Simulare comentată: model de subiect de Evaluare Națională rezolvat pas cu pas

Ai ajuns la ultima piesă din puzzle: o simulare completă de Evaluare Națională, rezolvată în fața ta, pas cu pas, exact cum ar trebui să arate lucrarea ta în ziua examenului. Până acum ai recapitulat pe capitole; acum le pui pe toate la un loc, sub presiunea unui subiect real, cu cele 90 de puncte din lucrare plus cele 10 din oficiu. Gândește-te la lecția asta ca la o repetiție generală înaintea unui concert: nu mai înveți piesa, o cânți întreagă, ca să vezi unde ezită mâna și unde curge totul lin. La final vei ști nu doar ce să scrii, ci și cum îți acorzi singur punctajul pe barem — abilitatea care face diferența între „am rezolvat" și „am luat punctele".

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi un model complet de subiect de Evaluare Națională (Subiectele I, II și III), respectând cerințele de redactare care aduc punctajul maxim.
• Vei ști să îți autoevaluezi lucrarea folosind baremul: „tot sau nimic" la Subiectele I și al II-lea, punctaj pe pași la Subiectul al III-lea.
• Vei ști să aplici integrat algebra și geometria — de la formule de calcul prescurtat și ecuații, până la arii și volume în spațiu — într-un singur subiect.
• Vei ști să recunoști, în timp real, unde „se scurg" punctele: la justificări lipsă, la unități de măsură uitate și la verificarea soluțiilor.

Hai să descoperim împreună

Cum este construit subiectul de Evaluare Națională

Înainte să rezolvăm, fixăm harta. Subiectul de matematică are trei părți, fiecare de 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu, deci 100 de puncte în total. Timpul de lucru este de 2 ore.

• Subiectul I — 6 cerințe grilă, cu variantele a), b), c), d), câte 5 puncte fiecare. Pe foaie scrii doar litera răspunsului corect, iar punctajul este „tot sau nimic": 5 puncte sau 0. Calculele le faci pe ciornă, ca să nu greșești din grabă.
• Subiectul al II-lea — tot 6 cerințe grilă, câte 5 puncte fiecare, majoritar de geometrie și însoțite de figuri. Se punctează la fel, doar rezultatul: 5 puncte sau 0, fără punctaje intermediare.
• Subiectul al III-lea — 6 probleme cu rezolvare completă, câte 5 puncte fiecare, de regulă cu două subpuncte, a) și b). Aici baremul acordă puncte pe pași.

Adunate: $6+6+6=18$ cerințe, adică $18\times 5=90$ de puncte de lucru, la care se adaugă cele 10 din oficiu.

Am detaliat această structură și tipurile de cerințe în lecția Structura și baremul subiectului de Evaluare Națională, iar strategiile de timp și greșelile de evitat le găsești în Strategii, gestionarea timpului și greșeli frecvente. Aici le punem în practică.

Regula de aur a redactării: la Subiectul al III-lea, fiecare pas corect aduce puncte, chiar dacă rezultatul final e greșit. De asta merită să scrii tot, ordonat. La Subiectele I și al II-lea regula e opusă: acolo nu există punctaj parțial, deci verifici de două ori rezultatul înainte să treci litera pe foaie. Hai la treabă.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Pe foaia de examen scrii doar litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare cerință valorează 5 puncte.

I.1. Rezultatul calculului $\sqrt{64}+3^2$ este egal cu: a) $14$ b) $17$ c) $41$ d) $73$

Calculăm în ordine: $\sqrt{64}=8$ și $3^2=9$, deci $8+9=17$ — varianta b). Celelalte trei variante sunt capcane bine alese: a) iese dacă citești $3^2$ drept $3\cdot 2=6$; c) iese dacă înlocuiești radicalul cu jumătatea lui $64$; d) iese dacă uiți de tot radicalul și aduni $64+9$. Răspuns: b).

I.2. Mulțimea $A=[-2,3)$ conține: a) $3$ numere întregi b) $4$ numere întregi c) $5$ numere întregi d) $6$ numere întregi

Intervalul $[-2,3)$ îl citim: paranteza pătrată la $-2$ înseamnă că $-2$ aparține; paranteză rotundă la $3$ înseamnă că $3$ nu aparține. Numerele întregi din interval sunt $-2,-1,0,1,2$ — le numărăm: sunt 5, deci varianta c). Varianta a) iese dacă numeri doar numerele naturale ($0,1,2$), b) dacă îl scoți greșit și pe $-2$, iar d) dacă îl bagi greșit înăuntru pe $3$. Dacă ai nevoie să reîmprospătezi citirea intervalelor, revezi Apartenența unui număr real la un interval. Răspuns: c).

I.3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$. Atunci $f(2)$ este egal cu: a) $-5$ b) $1$ c) $6$ d) $11$

Înlocuim $x$ cu $2$: $f(2)=3\cdot 2-5=6-5=1$, deci varianta b). Varianta a) iese dacă uiți termenul $3x$, c) dacă te oprești la $3\cdot 2$, iar d) dacă aduni $5$ în loc să-l scazi. Răspuns: b).

I.4. Media aritmetică a numerelor $6,9,10,15$ este egală cu: a) $8$ b) $9,5$ c) $10$ d) $40$

Adunăm și împărțim la câte numere sunt: $\frac{6+9+10+15}{4}=\frac{40}{4}=10$, deci varianta c). Varianta a) iese dacă împarți din greșeală la $5$, b) dacă dai mediana în loc de medie, iar d) dacă te oprești la sumă. Răspuns: c).

I.5. Diagonala unui pătrat cu latura de $4$ cm are lungimea de: a) $2\sqrt{2}$ cm b) $4\sqrt{2}$ cm c) $8$ cm d) $16$ cm

Diagonala pătratului cu latura $\ell$ este $\ell \sqrt{2}$ (din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de două laturi și diagonală). Deci $d=4\sqrt{2}$ cm — varianta b). Varianta a) este jumătatea diagonalei, c) este dublul laturii (o confuzie frecventă: diagonala nu e de două ori latura), iar d) este aria pătratului, nu o lungime. Răspuns: b).

I.6. Aria totală a unui cub cu muchia de $2$ cm este egală cu: a) $4$ cm² b) $8$ cm² c) $12$ cm² d) $24$ cm²

Cubul are 6 fețe pătrate egale, fiecare cu aria $2^2=4$ cm². Aria totală: $6\cdot 4=24$ cm², deci varianta d). Varianta a) este aria unei singure fețe, b) este volumul cubului, iar c) iese dacă înmulțești cele 6 fețe cu muchia în loc de aria feței. Răspuns: d).

💡 Autoevaluare Subiectul I: fiecare cerință valorează 5 puncte, „tot sau nimic" (litera corectă = 5p, orice altceva = 0p). Numără câte litere ai identice cu cele de mai sus și înmulțește cu 5. Șase corecte = 30 de puncte. Nu există punctaj parțial: ciorna, oricât de îngrijită, nu aduce niciun punct dacă litera de pe foaie e greșită.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe foaia de examen scrii doar litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare cerință valorează 5 puncte.

Aici cerințele sunt tot grilă, dar cer mai mult lucru pe ciornă: cele mai multe sunt de geometrie și vin cu figură. Faci desenul și calculul pe ciornă, iar pe foaie treci doar litera.

II.1. Aria triunghiului echilateral $MNP$, cu latura de $6$ cm, este egală cu: a) $9\sqrt{3}$ cm² b) $18$ cm² c) $18\sqrt{3}$ cm² d) $36\sqrt{3}$ cm²

Într-un triunghi echilateral cu latura $\ell$, înălțimea este $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$. Pentru $\ell =6$ obținem $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, deci $${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{\ell \cdot h}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$ Este varianta a). (Echivalent, direct cu formula $\mathcal{A}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm².) Varianta b) iese dacă iei înălțimea egală cu latura ($\frac{6\cdot 6}{2}=18$), c) dacă uiți împărțirea la $2$ și te oprești la $\ell \cdot h=18\sqrt{3}$, iar d) dacă folosești ${\ell }^2\sqrt{3}$ fără să împarți la $4$. Răspuns: a).

II.2. Un triunghi dreptunghic are catetele de $8$ cm și $15$ cm. Ipotenuza lui are lungimea de: a) $\sqrt{161}$ cm b) $17$ cm c) $23$ cm d) $120$ cm

Din teorema lui Pitagora, ipotenuza este $\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm — varianta b). Varianta a) iese dacă scazi pătratele în loc să le aduni, c) dacă aduni direct catetele (ipotenuza este mai scurtă decât suma lor, dar mai lungă decât fiecare), iar d) este produsul catetelor, adică dublul ariei. Răspuns: b).

II.3. Aria unui romb cu diagonalele de $6$ cm și $8$ cm este egală cu: a) $14$ cm² b) $20$ cm² c) $24$ cm² d) $48$ cm²

Aria rombului este semiprodusul diagonalelor: $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm² — varianta c). Varianta a) este suma diagonalelor, b) este perimetrul rombului (latura este $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm, deci $4\cdot 5=20$ cm — o lungime, nu o arie), iar d) iese dacă uiți împărțirea la $2$. Răspuns: c).

II.4. Diagonala unui cub cu muchia de $3$ cm are lungimea de: a) $3\sqrt{2}$ cm b) $3\sqrt{3}$ cm c) $9$ cm d) $27$ cm

Diagonala cubului cu muchia $\ell$ este $d=\ell \sqrt{3}$, deci $d=3\sqrt{3}$ cm — varianta b). Varianta a) este diagonala unei fețe ($\ell \sqrt{2}$), confuzia cea mai frecventă la această cerință; c) este aria unei fețe, iar d) este volumul cubului. Răspuns: b).

II.5. Aria laterală a unui cilindru circular drept cu raza bazei de $3$ cm și înălțimea de $4$ cm este egală cu: a) $12\pi$ cm² b) $24\pi$ cm² c) $36\pi$ cm² d) $42\pi$ cm²

Aria laterală a cilindrului este ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=2\pi Rh=2\pi \cdot 3\cdot 4=24\pi$ cm² — varianta b). Varianta a) iese dacă uiți factorul $2$, c) este volumul ($\pi R^{2}h=36\pi$ cm³ — altă unitate de măsură, semn că ai greșit), iar d) este aria totală, $2\pi R(R+h)=6\pi \cdot 7=42\pi$ cm², adică aria laterală plus cele două baze. Răspuns: b).

II.6. Într-o clasă sunt $25$ de elevi, dintre care $15$ sunt fete. Procentul fetelor din clasă este: a) $15\%$ b) $40\%$ c) $60\%$ d) $75\%$

Împărțim partea la întreg și înmulțim cu $100$: $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=60\%$ — varianta c). Varianta a) copiază numărul de fete ca procent, b) dă procentul băieților ($10$ din $25$), iar d) iese dacă împarți la $20$ în loc de $25$. Răspuns: c).

💡 Autoevaluare Subiectul al II-lea: exact aceeași regulă ca la Subiectul I — 5 puncte pentru litera corectă, 0 pentru orice altceva. Diferența nu e în punctare, ci în efort: aici figura și calculul chiar cer timp pe ciornă, dar pe foaie ajunge tot doar litera. Șase corecte = 30 de puncte.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Scrieți rezolvările complete.

Cele șase probleme de aici valorează câte 5 puncte fiecare și au, de regulă, două subpuncte, a) și b). Abia acum contează redactarea: baremul plătește fiecare pas, nu doar rezultatul.

III.1. (5p) a) Arătați că, pentru orice număr real $x$, are loc egalitatea $E(x)=(x+2{)}^2-x(x+4)=4$. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2-5x+6=0$.

a) Desfacem pătratul cu formula pătratului unei sume, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $$(x+2{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 2+2^2=x^2+4x+4.$$ Desfacem și al doilea produs: $x(x+4)=x^2+4x$. Scădem: $$E(x)=(x^2+4x+4)-(x^2+4x)=x^2+4x+4-x^2-4x=4.$$ Cum am obținut $4$, un număr care nu conține $x$, egalitatea este adevărată pentru orice $x\in \mathbb{R}$. ∎

b) La clasa a VIII-a rezolvăm ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ prin descompunere în factori (metoda produsului nul), nu cu formule de liceu. Descompunem prin gruparea termenilor, căutând doi termeni care să dea $-5x$ și un produs potrivit. Scriem $-5x=-2x-3x$: $$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3).$$ Ecuația devine $(x-2)(x-3)=0$. Un produs este nul dacă și numai dacă unul dintre factori este nul: $$x-2=0\Rightarrow x=2\text{sau}x-3=0\Rightarrow x=3.$$ Soluțiile ecuației: $x\in \{2,3\}$. (Poți verifica: $2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0$ ✓ și $3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0$ ✓.)

💡 Cum se împart cele 5 puncte la o problemă de Subiectul al III-lea? Baremul nu dă „tot sau nimic", ci feliază problema pe pași, de regulă câte un punct pe pas. La III.1, un barem tipic arată așa:

• 2p pe subpunctul a) — desfacerea corectă a celor două produse (1p) și reducerea până la $4$ (1p);
• 3p pe subpunctul b) — descompunerea $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ (1p), aplicarea produsului nul (1p), scrierea ambelor soluții (1p).

Concluzie practică: dacă ai rezolvat a) și la b) ai ajuns la $(x-2)(x-3)=0$, dar te-ai oprit acolo, primești 3 din 5 puncte, nu zero. De asta scrii fiecare pas. La Subiectele I și al II-lea nu funcționează așa: acolo un raționament corect fără litera corectă nu valorează nimic.

III.2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+4$. a) Calculați $f(0)$ și $f(3)$ și reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de axe. b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul intersectează axele $Ox$ și $Oy$.

a) $f(0)=-2\cdot 0+4=4$; ; $f(3)=-2\cdot 3+4=-6+4=-2$. Graficul unei funcții liniare este o dreaptă, deci ne ajung două puncte. Folosim $A(0,4)$ și $C(3,-2)$, le marcăm și trasăm dreapta prin ele.

b) Intersecția cu $Oy$: punctele de pe $Oy$ au $x=0$, deci $y=f(0)=4$. Obținem $A(0,4)$. Intersecția cu $Ox$: punctele de pe $Ox$ au $y=0$, deci rezolvăm $-2x+4=0\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$. Obținem $B(2,0)$. Puncte de intersecție: $A(0,4)$ cu $Oy$ și $B(2,0)$ cu $Ox$.

III.3. (5p) Se consideră fracția algebrică $F=\frac{x^2-9}{x^2-3x}$. a) Determinați valorile lui $x$ pentru care fracția are sens. b) Simplificați fracția.

a) O fracție are sens când numitorul este nenul: $x^2-3x\ne 0$, adică $x(x-3)\ne 0$, deci $x\ne 0$ și $x\ne 3$. Domeniul: $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,3\}$. (Nu uita acest pas — la fracțiile algebrice, condițiile de existență se punctează separat.)

b) Descompunem numărătorul cu diferența de pătrate ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$) și numitorul cu factor comun: $$F=\frac{x^2-9}{x^2-3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}.$$ Simplificăm prin $(x-3)$, care este nenul pe domeniu: $$F=\frac{x+3}{x},x\ne 0,x\ne 3.$$

III.4. (5p) În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se cunosc $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Fie $AD\perp BC$, $D\in BC$. a) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ și aria triunghiului $ABC$. b) Calculați lungimea înălțimii $AD$.

a) Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=36+64=100\Rightarrow BC=10\text{ cm}.$$ Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt și înălțimi una față de cealaltă, deci aria este: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{48}{2}=24{\text{ cm}}^2.$$

b) Aceeași arie se poate scrie și folosind ipotenuza și înălțimea corespunzătoare: ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{BC\cdot AD}{2}$. De aici: $$AD=\frac{2\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 24}{10}=\frac{48}{10}=4,8\text{ cm}.$$

III.5. (5p) O piesă în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm ($O$ este centrul bazei). a) Calculați apotema piramidei și aria totală a piramidei. b) Calculați volumul piramidei și tangenta unghiului dintre o față laterală și planul bazei.

a) Apotema piramidei și aria totală. Fie $M$ mijlocul laturii $AB$. Apotema bazei este $OM=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm (distanța de la centru la mijlocul unei laturi a pătratului). Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$ (deoarece $VO$ este perpendiculară pe planul bazei, deci pe $OM$). Apotema piramidei este $VM$: $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Baza este un pătrat cu latura $12$: $${\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}=12^2=144{\text{ cm}}^2.$$ Aria laterală a piramidei regulate este semiprodusul dintre perimetrul bazei și apotema piramidei. Perimetrul bazei: $P=4\cdot 12=48$ cm. $${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=\frac{P\cdot VM}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240{\text{ cm}}^2.$$ Aria totală: $${\mathcal{A}}_{\text{tot}}={\mathcal{A}}_{\text{lat}}+{\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}=240+144=384{\text{ cm}}^2.$$

b) Volumul și tangenta unghiului dintre o față laterală și bază. Volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: $$V=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8=\frac{1152}{3}=384{\text{ cm}}^3.$$

Unghiul dintre fața laterală $VAB$ și planul bazei este $\widehat{VMO}$ (unghiul dintre apotema piramidei $VM$ și proiecția ei pe bază, $OM$, ambele perpendiculare pe muchia $AB$). În triunghiul dreptunghic $VOM$: $$\mathrm{tg}\left(\widehat{VMO}\right)=\frac{VO}{OM}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$ Tangenta unghiului este $\frac{4}{3}$.

III.6. (5p) Un pahar de tip con circular drept are raza bazei $R=6$ cm și înălțimea $h=8$ cm. a) Calculați lungimea generatoarei și aria totală a conului (în funcție de $\pi$). b) Calculați volumul conului (în funcție de $\pi$) și cosinusul unghiului dintre o generatoare și planul bazei.

a) Generatoarea și aria totală. Triunghiul $VOA$ (cu $A$ pe cercul de bază) este dreptunghic în $O$, cu catetele $VO=h=8$ și $OA=R=6$. Generatoarea este ipotenuza $VA=g$: $$g=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Aria laterală: ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=\pi Rg=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi$ cm². Aria bazei (disc): ${\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}=\pi R^2=36\pi$ cm². Aria totală: $${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=\pi R(R+g)=\pi \cdot 6\cdot (6+10)=6\pi \cdot 16=96\pi {\text{ cm}}^2.$$

b) Volumul și cosinusul unghiului dintre generatoare și bază. $$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36\cdot 8=\frac{288\pi }{3}=96\pi {\text{ cm}}^3.$$

Unghiul căutat este $\widehat{VAO}$, format de generatoarea $VA$ cu proiecția ei $OA$ pe bază. În triunghiul dreptunghic $VOA$: $$\cos \left(\widehat{VAO}\right)=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{OA}{VA}=\frac{R}{g}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$ Cosinusul unghiului este $\frac{3}{5}$.

Autoevaluare pe barem: cum îți acorzi punctajul

Acum vine partea care te transformă din elev în propriul corector. La Subiectele I și al II-lea autoevaluarea e scurtă: numeri literele corecte și înmulțești cu 5. La Subiectul al III-lea e adevărata muncă — iată baremul detaliat, problemă cu problemă. Compară-l cu ce ai scris tu și taie punctele acolo unde lipsește un pas.

Fiecare rând din tabel se ia separat. Dacă la III.6 ai calculat corect generatoarea, aria totală și volumul, dar ai greșit cosinusul, tot strângi 3 din cele 5 puncte. Baremul oficial poate tăia feliile puțin altfel — un punct în plus pe justificarea unei teoreme, unul în minus pe calcul — dar principiul rămâne același: pas corect, punct luat.

Cum îți dai nota finală: adună punctele de la Subiectul I (max 30) + Subiectul al II-lea (max 30) + Subiectul al III-lea (max 30) + 10 puncte din oficiu. Împarte totalul la 10 și obții nota. Atenție la o consecință a formatului: la Subiectele I și al II-lea punctajul iese mereu multiplu de 5 (0, 5, 10, 15, 20, 25 sau 30), fiindcă acolo nu există punctaj parțial; doar la Subiectul al III-lea poate ieși orice număr. De exemplu, $30+25+22+10=87$ de puncte $\Rightarrow$ nota 8,70.

Exemple rezolvate

Mai jos ai șase exemple suplimentare, fiecare pe alt tip de cerință, cu accent pe pașii care aduc punctele și pe capcane. Rezolvă-le mai întâi singur, apoi compară.

Exemplul 1 — cerință de Subiectul al III-lea, cu punctare parțială (ecuație $a{x}^2+bx=0$). Rezolvați $2x^2-6x=0$. Scoatem factor comun: $2x^2-6x=2x(x-3)$. Ecuația devine $2x(x-3)=0$. Cum $2\ne 0$, rămâne $x(x-3)=0$, de unde $x=0$ sau $x=3$. Soluții: $x\in \{0,3\}$. Capcană frecventă: mulți elevi „împart tot la $x$" și pierd soluția $x=0$. Nu împărți niciodată o ecuație prin necunoscută — descompui în factori. (Detaliat în Ecuații de forma ax²+bx=0.)

Exemplul 2 — statistică (mediana). Timpii (în minute) a 7 elevi la un test au fost: $12,9,15,11,9,14,10$. Aflați mediana. Ordonăm crescător: $9,9,10,11,12,14,15$. Sunt $7$ valori (număr impar), deci mediana este valoarea din mijloc, a $4$-a: mediana $=11$ minute. Capcană: mediana se calculează doar după ordonare. Dacă iei valoarea din mijloc din șirul neordonat, greșești.

Exemplul 3 — funcție liniară determinată din condiții. Determinați funcția liniară $f(x)=ax+b$ știind că $f(1)=5$ și $f(3)=11$. Din condiții: $a+b=5$ și $3a+b=11$. Scădem prima ecuație din a doua: $(3a+b)-(a+b)=11-5\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3$. Apoi $b=5-a=5-3=2$. Funcția: $f(x)=3x+2$. Verificare: $f(1)=3+2=5$ ✓, $f(3)=9+2=11$ ✓.

Exemplul 4 — cilindru cu conversie în litri. Un rezervor cilindric are raza bazei $R=10$ cm și înălțimea $h=20$ cm. Câți litri de apă încap în el? (Se ia $\pi \approx 3,14$.) Volumul: $V=\pi R^{2}h=3,14\cdot 10^2\cdot 20=3,14\cdot 100\cdot 20=3,14\cdot 2000=6280$ cm³. Conversie: $1$ litru $=1000$ cm³, deci $V=\frac{6280}{1000}=6,28$ litri. Capcană clasică: $1$ L $=1000$ cm³, nu $100$. O eroare de conversie strică problema deși geometria e corectă.

Exemplul 5 — inecuație de gradul I. Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $3x-7\le 5$ și scrieți soluția ca interval. Adunăm $7$: $3x\le 12$. Împărțim la $3$ (număr pozitiv, sensul se păstrează): $x\le 4$. Soluția: $x\in (-\infty ,4]$. Capcană: dacă ar fi trebuit să împarți la un număr negativ, sensul inegalității s-ar fi schimbat. Aici a fost $+3$, deci sensul rămâne. (Vezi Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente.)

Exemplul 6 — cerință combinată, cu diagonala paralelipipedului. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $3$ cm, $4$ cm și $12$ cm. Calculați lungimea diagonalei. Formula diagonalei: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Deci: $$d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.$$

Să exersăm

Iată o mini-simulare nouă, construită după același tipar: 6 cerințe grilă la Subiectul I, 6 cerințe grilă la Subiectul al II-lea și 6 probleme cu rezolvare completă la Subiectul al III-lea — în total 18 cerințe, 90 de puncte. Rezolv-o cronometrat, apoi corectează-te singur cu baremul din secțiunea următoare. Toate răspunsurile sunt verificate.

Subiectul I — grilă (câte 5p)

1. Rezultatul calculului $\sqrt{81}-2\cdot 3$ este egal cu: a) $3$ b) $9$ c) $15$ d) $75$
2. Cel mai mic număr întreg din intervalul $(-4,2]$ este: a) $-4$ b) $-3$ c) $0$ d) $2$
3. Dacă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-1$, atunci $f(-2)$ este egal cu: a) $-9$ b) $-7$ c) $7$ d) $9$
4. Media aritmetică a numerelor $8,12,13,15,12$ este egală cu: a) $12$ b) $15$ c) $30$ d) $60$
5. $15\%$ din $200$ este egal cu: a) $15$ b) $20$ c) $30$ d) $3000$
6. Volumul unui cub cu muchia de $5$ cm este egal cu: a) $20$ cm³ b) $25$ cm³ c) $125$ cm³ d) $150$ cm³

Subiectul al II-lea — grilă (câte 5p)

7. Aria laterală a unui cilindru circular drept cu raza de $3$ cm și înălțimea de $10$ cm este egală cu: a) $30\pi$ cm² b) $60\pi$ cm² c) $78\pi$ cm² d) $90\pi$ cm²
8. Diagonala unui pătrat cu latura de $5$ cm are lungimea de: a) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ cm b) $5\sqrt{2}$ cm c) $10$ cm d) $25$ cm
9. Un triunghi dreptunghic are catetele de $7$ cm și $24$ cm. Ipotenuza lui are lungimea de: a) $25$ cm b) $31$ cm c) $84$ cm d) $168$ cm
10. Aria unui trapez cu bazele de $8$ cm și $12$ cm și înălțimea de $5$ cm este egală cu: a) $20$ cm² b) $30$ cm² c) $50$ cm² d) $100$ cm²
11. Aria totală a unui cub cu muchia de $3$ cm este egală cu: a) $9$ cm² b) $27$ cm² c) $36$ cm² d) $54$ cm²
12. Punctul $B(-1,k)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+5$. Atunci $k$ este egal cu: a) $-3$ b) $3$ c) $5$ d) $7$

Subiectul al III-lea — rezolvare completă (câte 5p)

13. a) Arătați că, pentru orice $x$ real, $(x-3{)}^2-x(x-6)=9$. b) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2-7x+10=0$.
14. a) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2-4x=0$. b) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$, calculați $f(0)$ și $f(2)$, apoi determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele.
15. Se dă fracția $F=\frac{x^2-4}{x^2+2x}$. a) Aflați condițiile de existență. b) Simplificați fracția.
16. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. a) Calculați $BC$ și aria triunghiului. b) Calculați lungimea înălțimii din $A$.
17. O prismă patrulateră regulată are latura bazei de $5$ cm și înălțimea de $8$ cm. a) Calculați aria laterală și aria totală. b) Calculați volumul.
18. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $4$ cm. a) Calculați apotema piramidei și aria totală. b) Calculați volumul.

Răspunsuri și explicații

Subiectul I (pe foaie ai scris doar litera; 5 puncte sau 0 la fiecare)

1. a) $\sqrt{81}-2\cdot 3=9-6=3$. (b) iese dacă uiți scăderea, c) dacă aduni în loc să scazi, d) dacă uiți radicalul.)
2. b) Intervalul $(-4,2]$: $-4$ nu aparține (paranteză rotundă), deci cel mai mic întreg din interval este $-3$. (a) îl include greșit pe $-4$, c) dă un întreg din interval, dar nu cel mai mic, iar d) dă capătul din dreapta.)
3. a) $f(-2)=4\cdot (-2)-1=-8-1=-9$. (b) iese dacă greșești semnul lui $-1$, c) dacă înlocuiești cu $x=2$, iar d) dacă ignori de tot semnul minus.)
4. a) $\frac{8+12+13+15+12}{5}=\frac{60}{5}=12$. (b) iese dacă împarți la $4$, c) dacă împarți la $2$, iar d) dacă te oprești la sumă.)
5. c) $15\%\cdot 200=\frac{15}{100}\cdot 200=15\cdot 2=30$. (a) copiază procentul ca rezultat, b) iese dacă împarți $200$ la $10$, iar d) dacă uiți împărțirea la $100$.)
6. c) $V=5^3=125$ cm³. (a) este perimetrul unei fețe, b) aria unei fețe, iar d) aria totală, $6\cdot 25$.)

Subiectul al II-lea (tot grilă, tot 5 puncte sau 0)

7. b) ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=2\pi Rh=2\pi \cdot 3\cdot 10=60\pi$ cm². (a) iese fără factorul $2$, c) este aria totală $2\pi R(R+h)=78\pi$ cm², d) este volumul, $90\pi$ cm³.)
8. b) Diagonala pătratului cu latura $\ell$ este $\ell \sqrt{2}$, deci $5\sqrt{2}$ cm. (a) este jumătatea diagonalei, c) dublul laturii, iar d) aria pătratului.)
9. a) $\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ cm. (b) este suma catetelor, c) aria triunghiului ($\frac{7\cdot 24}{2}=84$ cm²), iar d) produsul catetelor.)
10. c) $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot 5}{2}=\frac{100}{2}=50$ cm². (a) și b) folosesc câte o singură bază, d) uită împărțirea la $2$.)
11. d) Cubul are $6$ fețe de câte $3^2=9$ cm², deci ${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=6\cdot 9=54$ cm². (a) este o singură față, b) volumul, c) iese dacă numeri $4$ fețe în loc de $6$.)
12. b) $k=f(-1)=2\cdot (-1)+5=-2+5=3$. (a) greșește semnul, c) dă ordonata la origine, d) înlocuiește cu $x=1$.)

Subiectul al III-lea (aici se punctează pașii, nu doar rezultatul)

13. a) $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ și $x(x-6)=x^2-6x$. Diferența: $x^2-6x+9-x^2+6x=9$, pentru orice $x$. ∎ b) $x^2-7x+10=x^2-2x-5x+10=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$. Deci $(x-2)(x-5)=0\Rightarrow x=2$ sau $x=5$. Soluții: $\{2,5\}$.
14. a) $x^2-4x=x(x-4)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=4$. Soluții: $\{0,4\}$. (Nu împărți prin $x$ — pierzi soluția $0$.) b) $f(0)=-6$; $f(2)=3\cdot 2-6=0$. Cu $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-6$, punctul $(0,-6)$. Cu $Ox$: $3x-6=0\Rightarrow x=2$, punctul $(2,0)$.
15. a) $x^2+2x\ne 0\Rightarrow x(x+2)\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ și $x\ne -2$. b) $F=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x-2}{x}$, pentru $x\ne 0,x\ne -2$.
16. a) $BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm; aria $=\frac{9\cdot 12}{2}=54$ cm². b) Înălțimea din $A$: din $\mathcal{A}=\frac{BC\cdot h}{2}$ rezultă $h=\frac{2\cdot 54}{15}=\frac{108}{15}=7,2$ cm.
17. a) ${\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}=5^2=25$ cm²; ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=P\cdot h=(4\cdot 5)\cdot 8=160$ cm²; ${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=160+2\cdot 25=210$ cm². b) $V={\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}\cdot h=25\cdot 8=200$ cm³.
18. a) Apotema bazei $=6:2=3$ cm; apotema piramidei $=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ cm; ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=\frac{P\cdot \text{apotema}}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=60$ cm², deci ${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=60+36=96$ cm². b) $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$ cm³.

De reținut

• Structura examenului: Subiectul I (6 cerințe grilă × 5p = 30p, doar litera) + Subiectul al II-lea (6 cerințe grilă × 5p = 30p, tot doar litera) + Subiectul al III-lea (6 probleme × 5p = 30p, rezolvare completă) + 10p din oficiu = 100p. În total 18 cerințe, în 2 ore. Nota = puncte : 10.
• Ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și principiul produsului nul: un produs este $0$ dacă un factor este $0$. Fără formule de liceu.
• Formule cheie de spațiu: piramida — ${\mathcal{A}}_{\text{lat}}=\frac{P\cdot \text{apotema˘}}{2}$, $V=\frac{1}{3}{\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}\cdot h$; conul — ${\mathcal{A}}_{\text{tot}}=\pi R(R+g)$, $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$, cu $g=\sqrt{R^2+h^2}$.
• Redactarea aduce puncte — dar numai la Subiectul al III-lea: acolo fiecare pas se punctează separat, chiar dacă rezultatul final e greșit. Scrie formula, calculul și concluzia, cu unitatea de măsură. La Subiectele I și al II-lea contează doar litera de pe foaie.
• Autoevaluarea se face pe barem: la Subiectele I și al II-lea îți dai „5 sau 0" pe fiecare cerință, iar la Subiectul al III-lea aduni punctele parțiale, pas cu pas, exact cum face corectorul.

Greșeli frecvente

• Împărțirea unei ecuații prin necunoscută. La $x^2-4x=0$, dacă „împarți la $x$", pierzi soluția $x=0$. Corect: scoți factor comun, $x(x-4)=0$, și obții ambele soluții.
• Uitarea condițiilor de existență la fracții algebrice. Simplificarea fără a scrie „$x\ne \dots$" te lasă fără punctele de la domeniu. Numitorul trebuie mereu nenul.
• Unitatea de măsură greșită sau lipsă. Aria se dă în cm², volumul în cm³. Iar la conversii: $1$ L $=1000$ cm³, $1$ m $=100$ cm (deci $1$ m³ $=1000000$ cm³). O unitate uitată sau confundată costă puncte deși calculul e corect.
• Schimbarea greșită a sensului la inecuații. Sensul inegalității se schimbă doar când împarți/înmulțești cu un număr negativ. Când operezi cu un pozitiv, sensul rămâne.

Aplică acasă

1. Cronometrează o simulare completă. Rezolvă mini-simularea din secțiunea „Să exersăm" în maximum 2 ore, exact ca la examen, fără să te uiți la răspunsuri. Apoi corectează-te singur cu baremul și calculează-ți nota. Repetă săptămânal cu variante de pe site-ul oficial și notează-ți evoluția.
2. Fă-ți un „jurnal de greșeli". După fiecare simulare, scrie într-un caiet fiecare greșeală și de ce ai făcut-o (grabă, formulă uitată, unitate greșită). În două-trei săptămâni vei vedea tiparul propriilor erori — și vei ști exact ce să exersezi.
3. Măsoară un obiect real și calculează-i volumul. Alege o conservă (cilindru), o cutie (paralelipiped) sau o pâlnie (con), măsoară dimensiunile cu rigla și calculează aria totală și volumul. Transformă rezultatul în litri — vei „simți" cât de mari sunt unitățile și nu vei mai greși conversiile la examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este capstone-ul pregătirii: o simulare integrală, cu rezolvare comentată și autoevaluare pe barem. Cel mai util sprijin pe care îl puteți oferi nu este să dați voi rezolvarea, ci să cronometrați și să creați condiții de examen (fără telefon, ciornă separată, 2 ore neîntrerupte).

Întrebări de verificare care arată dacă elevul a înțeles cu adevărat:

• „De ce, la ecuația $x^2-4x=0$, nu ai voie să împarți prin $x$?" (Răspuns așteptat: s-ar pierde soluția $x=0$.)
• „La Subiectul al III-lea, dacă ai descompus corect ecuația, dar nu ai scris soluțiile, câte puncte iei?" (Răspuns: parțiale — nu zero. Semn că a înțeles logica baremului. Întrebarea-pereche: „dar la Subiectul I sau al II-lea?" — acolo, zero.)
• „Arată-mi unde ai scris unitatea de măsură la fiecare rezultat de geometrie." (Verifică grija pentru redactare.)
• „Cum ți-ai calculat nota din punctajul obținut?" (Puncte : 10, cu cele 10 din oficiu incluse.)

La Evaluarea Națională, exact acest tip de subiect apare integral: competențele 6.2 (modelarea prin ecuații și formule de calcul prescurtat) și 6.5 (interpretarea de distanțe, arii și volume dintr-o configurație geometrică) sunt evaluate în toate cele trei subiecte — în formă de grilă la Subiectele I și al II-lea, cu rezolvare completă la Subiectul al III-lea. Antrenamentul pe simulări comentate, cu autocorectare pe barem, este cel mai bun predictor al notei finale, pentru că formează reflexul redactării complete — acolo unde se câștigă sau se pierd cele mai multe puncte.

Întrebări frecvente

Cât durează Evaluarea Națională la matematică și câte puncte are? Proba durează 2 ore. Subiectul are 90 de puncte de lucru plus 10 puncte din oficiu, adică 100 în total. Nota se obține împărțind punctajul la 10.

Cum se rezolvă ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ la clasa a VIII-a? Se rezolvă prin descompunere în factori și principiul produsului nul: aduci ecuația la forma (factor)·(factor) $=0$ și pui fiecare factor egal cu zero. Formula discriminantului și relațiile lui Viète sunt materie de clasa a IX-a și nu se folosesc la Evaluarea Națională.

Ce înseamnă că Subiectele I și al II-lea sunt „grilă"? Înseamnă că fiecare dintre cele 12 cerințe vine cu patru variante de răspuns, notate a), b), c) și d), iar tu scrii pe foaia de examen doar litera celei corecte — fără calcule și fără justificări. Se punctează „tot sau nimic": 5 puncte pentru litera corectă, 0 pentru orice altceva. Recomandarea e să faci totuși calculele pe ciornă, ca să eviți erorile din grabă. Diferența dintre cele două subiecte nu e de punctare, ci de conținut: la Subiectul al II-lea cerințele sunt majoritar de geometrie și vin cu figuri.

Iau puncte dacă nu termin o problemă la Subiectul al III-lea? Da. Doar acolo baremul punctează fiecare pas corect separat: o formulă scrisă corect, un calcul intermediar, identificarea unui triunghi dreptunghic aduc puncte chiar dacă nu ajungi la rezultatul final. De aceea trebuie să scrii tot raționamentul, ordonat. La Subiectele I și al II-lea, în schimb, nu există punctaj parțial: fără litera corectă nu iei nimic, oricât de departe ai ajuns pe ciornă.

Cum îmi calculez singur nota la o simulare? Aduni punctele de la cele trei subiecte (maximum 30 fiecare), adaugi cele 10 puncte din oficiu și împarți totalul la 10. Exemplu: $30+25+23+10=88$ de puncte, deci nota 8,80. Ține minte că punctajele de la Subiectele I și al II-lea sunt mereu multipli de 5 — acolo nu există punctaj parțial.

Ce greșeli „mănâncă" cele mai multe puncte la examen? Cele mai costisitoare sunt: omiterea unităților de măsură, uitarea condițiilor de existență la fracții algebrice, împărțirea unei ecuații prin necunoscută (pierzi soluții) și conversiile greșite (mai ales $1$ L $=1000$ cm³). Toate sunt evitabile printr-o redactare atentă.

De unde iau modele de subiecte pentru simulare? Cele mai fiabile sunt modelele și subiectele din anii anteriori publicate oficial de Ministerul Educației (pe subiecte.edu.ro). Rezolvă-le cronometrat și corectează-te pe baremul oficial care le însoțește — exact metoda folosită în această lecție.

Cât de des ar trebui să dau simulări înainte de examen? Ideal, o simulare completă pe săptămână în ultimele 6–8 săptămâni, plus lucru zilnic pe cerințe izolate din capitolele slabe. Simularea integrală antrenează rezistența și gestionarea timpului, iar cerințele zilnice repară golurile punctuale. Vezi și lecția Strategii, gestionarea timpului și greșeli frecvente.