x+12>0$.

• Pasul 1. Scad $12$ din ambii membri: $-3x>-12$. Sensul $>$ rămâne (am folosit doar scădere).
• Pasul 3. Împart la $-3$. Atenție: $-3<0$, deci sensul se schimbă din $>$ în $<$: $$\frac{-3x}{-3}<\frac{-12}{-3}⟹x<4.$$
• Pasul 4. Soluția este $S=(-\infty ,4)$. Capătul $4$ nu este inclus (avem $<$), deci paranteză rotundă.
• Verificare. Iau $x=0\in S$: $-3\cdot 0+12=12>0$. Adevărat. Iau $x=5\notin S$: $-3\cdot 5+12=-3>0$? Fals. Perfect.

Sfat de examen. Există un truc pentru a evita împărțirea la un număr negativ: poți muta termenul cu $x$ în membrul unde devine pozitiv. La $-3x>-12$, adun $3x$ în ambii membri și scad... de fapt e mai simplu așa: din $-3x+12>0$ trec $3x$ în dreapta: $12>3x$, apoi împart la $3$ (pozitiv): $4>x$, adică $x<4$. Același rezultat, fără schimbare de sens! Alege metoda cu care greșești mai puțin — dar trebuie să le stăpânești pe amândouă.

7. Atenție la relația dintre semnul soluției și tipul parantezei

Reține legătura strânsă dintre semnul inecuației și scrierea intervalului, pentru că se punctează separat la examen:

Spre $+\infty$ și $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă, pentru că infinitul nu este un număr și nu poate fi „atins". Dacă ai nevoie de o recapitulare a acestor notații, revezi reprezentarea soluțiilor pe axă și ca interval.

Acum, când algoritmul este clar, hai să lucrăm împreună o serie de exemple complete, de la simplu la mai complex.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — inecuație de bază, coeficient pozitiv

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $5x-20\le 0$.

Rezolvare.

• Adun $20$ în ambii membri: $5x\le 20$. (sens păstrat)
• Împart la $5>0$, sensul se păstrează: $x\le 4$.
• Soluția: $S=(-\infty ,4]$. Capătul $4$ este inclus, avem $\le$.
• Verificare: $x=4\Rightarrow 5\cdot 4-20=0\le 0$ adevărat; $x=10\Rightarrow 50-20=30\le 0$ fals (corect, $10\notin S$).

Exemplul 2 — schimbarea sensului la împărțirea cu un negativ

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $-4x+8\ge 0$.

Rezolvare.

• Scad $8$ din ambii membri: $-4x\ge -8$. (sens păstrat)
• Împart la $-4<0$, deci sensul se schimbă din $\ge$ în $\le$: $$\frac{-4x}{-4}\le \frac{-8}{-4}⟹x\le 2.$$
• Soluția: $S=(-\infty ,2]$.
• Verificare: $x=0\Rightarrow -4\cdot 0+8=8\ge 0$ adevărat ($0\in S$); $x=3\Rightarrow -12+8=-4\ge 0$ fals ($3\notin S$). Corect.

Exemplul 3 — necunoscuta în ambii membri

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $3x+4<7x-8$.

Rezolvare. Vrem termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt.

• Scad $3x$ din ambii membri: $4<4x-8$.
• Adun $8$ în ambii membri: $12<4x$.
• Împart la $4>0$, sensul se păstrează: $3<x$, adică $x>3$.
• Soluția: $S=(3,+\infty )$. Capătul $3$ este exclus (avem $<$, respectiv $>$).
• Verificare: $x=5\Rightarrow 3\cdot 5+4=19$ și $7\cdot 5-8=27$; $19<27$ adevărat. $x=3\Rightarrow 13<13$ fals (corect, capătul e exclus).

Observație. Am ales să adun $3x$ (adică să duc termenii cu $x$ în dreapta), tocmai ca să obțin coeficient pozitiv al lui $x$ și să evit schimbarea sensului. Este o strategie foarte utilă.

Exemplul 4 — necunoscuta în ambii membri, cu schimbare de sens

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2x+9\ge 6x+1$.

Rezolvare. Rezolvăm ducând $x$ în stânga, ca să exersăm și cazul cu negativ.

• Scad $6x$ din ambii membri: $2x-6x+9\ge 1$, adică $-4x+9\ge 1$.
• Scad $9$: $-4x\ge -8$.
• Împart la $-4<0$, sensul se schimbă din $\ge$ în $\le$: $x\le 2$.
• Soluția: $S=(-\infty ,2]$.
• Verificare: $x=0\Rightarrow 2\cdot 0+9=9$ și $6\cdot 0+1=1$; $9\ge 1$ adevărat ($0\in S$). $x=5\Rightarrow 19\ge 31$ fals ($5\notin S$). Corect.

Exemplul 5 — coeficienți fracționari (fără numitori compuși)

Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\frac{1}{2}x-3>1$.

Rezolvare.

• Adun $3$ în ambii membri: $\frac{1}{2}x>4$.
• Înmulțesc ambii membri cu $2$ (pozitiv), sensul se păstrează: $x>8$.
• Soluția: $S=(8,+\infty )$.
• Verificare: $x=10\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 10-3=5-3=2>1$ adevărat; $x=8\Rightarrow 4-3=1>1$ fals (corect, $8$ exclus).

Când vei avea numitori „amestecați" sau paranteze mai complicate, vei folosi tehnicile din lecția următoare: inecuații cu paranteze și numitori.

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională (cu soluții întregi)

Determină numerele întregi $x$ care verifică inecuația $-2x+5\le 11$.

Rezolvare.

• Scad $5$: $-2x\le 6$.
• Împart la $-2<0$, sensul se schimbă din $\le$ în $\ge$: $x\ge -3$.
• Mulțimea tuturor soluțiilor reale: $S=[-3,+\infty )$.
• Numerele întregi din acest interval sunt: $-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$ — adică toate numerele întregi mai mari sau egale cu $-3$.
• Verificare pentru capăt: $x=-3\Rightarrow -2\cdot (-3)+5=6+5=11\le 11$ adevărat, deci $-3$ este soluție (bine că am pus $\ge$, cu capătul inclus).

Exemplul 7 — problemă aplicată rezolvată complet

Un elev vrea să cumpere caiete la $4$ lei bucata. Are $30$ de lei și vrea să-i rămână cel puțin $6$ lei. Câte caiete poate cumpăra cel mult?

Rezolvare. Pașii unei probleme aplicate sunt mereu aceiași: (1) aleg necunoscuta, (2) traduc textul într-o inecuație, (3) rezolv, (4) interpretez rezultatul în contextul problemei.

• Aleg necunoscuta: fie $x$ numărul de caiete cumpărate. Evident, $x$ este un număr natural ($x\in \mathbb{N}$).
• Traduc textul: costul a $x$ caiete este $4x$ lei. După cumpărare îi rămân $30-4x$ lei. Condiția „să-i rămână cel puțin $6$ lei" înseamnă „rămasul este mai mare sau egal cu $6$": $$30-4x\ge 6.$$
• Rezolv inecuația. Scad $30$ din ambii membri: $-4x\ge -24$. Împart la $-4<0$, deci sensul se schimbă din $\ge$ în $\le$: $$\frac{-4x}{-4}\le \frac{-24}{-4}⟹x\le 6.$$
• Interpretez. Cum $x$ este număr natural și $x\le 6$, valorile posibile sunt $0,1,2,3,4,5,6$. Elevul poate cumpăra cel mult $6$ caiete.
• Verificare: pentru $6$ caiete rămân $30-4\cdot 6=30-24=6\ge 6$ lei (adevărat, exact la limită); pentru $7$ caiete ar rămâne $30-28=2\ge 6$? Fals. Deci $6$ este într-adevăr maximul.

Reține la problemele aplicate. „Cel puțin" se traduce prin $\ge$, „cel mult" prin $\le$, „mai mult decât" prin $>$, „mai puțin decât" prin $<$. Iar la final compari mereu răspunsul cu contextul: un număr de caiete nu poate fi negativ sau fracționar.

Să exersăm

Rezolvă în $\mathbb{R}$, scriind de fiecare dată soluția ca interval. Unde se cere, verifică rezultatul.

1. $x+4>9$
2. $x-7\le -2$
3. $3x\ge 12$
4. $-5x<20$
5. $2x+1<11$
6. $4x-3\ge 13$
7. $-3x+6\le 0$
8. $7-2x>1$
9. $6x+5\le 4x+17$
10. $5x-8>8x+7$
11. $\frac{1}{3}x+2\ge 5$
12. $-\frac{1}{2}x-1<3$
13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă înmulțesc ambii membri ai inegalității $-2<5$ cu $-3$, obțin $6<-15$."
14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Inecuațiile $-x>-4$ și $x<4$ sunt echivalente."
15. Item tip EN: Determină cel mai mic număr natural $x$ pentru care $3x-4\ge 11$.
16. Item tip EN: Determină numerele întregi $x$ care verifică simultan $x\le 8$ (dat) și $2x+3>7$.
17. Problemă aplicată (bani). Un elev are $50$ de lei. Vrea să cumpere caiete care costă $6$ lei bucata și să-i rămână cel puțin $8$ lei pentru un suc. Notând cu $x$ numărul de caiete, scrie și rezolvă inecuația; câte caiete poate cumpăra cel mult?
18. Problemă aplicată (temperatură). Un termostat pornește încălzirea când temperatura $t$ (în °C) satisface inecuația $2t+3<15$. Pentru ce valori ale temperaturii pornește încălzirea? Scrie soluția ca interval.

Răspunsuri și explicații

1. $x+4>9\Rightarrow x>5$. Soluție: $S=(5,+\infty )$.

2. $x-7\le -2\Rightarrow x\le 5$. Soluție: $S=(-\infty ,5]$.

3. $3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4$ (împărțire la $3>0$, sens păstrat). $S=[4,+\infty )$.

4. $-5x<20\Rightarrow x>-4$ (împărțire la $-5<0$, sensul se schimbă din $<$ în $>$). $S=(-4,+\infty )$. Verificare: $x=0\Rightarrow 0<20$ adevărat.

5. $2x+1<11\Rightarrow 2x<10\Rightarrow x<5$. $S=(-\infty ,5)$.

6. $4x-3\ge 13\Rightarrow 4x\ge 16\Rightarrow x\ge 4$. $S=[4,+\infty )$.

7. $-3x+6\le 0\Rightarrow -3x\le -6\Rightarrow x\ge 2$ (împărțire la $-3<0$, sens schimbat din $\le$ în $\ge$). $S=[2,+\infty )$. Verificare: $x=2\Rightarrow -6+6=0\le 0$ adevărat.

8. $7-2x>1\Rightarrow -2x>-6\Rightarrow x<3$ (împărțire la $-2<0$, sens schimbat din $>$ în $<$). $S=(-\infty ,3)$.

9. $6x+5\le 4x+17\Rightarrow 6x-4x\le 17-5\Rightarrow 2x\le 12\Rightarrow x\le 6$. $S=(-\infty ,6]$.

10. $5x-8>8x+7\Rightarrow 5x-8x>7+8\Rightarrow -3x>15\Rightarrow x<-5$ (împărțire la $-3<0$, sens schimbat). $S=(-\infty ,-5)$. Verificare: $x=-6\Rightarrow 5\cdot (-6)-8=-38$ și $8\cdot (-6)+7=-41$; $-38>-41$ adevărat.

11. $\frac{1}{3}x+2\ge 5\Rightarrow \frac{1}{3}x\ge 3\Rightarrow x\ge 9$ (înmulțire cu $3>0$). $S=[9,+\infty )$.

12. $-\frac{1}{2}x-1<3\Rightarrow -\frac{1}{2}x<4$. Înmulțesc cu $-2<0$, sensul se schimbă din $<$ în $>$: $x>-8$. $S=(-8,+\infty )$. Verificare: $x=0\Rightarrow -1<3$ adevărat.

13. Fals. La înmulțirea cu $-3$ (număr negativ), sensul se schimbă: din $-2<5$ obținem $(-2)\cdot (-3)>5\cdot (-3)$, adică $6>-15$ (nu $6<-15$). Rezultatul numeric $6$ și $-15$ este corect, dar semnul trebuie inversat, deci propoziția dată este falsă.

14. Adevărat. Din $-x>-4$, înmulțind ambii membri cu $-1<0$, sensul se schimbă din $>$ în $<$ și obținem $x<4$. Cele două inecuații au aceeași mulțime de soluții $(-\infty ,4)$, deci sunt echivalente.

15. $3x-4\ge 11\Rightarrow 3x\ge 15\Rightarrow x\ge 5$. Cel mai mic număr natural din $[5,+\infty )$ este $\boxed{5}$. Verificare: $3\cdot 5-4=11\ge 11$ adevărat.

16. Rezolv a doua condiție: $2x+3>7\Rightarrow 2x>4\Rightarrow x>2$. Împreună cu $x\le 8$, avem $2<x\le 8$, adică $x\in (2,8]$. Numerele întregi sunt: $3,4,5,6,7,8$ (șase valori). Atenție: $2$ este exclus (avem $>$), iar $8$ este inclus (avem $\le$).

17. Costul caietelor este $6x$; condiția „să-i rămână cel puțin $8$ lei" înseamnă $50-6x\ge 8$. Rezolv: $-6x\ge -42\Rightarrow x\le 7$ (împărțire la $-6<0$, sens schimbat). Cum $x$ este număr de caiete (natural), poate cumpăra cel mult $7$ caiete. Verificare: $7$ caiete $\Rightarrow 50-42=8\ge 8$ adevărat; $8$ caiete $\Rightarrow 50-48=2\ge 8$ fals.

18. $2t+3<15\Rightarrow 2t<12\Rightarrow t<6$. Încălzirea pornește pentru temperaturi $t<6$ °C, adică $t\in (-\infty ,6)$. (În context real, temperaturile negative extreme nu apar, dar matematic soluția este acest interval.)

De reținut

• A rezolva o inecuație = a găsi toate valorile reale ale lui $x$ care o fac adevărată, prin transformări echivalente (care nu schimbă mulțimea soluțiilor).
• Adunarea/scăderea aceluiași număr în ambii membri păstrează sensul inegalității.
• Înmulțirea/împărțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul; cu un număr negativ SCHIMBĂ sensul: \ < \leftrightarrow >\ și $\le \leftrightarrow \ge$.
• Pași: (1) grupez termenii, (2) reduc, (3) împart la coeficientul lui $x$ — atenție la semnul lui! — (4) scriu intervalul, (5) verific.
• Spre $\pm \infty$ mereu paranteză rotundă; capătul finit este inclus la $\le ,\ge$ și exclus la $<,>$.

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi sensul la împărțirea/înmulțirea cu un număr negativ. Aceasta este eroarea numărul unu. Ori de câte ori împarți la un coeficient negativ, oprește-te și inversează semnul înainte de a scrie rezultatul.
• Schimbi sensul degeaba, doar pentru că apar numere negative în inecuație. Regula depinde exclusiv de semnul numărului cu care înmulțești/împarți, nu de faptul că undeva apare un minus. La $x-5<2$ nu se schimbă nimic.
• Confuzi tipul parantezei: pui $[$ la $<$ sau $($ la $\le$. Ține minte: linia dreaptă a lui $\le$ și $\ge$ „prinde" capătul (inclus, $[$ sau $]$); semnul strict $<$, $>$ îl lasă afară (exclus, $($ sau $)$).
• Greșești la trecerea termenilor: muți un termen fără să-i schimbi semnul. Amintește-ți că a-l „trece" înseamnă a scădea/aduna în ambii membri, deci semnul lui se schimbă.

Aplică acasă

1. Bugetul de weekend. Ai o sumă fixă de bani de buzunar pentru weekend (alege tu o valoare reală, de exemplu $40$ de lei). Alege un produs pe care vrei să-l cumperi în mai multe bucăți (de exemplu bilete la un joc, la $7$ lei bucata) și hotărăște cât vrei să-ți rămână. Scrie inecuația de forma „sumă $-$ preț$\cdot x\ge$ rest" și rezolv-o ca să afli câte bucăți poți cumpăra. Verifică rezultatul cu banii reali.

2. Nota de trecere. La o materie ai deja două note. Notează cu $x$ nota de la a treia lucrare și scrie inecuația care exprimă „media celor trei note să fie cel puțin $7$". Rezolvă inecuația și află ce notă minimă îți trebuie. (Indiciu: media este $\frac{n_1+n_2+x}{3}\ge 7$.)

3. Timp și distanță. Mergi cu bicicleta cu viteza de $15$ km/h. Scrie și rezolvă o inecuație care exprimă „în cel mult $2$ ore parcurg o distanță $d$", pornind de la $\frac{d}{15}\le 2$, și interpretează rezultatul (ce distanțe sunt posibile).

Pentru părinți și profesori

Această lecție este piatra de temelie a capitolului de inecuații și apare an de an la Evaluarea Națională, atât ca item de sine stătător (rezolvă inecuația, scrie soluția ca interval, determină numerele întregi), cât și ca pas intermediar în probleme mai lungi. Punctajul se pierde cel mai des dintr-un singur motiv: elevul uită să schimbe sensul inegalității la împărțirea cu un număr negativ.

Cum îl puteți sprijini:

• Cereți-i copilului să spună cu voce tare, la fiecare pas, „aici împart la un număr pozitiv/negativ, deci sensul se păstrează/se schimbă". Verbalizarea reduce mult greșelile.
• Verificați împreună soluția prin înlocuirea unei valori de test: alegeți un număr din intervalul găsit și unul din afara lui. Dacă primul verifică inecuația și al doilea nu, soluția e aproape sigur corectă.
• Puneți întrebări de control: „De ce ai pus paranteză dreaptă aici?", „Ce s-ar întâmpla cu semnul dacă ai împărți la $-2$?", „Poți rezolva aceeași inecuație ducând $x$ în celălalt membru, ca să eviți numărul negativ?". Dacă poate rezolva o inecuație prin două căi diferite și obține același interval, a înțeles cu adevărat.

Un semn clar de stăpânire a materiei este trecerea corectă și rapidă între forma cu semn ($x\ge 3$), reprezentarea pe axă și scrierea ca interval ($[3,+\infty )$).

Întrebări frecvente

Când se schimbă sensul inegalității la o inecuație de clasa a 8-a? Sensul se schimbă doar atunci când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ. La adunare, scădere, sau înmulțire/împărțire cu un număr pozitiv, sensul rămâne neschimbat. Semnele numerelor din inecuație nu contează pentru această regulă — contează doar semnul numărului cu care operezi.

Care sunt pașii pentru a rezolva o inecuație de gradul I? Grupezi termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, reduci termenii asemenea până ajungi la forma $ax\square c$, împarți ambii membri la coeficientul $a$ (atenție la semn!), scrii soluția ca interval și verifici cu o valoare de test.

Ce înseamnă transformări echivalente la inecuații? Sunt operațiile pe care le poți face fără să schimbi mulțimea soluțiilor: adunarea/scăderea aceluiași număr și înmulțirea/împărțirea cu același număr nenul (cu schimbarea sensului dacă acel număr e negativ). Două inecuații sunt echivalente dacă au exact aceleași soluții.

De ce se inversează semnul când împart cu un număr negativ? Pentru că înmulțirea cu un număr negativ „oglindește" numerele față de zero pe axă și inversează ordinea lor. De exemplu, $3<7$, dar $-3>-7$: după înmulțirea cu $-1$, numărul care era mai mic devine mai mare, deci semnul trebuie inversat.

Cum scriu soluția unei inecuații ca interval? Din forma finală citești capătul și tipul parantezei: $x\ge m$ dă $[m,+\infty )$, $x>m$ dă $(m,+\infty )$, $x\le m$ dă $(-\infty ,m]$, iar $x<m$ dă $(-\infty ,m)$. La capetele finite folosești paranteză dreaptă când semnul este $\le$ sau $\ge$ (capăt inclus) și rotundă la $<$ sau $>$ (capăt exclus); spre infinit mereu rotundă.

Cum verific dacă am rezolvat corect o inecuație? Alege un număr din intervalul soluție și înlocuiește-l în inecuația inițială: trebuie să obții o propoziție adevărată. Apoi alege un număr din afara intervalului: acesta trebuie să dea o propoziție falsă. Dacă ambele teste se comportă cum trebuie, soluția e corectă.

Pot rezolva o inecuație fără să împart vreodată la un număr negativ? Da. Poți muta termenul cu $x$ în membrul în care coeficientul lui devine pozitiv. De exemplu, în loc de $-3x>-12$, scrie $12>3x$ și împarte la $3$. Obții același rezultat, evitând schimbarea sensului — o strategie utilă dacă tinzi să uiți regula.

Care e diferența dintre soluțiile naturale și cele întregi ale unei inecuații? Numerele naturale sunt $0,1,2,3,\dots$ (nenegative), iar numerele întregi includ și numerele negative: $\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$. De aceea, dacă o inecuație are soluția $x\ge -3$ și ți se cer soluțiile naturale, răspunzi $0,1,2,3,\dots$, dar dacă ți se cer soluțiile întregi, incluzi și $-3,-2,-1$. Citește mereu cu atenție ce mulțime de numere ți se cere.

Ce este un item tip Evaluare Națională cu inecuații? De obicei ți se cere să rezolvi o inecuație și fie să scrii mulțimea soluțiilor ca interval, fie să determini numerele naturale sau întregi care o verifică, fie cel mai mic/mare număr întreg din soluție. Se punctează atât raționamentul (transformările echivalente), cât și scrierea corectă a intervalului.