Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor

Intri într-o librărie cu 60 de lei în buzunar. Vrei un ghiozdan de 45 de lei și, cu ce îți rămâne, cât mai multe pixuri de 6 lei bucata. Câte pixuri poți cumpăra? Nu există un singur răspuns — există o limită: poți cumpăra până la un anumit număr, dar nu mai mult. Exact aici intră în scenă inecuațiile. Când o problemă din viața reală conține cuvinte ca „cel mult", „cel puțin", „nu depășește" sau „mai mare decât", nu cauți o egalitate, ci o mulțime întreagă de valori posibile. În lecția aceasta înveți cum transformi un enunț în cuvinte într-o inecuație de gradul I, cum o rezolvi și — cel mai important — cum alegi din soluții doar pe cele care au sens în realitate.

Această lecție este pasul în care toate cunoștințele despre inecuații devin utile. Ai învățat deja ce este o inecuație de gradul I, cum arată mulțimea soluțiilor pe axă și ca interval, cum se rezolvă prin transformări echivalente și cum lucrezi cu paranteze și numitori. Acum folosim toate acestea ca să răspundem la întrebări reale despre bani, note, dimensiuni și oferte — genul de probleme care apar frecvent la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să transpui un enunț real într-o inecuație de gradul I, alegând corect necunoscuta.
• Vei ști să traduci cuvintele-cheie „cel puțin", „cel mult", „mai mare decât", „nu depășește" în semnele $\ge$, $\le$, $>$, $<$.
• Vei ști să rezolvi inecuația obținută și să scrii mulțimea soluțiilor ca interval.
• Vei ști să interpretezi soluția în context, alegând doar valorile cu sens (numere naturale, cantități pozitive, note întregi).
• Vei ști să redactezi îngrijit rezolvarea unei probleme aplicative, pentru punctaj la examen.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a rezolva o problemă cu o inecuație"

Până acum, la ecuații, plecai de la un enunț și obțineai o singură valoare a necunoscutei. La inecuații lucrurile stau altfel: enunțul îți impune o condiție de tip limită, iar răspunsul este de obicei o mulțime de valori. De exemplu, „nu am voie să cheltuiesc mai mult de 60 de lei" nu îți spune cât cheltuiești exact, ci doar că suma cheltuită trebuie să fie $\le 60$.

A rezolva o problemă cu ajutorul unei inecuații înseamnă să parcurgi patru pași clari. Îi vom folosi la fiecare problemă din lecție, așa că merită să îi ții minte ca pe o rețetă:

1. Alegi necunoscuta și îi dai un nume (de obicei $x$). Scrii clar ce reprezintă ea: „fie $x$ numărul de pixuri", „fie $x$ nota la a treia teză" etc.
2. Transpui enunțul în limbaj matematic: scrii inecuația care traduce condiția din problemă.
3. Rezolvi inecuația prin transformări echivalente și obții mulțimea soluțiilor.
4. Interpretezi soluția în context: alegi doar valorile care au sens practic și formulezi răspunsul în cuvinte.

Pasul 4 este cel care deosebește o problemă de un simplu exercițiu de calcul. O inecuație îți poate da $x\le 4,5$, dar dacă $x$ este un număr de pixuri, răspunsul real este „cel mult 4 pixuri", pentru că nu poți cumpăra jumătate de pix.

Dicționarul cuvintelor-cheie: cum traduci enunțul

Cheia întregii lecții este să traduci corect expresiile din limba română în semne matematice. Iată tabelul pe care trebuie să îl stăpânești perfect:

Fii foarte atent la două perechi care se confundă des:

• „cel puțin" înseamnă minimum, deci valoarea permisă este aceea sau mai mare: $x\ge$. De exemplu, „ai nevoie de cel puțin 5 ani vechime" înseamnă că 5 ani este acceptat, la fel ca 6, 7 și așa mai departe.
• „cel mult" înseamnă maximum, deci valoarea permisă este aceea sau mai mică: $x\le$. „Poți sta cel mult 2 ore" înseamnă că 2 ore este acceptat, dar nu și 2 ore și un minut.

Observă diferența subtilă dintre „cel puțin" ($\ge$, include valoarea) și „mai mare decât" ($>$, nu include valoarea). „Cel puțin 18 ani" înseamnă $x\ge 18$ (și 18 e bun), pe când „mai mare decât 18 ani" înseamnă $x>18$ (18 fix nu e inclus). Aceeași distincție există între „cel mult" ($\le$) și „mai mic decât" ($<$).

Cum alegi necunoscuta și scrii inecuația

Să lucrăm împreună pe problema din introducere. Ai 60 de lei, un ghiozdan costă 45 de lei, iar fiecare pix costă 6 lei. Câte pixuri poți cumpăra?

Pasul 1 — necunoscuta. Ce nu știm? Numărul de pixuri. Notăm: fie $x$ numărul de pixuri cumpărate, unde $x$ este număr natural ($x\in \mathbb{N}$).

Pasul 2 — inecuația. Câți lei cheltui în total? Ghiozdanul (45 lei) plus pixurile ($6\cdot x$ lei), adică $45+6x$ lei. Condiția „nu poți cheltui mai mult decât ai" înseamnă că suma cheltuită este cel mult 60 de lei: $$45+6x\le 60.$$

Pasul 3 — rezolvarea. Scădem 45 din ambii membri: $$6x\le 60-45\Rightarrow 6x\le 15.$$ Împărțim la 6 (număr pozitiv, deci sensul se păstrează): $$x\le \frac{15}{6}=2,5.$$

Pasul 4 — interpretarea. Matematic, $x\le 2,5$. Dar $x$ este un număr de pixuri, deci un număr natural. Numerele naturale care satisfac $x\le 2,5$ sunt $0,1,2$. Numărul maxim de pixuri este așadar $\boxed{2}$. Cu 2 pixuri cheltui $45+12=57$ lei $\le 60$ ✓, iar cu 3 pixuri ai cheltui $45+18=63>60$ lei, deci nu ai bani suficienți.

Reține ideea centrală: inecuația îți dă un interval, dar contextul filtrează soluțiile. Aici am trecut de la $x\le 2,5$ (un interval de numere reale) la $\{0,1,2\}$ (numere naturale, singurele cu sens).

De ce se schimbă uneori sensul inegalității

Ai învățat regula la lecția despre transformări echivalente, dar la probleme apare des, așa că o reamintim, pentru că e o sursă majoră de greșeli la examen:

• Când aduni sau scazi același număr în ambii membri, sensul se păstrează.
• Când înmulțești sau împarți cu un număr pozitiv, sensul se păstrează.
• Când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul se schimbă: $\le$ devine $\ge$, iar $<$ devine $>$.

De exemplu, din $-2x<10$ obținem, împărțind la $-2$ (negativ), $x>-5$ (semnul s-a inversat). La probleme, coeficientul necunoscutei este de obicei pozitiv (un preț, o cantitate), deci rar întâlnești inversarea — dar când apare, e decisivă.

Când soluția „reală" e diferită de soluția matematică

Interpretarea depinde de natura mărimii. Iată tipurile pe care le vei întâlni:

• Număr de obiecte, de persoane, de zile → soluții naturale ($\mathbb{N}$): pixuri, bilete, cutii, elevi. Nu pot fi negative sau fracționare.
• Note școlare → numere întregi de la 1 la 10 (la Evaluarea Națională notele sunt întregi).
• Lungimi, arii, mase, timp → numere pozitive (uneori cu zecimale): o lungime trebuie să fie $>0$.
• Sume de bani → de regulă pozitive; pot avea și bani (zecimale).

Așadar, după ce rezolvi inecuația, întreabă-te mereu: „Ce fel de număr poate fi $x$ în realitate?" Abia apoi scrii răspunsul final. Această întrebare face diferența dintre 5 puncte și punctajul întreg la un item de examen.

Un al doilea tip clasic: nota pentru media dorită

O aplicație foarte întâlnită la Evaluarea Națională este cea cu media aritmetică. Ana are la primele două teze notele 9 și 8. Ce notă trebuie să obțină la a treia teză pentru ca media celor trei note să fie cel puțin 8?

Necunoscuta: fie $x$ nota la a treia teză.

Inecuația: media celor trei note este $\frac{9+8+x}{3}$, iar condiția „cel puțin 8" înseamnă $\ge 8$: $$\frac{9+8+x}{3}\ge 8\Rightarrow \frac{17+x}{3}\ge 8.$$

Rezolvarea: înmulțim ambii membri cu 3 (pozitiv, sensul se păstrează): $$17+x\ge 24\Rightarrow x\ge 24-17\Rightarrow x\ge 7.$$

Interpretarea: notele sunt întregi între 1 și 10, deci $x\in \{7,8,9,10\}$. Ana trebuie să ia cel puțin nota 7. Verificare pentru nota minimă: media $=\frac{9+8+7}{3}=\frac{24}{3}=8\ge 8$ ✓.

Al treilea tip: dimensiuni și perimetre

Un dreptunghi are lățimea de 5 cm. Perimetrul lui nu depășește 26 cm, iar lungimea este mai mare decât lățimea. Ce valori poate lua lungimea?

Necunoscuta: fie $L$ lungimea, în centimetri, cu $L>0$.

Aici avem două condiții care trebuie îndeplinite simultan:

1. „Perimetrul nu depășește 26 cm": perimetrul dreptunghiului este $P=2(L+5)$, deci $$2(L+5)\le 26.$$
2. „Lungimea mai mare decât lățimea": $L>5$.

Rezolvăm prima inecuație: împărțim la 2, apoi scădem 5: $$L+5\le 13\Rightarrow L\le 8.$$

Combinăm cele două condiții: $L>5$ și $L\le 8$, adică lungimea se află în intervalul $$L\in (5,8].$$

Lungimea poate fi orice număr mai mare strict decât 5 cm și cel mult 8 cm. De exemplu, $L=6$ cm dă $P=2(6+5)=22\le 26$ ✓, iar $L=8$ cm dă $P=2(8+5)=26\le 26$ ✓. Observă că am folosit intersecția a două intervale, temă pe care ai studiat-o la intersecția intervalelor.

Al patrulea tip: compararea a două oferte

Acesta este poate cel mai „adult" tip de problemă și apare des la examen. Ideea e să scrii câte o expresie pentru fiecare ofertă și să compari.

Două parcări din centru: parcarea A cere o taxă fixă de intrare de 10 lei plus 3 lei pentru fiecare oră; parcarea B cere 5 lei pentru fiecare oră, fără taxă de intrare. Pentru câte ore este parcarea A mai avantajoasă (mai ieftină) decât B?

Necunoscuta: fie $x$ numărul de ore, $x>0$.

Costurile: parcarea A costă $10+3x$ lei, parcarea B costă $5x$ lei. „A mai ieftină decât B" înseamnă cost A $<$ cost B: $$10+3x<5x.$$

Rezolvarea: trecem $3x$ în dreapta (scădem $3x$): $$10<5x-3x\Rightarrow 10<2x\Rightarrow 5<x\Rightarrow x>5.$$

Interpretarea: parcarea A devine mai ieftină pentru mai mult de 5 ore. Pentru exact 5 ore, costurile sunt egale ($10+15=25$ lei și $5\cdot 5=25$ lei), deci niciuna nu e mai avantajoasă. Începând de la ore întregi, A e mai bună de la 6 ore în sus. Acest tip de raționament — „de la ce prag se schimbă cea mai bună alegere" — este esența deciziilor economice reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Traducerea unui enunț simplu

Enunț: Scrie și rezolvă inecuația: „triplul unui număr, micșorat cu 4, este cel mult 20". Găsește numerele naturale care verifică proprietatea.

Rezolvare. Fie $x$ numărul căutat. „Triplul numărului" este $3x$; „micșorat cu 4" înseamnă $3x-4$; „cel mult 20" înseamnă $\le 20$: $$3x-4\le 20.$$ Adunăm 4: $3x\le 24$. Împărțim la 3: $x\le 8$.

Deoarece căutăm numere naturale, $x\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Cel mai mare număr natural care verifică este 8, iar verificarea: $3\cdot 8-4=20\le 20$ ✓.

Exemplul 2 — Buget cu o cumpărătură fixă

Enunț: Un elev are 50 de lei. Cumpără un set de instrumente geometrice de 18 lei, apoi vrea cât mai multe caiete de 5 lei bucata. Câte caiete poate cumpăra cel mult?

Rezolvare. Fie $x$ numărul de caiete, $x\in \mathbb{N}$. Suma cheltuită este $18+5x$ lei și nu poate depăși 50 de lei: $$18+5x\le 50.$$ Scădem 18: $5x\le 32$. Împărțim la 5: $$x\le \frac{32}{5}=6,4.$$ Cum $x$ este natural, valoarea maximă este $x=6$. Verificare: $18+5\cdot 6=18+30=48\le 50$ ✓, iar 7 caiete ar costa $18+35=53>50$. Răspuns: cel mult 6 caiete.

Exemplul 3 — Media aritmetică (item tip Evaluare Națională)

Enunț: La matematică, Mihai are notele 6 și 7 la primele două teze. Ce notă trebuie să obțină la a treia teză pentru ca media aritmetică a celor trei note să fie cel puțin 7?

Rezolvare. Fie $x$ nota la a treia teză, cu $x$ număr întreg, $1\le x\le 10$. $$\frac{6+7+x}{3}\ge 7\Rightarrow \frac{13+x}{3}\ge 7.$$ Înmulțim cu 3: $13+x\ge 21$. Scădem 13: $x\ge 8$.

Deci $x\in \{8,9,10\}$: Mihai are nevoie de cel puțin nota 8. Verificare pentru nota minimă 8: $\frac{6+7+8}{3}=\frac{21}{3}=7\ge 7$ ✓.

Exemplul 4 — Compararea a două abonamente telefonice

Enunț: Abonamentul A costă 20 de lei fix pe lună plus 0,5 lei pentru fiecare minut de convorbire. Abonamentul B nu are cost fix, dar costă 0,8 lei pe minut. Pentru câte minute pe lună este abonamentul A mai ieftin decât B?

Rezolvare. Fie $x$ numărul de minute vorbite, $x\in \mathbb{N}$. Costul lui A este $20+0,5x$ lei, al lui B este $0,8x$ lei. Condiția „A mai ieftin decât B": $$20+0,5x<0,8x.$$ Scădem $0,5x$: $20<0,3x$. Împărțim la $0,3$: $$x>\frac{20}{0,3}=\frac{200}{3}=66,\overline{6}.$$ Cum $x$ este un număr întreg de minute, primul întreg care satisface este $x=67$. Răspuns: abonamentul A devine mai avantajos începând de la 67 de minute pe lună. Verificare: la 67 min, A costă $20+0,5\cdot 67=20+33,5=53,5$ lei, iar B costă $0,8\cdot 67=53,6$ lei, deci $53,5<53,6$ ✓.

Exemplul 5 — Inecuație cu numitor

Enunț: Găsește cel mai mic număr natural $x$ pentru care jumătatea numărului, mărită cu 4, este cel puțin 12.

Rezolvare. „Jumătatea numărului" este $\frac{x}{2}$; „mărită cu 4" înseamnă $\frac{x}{2}+4$; „cel puțin 12" înseamnă $\ge 12$: $$\frac{x}{2}+4\ge 12.$$ Scădem 4: $\frac{x}{2}\ge 8$. Înmulțim cu 2 (pozitiv): $x\ge 16$.

Cel mai mic număr natural care verifică este $x=16$. Verificare: $\frac{16}{2}+4=8+4=12\ge 12$ ✓. Răspuns: 16.

Exemplul 6 — Problemă cu numere consecutive

Enunț: Suma a trei numere naturale consecutive nu depășește 40. Care este cea mai mare valoare posibilă a celui mai mic dintre ele?

Rezolvare. Fie $n$ cel mai mic număr, iar celelalte două $n+1$ și $n+2$, cu $n\in \mathbb{N}$. Suma lor: $$n+(n+1)+(n+2)\le 40\Rightarrow 3n+3\le 40.$$ Scădem 3: $3n\le 37$. Împărțim la 3: $$n\le \frac{37}{3}=12,33\dots$$ Cel mai mare număr natural este $n=12$. Verificare: $12+13+14=39\le 40$ ✓, iar dacă am lua $n=13$ am avea $13+14+15=42>40$. Răspuns: cea mai mare valoare a celui mai mic număr este 12 (numerele fiind 12, 13, 14).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând cei patru pași: alegi necunoscuta, scrii inecuația, o rezolvi și interpretezi soluția. Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Scrie sub formă de inecuație și rezolvă: „un număr $x$ mărit cu 7 este cel puțin 12".

2. Traduce în inecuație și rezolvă: „dublul unui număr este cel mult 18".

3. Traduce în inecuație și rezolvă: „triplul unui număr, micșorat cu 5, este mai mare decât 10".

4. Găsește toate numerele naturale $x$ pentru care numărul mărit cu 4 nu depășește 11.

5. Ai 40 de lei. Cumperi o carte de 22 de lei, apoi stilouri de 4 lei bucata. Câte stilouri poți cumpăra cel mult?

6. Un elev are notele 6 și 7 la primele două teze. Ce notă trebuie să ia la a treia teză pentru ca media celor trei note să fie cel puțin 7?

7. Un dreptunghi are lățimea de 4 cm și perimetrul cel mult 22 cm, iar lungimea este mai mare decât lățimea. Ce valori poate lua lungimea?

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Condiția «cel puțin 5» se scrie matematic $x>5$."

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă la o problemă despre numărul de cutii obții $x\le 4,5$, atunci numărul maxim de cutii este 4."

10. Parcarea A cere 10 lei taxă de intrare plus 3 lei pe oră, iar parcarea B cere 5 lei pe oră. Pentru câte ore întregi este parcarea B mai ieftină decât A?

11. Un muncitor montează cel puțin 15 piese pe oră. Câte ore, cel puțin, îi trebuie ca să monteze minimum 90 de piese?

12. Rezolvă inecuația $\frac{x-1}{2}+3\le x$ și scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

13. Latura unui triunghi echilateral este $x$ cm. Perimetrul este cel mult 30 cm, dar mai mare decât 18 cm. Ce valori poate lua latura?

14. Care este cel mai mare număr întreg $x$ care verifică inecuația $4x-3<21$?

15. Care este cel mai mic număr natural $x$ care verifică inecuația $2x+5\ge 20$?

16. O firmă închiriază trotinete electrice: 8 lei taxă fixă plus 2 lei pentru fiecare oră. Andrei are 30 de lei. Câte ore, cel mult, poate merge cu trotineta?

17. Un lift suportă cel mult 500 kg. În lift au intrat trei persoane cu masa totală de 210 kg. Câți saci de ciment, de 40 kg fiecare, mai pot fi urcați cel mult?

18. (Item tip Evaluare Națională) Suma dintre triplul unui număr natural și 8 este cel mult 50. Determină cea mai mare valoare pe care o poate lua numărul și verifică răspunsul.

Răspunsuri și explicații

1. $x+7\ge 12\Rightarrow x\ge 5$. Soluții: $x\in [5,+\infty )$; toate numerele mai mari sau egale cu 5.

2. $2x\le 18\Rightarrow x\le 9$. Soluții: $x\in (-\infty ,9]$.

3. $3x-5>10\Rightarrow 3x>15\Rightarrow x>5$. Soluții: $x\in (5,+\infty )$; atenție, 5 nu este inclus.

4. $x+4\le 11\Rightarrow x\le 7$. Numere naturale: $x\in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$.

5. Fie $x$ numărul de stilouri: $22+4x\le 40\Rightarrow 4x\le 18\Rightarrow x\le 4,5$. Cum $x\in \mathbb{N}$, cel mult 4 stilouri (verificare: $22+16=38\le 40$; 5 stilouri ar da $42>40$).

6. $\frac{6+7+x}{3}\ge 7\Rightarrow 13+x\ge 21\Rightarrow x\ge 8$. Note întregi: $x\in \{8,9,10\}$, deci cel puțin nota 8.

7. $2(L+4)\le 22\Rightarrow L+4\le 11\Rightarrow L\le 7$; cu $L>4$ rezultă $L\in (4,7]$. Lungimea este mai mare de 4 cm și cel mult 7 cm.

8. Fals. „Cel puțin 5" înseamnă „minimum 5", deci 5 este acceptat: se scrie $x\ge 5$, nu $x>5$. Semnul $>$ ar exclude tocmai valoarea 5.

9. Adevărat. Numărul de cutii este natural. Numerele naturale care satisfac $x\le 4,5$ sunt $0,1,2,3,4$, iar cel mai mare este 4, deci maximul este 4 cutii.

10. Fie $x$ numărul de ore: cost B $<$ cost A $\Rightarrow 5x<10+3x\Rightarrow 2x<10\Rightarrow x<5$. Ore întregi: $x\in \{1,2,3,4\}$, deci B este mai ieftină pentru cel mult 4 ore (pentru exact 5 ore costurile sunt egale, câte 25 lei).

11. Fie $t$ numărul de ore: $15t\ge 90\Rightarrow t\ge 6$. Îi trebuie cel puțin 6 ore.

12. Înmulțim cu 2: $x-1+6\le 2x\Rightarrow x+5\le 2x\Rightarrow 5\le x\Rightarrow x\ge 5$. Soluții: $x\in [5,+\infty )$.

13. $3x\le 30\Rightarrow x\le 10$ și $3x>18\Rightarrow x>6$. Intersecție: $x\in (6,10]$. Latura este mai mare de 6 cm și cel mult 10 cm.

14. $4x-3<21\Rightarrow 4x<24\Rightarrow x<6$. Cel mai mare număr întreg strict mai mic decât 6 este 5.

15. $2x+5\ge 20\Rightarrow 2x\ge 15\Rightarrow x\ge 7,5$. Cel mai mic număr natural este 8.

16. Fie $x$ numărul de ore: $8+2x\le 30\Rightarrow 2x\le 22\Rightarrow x\le 11$. Cum $x\in \mathbb{N}$, cel mult 11 ore (verificare: $8+22=30\le 30$).

17. Fie $x$ numărul de saci: $210+40x\le 500\Rightarrow 40x\le 290\Rightarrow x\le 7,25$. Cum $x\in \mathbb{N}$, cel mult 7 saci (verificare: $210+280=490\le 500$; 8 saci ar da $210+320=530>500$).

18. Fie $x$ numărul natural: $3x+8\le 50\Rightarrow 3x\le 42\Rightarrow x\le 14$. Cea mai mare valoare este $x=14$. Verificare: $3\cdot 14+8=42+8=50\le 50$ ✓.

De reținut

• Cei patru pași la orice problemă cu inecuații: alegi necunoscuta → scrii inecuația → o rezolvi → interpretezi soluția în context.
• Cuvintele-cheie: „cel puțin", „minim", „nu mai puțin de" → $\ge$; „cel mult", „maxim", „nu depășește" → $\le$; „mai mare decât", „peste", „depășește" → $>$; „mai mic decât", „sub" → $<$.
• „Cel puțin" și „cel mult" includ valoarea (semne $\ge$, $\le$), pe când „mai mare/mai mic decât" nu o includ (semne $>$, $<$).
• La înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.
• Contextul filtrează soluțiile: dacă $x$ este un număr de obiecte, alegi numai numere naturale; dacă e o notă, numai întregi de la 1 la 10; dacă e o lungime, numai valori pozitive.

Greșeli frecvente

• Confuzia „cel puțin" ↔ „cel mult". „Cel puțin" înseamnă minimum ($\ge$), „cel mult" înseamnă maximum ($\le$). Un truc: „cel puțin 3 stele" — 3 e cel mai mic acceptat, deci $\ge 3$. Citește enunțul rar și subliniază expresia-cheie înainte să scrii semnul.
• Uitarea interpretării finale. Obții $x\le 4,5$ și scrii „soluția este 4,5" — dar dacă $x$ e un număr de bilete, răspunsul corect este „cel mult 4 bilete". Întreabă-te mereu: ce fel de număr poate fi $x$ în realitate?
• Includerea sau excluderea greșită a capătului. „Mai mare decât 5" ($x>5$) nu îl include pe 5, dar „cel puțin 5" ($x\ge 5$) îl include. La interval, cerc gol pentru $>$ și $<$, cerc plin pentru $\ge$ și $\le$.
• Neschimbarea sensului la împărțirea cu un negativ. Din $-3x<12$ mulți scriu greșit $x<-4$; corect este $x>-4$, pentru că împărțirea la $-3$ inversează semnul.

Aplică acasă

1. Bugetul tău de weekend. Alege o sumă pe care o ai de cheltuit (de exemplu 50 de lei), o cumpărătură fixă (un bilet la film) și un produs pe care îl iei „cât mai mult" (pungi de popcorn). Scrie inecuația care arată câte pungi poți lua, rezolv-o și verifică în magazin dacă răspunsul e realist.

2. Nota de care ai nevoie. Ia mediile tale reale la o materie (notele de până acum) și calculează, printr-o inecuație, ce notă minimă îți trebuie la următoarea evaluare pentru ca media să fie cel puțin o valoare pe care ți-o dorești. Interpretează: e o notă posibilă (între 1 și 10) sau media dorită este de neatins?

3. Compară două oferte reale. Găsește două abonamente (de streaming, de transport, de telefon) cu structuri diferite — unul cu cost fix, altul „pe consum". Scrie câte o expresie pentru fiecare și determină cu o inecuație de la ce nivel de consum devine mai avantajos unul dintre ele.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este locul unde inecuațiile devin utile, iar mulți elevi „se aprind" abia acum, când văd matematica legată de bani, note și decizii reale. Sprijinul cel mai eficient nu este să dați răspunsul, ci să întrebați: „Ce nu știm în problemă? Cum am putea nota acel lucru necunoscut?" — pentru pasul 1, alegerea necunoscutei, care este de obicei cel mai greu.

Întrebări de verificare a înțelegerii:

• „Cum se scrie matematic «cel puțin»? Dar «cel mult»? Care include valoarea și care nu?"
• „După ce ai rezolvat inecuația și ai obținut $x\le 4,5$, de ce răspunsul nu este 4,5? Ce fel de număr poate fi $x$ aici?"
• „De ce, când împarți la un număr negativ, se schimbă semnul inegalității?"

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: transpune corect enunțul înainte de a calcula, nu confundă „cel puțin" cu „cel mult" și — cel mai important — filtrează soluțiile în funcție de context, fără să fie amintit.

La Evaluarea Națională, problemele care se rezolvă cu inecuații apar frecvent la Subiectul al II-lea și al III-lea, adesea îmbrăcate în context (buget, media unor note, dimensiuni, oferte). Baremul acordă punctaj separat pentru scrierea corectă a inecuației, pentru rezolvare și pentru interpretarea răspunsului — de aceea insistăm pe redactarea celor patru pași și pe justificarea finală în cuvinte.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „cel puțin" și „cel mult" la inecuații? „Cel puțin" înseamnă „minimum", adică valoarea aceea sau mai mare, și se scrie cu semnul $\ge$. „Cel mult" înseamnă „maximum", adică valoarea aceea sau mai mică, și se scrie cu $\le$. Ambele includ valoarea din enunț: „cel puțin 5" acceptă și pe 5, „cel mult 5" acceptă tot pe 5.

Cum transpun o problemă în inecuație la clasa a 8-a? Parcurge patru pași: alegi și numești necunoscuta (de obicei $x$), traduci condiția din enunț într-o inecuație folosind cuvintele-cheie, rezolvi inecuația prin transformări echivalente și interpretezi soluția alegând valorile cu sens în context.

Când răspunsul unei probleme cu inecuații nu este un număr zecimal? Când necunoscuta reprezintă ceva ce se numără sau se măsoară discret: obiecte, persoane, bilete, note. Dacă rezolvarea îți dă $x\le 4,5$, dar $x$ este un număr de obiecte, răspunsul real este 4, pentru că nu poți avea 4,5 obiecte. Contextul te obligă să alegi numere naturale.

Care e diferența dintre „mai mare decât" și „cel puțin"? „Mai mare decât 10" se scrie $x>10$ și nu îl include pe 10. „Cel puțin 10" se scrie $x\ge 10$ și îl include pe 10. Diferența este dacă valoarea-prag este sau nu acceptată — la interval, cerc gol pentru $>$ și cerc plin pentru $\ge$.

De ce se schimbă semnul inegalității la unele probleme? Semnul se schimbă doar când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ. La probleme, coeficientul necunoscutei (un preț, o cantitate) este de regulă pozitiv, deci rar apare inversarea; dar dacă apare un factor negativ, semnul $\le$ devine $\ge$ și invers.

Cum verific dacă răspunsul la o problemă cu inecuații este corect? Înlocuiește valoarea-prag găsită în inecuația inițială și verifică dacă condiția se respectă; apoi verifică valoarea imediat următoare, care nu trebuie să o mai respecte. De exemplu, dacă răspunsul e „cel mult 6 caiete", verifici că 6 caiete se încadrează în buget și că 7 caiete îl depășesc.

Ce fel de probleme cu inecuații apar la Evaluarea Națională? Cele mai frecvente sunt: bugete („câte produse poți cumpăra cu o sumă"), medii de note („ce notă îți trebuie pentru media dorită"), dimensiuni („ce lungime poate avea o latură ca perimetrul să nu depășească o valoare") și comparații de oferte. Se cere scrierea inecuației, rezolvarea și interpretarea în context.

Poate o problemă să aibă mai multe condiții simultan? Da. Uneori enunțul impune două condiții (de exemplu „perimetrul cel mult 26 cm" și „lungimea mai mare decât lățimea"). Atunci rezolvi fiecare inecuație, iar soluția finală este intersecția intervalelor obținute — toate valorile care respectă simultan ambele condiții.