La rezolvarea inecuației $$-5x + 10 \ge 0$$, ultimul pas este împărțirea ambilor membri la $$-5$$. Ce se întâmplă cu sensul inegalității și care e soluția?

Sensul se schimbă, $$x \le 2$$

Sensul se păstrează, $$x \ge -2$$

Sensul se schimbă, $$x \ge 2$$

Sensul se păstrează, $$x \le 2$$

Când se schimbă semnul la o inecuație?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Transformări echivalente la inecuații

Numai la înmulțirea sau la împărțirea celor doi membri cu un număr negativ. Adunarea și scăderea nu ating sensul, oricât de mari ar fi numerele mutate dintr-o parte în alta. Din $- 2 x + 6 > 0$ ajungi la $- 2 x > - 6$ , iar împărțind la $- 2$ semnul se întoarce și obții $x < 3$ . Minusul dinaintea unei paranteze nu produce singur nicio inversare; el doar schimbă semnele termenilor dinăuntru.

Ca să rezolvi o inecuație, o transformi pas cu pas într-una echivalentă (cu aceeași soluție), până ajungi la forma simplă $x \geq m$ , $x \leq m$ , $x < m$ sau $x > m$ .

Două reguli țin totul în picioare:

Adunarea/scăderea aceluiași număr în ambii membri păstrează sensul inegalității.
Înmulțirea/împărțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul, dar cu un număr negativ ÎL SCHIMBĂ ( $<\to>$ , $\leq\to\geq$ ).

Exemplu minimal: $- 2 x + 6 > 0 \Rightarrow - 2 x > - 6$ . Împart la $- 2$ (negativ), deci inversez semnul: $x < 3$ , adică $S = (- \infty, 3)$ .

Truc bun de reținut: dacă muți termenul cu $x$ în membrul unde devine pozitiv, nu mai trebuie să inversezi niciun semn.

De reținut

adunarea și scăderea păstrează sensul inegalității
înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ îl întoarce
minusul din fața unei paranteze nu inversează singur sensul

Greșeala tipică

Se întoarce sensul inegalității de fiecare dată când apare un semn minus în calcul. Inversarea are loc numai la înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr negativ.

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea soluțiilor inecuației $3 x - 9 > 0$ , în $R$ ?
- a) $(3, + \infty)$
- b) $(- \infty, 3)$
- c) $[3, + \infty)$
- d) $(- \infty, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(3, + \infty)$

Adun $9$ : $3 x > 9$ . Împart la $3 > 0$ , sensul se păstrează: $x > 3$ , deci $S = (3, + \infty)$ , cu paranteză rotundă pentru că $3$ este exclus.
La rezolvarea inecuației $- 5 x + 10 \geq 0$ , ultimul pas este împărțirea ambilor membri la $- 5$ . Ce se întâmplă cu sensul inegalității și care e soluția?
- a) Sensul se păstrează, $x \geq - 2$
- b) Sensul se schimbă, $x \leq 2$
- c) Sensul se schimbă, $x \geq 2$
- d) Sensul se păstrează, $x \leq 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sensul se schimbă, $x \leq 2$

Scad $10$ : $- 5 x \geq - 10$ . Împart la $- 5 < 0$ , deci sensul se schimbă din $\geq$ în $\leq$ : $x \leq 2$ .
Care este mulțimea soluțiilor inecuației $4 x - 20 < 0$ , în $R$ ?
- a) $(- \infty, 5)$
- b) $(5, \infty)$
- c) $(- \infty, 5]$
- d) $[5, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, 5)$

$4 x - 20 < 0 \Rightarrow 4 x < 20 \Rightarrow x < 5$ (am împărțit la $4$ , număr pozitiv, sensul se păstrează). Capătul $5$ rămâne exclus: $(- \infty, 5)$ .

Întrebări conexe

Ce pot aduna sau scădea fără să stric inegalitatea?

Orice număr sau orice expresie, cu condiția să faci același lucru în ambii membri. Ordinea de pe axă nu se schimbă când muți amândouă capetele cu aceeași cantitate. De aceea mutarea termenilor este întotdeauna sigură.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc ambii membri cu un număr pozitiv?

Sensul rămâne același, fiindcă numerele pozitive păstrează ordinea. Din $x > 3$ obții $5 x > 15$ . Pasul acesta se folosește la scăparea de numitori, unde numărul ales este mereu pozitiv.

Ce fac dacă litera ajunge în membrul din dreapta?

Poți lăsa rezultatul acolo și doar să citești inegalitatea de la coadă la cap, sau poți muta termenii. Din $7 < x$ înțelegi că litera este mai mare decât $7$ . Scrierea finală se face de obicei cu litera în stânga.

Cum rezolv o inecuație în care litera apare de mai multe ori?

Reduci întâi termenii asemenea din fiecare membru, apoi îi aduni pe cei cu literă într-o parte. Din $3 x + 2 x - 4 > x + 8$ obții $4 x > 12$ , deci $x > 3$ . Fiecare pas trebuie să păstreze aceeași mulțime de soluții.

Ce se întâmplă cu sensul dacă schimb membrii între ei?

Se întoarce, fiindcă privești inegalitatea din partea cealaltă. Din $2 < x$ obții $x > 2$ , ceea ce înseamnă exact același lucru. Este singura inversare care nu vine dintr-o înmulțire cu un număr negativ.

Cum scriu pașii unei rezolvări ca să fie punctată?

Fiecare transformare pe rândul ei, cu operația notată alături, iar la final mulțimea soluțiilor scrisă ca interval. Corectorul urmărește pașii, nu doar rezultatul. O rezolvare ordonată aduce puncte chiar dacă ultimul calcul iese greșit.

Oamenii mai întreabă și: când se schimbă semnul inegalității · de ce se inversează sensul la inecuații · transformări echivalente la inecuații · împărțirea cu un număr negativ · cum rezolv o inecuație de gradul întâi