Inecuații cu paranteze și numitori. Reducerea la forma ax + b

Până acum ai rezolvat inecuații „curate", de forma $2 x - 6 \geq 0$ sau $- 3 x + 5 < 8$ . La Evaluarea Națională însă, inecuațiile apar aproape întotdeauna „îmbrăcate": cu paranteze de desfăcut și cu fracții de care trebuie să scapi. Imaginează-ți că ești un tehnician care primește un aparat cu zeci de șuruburi și capace: mai întâi îl demontezi ordonat, apoi ajungi la piesa esențială. La fel, orice inecuație complicată se demontează pas cu pas până ajunge la forma simplă $a x + b \geq 0$ (sau $\leq$ , $<$ , $>$ ), pe care deja știi să o rezolvi. În această lecție înveți exact ordinea corectă a acestor pași și, mai ales, cum să nu greșești la semn — locul unde se pierd cele mai multe puncte.

Ce vei învăța

Vei ști să desfaci parantezele și să reduci termenii asemenea într-o inecuație, respectând regula semnelor.
Vei ști să elimini numitorii numerici înmulțind cu numitorul comun, păstrând echivalența inecuației.
Vei ști să aduci orice inecuație la forma standard $a x + b \geq 0$ ( $\leq$ , $<$ , $>$ ).
Vei ști să rezolvi complet și să scrii mulțimea soluțiilor ca interval.
Vei ști să eviți greșelile clasice: uitarea schimbării sensului și greșelile de semn la termeni.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de „reducerea la forma ax + b"

O inecuație de gradul I este o inegalitate care conține o necunoscută (de obicei $x$ ) la puterea întâi. Forma standard (numită și forma canonică) este:

$a x + b \geq 0, a x + b \leq 0, a x + b < 0, a x + b > 0,$

unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $a \neq = 0$ . Am studiat rezolvarea acestei forme în lecția Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente.

Problema e că inecuațiile din culegeri și de la examen nu vin în această formă. Ele au paranteze, fracții, termeni împrăștiați în ambele părți. Strategia noastră este mereu aceeași: prin transformări echivalente (care nu schimbă mulțimea soluțiilor) aducem totul la forma simplă, apoi rezolvăm. Este ca și cum ai traduce o propoziție complicată într-una simplă, care spune exact același lucru.

Reamintim cele două reguli de aur ale transformărilor echivalente, pe care le-ai învățat:

Regula 1 (adunare/scădere): poți muta un termen dintr-o parte în alta a inecuației, schimbându-i semnul. Sensul inegalității rămâne același.
Regula 2 (înmulțire/împărțire): poți înmulți sau împărți ambele părți cu același număr. Dacă numărul este pozitiv, sensul se păstrează; dacă numărul este negativ, sensul se schimbă ( $\geq$ devine $\leq$ , $<$ devine $>$ etc.).

Toată dificultatea lecției de azi stă în a aplica ordonat aceste reguli când apar paranteze și numitori.

2. Pasul de bază: desfacerea parantezelor

A desface o paranteză înmulțită cu un număr înseamnă a folosi distributivitatea:

$k \cdot (m + n) = k \cdot m + k \cdot n .$

Atenție la semnul din fața parantezei, pentru că el se distribuie fiecărui termen dinăuntru:

$+ 3 (x - 4) = 3 x - 12$
$- 2 (x + 5) = - 2 x - 10$ (semnul minus schimbă semnul fiecărui termen)
$- (2 x - 7) = - 2 x + 7$ (un minus în față e ca $- 1 \cdot$ )

Regula practică: dacă în fața parantezei este minus, toți termenii dinăuntru își schimbă semnul când desfaci paranteza.

Să vedem un mic exemplu de inecuație doar cu paranteze:

$3 (x - 2) - 2 (x + 1) \geq 0.$

Desfacem fiecare paranteză:

$3 x - 6 - 2 x - 2 \geq 0.$

Observă cum $- 2 (x + 1)$ a dat $- 2 x - 2$ : și termenul $x$ , și termenul $1$ au fost înmulțiți cu $- 2$ . Acum reducem termenii asemenea (îi grupăm pe cei cu $x$ și, separat, numerele):

$(3 x - 2 x) + (- 6 - 2) \geq 0 ⟹ x - 8 \geq 0.$

Am ajuns la forma $a x + b \geq 0$ cu $a = 1$ și $b = - 8$ . Mai departe: $x \geq 8$ , deci $S = [8, + \infty)$ .

3. Pasul greu: eliminarea numitorilor

Când inecuația conține fracții cu numitori numerici, cel mai comod este să scăpăm de ele înmulțind toată inecuația cu cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor. Aici apare punctul-cheie al lecției:

Numitorii numerici sunt numere POZITIVE (2, 3, 4, 6, 12 …), deci și c.m.m.m.c.-ul lor este POZITIV. Când înmulțim cu un număr pozitiv, sensul inecuației NU se schimbă.

Aceasta este o veste bună: la inecuațiile cu numitori numerici (numere concrete), înmulțirea cu numitorul comun păstrează mereu sensul. Schimbarea sensului va apărea eventual mai târziu, la ultimul pas, dacă va trebui să împărțim cu un coeficient negativ.

⚠️ Atenție: aici vorbim despre numitori numerici (numere). Nu înmulțim niciodată o inecuație cu o expresie care conține necunoscuta (de exemplu cu $x$ sau cu $x - 3$ ), pentru că nu știm dacă acea expresie e pozitivă sau negativă — asta se studiază mai târziu. La clasa a VIII-a, inecuațiile de gradul I au numitori numerici.

Să lucrăm pas cu pas exemplul:

$\frac{x - 1}{2} + \frac{x + 3}{3} \leq 2.$

Pasul 1 — găsim numitorul comun. Numitorii sunt $2$ și $3$ ; iar termenul din dreapta, $2$ , are numitor „ascuns" egal cu $1$ . Cel mai mic multiplu comun este $c.m.m.m.c. (2, 3) = 6$ .

Pasul 2 — înmulțim fiecare termen cu 6. Scriem $6$ în fața fiecărui termen, ca factor:

$6 \cdot \frac{x - 1}{2} + 6 \cdot \frac{x + 3}{3} \leq 6 \cdot 2.$

Simplificăm fiecare fracție cu numitorul ei: $6 : 2 = 3$ și $6 : 3 = 2$ . Foarte important: punem paranteze în jurul numărătorilor, ca să nu greșim semnul!

$3 (x - 1) + 2 (x + 3) \leq 12.$

Pasul 3 — desfacem parantezele:

$3 x - 3 + 2 x + 6 \leq 12.$

Pasul 4 — reducem termenii asemenea în stânga:

$5 x + 3 \leq 12.$

Pasul 5 — mutăm totul într-o parte (aducem la forma $a x + b \leq 0$ ) sau, mai simplu, izolăm direct $x$ . Trecem $+ 3$ în dreapta cu semn schimbat:

$5 x \leq 12 - 3 ⟹ 5 x \leq 9.$

Pasul 6 — împărțim la coeficientul lui $x$ . Coeficientul este $5$ , un număr pozitiv, deci sensul rămâne $\leq$ :

$x \leq \frac{9}{5} .$

Pasul 7 — scriem mulțimea soluțiilor ca interval:

$S = (- \infty, \frac{9}{5}] .$

Reține că $\frac{9}{5} = 1, 8$ , iar capătul este închis (paranteză dreaptă) pentru că avem $\leq$ .

4. Ordinea corectă a pașilor (rețeta completă)

Ori de câte ori întâlnești o inecuație complicată, urmează exact această ordine:

Elimină numitorii înmulțind cu c.m.m.m.c. (pozitiv → sensul rămâne). Pune paranteze la numărători!
Desfă parantezele cu grijă la semnul din față.
Redu termenii asemenea în fiecare parte.
Grupează termenii cu $x$ într-o parte și numerele în cealaltă (mutare cu schimbare de semn).
Împarte la coeficientul lui $x$ . Dacă acest coeficient este negativ, schimbă sensul inegalității.
Scrie soluția ca interval și, la nevoie, reprezint-o pe axă.

Observă un lucru foarte important: schimbarea sensului nu are legătură cu semnul minus din fața unei paranteze. Ea apare doar când înmulțim sau împărțim ambele părți cu un număr negativ — de obicei la ultimul pas, când coeficientul lui $x$ iese negativ. Vom vedea imediat un astfel de caz.

5. Cazul în care sensul CHIAR se schimbă

Să urmărim inecuația:

$2 (1 - x) > 3 (x + 4) .$

Desfacem parantezele:

$2 - 2 x > 3 x + 12.$

Grupăm: termenii cu $x$ în stânga, numerele în dreapta. Trecem $3 x$ în stânga ( $- 3 x$ ) și $2$ în dreapta ( $- 2$ ):

$- 2 x - 3 x > 12 - 2 ⟹ - 5 x > 10.$

Acum împărțim la $- 5$ . Fiindcă $- 5$ este negativ, semnul $>$ devine $<$ :

$x < \frac{10}{- 5} ⟹ x < - 2.$

Soluția: $S = (- \infty, - 2)$ , capăt deschis pentru că avem inegalitate strictă $<$ .

Verificare rapidă (o facem mereu la examen dacă avem timp): alegem un număr din soluție, de exemplu $x = - 3$ . În inecuația inițială: stânga $= 2 (1 - (- 3)) = 2 \cdot 4 = 8$ ; dreapta $= 3 (- 3 + 4) = 3 \cdot 1 = 3$ . Este $8 > 3$ ? Da. Corect. Și un număr din afara soluției, $x = 0$ : stânga $= 2 (1 - 0) = 2$ ; dreapta $= 3 (0 + 4) = 12$ . Este $2 > 12$ ? Nu — corect, $0$ nu e soluție. Verificarea confirmă rezultatul.

6. O metodă care evită schimbarea sensului

Mulți elevi greșesc la pasul de împărțire cu număr negativ pentru că uită să schimbe sensul. Există un truc: grupează termenii cu $x$ acolo unde coeficientul lui $x$ iese pozitiv. Reluăm inecuația de mai sus, dar mutăm termenii cu $x$ în dreapta:

$2 - 2 x > 3 x + 12.$

Trecem $- 2 x$ în dreapta ( $+ 2 x$ ) și $12$ în stânga ( $- 12$ ):

$2 - 12 > 3 x + 2 x ⟹ - 10 > 5 x .$

Acum împărțim la $5$ (pozitiv, sensul rămâne):

$- 2 > x, adic \overset{a}{˘} x < - 2.$

Am obținut exact același rezultat, $S = (- \infty, - 2)$ , dar fără să fim nevoiți să schimbăm sensul. Ambele metode sunt corecte; alege-o pe cea la care te simți mai sigur, dar fii consecvent și verifică.

7. Când numitorul comun conține și semnul minus

Uneori un semn minus stă în fața unei fracții întregi. De exemplu:

$\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 4}{2} \geq 1.$

C.m.m.m.c. $(3, 2) = 6$ . Înmulțim cu $6$ , cu paranteze la numărători:

$6 \cdot \frac{2 x + 1}{3} - 6 \cdot \frac{x - 4}{2} \geq 6 \cdot 1,$ $2 (2 x + 1) - 3 (x - 4) \geq 6.$

Atenție la al doilea termen: minusul din fața fracției rămâne minus în fața parantezei $3 (x - 4)$ . Desfacem:

$4 x + 2 - 3 x + 12 \geq 6.$

Observă $- 3 (x - 4) = - 3 x + 12$ . Reducem termenii asemenea:

$x + 14 \geq 6 ⟹ x \geq 6 - 14 ⟹ x \geq - 8.$

Soluția: $S = [- 8, + \infty)$ .

Ai văzut cum, dacă am fi uitat să schimbăm semnul lui $- 4$ în paranteză (obținând greșit $- 3 x - 12$ ), am fi ratat complet rezultatul. De aceea parantezele la numărători sunt obligatorii — ele te obligă să distribui corect semnul.

8. Recapitulare a legăturii cu intervalele

După ce afli condiția finală (de tip $x \geq - 8$ sau $x < - 2$ ), scrii soluția ca interval, exact cum ai învățat în lecțiile despre intervale mărginite și intervale nemărginite. Reține corespondența:

Condiția pe $x$	Intervalul soluțiilor	Capăt
$x \geq m$	$[m, + \infty)$	închis (paranteză dreaptă)
$x > m$	$(m, + \infty)$	deschis (paranteză rotundă)
$x \leq m$	$(- \infty, m]$	închis
$x < m$	$(- \infty, m)$	deschis

Capătul se închide (folosim $[$ sau $]$ ) doar când inegalitatea conține și egalul ( $\geq$ , $\leq$ ). Spre $\pm \infty$ scriem întotdeauna paranteză rotundă, fiindcă infinitul nu este un număr.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — doar paranteze

Rezolvă în $R$ : $5 (x - 3) - 2 (2 x - 1) < 4$ .

Rezolvare. Desfacem parantezele, atent la $- 2 (2 x - 1) = - 4 x + 2$ : $5 x - 15 - 4 x + 2 < 4.$ Reducem termenii asemenea în stânga: $(5 x - 4 x) + (- 15 + 2) = x - 13$ , deci $x - 13 < 4 ⟹ x < 4 + 13 ⟹ x < 17.$ Coeficientul lui $x$ este $1$ (pozitiv), sensul rămâne. Soluția: $S = (- \infty, 17)$ .

Exemplul 2 — schimbarea sensului

Rezolvă în $R$ : $7 - 3 (x + 2) \geq 4 (1 - x) + x$ .

Rezolvare. Desfacem: $7 - 3 x - 6 \geq 4 - 4 x + x .$ Reducem în fiecare parte: stânga $= 1 - 3 x$ ; dreapta $= 4 - 3 x$ . Inecuația devine $1 - 3 x \geq 4 - 3 x .$ Trecem $- 3 x$ în stânga (devine $+ 3 x$ ) și $1$ în dreapta: $3 x - 3 x \geq 4 - 1 ⟹ 0 \geq 3.$ Am obținut o afirmație falsă ( $0 \geq 3$ este fals), care nu mai conține $x$ . Asta înseamnă că niciun număr real nu verifică inecuația. Soluția: $S = \emptyset$ (mulțimea vidă).

Acest exemplu arată că uneori termenul cu $x$ dispare complet: rezultatul poate fi „mereu adevărat" (soluția $R$ ) sau „mereu fals" (soluția $\emptyset$ ).

Exemplul 3 — cu numitori numerici

Rezolvă în $R$ : $\frac{3 x - 1}{4} - \frac{x + 2}{6} \leq 1$ .

Rezolvare. C.m.m.m.c. $(4, 6) = 12$ . Înmulțim fiecare termen cu $12$ (pozitiv → sensul rămâne), cu paranteze la numărători: $12 \cdot \frac{3 x - 1}{4} - 12 \cdot \frac{x + 2}{6} \leq 12 \cdot 1,$ $3 (3 x - 1) - 2 (x + 2) \leq 12.$ Desfacem: $9 x - 3 - 2 x - 4 \leq 12$ . Reducem: $7 x - 7 \leq 12$ , deci $7 x \leq 19 ⟹ x \leq \frac{19}{7} .$ Coeficientul $7$ este pozitiv, sensul rămâne. Soluția: $S = (- \infty, \frac{19}{7}]$ , cu $\frac{19}{7} \approx 2, 71$ .

Exemplul 4 — numitori și schimbare de sens

Rezolvă în $R$ : $\frac{1 - 2 x}{3} > \frac{x}{2} + 1$ .

Rezolvare. C.m.m.m.c. $(3, 2) = 6$ . Înmulțim cu $6$ : $6 \cdot \frac{1 - 2 x}{3} > 6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot 1,$ $2 (1 - 2 x) > 3 x + 6.$ Desfacem: $2 - 4 x > 3 x + 6$ . Grupăm astfel încât $x$ să iasă cu coeficient pozitiv — trecem $- 4 x$ în dreapta și $6$ în stânga: $2 - 6 > 3 x + 4 x ⟹ - 4 > 7 x ⟹ 7 x < - 4 ⟹ x < - \frac{4}{7} .$ Soluția: $S = (- \infty, - \frac{4}{7})$ . (Dacă am fi lăsat $x$ în stânga, ajungeam la $- 7 x > 4$ și, împărțind la $- 7$ negativ, schimbam sensul: $x < - \frac{4}{7}$ — același rezultat.)

Exemplul 5 — cu paranteze și numitori împreună (tip Evaluare Națională)

Rezolvă în $R$ și scrie soluția ca interval: $\frac{2 ( x - 1 )}{5} - \frac{3 - x}{2} \geq x - 3$ .

Rezolvare. C.m.m.m.c. $(5, 2) = 10$ . Termenul din dreapta, $x - 3$ , are numitor $1$ . Înmulțim cu $10$ : $10 \cdot \frac{2 ( x - 1 )}{5} - 10 \cdot \frac{3 - x}{2} \geq 10 (x - 3) .$ Simplificăm: $10 : 5 = 2$ și $10 : 2 = 5$ : $2 \cdot 2 (x - 1) - 5 (3 - x) \geq 10 (x - 3),$ $4 (x - 1) - 5 (3 - x) \geq 10 x - 30.$ Desfacem: $4 x - 4 - 15 + 5 x \geq 10 x - 30$ . Reducem stânga: $9 x - 19 \geq 10 x - 30.$ Grupăm astfel încât $x$ să iasă cu coeficient pozitiv: trecem $9 x$ în dreapta (devine $- 9 x$ ) și $- 30$ în stânga (devine $+ 30$ ): $- 19 + 30 \geq 10 x - 9 x ⟹ 11 \geq x ⟹ x \leq 11.$ Soluția: $S = (- \infty, 11]$ .

Verificare: $x = 0 \leq 11$ ar trebui să fie soluție. Stânga inecuației inițiale: $\frac{2 ( 0 - 1 )}{5} - \frac{3 - 0}{2} = \frac{- 2}{5} - \frac{3}{2} = - 0, 4 - 1, 5 = - 1, 9$ . Dreapta: $0 - 3 = - 3$ . Este $- 1, 9 \geq - 3$ ? Da. Corect.

Exemplul 6 — număr întreg de soluții (item cu numărare)

Determină numărul soluțiilor întregi ale inecuației $\frac{x + 4}{2} - \frac{x - 6}{3} > 1$ care aparțin intervalului $[0, 20]$ .

Rezolvare. C.m.m.m.c. $(2, 3) = 6$ : $3 (x + 4) - 2 (x - 6) > 6,$ $3 x + 12 - 2 x + 12 > 6 ⟹ x + 24 > 6 ⟹ x > - 18.$ Deci soluția inecuației este $S = (- 18, + \infty)$ . Numerele întregi din $[0, 20]$ care sunt $> - 18$ sunt toate: $0, 1, 2, \dots, 20$ . Sunt $20 - 0 + 1 = 21$ numere întregi.

Să exersăm

Rezolvă în $R$ și scrie soluția ca interval, dacă nu se cere altceva. Verifică-ți semnul la fiecare pas!

1. $4 (x - 1) \leq 2 x + 6$

2. $3 (x + 2) - 5 > x + 7$

3. $2 (3 - x) \geq 5 (x + 1) - 3$

4. $- (x - 4) + 2 (x - 1) < 3 x$

5. $\frac{x + 1}{2} \geq 3$

6. $\frac{2 x - 3}{5} < 1$

7. $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} \leq 5$

8. $\frac{x - 2}{3} - \frac{x + 1}{6} \geq 0$

9. $\frac{2 x + 1}{4} - \frac{x - 1}{2} > 1$

10. $\frac{1 - x}{2} \geq \frac{x + 3}{4}$

11. $3 - 2 (x - 1) \leq \frac{x}{2}$

12. $\frac{3 ( x - 1 )}{2} - \frac{2 x - 5}{3} < x$

13. (Adevărat sau fals, cu motivare). Afirmația: „Inecuația $- 4 (x - 2) \geq 0$ are soluția $x \geq 2$ ." Este adevărată sau falsă? Justifică.

14. (Adevărat sau fals, cu motivare). „La eliminarea numitorului $6$ dintr-o inecuație, trebuie să schimbăm sensul inegalității." Adevărat sau fals? De ce?

15. (Item tip Evaluare Națională). Determină numărul soluțiilor naturale ale inecuației $\frac{x + 5}{2} - \frac{x - 1}{4} \leq 4$ .

16. (Problemă aplicată). Un elev vrea să cumpere caiete de $3$ lei bucata și are deja $5$ lei economisiți; primește de la părinți o sumă $x$ (în lei), iar în total vrea să poată cumpăra cel puțin $8$ caiete. Scrie și rezolvă o inecuație pentru $x$ , apoi scrie soluția ca interval. (Presupunem $x \geq 0$ .)

17. (Raționament). Pentru ce valori întregi ale lui $x$ expresia $\frac{2 x - 1}{3}$ este mai mică sau egală cu $\frac{x + 2}{2}$ ? Câte valori întregi din intervalul $[- 5, 5]$ verifică?

18. (Provocare). Rezolvă $2 (x - 3) - \frac{x - 1}{2} \geq \frac{3 x + 4}{4} - 5$ și scrie soluția ca interval.

Răspunsuri și explicații

1. $4 x - 4 \leq 2 x + 6 \Rightarrow 2 x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$ . $S = (- \infty, 5]$ .

2. $3 x + 6 - 5 > x + 7 \Rightarrow 3 x + 1 > x + 7 \Rightarrow 2 x > 6 \Rightarrow x > 3$ . $S = (3, + \infty)$ .

3. $6 - 2 x \geq 5 x + 5 - 3 \Rightarrow 6 - 2 x \geq 5 x + 2$ . Grupăm cu $x$ pozitiv: $6 - 2 \geq 5 x + 2 x \Rightarrow 4 \geq 7 x \Rightarrow x \leq \frac{4}{7}$ . $S = (- \infty, \frac{4}{7}]$ .

4. $- x + 4 + 2 x - 2 < 3 x \Rightarrow x + 2 < 3 x \Rightarrow 2 < 2 x \Rightarrow x > 1$ . $S = (1, + \infty)$ .

5. Înmulțim cu $2$ (pozitiv): $x + 1 \geq 6 \Rightarrow x \geq 5$ . $S = [5, + \infty)$ .

6. Înmulțim cu $5$ : $2 x - 3 < 5 \Rightarrow 2 x < 8 \Rightarrow x < 4$ . $S = (- \infty, 4)$ .

7. C.m.m.m.c. $(2, 3) = 6$ : $3 x + 2 x \leq 30 \Rightarrow 5 x \leq 30 \Rightarrow x \leq 6$ . $S = (- \infty, 6]$ .

8. C.m.m.m.c. $(3, 6) = 6$ : $2 (x - 2) - (x + 1) \geq 0 \Rightarrow 2 x - 4 - x - 1 \geq 0 \Rightarrow x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$ . $S = [5, + \infty)$ .

9. C.m.m.m.c. $(4, 2) = 4$ : $(2 x + 1) - 2 (x - 1) > 4 \Rightarrow 2 x + 1 - 2 x + 2 > 4 \Rightarrow 3 > 4$ , fals. Termenul cu $x$ dispare și rămâne o afirmație falsă. $S = \emptyset$ .

10. C.m.m.m.c. $(2, 4) = 4$ : $2 (1 - x) \geq (x + 3) \Rightarrow 2 - 2 x \geq x + 3$ . Grupăm cu $x$ pozitiv: $2 - 3 \geq x + 2 x \Rightarrow - 1 \geq 3 x \Rightarrow x \leq - \frac{1}{3}$ . $S = (- \infty, - \frac{1}{3}]$ .

11. $3 - 2 x + 2 \leq \frac{x}{2} \Rightarrow 5 - 2 x \leq \frac{x}{2}$ . Înmulțim cu $2$ : $10 - 4 x \leq x \Rightarrow 10 \leq 5 x \Rightarrow x \geq 2$ . $S = [2, + \infty)$ .

12. C.m.m.m.c. $(2, 3) = 6$ . Înmulțim fiecare termen cu $6$ : $6 \cdot \frac{3 ( x - 1 )}{2} = 9 (x - 1)$ și $6 \cdot \frac{2 x - 5}{3} = 2 (2 x - 5)$ , iar $6 \cdot x = 6 x$ . Obținem $9 (x - 1) - 2 (2 x - 5) < 6 x \Rightarrow 9 x - 9 - 4 x + 10 < 6 x \Rightarrow 5 x + 1 < 6 x \Rightarrow 1 < x$ , adică $x > 1$ . $S = (1, + \infty)$ .

13. Fals. Desfacem: $- 4 (x - 2) = - 4 x + 8 \geq 0 \Rightarrow - 4 x \geq - 8$ . Împărțim la $- 4$ (negativ), deci sensul se schimbă: $x \leq 2$ . Soluția corectă este $x \leq 2$ , nu $x \geq 2$ . Afirmația confundă tocmai schimbarea sensului.

14. Fals. Numitorul $6$ este un număr pozitiv; înmulțirea ambelor părți cu un număr pozitiv păstrează sensul inegalității. Sensul s-ar schimba doar dacă am înmulți/împărți cu un număr negativ.

15. C.m.m.m.c. $(2, 4) = 4$ : $2 (x + 5) - (x - 1) \leq 16 \Rightarrow 2 x + 10 - x + 1 \leq 16 \Rightarrow x + 11 \leq 16 \Rightarrow x \leq 5$ . Soluția: $S = (- \infty, 5]$ . Numerele naturale ( $0, 1, 2, \dots$ ) care sunt $\leq 5$ sunt $0, 1, 2, 3, 4, 5$ — adică 6 valori.

16. Suma disponibilă este $5 + x$ lei; opt caiete costă $8 \cdot 3 = 24$ lei. Condiția „cel puțin 8 caiete": $5 + x \geq 24 \Rightarrow x \geq 19$ . Ținând cont și de $x \geq 0$ , soluția este $S = [19, + \infty)$ : are nevoie de cel puțin $19$ lei de la părinți.

17. $\frac{2 x - 1}{3} \leq \frac{x + 2}{2}$ . C.m.m.m.c. $(3, 2) = 6$ : $2 (2 x - 1) \leq 3 (x + 2) \Rightarrow 4 x - 2 \leq 3 x + 6 \Rightarrow x \leq 8$ . Deci $S = (- \infty, 8]$ . Valorile întregi din $[- 5, 5]$ (toate sunt $\leq 8$ ) sunt $- 5, - 4, \dots, 5$ — adică 11 valori.

18. $2 (x - 3) - \frac{x - 1}{2} \geq \frac{3 x + 4}{4} - 5$ . C.m.m.m.c. $(2, 4) = 4$ : înmulțim cu $4$ : $8 (x - 3) - 2 (x - 1) \geq (3 x + 4) - 20$ . Desfacem: $8 x - 24 - 2 x + 2 \geq 3 x + 4 - 20 \Rightarrow 6 x - 22 \geq 3 x - 16$ . Grupăm: $6 x - 3 x \geq - 16 + 22 \Rightarrow 3 x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2$ . $S = [2, + \infty)$ .

De reținut

Ordinea pașilor: elimini numitorii (× c.m.m.m.c., pozitiv) → desfaci parantezele → reduci termenii asemenea → grupezi $x$ într-o parte → împarți la coeficientul lui $x$ → scrii intervalul.
Numitorii numerici sunt pozitivi, deci înmulțirea cu numitorul comun nu schimbă sensul inecuației.
Sensul se schimbă DOAR la înmulțire/împărțire cu un număr negativ (de obicei când coeficientul lui $x$ iese negativ).
La eliminarea numitorilor, pune paranteze în jurul fiecărui numărător, ca să distribui corect semnele.
Soluția se scrie ca interval: capăt închis $[]$ la $\geq, \leq$ ; capăt deschis $()$ la $<, >$ și mereu spre $\pm \infty$ . Dacă $x$ dispare: afirmație adevărată → $S = R$ ; afirmație falsă → $S = \emptyset$ .

Greșeli frecvente

Uiți să schimbi sensul când împarți cu un număr negativ. Exemplu: din $- 5 x > 10$ scrii greșit $x > - 2$ ; corect este $x < - 2$ . Verifică mereu semnul coeficientului lui $x$ înainte de a împărți.
Greșești semnul la desfacerea parantezei cu minus în față. $- 2 (x + 3)$ NU e $- 2 x + 3$ , ci $- 2 x - 6$ . Minusul se distribuie fiecărui termen.
Nu pui paranteze la numărători când elimini numitorii. Din $6 \cdot \frac{x - 4}{2}$ scrii greșit $3 \cdot x - 4 = 3 x - 4$ , în loc de $3 (x - 4) = 3 x - 12$ . Rezultatul iese complet greșit.
Confunzi capătul închis cu cel deschis. $x < 4$ dă interval deschis $(- \infty, 4)$ ; doar $x \leq 4$ dă capăt închis $(- \infty, 4]$ . Egalul din inecuație = paranteză dreaptă în interval.

Aplică acasă

Bugetul de weekend. Ai o sumă de bani și vrei să faci mai multe cheltuieli (transport fix + un preț pe bilet de cinema). Scrie o inecuație de forma „cheltuieli $\leq$ bani disponibili", desfă parantezele dacă apar reduceri procentuale simple exprimate ca fracții și află câte bilete îți permiți. Rezolvă și scrie soluția ca interval.
Media la matematică. Ai câteva note și vrei ca media să fie cel puțin $9$ . Notează cu $x$ nota viitoare, scrie inecuația cu media (care are numitor — numărul de note) și rezolvă eliminând numitorul. Vei obține intervalul notelor care îți asigură media dorită.
Fabrică de exerciții. Inventează tu 3 inecuații: una doar cu paranteze, una doar cu numitori, una cu ambele. Rezolvă-le, apoi verifică fiecare soluție înlocuind un număr din interval în inecuația inițială — exact ca la Exemplul 2 din lecție.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează una dintre cele mai frecvente surse de puncte pierdute la Evaluarea Națională: rezolvarea corectă a inecuațiilor „complexe", cu paranteze și fracții. Subiectul apare aproape mereu la Subiectul II (rezolvare cu redactare completă) și, sub formă de item cu răspuns scurt, la Subiectul I (de exemplu „câte numere întregi verifică inecuația?").

Cum puteți sprijini elevul:

Cereți-i să spună cu voce tare regula semnului înainte de a împărți: „coeficientul lui $x$ este pozitiv sau negativ? Schimb sensul sau nu?". Verbalizarea previne greșeala automată.
Verificați redactarea, nu doar rezultatul. La examen se punctează pașii: eliminarea numitorilor, desfacerea corectă a parantezelor, forma finală și scrierea intervalului. Un rezultat corect fără pași primește punctaj parțial.
Întrebări de verificare a înțelegerii: „De ce, când înmulțim cu $6$ , nu schimbăm sensul, dar când împărțim cu $- 3$ îl schimbăm?"; „Ce se întâmplă dacă $x$ dispare complet din inecuație?"; „Cum treci de la $x \leq 5$ la interval?".
Semn de înțelegere reală: elevul pune singur paranteze la numărători, verifică soluția cu un număr de probă și scrie corect tipul de capăt al intervalului (deschis/închis). Dacă face aceste trei lucruri fără să i se amintească, a stăpânit lecția.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o inecuație cu paranteze la clasa a 8-a? Desfaci întâi parantezele folosind distributivitatea (atent la semnul din față), reduci termenii asemenea, apoi grupezi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în cealaltă. La final împarți la coeficientul lui $x$ și scrii soluția ca interval.

Când se schimbă sensul inegalității la o inecuație cu numitori? Sensul se schimbă numai dacă înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ. Numitorii numerici sunt pozitivi, deci înmulțirea cu numitorul comun nu schimbă sensul; schimbarea poate apărea abia la ultimul pas, dacă coeficientul lui $x$ iese negativ.

Cum elimin numitorii dintr-o inecuație? Găsești cel mai mic multiplu comun al numitorilor (c.m.m.m.c.), apoi înmulțești fiecare termen al inecuației cu acest număr. Pune paranteze în jurul fiecărui numărător ca să distribui corect semnele. Fiindcă numitorul comun este pozitiv, sensul rămâne neschimbat.

Ce înseamnă „reducerea la forma ax + b" la o inecuație? Înseamnă să transformi inecuația complicată, prin desfacerea parantezelor și eliminarea fracțiilor, într-o formă simplă de tipul $a x + b \geq 0$ (sau $\leq$ , $<$ , $>$ ), pe care o poți rezolva direct izolând necunoscuta $x$ .

De ce trebuie să pun paranteze la numărători când elimin numitorii? Pentru că numărătorul este un „bloc" întreg care se înmulțește cu numărul. Fără paranteze, ai înmulți doar primul termen și ai greși semnele celorlalți. De exemplu, $6 \cdot \frac{x - 4}{2} = 3 (x - 4) = 3 x - 12$ , nu $3 x - 4$ .

Ce fac dacă necunoscuta x dispare din inecuație? Rămâne o afirmație numerică. Dacă este adevărată (de exemplu $3 \geq 0$ ), atunci orice număr real e soluție și $S = R$ . Dacă este falsă (de exemplu $0 \geq 3$ ), atunci niciun număr nu e soluție și $S = \emptyset$ (mulțimea vidă).

Cum scriu soluția unei inecuații ca interval? Dacă ai obținut $x \geq m$ , scrii $[m, + \infty)$ ; pentru $x > m$ scrii $(m, + \infty)$ ; pentru $x \leq m$ scrii $(- \infty, m]$ ; iar pentru $x < m$ scrii $(- \infty, m)$ . Capătul se închide doar când inecuația conține și egalul, iar spre infinit paranteza e mereu rotundă.

Ce tip de itemi cu inecuații apar la Evaluarea Națională? Apar atât itemi scurți (de exemplu „câte numere întregi/naturale verifică inecuația?"), cât și cerințe de rezolvare completă cu redactare, unde primești puncte pe fiecare pas corect: eliminarea numitorilor, desfacerea parantezelor și scrierea mulțimii soluțiilor ca interval.