Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval

Imaginează-ți că îți cumperi un bilet la un festival unde intrarea e permisă doar celor care au cel puțin 14 ani. Nu există o singură vârstă „corectă": 14 ani merge, 15 merge, 16 merge, chiar și 14 ani și jumătate. Adică nu ai un răspuns, ci o mulțime întreagă de răspunsuri bune. Exact așa funcționează o inecuație: spre deosebire de o ecuație, care are de obicei una-două soluții, o inecuație are, de regulă, o infinitate de soluții. În lecția de față vei învăța cum să scrii ordonat toate aceste soluții — sub formă de interval numeric — și cum să le arăți dintr-o privire pe axa numerelor, cu grijă la cel mai fin detaliu: dacă cercul de la capăt e plin sau gol.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii mulțimea soluțiilor unei inecuații sub formă de interval numeric, notată corect cu $S$.
• Vei ști să reprezinți soluțiile pe axa numerelor folosind corect cercul plin (pentru $\le$, $\ge$) și cercul gol (pentru $<$, $>$).
• Vei ști să treci de la reprezentarea grafică la scrierea cu interval și invers, fără să greșești tipul de capăt.
• Vei ști să legi semnul inecuației de tipul de paranteză (dreaptă sau rotundă) și de sensul săgeții pe axă.
• Vei ști să verifici dacă un număr aparține sau nu mulțimii soluțiilor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „soluția" unei inecuații

În lecția anterioară ai aflat ce este o inecuație de gradul I: o relație de forma $ax+b\ge 0$ (sau cu $\le$, $<$, $>$). Acum ne punem întrebarea firească: cine sunt numerele care „fac inecuația adevărată"?

Definiție. Un număr real $x_0$ se numește soluție a unei inecuații dacă, înlocuind necunoscuta cu $x_0$, se obține o propoziție adevărată.

Să luăm inecuația $x>3$. Este $5$ o soluție? Verificăm: $5>3$ — adevărat. Deci da. Este $3$ o soluție? Verificăm: $3>3$ — fals (un număr nu e mai mare decât el însuși). Deci nu. Este $2,9$ o soluție? $2,9>3$ — fals. Deci nu.

Observă un lucru esențial: soluțiile nu sunt doar numere întregi. $x=3,0001$ este soluție, $x=3,5$ este soluție, $x=1000$ este soluție. Sunt infinit de multe numere reale mai mari decât $3$. Nu le putem scrie pe toate într-o listă — de aceea avem nevoie de un mod compact de a le descrie: intervalul.

2. Mulțimea soluțiilor și notația $S$

Definiție. Mulțimea soluțiilor unei inecuații este mulțimea formată din toate numerele reale care sunt soluții ale inecuației. O notăm cu litera $S$ (de la „soluții").

A „rezolva o inecuație" înseamnă exact a determina această mulțime $S$. Pentru inecuația $x>3$ scriem:

$$S=\{x\in \mathbb{R}\mid x>3\}.$$

Se citește: „$S$ este mulțimea numerelor reale $x$ cu proprietatea că $x$ este mai mare decât $3$". Această scriere este corectă, dar lungă. Din lecțiile despre intervale știi deja cum să o prescurtezi elegant. Hai să facem legătura.

3. De la mulțime la interval

În unitatea despre intervale de numere reale ai învățat că o mulțime de forma „toate numerele mai mari decât $3$" se scrie ca interval nemărginit:

$$\{x\in \mathbb{R}\mid x>3\}=(3,+\infty ).$$

Așadar, pentru inecuația $x>3$, mulțimea soluțiilor este:

$$S=(3,+\infty ).$$

Aici se întâlnesc două teme mari ale clasei a VIII-a: inecuațiile și intervalele. Practic, rezultatul rezolvării unei inecuații de gradul I este întotdeauna un interval (mărginit doar la un capăt, adică nemărginit spre $-\infty$ sau spre $+\infty$). Dacă vrei să reîmprospătezi cum se scriu intervalele nemărginite, revezi lecția Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă.

4. Cheia întregii lecții: capăt închis sau capăt deschis

Iată ideea centrală, cea pe care se dau cele mai multe puncte (și se pierd cele mai multe) la Evaluarea Națională. Totul depinde de semnul inecuației:

• Dacă semnul este strict ($<$ sau $>$), numărul de la capăt NU este soluție. Capătul este deschis → paranteză rotundă → cerc gol pe axă.
• Dacă semnul conține și egalul ($\le$ sau $\ge$), numărul de la capăt ESTE soluție. Capătul este închis → paranteză dreaptă → cerc plin pe axă.

De ce? Foarte simplu. La $x>3$, numărul $3$ nu verifică (am văzut că $3>3$ e fals), deci îl „excludem" — cerc gol. La $x\ge 3$, numărul $3$ verifică ($3\ge 3$ e adevărat, pentru că egalul e permis), deci îl „includem" — cerc plin.

Reține analogia: cercul plin este ca un semn „loc rezervat, ocupat" — capătul face parte din mulțime. Cercul gol este ca un „cerc tăiat" — te oprești chiar înainte de el, dar el nu intră.

5. Cele patru tipuri de rezultat

Orice inecuație de gradul I, după ce o aduci la o formă simplă ($x>a$, $x\ge a$, $x<a$ sau $x\le a$), duce la exact unul dintre aceste patru intervale. Iată tabelul de aur al lecției:

Observă două reguli fixe:

1. Lângă $\infty$ și lângă $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă. Infinitul nu este un număr, deci nu poate fi „atins" sau inclus — el arată doar că mergem la nesfârșit într-o direcție.
2. Paranteza de lângă numărul $a$ este dreaptă dacă $a$ e inclus ($\le ,\ge$) și rotundă dacă $a$ e exclus ($<,>$).

6. Reprezentarea pe axa numerelor

Axa numerelor este o dreaptă pe care marcăm numerele. Pentru a reprezenta mulțimea soluțiilor procedăm astfel:

1. Marcăm numărul de la capăt ($a$) pe axă.
2. Desenăm cercul: plin dacă $a$ e inclus, gol dacă $a$ e exclus.
3. Îngroșăm (hașurăm) partea de axă care conține soluțiile și tragem o săgeată în direcția în care mulțimea continuă la nesfârșit.

Regula săgeții: pentru $x>a$ sau $x\ge a$, colorăm spre dreapta (numerele mai mari). Pentru $x<a$ sau $x\le a$, colorăm spre stânga (numerele mai mici).

Să reprezentăm $S=[3,+\infty )$, adică $x\ge 3$:

Și acum să reprezentăm $S=(-\infty ,3)$, adică $x<3$:

Pune cele două desene alături și „citește" diferența: același număr $3$, dar în primul caz cercul e plin (3 intră) și mergem spre dreapta, iar în al doilea cercul e gol (3 nu intră) și mergem spre stânga. Semnul inecuației decide totul.

7. Cum verifici că ai desenat corect (test rapid)

Ai o metodă infailibilă de autoverificare: alege un număr de probă.

• Pentru $x\ge 3$: numărul $10$ trebuie să fie soluție. Este $10$ în partea colorată (dreapta)? Da → corect.
• Numărul $0$ NU trebuie să fie soluție ($0\ge 3$ e fals). Este $0$ în afara părții colorate? Da → corect.

Dacă un număr de probă „pică" pe partea greșită față de calcul, ai colorat invers. Acest test te salvează de la greșeli la examen.

8. De la desen înapoi la interval (drumul invers)

La Evaluarea Națională apare frecvent și cerința inversă: îți dă un desen și te întreabă ce interval reprezintă. Citești trei lucruri:

1. Ce număr este marcat la capăt? → acela e $a$.
2. Cercul e plin sau gol? → plin înseamnă paranteză dreaptă, gol înseamnă paranteză rotundă lângă $a$.
3. Săgeata merge spre dreapta sau spre stânga? → dreapta înseamnă $(a,+\infty )$ sau $[a,+\infty )$; stânga înseamnă $(-\infty ,a)$ sau $(-\infty ,a]$.

Din acest desen citim: capăt $-2$, cerc gol (rotundă), săgeată spre stânga → $S=(-\infty ,-2)$.

9. Un exemplu care leagă totul

Să pornim de la o inecuație deja adusă la forma simplă (rezolvarea completă, cu transformări, o vei aprofunda în lecția Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente). Presupunem că am ajuns la:

$$x\le -1.$$

Parcurgem cei trei pași:

• Semnul este $\le$ → egalul e permis → capăt închis → paranteză dreaptă lângă $-1$ → cerc plin.
• Direcția: „mai mic" → mergem spre stânga.
• Scriem: $S=(-\infty ,-1]$.

Verificare: $-5\le -1$ adevărat (e în $S$), $0\le -1$ fals (nu e în $S$), $-1\le -1$ adevărat (capătul e inclus, de aceea cercul e plin). Perfect.

Acum ești pregătit să exersezi trecerea în ambele sensuri: inecuație $\to$ interval $\to$ desen și retur.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la inecuație simplă la interval și desen

Enunț. Scrie mulțimea soluțiilor inecuației $x>4$ sub formă de interval și reprezint-o pe axă.

Rezolvare. Semnul este $>$ (strict), deci $4$ nu este soluție → capăt deschis → paranteză rotundă → cerc gol. Direcția: „mai mare" → spre dreapta.

$$S=(4,+\infty ).$$

Verificare. $5>4$ adevărat (e în $S$); $4>4$ fals (deci cerc gol, corect).

Exemplul 2 — Semnul cu egal

Enunț. Determină $S$ pentru inecuația $x\le 2$ și reprezint-o pe axă.

Rezolvare. Semnul $\le$ conține egalul → $2$ este soluție → capăt închis → paranteză dreaptă → cerc plin. Direcția: „mai mic" → spre stânga.

$$S=(-\infty ,2].$$

Verificare. $2\le 2$ adevărat (capăt inclus, cerc plin — corect); $3\le 2$ fals (nu e în $S$).

Exemplul 3 — De la desen la interval

Enunț. Pe o axă, în dreptul numărului $-3$ este un cerc plin, iar axa este colorată spre dreapta, cu săgeată spre dreapta. Scrie mulțimea soluțiilor și inecuația corespunzătoare.

Rezolvare. Capătul este $-3$. Cercul plin → $-3$ este inclus → paranteză dreaptă. Săgeata spre dreapta → mergem spre $+\infty$.

$$S=[-3,+\infty ),\text{inecuația: }x\ge -3.$$

Verificare. $-3\ge -3$ adevărat (inclus, corect pentru cerc plin); $-4\ge -3$ fals (e la stânga, în afara colorării).

Exemplul 4 — Adevărat sau fals, cu motivare

Enunț. Fie $S=(-\infty ,5)$ mulțimea soluțiilor unei inecuații. Stabilește dacă numerele $5$, $4,99$ și $-100$ aparțin lui $S$.

Rezolvare. $S$ conține toate numerele strict mai mici decât $5$ (capăt deschis, $5$ exclus).

• $5\in S$? Nu, pentru că $5$ nu este mai mic decât $5$ (cerc gol). Fals.
• $4,99\in S$? Da, deoarece $4,99<5$. Adevărat.
• $-100\in S$? Da, deoarece $-100<5$. Adevărat.

Ideea de verificat prin apartenență e detaliată în lecția Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime.

Exemplul 5 — Soluții întregi într-un interval

Enunț. Câte numere întregi conține mulțimea $S=[-2,+\infty )$? Dar numere întregi negative?

Rezolvare. $S=[-2,+\infty )$ înseamnă toate numerele reale $x\ge -2$. Numerele întregi din $S$ sunt $-2,-1,0,1,2,3,\dots$ — o infinitate (mergem la nesfârșit spre dreapta). Numere întregi negative din $S$: doar $-2$ și $-1$ (căci $-1\ge -2$ și $-2\ge -2$, dar $-3\ge -2$ este fals). Deci două numere întregi negative.

Verificare. $-2\ge -2$ adevărat; $-1\ge -2$ adevărat; $-3\ge -2$ fals. Corect.

Exemplul 6 — Aplicație reală (item tip Evaluare Națională)

Enunț. Un lift are afișat: „Sarcină maximă $630$ kg". Notăm cu $m$ masa totală, în kilograme, a persoanelor din lift. Scrie condiția ca liftul să funcționeze în siguranță, sub formă de inecuație, apoi ca interval, și precizează dacă masa de $630$ kg este permisă.

Rezolvare. „Sarcină maximă $630$ kg" înseamnă că masa poate fi cel mult $630$, deci se acceptă și fix $630$. Inecuația:

$$m\le 630.$$

Fizic, masa este pozitivă, deci $0<m\le 630$. Concentrându-ne pe plafonul de sus (partea nouă), tipul de capăt de la $630$ este închis (egalul e permis), deci cerc plin. Masa de $630$ kg este permisă, fiind exact la limită.

$$m\in (0,630].$$

Verificare. $630\le 630$ adevărat → limita e inclusă (cerc plin). $631\le 630$ fals → peste limită, interzis. Modelul e corect.

Să exersăm

Rezolvă în ordine; sunt gradate de la simplu la provocator.

1. Scrie sub formă de interval mulțimea soluțiilor: (a) $x>7$; (b) $x\ge 7$; (c) $x<7$; (d) $x\le 7$.

2. Scrie sub formă de interval: (a) $x\ge -4$; (b) $x<0$; (c) $x>-1,5$; (d) $x\le -10$.

3. Pentru fiecare interval, scrie inecuația corespunzătoare: (a) $(2,+\infty )$; (b) $(-\infty ,-6]$; (c) $[0,+\infty )$; (d) $(-\infty ,3)$.

4. Precizează, cu justificare, dacă la capătul intervalului se pune cerc plin sau gol: (a) $x>5$; (b) $x\le 5$; (c) $x\ge -2$; (d) $x<8$.

5. Reprezintă pe axa numerelor (descrie desenul: numărul, tipul de cerc, direcția săgeții): (a) $x\ge 1$; (b) $x<-2$.

6. Un desen arată un cerc gol în dreptul lui $-5$ și colorare spre dreapta. Scrie $S$ și inecuația.

7. Un desen arată un cerc plin în dreptul lui $4$ și colorare spre stânga. Scrie $S$ și inecuația.

8. Adevărat sau fals, cu motivare: (a) $3\in [3,+\infty )$; (b) $3\in (3,+\infty )$; (c) $-7\in (-\infty ,-7]$; (d) $0\in (-\infty ,0)$.

9. Fie $S=(-\infty ,2)$. Care dintre numerele $-3;0;1,9;2;2,1$ aparțin lui $S$?

10. Câte numere întregi sunt în mulțimea $S=(-3,+\infty )$ și sunt în același timp negative? Enumeră-le.

11. Scrie mulțimea soluțiilor și inecuația pentru: „Toate numerele reale mai mari sau egale cu $-\frac{1}{2}$".

12. Se dă inecuația $x\ge 6$. (a) Care este cel mai mic număr din $S$? (b) Există un cel mai mare număr în $S$? Explică.

13. La un curs online, te poți înscrie doar dacă ai cel puțin $16$ ani. Notează cu $v$ vârsta și scrie condiția ca inecuație și ca interval. Este vârsta de fix $16$ ani acceptată?

14. Corectează greșeala: un elev a scris pentru $x>-2$ rezultatul $S=[-2,+\infty )$. Ce a greșit și care e răspunsul corect?

15. Asociază fiecărei inecuații intervalul corect (potrivește literele cu cifrele): (a) $x<-1$; (b) $x\ge -1$; (c) $x>-1$; (d) $x\le -1$. Intervale: (1) $[-1,+\infty )$; (2) $(-\infty ,-1)$; (3) $(-\infty ,-1]$; (4) $(-1,+\infty )$.

16. (Item tip Evaluare Națională.) Temperatura $t$ (în °C) la care un anumit congelator păstrează corect alimentele trebuie să fie cel mult $-18$°C. Scrie condiția ca inecuație și ca interval. Este temperatura de exact $-18$°C acceptată? Reprezintă pe axă.

17. Explică, în două propoziții, de ce lângă simbolul $\infty$ se pune întotdeauna paranteză rotundă, niciodată dreaptă.

18. (Provocare.) Se știe că un număr întreg $n$ verifică simultan $n\ge -1$ și $n\le 3$ (adică $n\in [-1,3]$, un interval mărginit). Enumeră toate valorile posibile ale lui $n$. (Indiciu: aici capetele intervalului sunt ambele închise.)

Răspunsuri și explicații

1. (a) $(7,+\infty )$ — strict, cerc gol. (b) $[7,+\infty )$ — cu egal, cerc plin. (c) $(-\infty ,7)$ — strict, spre stânga. (d) $(-\infty ,7]$ — cu egal, spre stânga.

2. (a) $[-4,+\infty )$; (b) $(-\infty ,0)$; (c) $(-1,5,+\infty )$; (d) $(-\infty ,-10]$. Regula: egalul $\Rightarrow$ paranteză dreaptă; strict $\Rightarrow$ rotundă; „mai mare" $\Rightarrow$ spre $+\infty$, „mai mic" $\Rightarrow$ spre $-\infty$.

3. (a) $x>2$; (b) $x\le -6$; (c) $x\ge 0$; (d) $x<3$. Citim tipul de paranteză de lângă număr: rotundă $\Rightarrow$ strict, dreaptă $\Rightarrow$ cu egal.

4. (a) gol ($>$ strict, $5$ exclus); (b) plin ($\le$, $5$ inclus); (c) plin ($\ge$, $-2$ inclus); (d) gol ($<$ strict, $8$ exclus).

5. (a) $x\ge 1$: cerc plin în dreptul lui $1$, colorare și săgeată spre dreapta; $S=[1,+\infty )$. (b) $x<-2$: cerc gol în dreptul lui $-2$, colorare și săgeată spre stânga; $S=(-\infty ,-2)$.

6. Cerc gol la $-5$, spre dreapta $\Rightarrow S=(-5,+\infty )$, inecuația $x>-5$.

7. Cerc plin la $4$, spre stânga $\Rightarrow S=(-\infty ,4]$, inecuația $x\le 4$.

8. (a) Adevărat: capăt închis, $3$ inclus. (b) Fals: capăt deschis, $3$ exclus. (c) Adevărat: $-7\le -7$, capăt închis inclus. (d) Fals: capăt deschis, $0$ exclus (căci $0<0$ e fals).

9. $S=(-\infty ,2)$ conține numerele strict mai mici decât $2$: $-3$, $0$, $1,9$ aparțin. $2$ nu (capăt exclus), $2,1$ nu (e mai mare).

10. $S=(-3,+\infty )$ înseamnă $x>-3$. Numere întregi negative care sunt $>-3$: $-2$ și $-1$. (Nu și $-3$, fiind capăt deschis; nu $0$, care nu e negativ.) Deci două: $-2,-1$.

11. Inecuația: $x\ge -\frac{1}{2}$; mulțimea: $S=\left[-\frac{1}{2},+\infty \right)$. Egalul e permis $\Rightarrow$ paranteză dreaptă, cerc plin.

12. (a) Cel mai mic număr din $S=[6,+\infty )$ este $6$ (capăt inclus). (b) Nu există un cel mai mare număr: oricât de mare ai alege un număr, mai există unul și mai mare (mulțimea e nemărginită la dreapta).

13. $v\ge 16$; $S=[16,+\infty )$. Vârsta de fix $16$ ani este acceptată („cel puțin" include egalul), deci cerc plin la $16$.

14. Greșeala: la $x>-2$ semnul e strict, deci $-2$ nu este soluție; paranteza trebuie rotundă, nu dreaptă. Corect: $S=(-2,+\infty )$, cu cerc gol la $-2$.

15. (a)–(2): $x<-1\to (-\infty ,-1)$. **(b)–(1)**: $x\ge -1\to [-1,+\infty )$. **(c)–(4)**: $x>-1\to (-1,+\infty )$. (d)–(3): $x\le -1\to (-\infty ,-1]$.

16. „Cel mult $-18$" $\Rightarrow t\le -18$; interval $S=(-\infty ,-18]$. Temperatura de exact $-18$°C este acceptată (egal permis), deci cerc plin la $-18$, colorare spre stânga (temperaturi și mai joase).

Axă cu −18 marcat, cerc PLIN, colorare și săgeată spre stânga; sub axă S = (−∞, −18].

17. Simbolul $\infty$ nu reprezintă un număr, ci arată că mulțimea continuă la nesfârșit. Neputând fi „atins" sau inclus ca element, capătul la infinit este mereu deschis, deci se scrie cu paranteză rotundă.

18. $n\in [-1,3]$ cu ambele capete închise, $n$ întreg $\Rightarrow n\in \{-1,0,1,2,3\}$. Sunt cinci valori. (Ambele capete sunt incluse pentru că intervalul e $[\dots ]$ pe ambele părți.)

De reținut

• Mulțimea soluțiilor $S$ a unei inecuații conține toate numerele reale care o fac adevărată; a rezolva inecuația înseamnă a găsi $S$, iar rezultatul este întotdeauna un interval.
• Semnul decide capătul: la $<$ și $>$ capătul e exclus → paranteză rotundă → cerc gol; la $\le$ și $\ge$ capătul e inclus → paranteză dreaptă → cerc plin.
• Cele patru forme: $x>a\Rightarrow (a,+\infty )$; $x\ge a\Rightarrow [a,+\infty )$; $x<a\Rightarrow (-\infty ,a)$; $x\le a\Rightarrow (-\infty ,a]$.
• Lângă $\infty$ și $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă.
• „Mai mare" $\Rightarrow$ colorezi și tragi săgeata spre dreapta; „mai mic" $\Rightarrow$ spre stânga. Verifică mereu cu un număr de probă.

Greșeli frecvente

• Confuzia cerc plin / cerc gol. Mulți elevi pun cerc plin peste tot. Ține minte: numai $\le$ și $\ge$ (cele cu „linie de egal") dau cerc plin; $<$ și $>$ dau cerc gol. Testul: „intră capătul în mulțime?" — dacă da, plin; dacă nu, gol.
• Paranteză dreaptă lângă infinit. Nu scrie niciodată $[3,+\infty ]$ sau $(a,+\infty ]$. Infinitul nu e număr, deci lângă el mereu paranteză rotundă: $[3,+\infty )$.
• Colorarea în direcția greșită. Se întâmplă când citești în grabă semnul. Aplică testul cu numărul de probă: alege un număr clar din partea colorată și verifică dacă chiar satisface inecuația.
• Uitarea că soluțiile nu sunt doar numere întregi. Între $3$ și $4$ sunt infinit de multe soluții ($3,1$; $3,5$; $3,999$...). De aceea desenăm un segment continuu, nu puncte izolate.

Aplică acasă

1. Semne din jurul tău. Timp de o zi, notează trei situații reale care ascund o inecuație: „viteză maximă $50$ km/h" ($v\le 50$), „vârstă minimă $12$ ani pentru film" ($v\ge 12$), „reducere la comenzi peste $200$ lei" ($x>200$). Pentru fiecare, scrie inecuația, intervalul $S$ și fă un mic desen pe axă. Observă unde apare cerc plin și unde gol.

2. Jocul „număr de probă". Roagă pe cineva să-ți deseneze pe o foaie o axă cu un capăt și o colorare (plin/gol, stânga/dreapta). Tu scrii intervalul și inecuația, apoi verifici alegând un număr de probă. Schimbați rolurile. E cel mai rapid mod de a-ți fixa regula la examen.

3. Bugetul de buzunar. Dacă ai un buget de cheltuială săptămânal de „cel mult $50$ de lei", scrie condiția $c\le 50$ ca interval $(0,50]$ și explică de ce capătul $50$ e inclus (cerc plin), iar $0$ e exclus (nu cheltui sumă negativă sau nulă în mod real).

Pentru părinți și profesori

Această lecție face puntea între două capitole mari ale clasei a VIII-a: intervalele și inecuațiile. Nu se cere încă rezolvarea propriu-zisă (cu adunări și înmulțiri de-o parte și de alta) — aceea vine în lecțiile următoare — ci traducerea corectă între trei limbaje: inecuație ↔ interval ↔ desen pe axă.

Cum verificați că elevul a înțeles, prin întrebări scurte:

• „La $x>5$, cercul de la $5$ e plin sau gol? De ce?" (Răspuns așteptat: gol, pentru că $5$ nu verifică $5>5$.)
• „Ce pui lângă $\infty$, paranteză dreaptă sau rotundă?" (Mereu rotundă.)
• „Îmi dai un număr care e soluție pentru $x\le -1$ și unul care nu e?" (De ex. $-3$ da, $0$ nu.)
• „Desenul are cerc plin la $2$ și săgeată spre stânga — ce interval e?" ($(-\infty ,2]$.)

Semnul că a înțeles cu adevărat este că folosește testul cu numărul de probă din proprie inițiativă, nu memorează mecanic. La Evaluarea Națională, această competență apare atât ca item de sine stătător (scrierea/citirea intervalului de soluții, reprezentarea pe axă), cât și integrat în subiecte cu inecuații rezolvate complet, unde ultimul pas — scrierea corectă a lui $S$ cu paranteza potrivită — aduce punctul final. Greșeala parantezei (rotundă în loc de dreaptă) este printre cele mai frecvente cauze de puncte pierdute la barem.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă mulțimea soluțiilor unei inecuații? Este mulțimea tuturor numerelor reale care, puse în locul necunoscutei, transformă inecuația într-o propoziție adevărată. O notăm cu $S$ și, pentru inecuațiile de gradul I, ea este întotdeauna un interval.

Când pun cerc plin și când cerc gol la inecuații? Cerc plin când semnul conține egalul ($\le$ sau $\ge$), pentru că numărul de la capăt este și el soluție. Cerc gol când semnul este strict ($<$ sau $>$), pentru că acel număr nu este soluție.

Cum scriu soluțiile unei inecuații sub formă de interval? Aduci inecuația la forma $x$ (semn) $a$, apoi: $x>a\to (a,+\infty )$, $x\ge a\to [a,+\infty )$, $x<a\to (-\infty ,a)$, $x\le a\to (-\infty ,a]$. Paranteza dreaptă marchează capătul inclus, cea rotundă capătul exclus.

De ce lângă infinit se pune mereu paranteză rotundă? Pentru că $\infty$ nu este un număr real, ci arată că mulțimea continuă la nesfârșit. Neexistând un „ultim" element de inclus, capătul rămâne deschis, deci se scrie cu paranteză rotundă: de exemplu $[2,+\infty )$, niciodată $[2,+\infty ]$.

În ce direcție colorez axa la o inecuație? Dacă necunoscuta e „mai mare" decât un număr ($>$ sau $\ge$), colorezi spre dreapta, spre valorile mari. Dacă e „mai mică" ($<$ sau $\le$), colorezi spre stânga. Săgeata arată că mulțimea continuă la infinit în acea direcție.

Câte soluții are o inecuație de gradul I? De regulă, o infinitate de soluții, pentru că orice interval nemărginit conține infinit de multe numere reale (nu doar întregi, ci și zecimale). De aceea nu le enumerăm, ci le descriem compact printr-un interval.

Cum trec de la un desen pe axă la interval? Citești trei lucruri: ce număr e la capăt, dacă cercul e plin (paranteză dreaptă) sau gol (paranteză rotundă) și în ce direcție merge săgeata (dreapta $\to$ spre $+\infty$, stânga $\to$ spre $-\infty$). Le combini și obții intervalul.

Numărul de la capăt face parte din soluții? Depinde de semn: la $\le$ și $\ge$ face parte (cerc plin, paranteză dreaptă), iar la $<$ și $>$ nu face parte (cerc gol, paranteză rotundă). Poți verifica mereu înlocuind chiar acel număr în inecuația inițială.