Ce este o inecuație de gradul I. Forma ax + b ≥ 0 (≤, <, >)

Ai intrat pe un site de streaming muzical care costă $18$ lei pe lună și îți spui: „am strâns niște bani, dar vreau să știu câte luni pot plăti abonamentul fără să depășesc bugetul". Când în locul unei egalități apare o cerință de tipul „cel mult atât" sau „cel puțin atât", nu mai ai o ecuație, ci o inecuație. În viața reală ai de‑a face cu inecuații mult mai des decât cu ecuații: notele minime pentru a promova, greutatea maximă admisă într‑un lift, viteza maximă legală pe o șosea, salariul minim de care ai nevoie. Toate acestea se scriu cu semnele $<, \leq, >, \geq$ .

Ai învățat în lecțiile anterioare ce sunt intervalele de numere reale și cum verifici apartenența unui număr la un interval. Acum folosim tot ce știm despre intervale ca să deschidem un capitol nou și foarte important pentru Evaluarea Națională: inecuațiile de gradul I. În această primă lecție NU rezolvăm încă inecuații complicate — ne concentrăm pe a înțelege temeinic ce este o inecuație, cum arată forma ei generală și ce înseamnă că un număr este soluție. Sunt fundamentele pe care vom construi în lecțiile următoare.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o inecuație de gradul I și să o deosebești clar de o ecuație.
Vei ști să scrii o inecuație sub forma generală $a x + b \geq 0$ și variantele cu $\leq, <, >$ .
Vei ști să deosebești inegalitățile stricte ( $<, >$ ) de cele nestricte ( $\leq, \geq$ ) și să folosești corect terminologia.
Vei ști ce înseamnă o soluție a unei inecuații și să verifici dacă un număr dat este soluție.
Vei ști să transformi enunțuri din viața reală („cel mult", „cel puțin", „mai mult decât") în inecuații.

Hai să descoperim împreună

1. De la egalitate la inegalitate

Îți amintești din clasele trecute o egalitate: două expresii legate prin semnul $=$ , care spune că cele două părți au exact aceeași valoare. De exemplu, $2 x + 3 = 11$ este o ecuație: căutăm numărul $x$ care face ca partea stângă să fie fix egală cu partea dreaptă. Aici răspunsul este $x = 4$ , un singur număr.

O inegalitate înlocuiește semnul $=$ cu unul dintre semnele de comparație:

$<$ se citește „mai mic decât";
$>$ se citește „mai mare decât";
$\leq$ se citește „mai mic sau egal cu" (sau „cel mult");
$\geq$ se citește „mai mare sau egal cu" (sau „cel puțin").

Când într‑o inegalitate apare o necunoscută (de obicei $x$ ), obținem o inecuație. De exemplu, $2 x + 3 \geq 11$ nu mai întreabă „ce număr face cele două părți egale?", ci „ce numere fac ca partea stângă să fie cel puțin cât partea dreaptă?". Vei vedea că aici răspunsul nu mai este un singur număr, ci o mulțime întreagă de numere.

Ideea‑cheie: ecuația caută egalitatea (de obicei un număr, o „țintă exactă"), iar inecuația caută o relație de ordine (de obicei o mulțime de numere, un „interval de numere potrivite").

2. Ce este o inecuație de gradul I

Ne interesează în acest capitol un tip precis de inecuație — cel mai simplu și cel mai des întâlnit la examen.

Definiție. O inecuație de gradul I (sau de gradul întâi) cu necunoscuta $x$ este o inecuație care se poate aduce la una dintre formele: $a x + b > 0, a x + b \geq 0, a x + b < 0, a x + b \leq 0,$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale date, iar $a \neq = 0$ .

Să lămurim fiecare element:

$x$ este necunoscuta — numărul (sau numerele) pe care le căutăm.
$a$ se numește coeficientul necunoscutei (numărul cu care este înmulțit $x$ ).
$b$ este termenul liber (numărul care nu conține pe $x$ ).
Condiția $a \neq = 0$ este esențială: dacă $a$ ar fi $0$ , atunci $a x = 0$ și necunoscuta ar dispărea, deci nu am mai avea gradul I. Reține: „de gradul I" înseamnă că necunoscuta apare la puterea întâi și că, după toate calculele, coeficientul ei nu este nul.

De ce „gradul I"? Pentru că cea mai mare putere la care apare necunoscuta este $1$ : avem $x$ (adică $x^{1}$ ), niciodată $x^{2}$ , $x^{3}$ etc. Dacă ai vedea un $x^{2}$ , ai fi la o inecuație de alt tip, care nu face parte din programa acestei lecții.

Exemple de inecuații de gradul I:

$3 x - 12 \geq 0, - 2 x + 5 < 0, x + 7 > 0, 4 x - 1 \leq 0.$

Nu sunt inecuații de gradul I:

$x^{2} - 9 > 0$ — apare $x^{2}$ , deci nu e gradul I;
$\frac{5}{x} \leq 2$ — necunoscuta este la numitor;
$2 x + 3 = 11$ — are semnul $=$ , deci este o ecuație, nu o inecuație.

3. Cele patru forme și semnele de inegalitate

Forma generală „ $a x + b$ semn $0$ " acoperă patru variante, după semnul folosit. E important să le știi pe toate, pentru că enunțurile de la Evaluarea Națională le amestecă:

Forma	Se citește	Tipul semnului
$a x + b > 0$	„ $a x + b$ strict mai mare ca $0$ "	strict
$a x + b < 0$	„ $a x + b$ strict mai mic ca $0$ "	strict
$a x + b \geq 0$	„ $a x + b$ mai mare sau egal cu $0$ "	nestrict
$a x + b \leq 0$	„ $a x + b$ mai mic sau egal cu $0$ "	nestrict

Distincția dintre strict și nestrict este mai importantă decât pare la prima vedere:

Semnele stricte $<$ și $>$ nu admit egalitatea. Valoarea la care cele două părți devin egale nu este acceptată.
Semnele nestricte $\leq$ și $\geq$ admit egalitatea. Bara mică de sub semn („ $\leq$ = $<$ cu o liniuță") înseamnă exact „sau egal". Valoarea de egalitate este acceptată.

Vom vedea în lecția următoare că această diferență se traduce, pe axa numerelor, într‑un cerculeț gol (pentru strict) sau plin (pentru nestrict), și în paranteză rotundă sau paranteză dreaptă la scrierea intervalului‑soluție. Deocamdată reține doar: liniuța de sub semn = egalitatea este permisă.

O observație de limbaj foarte utilă la probleme:

„cel mult $20$ " înseamnă „ $\leq 20$ " (poate fi și fix $20$ , dar nu mai mult);
„cel puțin $20$ " înseamnă „ $\geq 20$ " (poate fi și fix $20$ , dar nu mai puțin);
„mai mult decât $20$ " (strict) înseamnă „ $> 20$ ";
„mai puțin decât $20$ " (strict) înseamnă „ $< 20$ ";
„nu depășește $20$ " înseamnă „ $\leq 20$ ";
„depășește $20$ " înseamnă „ $> 20$ ".

Aceste traduceri sunt aur curat la itemii aplicativi. Multe puncte se pierd nu la calcul, ci pentru că elevul a pus $<$ acolo unde trebuia $\leq$ .

4. Deosebirea dintre ecuație și inecuație — recapitulare esențială

Să punem față în față cele două noțiuni, ca să nu le mai confunzi niciodată:

	Ecuație de gradul I	Inecuație de gradul I
Semnul folosit	$=$	$<, >, \leq, \geq$
Ce cauți	valorile care fac cele două părți egale	valorile care fac o inegalitate adevărată
Forma tipică	$a x + b = 0$	$a x + b \geq 0$ (sau $\leq, <, >$ )
Soluția (de obicei)	un singur număr	o mulțime de numere (un interval)
Exemplu	$2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$	$2 x - 6 \geq 0 \Rightarrow$ toate $x \geq 3$

Această comparație este miezul lecției. O ecuație de gradul I are (de regulă) o singură soluție — un punct pe axă. O inecuație de gradul I are, de regulă, o infinitate de soluții — o „bucată" întreagă din axă, adică un interval.

5. Ce înseamnă „soluție a unei inecuații"

Aici este cea mai importantă idee practică a lecției.

Definiție. Un număr real $x_{0}$ este soluție a unei inecuații dacă, înlocuind necunoscuta $x$ cu $x_{0}$ , obținem o inegalitate adevărată (o propoziție corectă).

Cu alte cuvinte: iei numărul, îl bagi în locul lui $x$ , faci calculele și te uiți dacă inegalitatea care rezultă este adevărată sau falsă. Dacă e adevărată, numărul „trece testul" și este soluție. Dacă e falsă, numărul nu este soluție.

Exemplu de verificare. Este $x_{0} = 5$ soluție a inecuației $3 x - 8 \geq 4$ ?

Înlocuim $x$ cu $5$ : $3 \cdot 5 - 8 = 15 - 8 = 7.$ Comparăm: $7 \geq 4$ ? Da, adevărat. Deci $x_{0} = 5$ este soluție.

Să încercăm și un număr care nu merge: este $x_{0} = 3$ soluție a aceleiași inecuații? $3 \cdot 3 - 8 = 9 - 8 = 1, 1 \geq 4 ? Fals.$ Deci $x_{0} = 3$ nu este soluție.

Observă un lucru frumos: unele numere sunt soluții, altele nu. Toate numerele care sunt soluții formează împreună mulțimea soluțiilor inecuației — despre care vei învăța pe larg în lecția Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval. Deocamdată exersăm doar să testăm un număr dat, unul câte unul.

6. Atenție la semnul strict pe valoarea de graniță

Un moment care aduce sau pierde puncte: ce se întâmplă exact la valoarea unde cele două părți devin egale?

Să luăm $2 x - 6 \geq 0$ . Numărul $x_{0} = 3$ dă $2 \cdot 3 - 6 = 0$ , iar $0 \geq 0$ este adevărat (pentru că $\geq$ admite egalitatea). Deci $3$ este soluție.

Acum ia inecuația strictă $2 x - 6 > 0$ . Același $x_{0} = 3$ dă $0 > 0$ , care este fals (zero nu este strict mai mare ca zero). Deci, la varianta strictă, $3$ nu este soluție.

Concluzie de aur: la semnele nestricte $\leq, \geq$ , valoarea de graniță este soluție; la semnele stricte $<, >$ , valoarea de graniță NU este soluție. Această diferență de un singur punct pare mică, dar la examen decide corectitudinea răspunsului.

7. Cum ajungem la forma ax + b ≥ 0

Multe inecuații nu vin de la început în forma „ $a x + b$ semn $0$ ", ci în forma „ceva semn altceva", de exemplu $3 x + 5 \geq x + 11$ . Forma generală se obține mutând tot într‑o parte, exact ca la ecuații, astfel încât în cealaltă parte să rămână $0$ . Regula de mutare (schimbarea semnului la trecerea peste semnul de inegalitate) este aceeași ca la ecuații și o vom folosi cu grijă în lecția Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente.

Ilustrăm doar aducerea la formă (nu rezolvarea completă): $3 x + 5 \geq x + 11 sc \overset{a}{˘} dem x ș i 11 din ambele p \overset{a}{˘} r ț i$ $3 x - x + 5 - 11 \geq 0 ⟹ 2 x - 6 \geq 0.$ Am obținut forma generală cu $a = 2$ și $b = - 6$ . Recunoașterea coeficienților $a$ și $b$ după aducerea la formă este exact ce ți se cere frecvent la Evaluarea Națională.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea unei inecuații de gradul I

Cerință. Care dintre următoarele sunt inecuații de gradul I? Pentru cele care sunt, precizează $a$ și $b$ . a) $5 x - 20 \leq 0$ b) $x^{2} + 3 > 0$ c) $- 4 x + 9 \geq 0$ d) $7 x - 2 = 5$

Rezolvare.

a) $5 x - 20 \leq 0$ — este inecuație de gradul I (semn de inegalitate, $x$ la puterea 1). Aici $a = 5$ , $b = - 20$ .
b) $x^{2} + 3 > 0$ — nu este de gradul I, pentru că necunoscuta apare la pătrat ( $x^{2}$ ).
c) $- 4 x + 9 \geq 0$ — este inecuație de gradul I. Aici $a = - 4$ , $b = 9$ . (Atenție: $a$ poate fi și negativ!)
d) $7 x - 2 = 5$ — nu este inecuație, ci o ecuație, pentru că are semnul $=$ .

Răspuns: sunt inecuații de gradul I doar a) și c).

Exemplul 2 — Aducerea la forma generală și identificarea lui a și b

Cerință. Adu inecuația $6 x - 4 < 2 x + 8$ la forma $a x + b < 0$ și precizează $a$ și $b$ .

Rezolvare. Mutăm toți termenii în stânga (schimbând semnul celor care trec): $6 x - 4 - 2 x - 8 < 0 ⟹ (6 x - 2 x) + (- 4 - 8) < 0 ⟹ 4 x - 12 < 0.$

Răspuns: forma generală este $4 x - 12 < 0$ , cu $a = 4$ și $b = - 12$ . (Observă că semnul $<$ rămâne neschimbat, pentru că am doar adunat/scăzut aceeași cantitate în ambele părți.)

Exemplul 3 — Verificarea unei valori (semn nestrict)

Cerință. Verifică dacă $x_{0} = - 2$ este soluție a inecuației $- 3 x + 1 \leq 10$ .

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu $- 2$ : $- 3 \cdot (- 2) + 1 = 6 + 1 = 7.$ Comparăm cu partea dreaptă: $7 \leq 10$ ? Da, adevărat.

Răspuns: $x_{0} = - 2$ este soluție a inecuației.

Exemplul 4 — Aceeași inecuație, două valori diferite

Cerință. Fie inecuația $2 x - 7 > 1$ . Verifică dacă $x_{1} = 4$ și $x_{2} = 4, 5$ sunt soluții.

Rezolvare. Pentru $x_{1} = 4$ : $2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1$ , iar $1 > 1$ ? Fals. Deci $4$ nu este soluție (atenție: semnul e strict, iar $1$ nu e strict mai mare ca $1$ ). Pentru $x_{2} = 4, 5$ : $2 \cdot 4, 5 - 7 = 9 - 7 = 2$ , iar $2 > 1$ ? Adevărat. Deci $4, 5$ este soluție.

Răspuns: $x_{1} = 4$ nu este soluție; $x_{2} = 4, 5$ este soluție. Vezi cum două numere apropiate pot avea răspunsuri diferite — de aceea granița se tratează cu grijă.

Exemplul 5 — Diferența strict vs. nestrict pe valoarea de graniță

Cerință. Numărul $x_{0} = 5$ este soluție pentru: a) $2 x - 10 \geq 0$ ? b) $2 x - 10 > 0$ ?

Rezolvare. În ambele cazuri calculăm $2 \cdot 5 - 10 = 10 - 10 = 0$ .

a) $0 \geq 0$ ? Adevărat (nestrict admite egalitatea) → $5$ este soluție.
b) $0 > 0$ ? Fals (strict nu admite egalitatea) → $5$ nu este soluție.

Răspuns: soluție doar la a). Un singur punct diferă între cele două inecuații: exact valoarea de graniță $x = 5$ .

Exemplul 6 — De la enunț real la inecuație (item tip Evaluare Națională)

Cerință. Un elev vrea să obțină la un test cel puțin nota $8$ . Notarea se face după regula: nota este $nr. puncte \cdot 0, 25 + 1$ , unde numărul de puncte este $x$ . Scrie inecuația care exprimă condiția „nota cel puțin $8$ " și adu‑o la forma $a x + b \geq 0$ . Verifică apoi dacă $x = 30$ de puncte îndeplinește condiția.

Rezolvare. „Nota cel puțin $8$ " se traduce prin $\geq 8$ , deci: $0, 25 x + 1 \geq 8.$ Aducem la forma generală mutând $8$ în stânga: $0, 25 x + 1 - 8 \geq 0 ⟹ 0, 25 x - 7 \geq 0.$ Aici $a = 0, 25$ și $b = - 7$ . Verificăm $x = 30$ în inecuația inițială: $0, 25 \cdot 30 + 1 = 7, 5 + 1 = 8, 5, 8, 5 \geq 8 ? Adev \overset{a}{˘} rat.$

Răspuns: inecuația este $0, 25 x - 7 \geq 0$ ; cu $30$ de puncte elevul obține nota $8, 5$ , deci îndeplinește condiția „cel puțin $8$ ".

Să exersăm

1. Care dintre următoarele sunt inecuații de gradul I? a) $4 x - 9 > 0$ b) $x + 5 = 12$ c) $x^{2} - 4 \leq 0$ d) $- x + 3 \geq 0$

2. Pentru fiecare inecuație de gradul I, scrie coeficienții $a$ și $b$ : a) $7 x - 14 \geq 0$ b) $- 2 x + 6 < 0$ c) $x + 8 \leq 0$

3. Precizează dacă semnul este strict sau nestrict și citește inecuația în cuvinte: a) $3 x - 1 < 0$ b) $5 x + 2 \geq 0$ c) $- x + 4 > 0$ d) $2 x - 9 \leq 0$

4. Scrie sub formă de inecuație (folosind $x$ pentru numărul necunoscut): a) un număr este cel puțin $12$ ; b) un număr este mai mic decât $- 3$ ; c) un număr nu depășește $50$ ; d) un număr depășește $100$ .

5. Adu la forma $a x + b > 0$ inecuația $5 x + 3 > 2 x + 15$ și precizează $a$ și $b$ .

6. Adu la forma $a x + b \leq 0$ inecuația $8 - 3 x \leq 20$ și precizează $a$ și $b$ .

7. Verifică dacă $x_{0} = 6$ este soluție a inecuației $4 x - 5 \geq 15$ .

8. Verifică dacă $x_{0} = - 1$ este soluție a inecuației $- 2 x + 7 < 10$ .

9. Fie inecuația $3 x - 12 > 0$ . Este $x_{0} = 4$ soluție? Dar $x_{0} = 5$ ? Explică diferența.

10. Numărul $x_{0} = - 3$ este soluție pentru $- 5 x + 1 \geq 16$ ? Verifică prin calcul.

11. Adevărat sau fals? Motivează: a) „Orice ecuație de gradul I are exact o soluție, iar orice inecuație de gradul I are o infinitate de soluții." b) „În inecuația $a x + b \geq 0$ coeficientul $a$ poate fi $0$ ." c) „La semnul $\leq$ , valoarea care face cele două părți egale este soluție."

12. Pentru inecuația $x - 4 \leq 0$ , testează pe rând numerele $x \in {2, 4, 6}$ și spune care dintre ele sunt soluții.

13. Scrie o inecuație de gradul I care are $a = - 3$ și $b = 12$ , folosind semnul „ $<$ ".

14. Un lift are o limită de greutate de cel mult $600$ kg. Dacă în lift intră persoane cu masa medie de $75$ kg și notăm cu $x$ numărul de persoane, scrie inecuația care exprimă condiția de siguranță și adu‑o la forma $a x + b \leq 0$ .

15. (Evaluare Națională — item scurt) Se dă inecuația $2 x - 8 \geq 0$ . a) Lasă partea stângă ca atare și precizează $a$ și $b$ . b) Verifică dacă $x = 4$ este soluție. c) Verifică dacă $x = 3$ este soluție.

16. O firmă de curierat percepe $15$ lei taxă fixă plus $3$ lei pentru fiecare kilogram. Un client vrea să plătească cel mult $45$ lei. Notând cu $x$ masa coletului în kilograme, scrie inecuația și verifică dacă un colet de $9$ kg respectă bugetul.

17. Găsește greșeala din următoarea afirmație a unui elev și corectează‑o: „Numărul $x_{0} = 2$ este soluție a inecuației $3 x - 6 > 0$ , pentru că $3 \cdot 2 - 6 = 0$ și $0 > 0$ ."

18. (Raționament) Se știe că $x_{0} = 5$ este soluție a inecuației $a x - 10 \geq 0$ , iar la $x = 5$ cele două părți sunt egale (adică $a \cdot 5 - 10 = 0$ ). Determină valoarea lui $a$ .

Răspunsuri și explicații

1. Inecuații de gradul I: a) și d). La b) e semnul $=$ (ecuație), la c) apare $x^{2}$ (nu e gradul I).

2. a) $a = 7$ , $b = - 14$ ; b) $a = - 2$ , $b = 6$ ; c) $a = 1$ , $b = 8$ .

3. a) strict — „ $3 x - 1$ strict mai mic decât $0$ "; b) nestrict — „ $5 x + 2$ mai mare sau egal cu $0$ "; c) strict — „ $- x + 4$ strict mai mare decât $0$ "; d) nestrict — „ $2 x - 9$ mai mic sau egal cu $0$ ".

4. a) $x \geq 12$ ; b) $x < - 3$ ; c) $x \leq 50$ ; d) $x > 100$ . (La „cel puțin" și „nu depășește" folosim semne nestricte; la „mai mic decât" și „depășește" folosim semne stricte.)

5. $5 x + 3 - 2 x - 15 > 0 \Rightarrow 3 x - 12 > 0$ ; deci $a = 3$ , $b = - 12$ .

6. $8 - 3 x - 20 \leq 0 \Rightarrow - 3 x - 12 \leq 0$ ; deci $a = - 3$ , $b = - 12$ .

7. $4 \cdot 6 - 5 = 24 - 5 = 19$ ; $19 \geq 15$ adevărat → este soluție.

8. $- 2 \cdot (- 1) + 7 = 2 + 7 = 9$ ; $9 < 10$ adevărat → este soluție.

9. Pentru $x_{0} = 4$ : $3 \cdot 4 - 12 = 0$ , iar $0 > 0$ e fals → nu e soluție. Pentru $x_{0} = 5$ : $3 \cdot 5 - 12 = 3$ , iar $3 > 0$ e adevărat → este soluție. Diferența: $4$ este exact valoarea de graniță, iar semnul fiind strict, granița nu se acceptă.

10. $- 5 \cdot (- 3) + 1 = 15 + 1 = 16$ ; $16 \geq 16$ adevărat (nestrict admite egalitatea) → este soluție.

11. a) Adevărat. Prin definiție, la o inecuație (sau ecuație) de gradul I avem $a \neq = 0$ . În acest caz ecuația $a x + b = 0$ are exact o soluție ( $x = - \frac{b}{a}$ ), iar inecuația $a x + b \geq 0$ (sau $\leq, <, >$ ) are întotdeauna o infinitate de soluții — o „bucată" întreagă din axă. b) Fals — dacă $a = 0$ , dispare necunoscuta și nu mai e gradul I. c) Adevărat — semnul $\leq$ este nestrict, deci egalitatea este permisă.

12. $x = 2$ : $2 - 4 = - 2 \leq 0$ adevărat → soluție. $x = 4$ : $4 - 4 = 0 \leq 0$ adevărat → soluție. $x = 6$ : $6 - 4 = 2 \leq 0$ fals → nu e soluție. Soluții: $2$ și $4$ .

13. $- 3 x + 12 < 0$ (cu $a = - 3$ și $b = 12$ și semnul „ $<$ ", aceasta este singura scriere posibilă).

14. Greutatea totală $75 x$ nu trebuie să depășească $600$ : $75 x \leq 600$ . Forma generală: $75 x - 600 \leq 0$ .

15. a) $a = 2$ , $b = - 8$ (partea stângă e deja $2 x - 8$ ). b) $x = 4$ : $2 \cdot 4 - 8 = 0$ , iar $0 \geq 0$ adevărat → este soluție. c) $x = 3$ : $2 \cdot 3 - 8 = - 2$ , iar $- 2 \geq 0$ fals → nu este soluție.

16. Cost total $15 + 3 x$ , condiția „cel mult $45$ ": $15 + 3 x \leq 45$ , adică $3 x - 30 \leq 0$ . Pentru $9$ kg: $15 + 3 \cdot 9 = 15 + 27 = 42$ , iar $42 \leq 45$ adevărat → coletul respectă bugetul.

17. Calculul $3 \cdot 2 - 6 = 0$ este corect, dar concluzia e greșită: $0 > 0$ este fals (zero nu e strict mai mare ca zero). Corect: $x_{0} = 2$ nu este soluție a inecuației $3 x - 6 > 0$ . (Ar fi fost soluție doar dacă semnul era $\geq$ .)

18. Din $a \cdot 5 - 10 = 0$ obținem $5 a = 10$ , deci $a = 2$ . (Verificare: $2 \cdot 5 - 10 = 0 \geq 0$ adevărat.)

De reținut

O inecuație de gradul I se aduce la forma $a x + b \geq 0$ (sau $\leq, <, >$ ), cu $a, b \in R$ și $a \neq = 0$ .
Semnele stricte sunt $<$ și $>$ (nu admit egalitatea); semnele nestricte sunt $\leq$ și $\geq$ (admit egalitatea — liniuța de sub semn înseamnă „sau egal").
Ecuația ( $=$ ) caută de regulă un singur număr; inecuația caută de regulă o mulțime de numere (un interval).
Un număr $x_{0}$ este soluție dacă, înlocuit în inecuație, dă o inegalitate adevărată. Verifici mereu prin calcul.
La valoarea de graniță (unde părțile devin egale): este soluție doar dacă semnul e nestrict.

Greșeli frecvente

Confuzia $=$ cu semnele de inegalitate. O expresie cu $=$ este ecuație, nu inecuație. Verifică întotdeauna ce semn e scris înainte de a începe.
Ignorarea diferenței strict/nestrict la graniță. La $x$ care face părțile egale, $0 > 0$ e fals, dar $0 \geq 0$ e adevărat. Uită‑te mereu dacă semnul are sau nu liniuța de „egal".
Uitarea condiției $a \neq = 0$ . Dacă după calcule coeficientul lui $x$ devine $0$ , nu mai ai o inecuație de gradul I. Nu numi „gradul I" ceva în care $x$ a dispărut.
Traducerea greșită a cuvintelor din probleme. „Cel mult" = $\leq$ , „cel puțin" = $\geq$ , „mai mult/depășește" = $>$ , „mai puțin" = $<$ . Multe puncte se pierd la item‑ul aplicativ din cauza semnului greșit.

Aplică acasă

Bugetul de streaming. Alege un abonament real (muzică, jocuri, cursuri online) cu un preț lunar fix. Notează cu $x$ numărul de luni și scrie inecuația care spune „cheltuiala totală să nu depășească suma pe care ai economisit‑o". Verifică apoi, prin înlocuire, câte luni „trec testul".
Limita de bagaj. Caută limita de greutate a unui bagaj de cală la o companie aeriană (de obicei $23$ kg). Cântărește câteva obiecte de acasă, notează cu $x$ masa unui obiect suplimentar și scrie inecuația $masa curent \overset{a}{˘} + x \leq 23$ . Testează dacă un anumit obiect încape în limită.
Nota minimă. Folosind regula de notare de la un test real din clasă (puncte $\to$ notă), scrie inecuația care exprimă „vreau cel puțin nota $9$ " și verifică de câte puncte ai nevoie testând câteva valori.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare în capitolul de inecuații, unul dintre cele mai punctate la Evaluarea Națională (apare aproape sigur la Subiectul II, ca item de sine stătător sau integrat într‑o problemă aplicată). Scopul aici NU este ca elevul să rezolve inecuații, ci să înțeleagă temeinic ce este una și să facă diferența dintre ecuație și inecuație — o confuzie foarte des întâlnită.

Întrebări bune de verificare pe care le puteți pune:

„Ce semn transformă o egalitate într‑o inecuație?" (răspuns: $<, >, \leq, \geq$ ).
„Care semne admit egalitatea și care nu?" (nestricte $\leq, \geq$ admit; stricte $<, >$ nu).
„Cum arăți că un număr este soluție?" (îl înlocuiești și verifici dacă inegalitatea e adevărată).
„De ce spunem că $a \neq = 0$ ?" (altfel dispare necunoscuta și nu mai e gradul I).

Semnul că elevul a înțeles: poate traduce corect enunțuri din viața reală („cel mult", „cel puțin") în inecuații și motivează de ce un număr de graniță este sau nu soluție, apelând la strict/nestrict. Dacă tratează inecuația ca pe o ecuație (caută „un singur $x$ "), încă nu a interiorizat ideea de mulțime de soluții — reluați comparația din tabelul de la secțiunea 4.

Întrebări frecvente

Ce este o inecuație de gradul I la clasa a 8-a? Este o inegalitate cu o necunoscută care se poate aduce la forma $a x + b \geq 0$ (sau $\leq, <, >$ ), unde $a$ și $b$ sunt numere reale și $a \neq = 0$ . Spre deosebire de o ecuație, ea are de obicei o mulțime întreagă de soluții, nu un singur număr.

Care este diferența dintre o ecuație și o inecuație? Ecuația folosește semnul $=$ și caută valorile care fac cele două părți exact egale (de regulă un număr). Inecuația folosește $<, >, \leq$ sau $\geq$ și caută valorile care fac o inegalitate adevărată (de regulă un interval întreg de numere).

Ce înseamnă semn strict și semn nestrict? Semnele stricte sunt $<$ și $>$ și nu acceptă egalitatea. Semnele nestricte sunt $\leq$ și $\geq$ și acceptă egalitatea (liniuța de sub semn înseamnă „sau egal"). Diferența contează mai ales la valoarea de graniță.

Cum verific dacă un număr este soluția unei inecuații? Înlocuiești necunoscuta $x$ cu numărul dat, faci calculele și te uiți dacă inegalitatea obținută este adevărată. Dacă este adevărată, numărul este soluție; dacă este falsă, nu este soluție.

De ce trebuie ca a să fie diferit de zero? Dacă $a = 0$ , atunci $a x = 0$ și necunoscuta dispare complet din inecuație, așa că nu mai avem gradul I. Condiția $a \neq = 0$ garantează că $x$ apare efectiv, la puterea întâi.

„Cel puțin" și „cel mult" ce semne folosesc? „Cel puțin" înseamnă „mai mare sau egal", deci $\geq$ . „Cel mult" înseamnă „mai mic sau egal", deci $\leq$ . Sunt printre cele mai utile traduceri la problemele aplicate de la Evaluarea Națională.

O inecuație are o singură soluție? De regulă nu. O inecuație de gradul I are, cel mai adesea, o infinitate de soluții, care formează un interval de numere reale. Vei învăța să determini exact acest interval în lecția despre mulțimea soluțiilor.

Cum aduc o inecuație la forma ax + b ≥ 0? Muți toți termenii într‑o singură parte (schimbând semnul celor care trec peste semnul de inegalitate) astfel încât în cealaltă parte să rămână $0$ , apoi reduci termenii asemenea. Rezultatul este de forma $a x + b$ comparat cu $0$ .