Apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime

Îți amintești când cumperi un abonament la sală valabil „pentru vârste între 14 și 18 ani inclusiv"? Ca să știi dacă te încadrezi, verifici dacă vârsta ta se află în acel interval de vârste. Exact același lucru facem în matematică atunci când întrebăm dacă un număr real aparține unui interval. În lecțiile anterioare ai învățat să scrii și să reprezinți pe axă intervale mărginite și nemărginite; acum înveți să decizi rapid și corect dacă un anumit număr — întreg, zecimal, fracție sau chiar un radical precum $\sqrt{2}$ — face parte sau nu din acel interval. Este o deprindere care apare an de an la Evaluarea Națională și pe care o vei folosi în toate lecțiile despre inecuații.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești corect simbolurile de apartenență $\in$ și de neapartenență $\notin$.
• Vei ști să verifici dacă un număr real aparține sau nu unui interval dat, ținând cont de tipul capetelor (deschis sau închis).
• Vei ști să determini toate numerele întregi (sau naturale) dintr-un interval.
• Vei ști să poziționezi pe axă numere precum $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ pentru a decide apartenența lor la un interval.
• Vei ști să traduci apartenența la un interval într-o dublă inegalitate și să o folosești în rezolvarea problemelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „apartenență" și simbolurile ei

Un interval de numere reale este, așa cum ai învățat, o mulțime de numere reale. Când spunem că un număr aparține unui interval, spunem, de fapt, că acel număr este element al mulțimii respective.

Folosim două simboluri:

• $\in$ se citește „aparține" (numărul este element al mulțimii);
• $\notin$ se citește „nu aparține" (numărul nu este element al mulțimii).

De exemplu, scrierea $5\in [2,7]$ se citește „5 aparține intervalului închis de la 2 la 7", iar $9\notin [2,7]$ se citește „9 nu aparține intervalului de la 2 la 7". Reține că simbolul $\in$ se pune mereu între un element (în stânga) și o mulțime (în dreapta). Nu scriem niciodată $[2,7]\in 5$ și nici $2\in 5$ (între două numere folosim semne de inegalitate, nu apartenența).

2. Ideea de bază: un număr aparține intervalului dacă „se așază" între capete

Fie un interval cu capetele $a$ și $b$, unde $a<b$. Un număr real $x$ se află „în interiorul" intervalului dacă este mai mare decât capătul din stânga și mai mic decât capătul din dreapta, adică $$a<x<b.$$ Pentru numerele din interior nu contează deloc ce fel de capete are intervalul: ele aparțin oricum. Toată subtilitatea apare la capete, adică exact la numerele $a$ și $b$. Acolo, tipul parantezei decide totul.

3. Rolul tipului de capăt: de ce $a\in [a,b]$ dar $a\notin (a,b)$

Aici este miezul lecției. Reține regula de aur:

• Paranteză dreaptă (pătrată) $[$ sau $]$ = capăt INCLUS. Capătul face parte din interval.
• Paranteză rotundă $($ sau $)$ = capăt EXCLUS. Capătul NU face parte din interval.

Să comparăm cele patru tipuri de intervale mărginite cu aceleași capete, 2 și 7:

Observă legătura directă dintre tipul parantezei și semnul de inegalitate: paranteza pătrată corespunde semnului „$\le$" sau „$\ge$" (care conține și egalitatea), iar paranteza rotundă corespunde semnului strict „$<$" sau „$>$" (care nu admite egalitatea).

De ce $2\in [2,7]$? Pentru că paranteza pătrată din stânga îl include pe 2, iar inegalitatea corespunzătoare $2\le 2\le 7$ este adevărată (2 este chiar egal cu capătul din stânga). De ce $2\notin (2,7)$? Pentru că paranteza rotundă îl exclude pe 2, iar inegalitatea $2<2$ este falsă — un număr nu poate fi strict mai mare decât el însuși.

Ține minte trucul cu bulinele de pe axă: bulina plină înseamnă capăt inclus (paranteză pătrată), iar bulina goală înseamnă capăt exclus (paranteză rotundă).

4. Un algoritm sigur în 3 pași

Ori de câte ori trebuie să decizi dacă un număr $x$ aparține unui interval, urmează acești pași:

1. Compară $x$ cu capetele. Vezi dacă $x$ este între ele, egal cu unul dintre ele sau în afara lor.
2. Dacă $x$ este strict între capete ($a<x<b$), atunci $x$ aparține, indiferent de paranteze. Ai terminat.
3. Dacă $x$ este chiar egal cu un capăt, uită-te la paranteza de la acel capăt: pătrată → aparține; rotundă → nu aparține. Dacă $x$ este în afara capetelor, nu aparține.

Acest algoritm merge la orice tip de număr: întreg, zecimal, fracție ordinară sau radical. Diferența este doar cât de mult trebuie să lucrezi la pasul 1 pentru a compara $x$ cu capetele.

5. Când numărul este o fracție sau un număr zecimal

Dacă $x$ este dat ca fracție, cel mai simplu este să îl transformi în număr zecimal (sau să aduci ambele numere la același numitor) și abia apoi să compari.

Sub-exemplu. Aparține $\frac{7}{4}$ intervalului $(1,2)$? Calculăm $\frac{7}{4}=1,75$. Cum $1<1,75<2$, numărul este strict între capete, deci $\frac{7}{4}\in (1,2)$.

Sub-exemplu. Aparține $\frac{5}{2}$ intervalului $[1,5;2,5)$? Avem $\frac{5}{2}=2,5$. Numărul este chiar egal cu capătul din dreapta, iar acolo este paranteză rotundă, deci capătul este exclus. Prin urmare $\frac{5}{2}\notin [1,5;2,5)$.

6. Poziționarea radicalilor pe axă (aici greșesc mulți)

La clasa a VIII-a apar des radicali precum $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$. Ei sunt numere iraționale, adică nu au o scriere zecimală finită sau periodică. Cum decidem atunci apartenența?

Nu ai nevoie de valoarea exactă, ci doar de o încadrare între două numere ușor de comparat. Metoda cea mai sigură este să ridici la pătrat. Reține valorile aproximative pe care e bine să le știi pe de rost:

$$\sqrt{2}\approx 1,41;\sqrt{3}\approx 1,73;\sqrt{5}\approx 2,24;\sqrt{10}\approx 3,16.$$

Sub-exemplu. Aparține $\sqrt{2}$ intervalului $(1,2)$? Comparăm cu 1 și cu 2 ridicând la pătrat (numerele sunt pozitive, deci putem compara pătratele). Avem $1^2=1$, $(\sqrt{2}{)}^2=2$ și $2^2=4$. Din $1<2<4$ rezultă $1<\sqrt{2}<2$, deci $\sqrt{2}\in (1,2)$.

Sub-exemplu. Aparține $\sqrt{5}$ intervalului $[2,3]$? Ridicăm la pătrat capetele: $2^2=4$ și $3^2=9$. Cum $4<5<9$, obținem $2<\sqrt{5}<3$, deci $\sqrt{5}\in [2,3]$ (este strict între capete, aparține sigur).

Sub-exemplu, mai fin. Aparține $\sqrt{3}$ intervalului $(\sqrt{2},2)$? Știm că $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$, iar $2=\sqrt{4}$. Cum $2<3<4$, avem $\sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$. Deci $\sqrt{3}$ este strict între capete și $\sqrt{3}\in (\sqrt{2},2)$. (Când toate numerele sunt pozitive, un radical este mai mare când numărul de sub radical este mai mare — de aceea $\sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{4}$.)

7. Determinarea numerelor întregi dintr-un interval

O cerință foarte des întâlnită la examen sună așa: „Determinați numerele întregi din intervalul...". Aici NU cauți toate numerele reale (sunt o infinitate!), ci doar pe cele întregi, adică $\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$

Procedură:

1. Traduci intervalul într-o dublă inegalitate.
2. Identifici care numere întregi îndeplinesc acea inegalitate, atent la capete.
3. Le enumeri în ordine crescătoare.

Sub-exemplu. Numerele întregi din $[-3,2)$. Inegalitatea este $-3\le x<2$. Capătul $-3$ este inclus (paranteză pătrată), deci intră; capătul $2$ este exclus (paranteză rotundă), deci NU intră. Numerele întregi sunt: $-3,-2,-1,0,1$. În total 5 numere întregi.

Sub-exemplu. Numerele naturale din $(-1,4]$. Numerele naturale sunt $0,1,2,3,\dots$ Inegalitatea este $-1<x\le 4$. Numerele naturale care o îndeplinesc: $0,1,2,3,4$. Atenție: $-1$ nu ar conta oricum (nu e natural și e și exclus), iar $4$ este inclus datorită parantezei pătrate. Deci: $0,1,2,3,4$ — 5 numere naturale.

Un mic pont pentru numărare: pentru numerele întregi dintr-un interval cu capete întregi, poți întâi să vezi care capete se includ, apoi să numeri. Dacă ambele capete sunt întregi și incluse, numărul de întregi din $[a,b]$ este $b-a+1$.

8. Legătura dintre apartenență și inegalitate

Cel mai puternic instrument din această lecție este echivalența: $$x\in [a,b]⟺a\le x\le b.$$ Ea spune că a verifica apartenența la un interval este exact același lucru cu a verifica o dublă inegalitate. Analog: $$x\in (a,b)⟺a<x<b,x\in [a,b)⟺a\le x<b,x\in (a,b]⟺a<x\le b.$$

La fel funcționează și intervalele nemărginite pe care le-ai studiat: de exemplu $x\in [3,+\infty )⟺x\ge 3$, iar $x\in (-\infty ,5)⟺x<5$.

Această traducere te va ajuta enorm la lecțiile despre inecuații: rezultatul unei inecuații se scrie fie ca inegalitate, fie ca interval, iar tu vei putea trece dintr-o formă în alta cu ușurință. Dacă vrei să revezi tipurile de intervale, poți reciti lecția Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise, iar pentru intervalele nemărginite lecția Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă.

9. Apartenența la o mulțime dată prin enumerare sau printr-o proprietate

Apartenența nu se referă doar la intervale. Poți verifica dacă un număr aparține și unei mulțimi date prin enumerare, de exemplu $A=\{-2,0,3,5\}$: aici $3\in A$ (apare în listă), dar $4\notin A$ (nu apare).

De asemenea, o mulțime poate fi dată printr-o proprietate, așa cum ai văzut în prima lecție a unității. De exemplu $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<3\}$ înseamnă „mulțimea numerelor întregi $x$ cu proprietatea $-2\le x<3$". Elementele ei sunt $B=\{-2,-1,0,1,2\}$. Verifici apartenența unui număr punând la încercare proprietatea: aparține $1$ mulțimii $B$? Da, pentru că $1$ este întreg și $-2\le 1<3$. Aparține $3$? Nu, pentru că $3$ nu satisface $x<3$. Vezi și lecția Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor.

10. Apartenența la intervale nemărginite (cu $+\infty$ sau $-\infty$)

Multe cerințe de examen folosesc intervale nemărginite, adică intervale care se întind la nesfârșit într-o direcție. Aici trebuie să reții un lucru esențial: la capătul cu infinit paranteza este ÎNTOTDEAUNA rotundă, pentru că infinitul nu este un număr și nu poate fi „atins". Scrierile $[a,+\infty ]$ sau $[-\infty ,b]$ sunt greșite; corect este $[a,+\infty )$ și $(-\infty ,b]$.

Verificarea apartenenței se face exact la fel, dar ai un singur capăt „adevărat" de comparat:

• $x\in [a,+\infty )⟺x\ge a$ (numărul trebuie să fie mai mare sau egal cu $a$);
• $x\in (a,+\infty )⟺x>a$ (strict mai mare decât $a$);
• $x\in (-\infty ,b]⟺x\le b$;
• $x\in (-\infty ,b)⟺x<b$.

Sub-exemplu. Aparține $-7$ intervalului $(-\infty ,-5]$? Condiția este $x\le -5$. Cum $-7\le -5$ este adevărat (pe axă, $-7$ este la stânga lui $-5$), rezultă $-7\in (-\infty ,-5]$.

Sub-exemplu. Aparține $3$ intervalului $(3,+\infty )$? Condiția este $x>3$, iar $3>3$ este fals, deci $3\notin (3,+\infty )$. Capătul rotund îl exclude, la fel ca la orice interval mărginit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — apartenență cu tipuri diferite de capete

Cerință: Stabilește dacă numărul $4$ aparține fiecăruia dintre intervalele: a) $[4,9]$; b) $(4,9)$; c) $(1,4]$; d) $(1,4)$.

Rezolvare. Numărul 4 este chiar unul dintre capete în fiecare caz, deci decide paranteza de la acel capăt. a) În $[4,9]$ capătul din stânga are paranteză pătrată → inclus. Deci $4\in [4,9]$. b) În $(4,9)$ capătul din stânga are paranteză rotundă → exclus. Deci $4\notin (4,9)$. c) În $(1,4]$ capătul din dreapta are paranteză pătrată → inclus. Deci $4\in (1,4]$. d) În $(1,4)$ capătul din dreapta are paranteză rotundă → exclus. Deci $4\notin (1,4)$.

Observație de examen: când numărul coincide cu un capăt, nu te grăbi — privește exact paranteza de la acel capăt, nu de la celălalt.

Exemplul 2 — fracție și număr zecimal

Cerință: Verifică dacă $\frac{11}{4}\in \left[2;\frac{11}{4}\right)$ și dacă $-1,5\in (-2,-1]$.

Rezolvare. Pentru primul: $\frac{11}{4}=2,75$, iar capătul din dreapta este tot $\frac{11}{4}$, cu paranteză rotundă. Numărul este egal cu capătul exclus, deci $\frac{11}{4}\notin \left[2;\frac{11}{4}\right)$.

Pentru al doilea: $-1,5$ trebuie comparat cu $-2$ și $-1$. Avem $-2<-1,5<-1$, deci numărul este strict între capete și aparține oricum: $-1,5\in (-2,-1]$.

Exemplul 3 — poziționarea unui radical

Cerință: Arată, ridicând la pătrat, cărui interval dintre $(1,2)$ și $(2,3)$ îi aparține $\sqrt{7}$.

Rezolvare. Comparăm $\sqrt{7}$ cu numerele întregi din jur, folosind pătratele lor: $2^2=4$ și $3^2=9$. Deoarece $4<7<9$, obținem $2<\sqrt{7}<3$. Prin urmare $\sqrt{7}\in (2,3)$ și $\sqrt{7}\notin (1,2)$.

Verificare intuitivă: $\sqrt{7}\approx 2,65$, ceea ce confirmă că se află între 2 și 3.

Exemplul 4 — numerele întregi dintr-un interval

Cerință: Determină numerele întregi din intervalul $(-4,3]$ și precizează câte sunt.

Rezolvare. Traducem: $-4<x\le 3$. Capătul $-4$ este exclus (rotund), deci $-4$ NU intră; capătul $3$ este inclus (pătrat), deci $3$ intră. Numerele întregi care satisfac $-4<x\le 3$ sunt: $$-3,-2,-1,0,1,2,3.$$ Sunt 7 numere întregi.

Exemplul 5 — item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu motivare)

Cerință: Precizează dacă propoziția este adevărată sau falsă, justificând: „Numărul $\sqrt{3}$ aparține intervalului $[1,7;1,8]$."

Rezolvare. Trebuie să vedem dacă $1,7\le \sqrt{3}\le 1,8$. Ridicăm la pătrat capetele (numere pozitive): $1,7^2=2,89$ și $1,8^2=3,24$. Cum $2,89<3<3,24$, rezultă $1,7<\sqrt{3}<1,8$. Așadar propoziția este adevărată, deoarece $\sqrt{3}$ este strict între capete, deci aparține intervalului $[1,7;1,8]$.

Exemplul 6 — apartenență la o mulțime dată printr-o proprietate

Cerință: Fie $M=\{x\in \mathbb{N}\mid -1<x\le 5\}$. Stabilește dacă $0\in M$, dacă $5\in M$ și dacă $\frac{3}{2}\in M$. Scrie apoi mulțimea $M$ prin enumerare.

Rezolvare.

• $0$: este natural și $-1<0\le 5$ este adevărat, deci $0\in M$.
• $5$: este natural și $-1<5\le 5$ este adevărat (5 este egal cu capătul inclus), deci $5\in M$.
• $\frac{3}{2}=1,5$: satisface inegalitatea $-1<1,5\le 5$, DAR nu este număr natural. Condiția $x\in \mathbb{N}$ nu este îndeplinită, deci $\frac{3}{2}\notin M$.

Prin enumerare: $M=\{0,1,2,3,4,5\}$.

Exemplul 7 — interval nemărginit și cel mai mare/mic întreg

Cerință: Se dă intervalul $\left[-\frac{5}{2},+\infty \right)$. a) Stabilește dacă $-3\in \left[-\frac{5}{2},+\infty \right)$. b) Determină cel mai mic număr întreg care aparține acestui interval.

Rezolvare. Traducem intervalul în inegalitate: $x\ge -\frac{5}{2}$, adică $x\ge -2,5$.

a) Comparăm: $-3\ge -2,5$? Pe axă, $-3$ este la stânga lui $-2,5$, deci $-3<-2,5$. Inegalitatea $-3\ge -2,5$ este falsă, prin urmare $-3\notin \left[-\frac{5}{2},+\infty \right)$.

b) Căutăm cel mai mic întreg $x$ cu $x\ge -2,5$. Întregii mai mari sau egali cu $-2,5$ sunt $-2,-1,0,1,\dots$ (căci $-3$ este deja prea mic). Cel mai mic dintre ei este $-2$. Atenție: deși capătul $-\frac{5}{2}$ este inclus (paranteză pătrată), el nu este întreg, așa că primul întreg din interval este $-2$.

Să exersăm

1. Completează cu $\in$ sau $\notin$: a) $6\square [6,10]$; b) $6\square (6,10)$; c) $10\square [6,10)$; d) $8\square (6,10)$.

2. Stabilește dacă $\frac{9}{4}$ aparține intervalului $(2,3)$.

3. Adevărat sau fals, cu motivare: $-3\in (-3,5]$.

4. Verifică dacă $2,5\in \left[2,5;4\right)$.

5. Determină numerele întregi din intervalul $[-2,4)$ și precizează câte sunt.

6. Determină numerele naturale din intervalul $(-3,3]$.

7. Arată, prin ridicare la pătrat, că $\sqrt{2}\in (1,2)$.

8. Cărui interval dintre $(1,2)$ și $(2,3)$ îi aparține $\sqrt{6}$? Justifică.

9. Scrie sub formă de dublă inegalitate apartenențele: a) $x\in [-1,4]$; b) $x\in (0,7)$; c) $x\in (-\infty ,2]$.

10. Fie $A=\{-5,-2,0,3,7\}$. Precizează valoarea de adevăr: a) $-2\in A$; b) $1\in A$; c) $7\notin A$.

11. Adevărat sau fals, cu motivare: „Există exact 6 numere întregi în intervalul $(-2,5)$."

12. Fie $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -4\le x<1\}$. Scrie $B$ prin enumerare și stabilește dacă $-4\in B$ și dacă $1\in B$.

13. Găsește un număr rațional și un număr irațional care să aparțină intervalului $(1,2)$.

14. (item tip Evaluare Națională) Numărul întreg cel mai mare din intervalul $\left(-\infty ,\sqrt{10}\right)$ este ... . Justifică.

15. Determină toate valorile întregi ale lui $n$ pentru care $n\in [-1,5;3,2]$.

16. Adevărat sau fals: „$\sqrt{3}\in (1,8;2)$." Motivează prin ridicare la pătrat.

17. (problemă aplicată) La un concurs pot participa elevii cu punctajul $p$ ce satisface $p\in [40,100]$. Trei elevi au obținut 40, 39,5 și 100 de puncte. Care dintre ei se califică? Justifică folosind apartenența la interval.

18. Se dă intervalul $I=(-3,a]$ și se știe că $I$ conține exact 5 numere întregi. Determină cea mai mică valoare întreagă posibilă a lui $a$.

19. Stabilește dacă $-4\in \left(-\infty ,-\frac{7}{2}\right]$ și dacă $-3\in \left(-\infty ,-\frac{7}{2}\right]$.

20. (item tip Evaluare Națională) Cel mai mic număr întreg din intervalul $\left[\sqrt{5},+\infty \right)$ este ... . Justifică prin ridicare la pătrat.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\in$ (6 = capăt inclus, pătrat); b) $\notin$ (6 = capăt exclus, rotund); c) $\notin$ (10 = capăt exclus, rotund); d) $\in$ (8 este strict între 6 și 10).

2. $\frac{9}{4}=2,25$; cum $2<2,25<3$, avem $\frac{9}{4}\in (2,3)$. Da, aparține.

3. Fals. Capătul $-3$ are paranteză rotundă, deci este exclus: $-3<x$ nu este îndeplinit de $x=-3$ (ar cere $-3<-3$, fals). Deci $-3\notin (-3,5]$.

4. $2,5$ este chiar capătul din stânga, cu paranteză pătrată → inclus. Deci $2,5\in \left[2,5;4\right)$. Da.

5. $-2\le x<4$: capătul $-2$ inclus, $4$ exclus. Numerele întregi: $-2,-1,0,1,2,3$. Sunt 6 numere.

6. $-3<x\le 3$, numere naturale: $0,1,2,3$. (Numerele negative nu sunt naturale.) Patru numere: $\{0,1,2,3\}$.

7. $1^2=1$, $(\sqrt{2}{)}^2=2$, $2^2=4$; din $1<2<4$ rezultă $1<\sqrt{2}<2$, deci $\sqrt{2}\in (1,2)$.

8. $2^2=4$, $3^2=9$; cum $4<6<9$, avem $2<\sqrt{6}<3$, deci $\sqrt{6}\in (2,3)$ (și $\sqrt{6}\notin (1,2)$). Aproximativ $\sqrt{6}\approx 2,45$.

9. a) $-1\le x\le 4$; b) $0<x<7$; c) $x\le 2$.

10. a) Adevărat ($-2$ apare în listă); b) Fals ($1$ nu apare); c) Fals — $7$ APARE în $A$, deci $7\in A$, prin urmare $7\notin A$ este fals.

11. $(-2,5)$ înseamnă $-2<x<5$, ambele capete excluse. Numerele întregi: $-1,0,1,2,3,4$ — sunt 6. Propoziția este adevărată.

12. $-4\le x<1$: $B=\{-4,-3,-2,-1,0\}$. $-4\in B$ (capăt inclus, pătrat); $1\notin B$ (capăt exclus, rotund).

13. Exemple corecte: un număr rațional este $\frac{3}{2}=1,5$ (căci $1<1,5<2$); un număr irațional este $\sqrt{2}\approx 1,41$ (căci $1<\sqrt{2}<2$). Se acceptă orice alte exemple valide (ex.: $1,7$ rațional și $\sqrt{3}$ irațional).

14. $\sqrt{10}\approx 3,16$; deoarece $3^2=9<10<16=4^2$, avem $3<\sqrt{10}<4$. Intervalul este $x<\sqrt{10}$, deci cel mai mare întreg strict mai mic decât $\sqrt{10}$ este 3.

15. $-1,5\le n\le 3,2$, $n$ întreg: $n\in \{-1,0,1,2,3\}$. (−1,5 nu e întreg, iar primul întreg $\ge -1,5$ este $-1$; ultimul întreg $\le 3,2$ este $3$.)

16. Fals. $1,8^2=3,24$ și $2^2=4$; ar trebui ca $3,24<3<4$, dar $3<3,24$, deci $\sqrt{3}<1,8$. Prin urmare $\sqrt{3}\notin (1,8;2)$ (de fapt $\sqrt{3}\approx 1,73<1,8$).

17. Condiția este $p\in [40,100]$, adică $40\le p\le 100$. Elevul cu 40 de puncte: $40\in [40,100]$ (capăt inclus) → se califică. Elevul cu 39,5: $39,5<40$ → nu se califică. Elevul cu 100: $100\in [40,100]$ (capăt inclus) → se califică. Se califică doi elevi (cel cu 40 și cel cu 100 de puncte).

18. $I=(-3,a]$ înseamnă $-3<x\le a$. Numerele întregi încep de la $-2$ (căci $-3$ e exclus): $-2,-1,0,1,2,\dots$ Ca să fie exact 5 întregi, ele sunt $-2,-1,0,1,2$, deci trebuie ca $2\le a<3$. Cea mai mică valoare întreagă posibilă a lui $a$ este $a=2$ (pentru $a=2$ capătul $2$ este inclus și avem exact întregii $-2,-1,0,1,2$).

19. Condiția este $x\le -\frac{7}{2}=-3,5$. Pentru $-4$: $-4\le -3,5$ este adevărat ($-4$ e la stânga lui $-3,5$ pe axă), deci $-4\in \left(-\infty ,-\frac{7}{2}\right]$. Pentru $-3$: $-3\le -3,5$ este fals ($-3$ e la dreapta lui $-3,5$), deci $-3\notin \left(-\infty ,-\frac{7}{2}\right]$.

20. Intervalul este $x\ge \sqrt{5}$. Cum $2^2=4<5<9=3^2$, avem $2<\sqrt{5}<3$ (adică $\sqrt{5}\approx 2,24$). Cel mai mic întreg mai mare sau egal cu $\sqrt{5}$ este 3 (numărul $2$ nu convine, fiindcă $2<\sqrt{5}$).

De reținut

• Simbolul $\in$ înseamnă „aparține" și se pune între un element și o mulțime; $\notin$ înseamnă „nu aparține".
• Paranteză pătrată $[]$ = capăt inclus (semnul $\le$ / $\ge$); paranteză rotundă $()$ = capăt exclus (semnul strict $<$ / $>$). Pe axă: bulină plină = inclus, bulină goală = exclus.
• Un număr strict între capete aparține intervalului indiferent de paranteze; toată grija se pune la capete.
• Echivalența cheie: $x\in [a,b]⟺a\le x\le b$ (analog pentru celelalte tipuri). Apartenența la interval = o inegalitate.
• Pentru radicali, compară prin ridicare la pătrat: dacă $a^2<n<b^2$ (cu $a,b>0$), atunci $a<\sqrt{n}<b$.

Greșeli frecvente

• Confuzia parantezelor la capăt. Mulți răspund automat „aparține" fără să verifice paranteza. Reține: la un capăt cu paranteză rotundă numărul respectiv este EXCLUS, chiar dacă „arată" că e în interval.
• Numărarea greșită a întregilor la capetele deschise. La $(-2,5)$ NU incluzi nici $-2$, nici $5$. Scrie mai întâi dubla inegalitate, apoi enumeră întregii cu grijă.
• Uitarea condiției de mulțime (ℕ sau ℤ). Dacă se cere apartenența la o mulțime de numere naturale, un număr precum $1,5$ NU aparține, chiar dacă satisface inegalitatea — pentru că nu este natural.
• Compararea greșită a radicalilor. Nu aproxima „din ochi". Ridică la pătrat: pentru $\sqrt{3}$ și $1,8$ compari $3$ cu $1,8^2=3,24$, nu $\sqrt{3}$ cu $1,8$ direct.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de intervale din viața reală. Caută trei exemple de intervale din jurul tău: intervalul de temperatură recomandat pentru frigider (de obicei $[2,8]$ °C), intervalul de vârstă pentru un anumit joc sau film, ori intervalul de viteză permis pe un drum. Scrie-le matematic cu paranteze corecte și decide, folosind apartenența, dacă valori concrete (temperatura măsurată acasă, vârsta ta) aparțin acelor intervale.

2. Radicali pe axă. Desenează o axă de la 0 la 4 și plasează pe ea, prin ridicare la pătrat, punctele $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{13}$. Apoi scrie pentru fiecare cărui interval dintre numerele întregi consecutive îi aparține.

3. Numărătoarea de întregi. Inventează cinci intervale cu capete întregi (unele deschise, altele închise, altele semideschise) și numără de fiecare dată câți întregi conțin. Verifică-te cu formula $b-a+1$ atunci când ambele capete sunt întregi și incluse, și explică de ce formula se modifică la capete deschise.

Pentru părinți și profesori

Această lecție dezvoltă competența 1.1 (recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime) și competența 4.1 (folosirea corectă a terminologiei). Punctul cel mai delicat, la care copiii greșesc cel mai des, este rolul tipului de capăt: paranteza rotundă exclude capătul, cea pătrată îl include. Un bun test de înțelegere este să întrebați copilul: „Aparține 5 intervalului $(5,8)$? Dar intervalului $[5,8)$?" — dacă răspunde corect și explică diferența prin paranteze, a înțeles esențialul.

Alte întrebări de verificare utile: „Câte numere întregi sunt în $(-2,4]$?" (răspuns: 6), „Între ce numere întregi se află $\sqrt{5}$ și cum ai aflat?" (răspuns: între 2 și 3, prin ridicare la pătrat). Insistați pe redactare: la Evaluarea Națională, la itemii de tip adevărat/fals sau de determinare, punctajul se acordă pentru justificare, nu doar pentru răspunsul final. Acest subiect apare frecvent în Subiectul I (itemi cu alegere sau completare) și pregătește direct capitolul despre inecuații, unde mulțimea soluțiilor se scrie tocmai ca interval.

Întrebări frecvente

Cum verific dacă un număr aparține unui interval la clasa a 8-a? Compari numărul cu cele două capete. Dacă este strict între ele, aparține sigur. Dacă este egal cu un capăt, te uiți la paranteza de acolo: pătrată înseamnă inclus (aparține), rotundă înseamnă exclus (nu aparține). Dacă este în afara capetelor, nu aparține.

De ce $a\in [a,b]$ dar $a\notin (a,b)$? Pentru că paranteza pătrată include capătul, iar cea rotundă îl exclude. În $[a,b]$ condiția este $a\le x$, iar $a\le a$ este adevărat; în $(a,b)$ condiția este $a<x$, iar $a<a$ este fals, deci $a$ nu intră.

Cum aflu numerele întregi dintr-un interval? Scrii intervalul ca dublă inegalitate, apoi enumeri numerele întregi care o satisfac, fiind atent la capete: capătul cu paranteză pătrată se include dacă este întreg, cel cu paranteză rotundă nu. Le scrii în ordine crescătoare.

Cum știu între ce numere se află $\sqrt{2}$ sau $\sqrt{3}$? Ridici la pătrat. Pentru $\sqrt{n}$ cauți două numere întregi consecutive $a$ și $b$ cu $a^2<n<b^2$; atunci $a<\sqrt{n}<b$. De exemplu $1^2=1<2<4=2^2$, deci $1<\sqrt{2}<2$.

Ce înseamnă simbolul $\in$ și cum se citește? $\in$ se citește „aparține" și se scrie între un element și o mulțime, de exemplu $3\in [1,5]$. Simbolul $\notin$ se citește „nu aparține". Nu se folosește între două numere — acolo folosim semne de inegalitate.

Un număr zecimal poate aparține unui interval cu capete întregi? Da. Apartenența nu depinde de tipul numărului, ci de poziția lui față de capete. De exemplu $2,7\in [2,3]$ pentru că $2\le 2,7\le 3$.

La cerința „numere naturale dintr-un interval", contează dacă un capăt este negativ? Da, dar numerele naturale încep de la 0, deci nu iei niciodată în calcul valori negative, indiferent de capăt. De exemplu, din $(-3,3]$ numerele naturale sunt doar $0,1,2,3$.

De ce la intervalele cu infinit paranteza este mereu rotundă? Pentru că $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale, ci doar simboluri care arată că intervalul „nu se oprește" într-o direcție. Nu poți include un capăt care nu există, de aceea scriem întotdeauna $[a,+\infty )$ și $(-\infty ,b]$, niciodată cu paranteză pătrată lângă infinit.

Care este legătura dintre apartenența la un interval și inecuații? Sunt același lucru scris diferit: $x\in [a,b]$ este identic cu $a\le x\le b$. De aceea, când vei rezolva inecuații de gradul I, soluția o vei putea scrie fie ca inegalitate, fie ca interval, trecând ușor dintr-o formă în alta.