Recapitulare: numere reale, intervale și inecuații de gradul I

Când cumperi un abonament la sală care costă „cel mult 150 de lei pe lună", când vezi pe telefon că bateria trebuie să rămână „între 20% și 80%" pentru o încărcare sănătoasă sau când un antrenor îți spune că timpul la 100 de metri trebuie să fie „sub 14 secunde", folosești, fără să-ți dai seama, exact matematica din această lecție: numere reale, intervale și inecuații. Toate aceste noțiuni descriu nu o singură valoare, ci o mulțime întreagă de valori posibile. Iar la Evaluarea Națională ele apar aproape sigur — fie ca item de sine stătător, fie ascunse într-o problemă mai mare.

Această lecție strânge la un loc primele trei mari capitole ale clasei a VIII-a. Nu introducem nimic nou: recapitulăm, legăm și exersăm în stil de examen. Pe parcurs vei găsi trimiteri către lecțiile detaliate, dacă simți că un subiect anume mai are nevoie de fixare — de la mulțimea numerelor reale și intervale, la intersecția și reuniunea intervalelor, până la rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente. Scopul e ca, la final, să poți trece de la un enunț în cuvinte la un interval de soluții fără nicio ezitare.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști și să ordonezi numere raționale și iraționale și să calculezi modulul unui număr real.
• Vei ști să scrii și să reprezinți pe axă orice interval, mărginit sau nemărginit, și să faci corect reuniuni și intersecții de intervale.
• Vei ști să rezolvi o inecuație de gradul I și să scrii mulțimea soluțiilor ca interval.
• Vei ști să modelezi o problemă practică printr-o inecuație și să interpretezi soluția în context.
• Vei ști să eviți greșeala de semn la înmulțirea sau împărțirea cu numere negative — cea mai frecventă capcană de la examen.

Hai să descoperim împreună

Vom parcurge cele trei teme în ordinea în care se sprijină una pe alta: întâi numerele reale (materialul de bază), apoi intervalele (submulțimi de numere reale) și, la final, inecuațiile (a căror soluție se scrie tocmai ca interval). Ține minte firul: număr real → mulțime de numere reale → mulțime de soluții.

1. Mulțimea numerelor reale ℝ

Numerele reale formează mulțimea $\mathbb{R}$ și se împart în două categorii care nu se suprapun:

• Numere raționale ($\mathbb{Q}$): cele care se pot scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ întregi și $b\ne 0$. În scriere zecimală, ele sunt fie finite ($0,25=\frac{1}{4}$), fie periodice ($0,\overline{3}=\frac{1}{3}$).
• Numere iraționale: cele care nu se pot scrie ca fracție. În scriere zecimală au o infinitate de zecimale neperiodice. Exemple tipice: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\pi$.

Avem incluziunile pe care le știi deja: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, iar numerele iraționale sunt exact acele reale care nu sunt raționale.

Atenție la o capcană des întâlnită: un radical nu înseamnă automat număr irațional. Contează dacă numărul de sub radical este pătrat perfect:

• $\sqrt{16}=4$ — rațional (16 este pătrat perfect);
• $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ — irațional (12 nu este pătrat perfect);
• $\sqrt{2}$ — irațional.

Ordonarea numerelor reale. Pentru a compara două numere reale, cel mai sigur e să le aduci la aceeași formă. Dacă unul este radical și altul zecimal, aproximează radicalul: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$, $\sqrt{5}\approx 2,24$. Pe axă, un număr este mai mare cu cât e mai la dreapta. Astfel $-3<-\sqrt{2}<0<1<\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\sqrt{3}$, pentru că $\sqrt{2}\approx 1,41<1,5<1,73\approx \sqrt{3}$.

Modulul (valoarea absolută). Modulul unui număr real $a$ este distanța de la $0$ la $a$ pe axă, deci este întotdeauna $\ge 0$:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{daca˘ }a\ge 0\\ -a,& \text{daca˘ }a<0\end{array}$$

De exemplu $|5|=5$, $|-5|=5$, $|0|=0$. Regula de aur pentru examen: când sub modul apare o diferență de forma $|x-y|$, întreabă-te mai întâi care număr e mai mare. Modulul scade întotdeauna pe cel mic din cel mare:

• $|\sqrt{5}-3|$: cum $\sqrt{5}\approx 2,24<3$, diferența $\sqrt{5}-3$ este negativă, deci $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$.
• $|3-\pi |$: cum $\pi \approx 3,14>3$, avem $3-\pi <0$, deci $|3-\pi |=\pi -3$.

Operații cu radicali de gimnaziu. Îți amintesc regulile care apar frecvent:

• Scoaterea factorului de sub radical: $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$ (pentru $a\ge 0$). Ex.: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
• Adunarea/scăderea se face doar între radicali de același fel: $5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}$, dar $5\sqrt{2}+3\sqrt{3}$ nu se poate reduce.
• Raționalizarea numitorului: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

2. Intervale de numere reale

Un interval este o mulțime de numere reale formată din toate numerele cuprinse între două capete (sau dincolo de un capăt). Spre deosebire de o mulțime scrisă cu acolade, un interval conține o infinitate de numere — toate punctele de pe o porțiune a axei.

Capătul poate fi inclus (paranteză pătrată $[]$, punct plin pe axă) sau exclus (paranteză rotundă $()$, punct gol pe axă). Iată tabelul complet, pe care merită să-l știi pe de rost:

Regula de fier a infinitului: lângă $+\infty$ și $-\infty$ se pune întotdeauna paranteză rotundă, pentru că infinitul nu este un număr real și nu poate fi „atins".

Intersecția a două intervale ($\cap$) este mulțimea numerelor care se află în amândouă simultan — partea comună. Pe axă, este porțiunea unde cele două segmente se suprapun.

Reuniunea a două intervale ($\cup$) este mulțimea numerelor care se află în cel puțin unul dintre ele — tot ce acoperă, împreună, cele două segmente.

Tehnica sigură, recomandată la examen, este să desenezi ambele intervale pe aceeași axă, unul sub altul, și apoi:

• pentru intersecție, citești zona unde ambele sunt colorate;
• pentru reuniune, citești toată zona colorată de cel puțin unul.

La capete, fii atent la incluziune: un capăt intră în intersecție doar dacă e inclus în ambele; intră în reuniune dacă e inclus în cel puțin unul.

Un exemplu care prinde des elevii: $[-1,3)\cap [3,6]$. La prima vedere pare că se ating în $3$. Dar $3\notin [-1,3)$ (capăt exclus), deci $3$ nu e în ambele. Rezultatul este mulțimea vidă: $[-1,3)\cap [3,6]=\varnothing$.

3. Inecuații de gradul I

O inecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ este o inegalitate care, adusă la formă simplă, arată ca una dintre: $$ax+b>0,ax+b\ge 0,ax+b<0,ax+b\le 0,(a\ne 0).$$

A o rezolva înseamnă a găsi toate valorile reale ale lui $x$ care o fac adevărată. Mulțimea acestor valori se numește mulțimea soluțiilor $S$ și se scrie, aproape mereu, ca un interval.

Rezolvarea folosește transformări echivalente, adică operații care nu schimbă mulțimea soluțiilor:

1. Poți aduna sau scădea același număr în ambii membri — semnul inegalității rămâne.
2. Poți înmulți sau împărți ambii membri cu un număr pozitiv — semnul rămâne.
3. Dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă ($<$ devine $>$, $\le$ devine $\ge$ și invers).

Punctul 3 este inima întregii teme și cea mai frecventă greșeală de la Evaluarea Națională. Reține imaginea intuitivă: dacă $2<5$ și înmulțești ambele cu $-1$, obții $-2$ și $-5$; pe axă, $-2$ este la dreapta lui $-5$, deci $-2>-5$. Ordinea s-a inversat.

Rezolvarea tipică, pas cu pas, pentru $5-3x\le 14$:

$$5-3x\le 14|-5$$ $$-3x\le 9|:(-3),\text{ schimba˘m semnul}$$ $$x\ge -3$$

Deci $S=[-3,+\infty )$. Observă că am pus paranteză pătrată la $-3$ pentru că semnul era $\le$ (adică $\ge$ după inversare), deci $-3$ intră în soluții.

Legătura cu punctajul. La examen, un item cu inecuație cere de regulă: (1) rezolvarea corectă și (2) scrierea soluției ca interval sau ca reprezentare pe axă. Dacă rezolvi corect dar uiți să scrii intervalul, poți pierde puncte. Antrenează-te să închei mereu cu o propoziție de tip „Așadar $S=\dots$".

4. Probleme practice cu inecuații

Multe enunțuri reale conțin cuvinte care ascund un semn de inegalitate. Iată dicționarul esențial:

Rețeta de rezolvare are patru pași, valabilă la orice problemă: (1) alegi și numești necunoscuta; (2) transpui enunțul în inecuație; (3) rezolvi inecuația; (4) interpretezi soluția în context, păstrând doar valorile cu sens (de exemplu, un număr de bilete trebuie să fie număr natural). Vom aplica exact această schemă în exemplele și problemele de mai jos. Dacă vrei mai multe modele, ai lecția dedicată despre probleme care se rezolvă cu inecuații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numere reale: clasificare, modul, ordonare

Se dau numerele: $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $-\frac{5}{4}$, $0,\overline{6}$, $\sqrt{18}$.

a) Precizează care sunt raționale și care iraționale. b) Calculează $|\sqrt{7}-3|$. c) Ordonează crescător numerele $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $-\frac{5}{4}$, $0,\overline{6}$.

Rezolvare.

a) $\sqrt{16}=4$ — rațional; $-\frac{5}{4}$ — rațional; $0,\overline{6}=\frac{2}{3}$ — rațional (zecimală periodică). $\sqrt{7}$ — irațional (7 nu e pătrat perfect); $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ — irațional.

b) Cum $\sqrt{7}\approx 2,65<3$, avem $\sqrt{7}-3<0$, deci $$|\sqrt{7}-3|=-(\sqrt{7}-3)=3-\sqrt{7}.$$

c) Aproximăm: $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{7}\approx 2,65$, $-\frac{5}{4}=-1,25$, $0,\overline{6}\approx 0,67$. În ordine crescătoare: $$-\frac{5}{4}<0,\overline{6}<\sqrt{7}<\sqrt{16}.$$

Exemplul 2 — Radicali de gimnaziu

Calculează $\sqrt{50}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$ și apoi $\frac{10}{\sqrt{5}}$.

Rezolvare. Scoatem factorii de sub radical: $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2},\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$ Toți sunt de forma $k\sqrt{2}$, deci se reduc: $$5\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(5-2+3)\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$ Pentru raționalizare, amplificăm cu $\sqrt{5}$: $$\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}.$$

Exemplul 3 — Intervale: intersecție și reuniune

Se dau $A=[-3,4]$ și $B=(1,7]$. Determină $A\cap B$ și $A\cup B$.

Rezolvare. Desenăm ambele intervale pe aceeași axă.

Intersecția este zona comună. Ambele acoperă numerele dintre $1$ și $4$. La $1$: $1\notin B$ (capăt exclus), deci $1$ nu intră. La $4$: $4\in A$ și $4\in B$, deci $4$ intră. $$A\cap B=(1,4].$$

Reuniunea acoperă tot, de la cel mai din stânga capăt până la cel mai din dreapta. De la $-3$ (inclus în $A$) până la $7$ (inclus în $B$), fără întreruperi: $$A\cup B=[-3,7].$$

Exemplul 4 — Inecuație cu numitori

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $\frac{x-1}{2}\ge \frac{x+2}{3}$ și scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

Rezolvare. Numitorii sunt $2$ și $3$, cu numitor comun $6$. Înmulțim ambii membri cu $6$ (număr pozitiv, semnul rămâne): $$6\cdot \frac{x-1}{2}\ge 6\cdot \frac{x+2}{3}$$ $$3(x-1)\ge 2(x+2)$$ $$3x-3\ge 2x+4|-2x,+3$$ $$x\ge 7.$$ Deci $S=[7,+\infty )$.

Verificare cu $x=8$: $\frac{8-1}{2}=3,5$ și $\frac{8+2}{3}\approx 3,33$; într-adevăr $3,5\ge 3,33$. ✓

Exemplul 5 — Inecuație cu schimbare de semn (capcana!)

Rezolvă $-2x+3<11$.

Rezolvare. $$-2x+3<11|-3$$ $$-2x<8|:(-2),\text{ ATENȚIE: schimba˘m semnul}$$ $$x>-4.$$ Deci $S=(-4,+\infty )$.

De ce paranteză rotundă? Semnul final e $>$ (strict), deci $-4$ nu intră. Verificare cu $x=0$ (care e $>-4$): $-2\cdot 0+3=3<11$ ✓; și cu $x=-4$: $-2\cdot (-4)+3=11$, dar $11<11$ este fals, deci $-4$ corect nu e soluție.

Exemplul 6 — Problemă practică

Un serviciu de închiriere trotinete percepe $4$ lei taxă de deblocare plus $0,75$ lei pentru fiecare minut. Andrei are un buget de cel mult $25$ de lei. Câte minute poate merge cel mult?

Rezolvare (cei 4 pași).

1. Necunoscuta: fie $x$ numărul de minute de mers, $x\ge 0$.
2. Inecuația: costul total este $4+0,75x$, iar „cel mult $25$ lei" înseamnă $\le 25$: $$4+0,75x\le 25.$$
3. Rezolvare: $$0,75x\le 21|:0,75$$ $$x\le 28.$$
4. Interpretare: $x$ este un număr de minute, iar bugetul permite până la $28$. Andrei poate merge cel mult 28 de minute. (Verificare: $4+0,75\cdot 28=4+21=25$ lei, exact bugetul.)

Să exersăm

1. Precizează, pentru fiecare, dacă este rațional sau irațional: $\sqrt{81}$, $\sqrt{5}$, $\frac{3}{7}$, $0,\overline{45}$, $\sqrt{20}$, $\pi$.

2. Calculează: a) $|-9|$; b) $|2-\sqrt{2}|$; c) $|\sqrt{10}-4|$; d) $|\pi -3|$.

3. Ordonează crescător numerele: $1$, $\frac{7}{5}$, $\sqrt{2}$, $1,5$, $\sqrt{3}$.

4. Calculează $\sqrt{75}-\sqrt{12}+\sqrt{27}$.

5. Raționalizează numitorul: a) $\frac{9}{\sqrt{3}}$; b) $\frac{14}{\sqrt{7}}$.

6. Scrie sub formă de interval și reprezintă pe axă mulțimea numerelor reale $x$ cu $-2\le x<5$.

7. Determină $[-3,4]\cap (1,7]$.

8. Determină $(-\infty ,2)\cup [0,5]$.

9. Determină $[-1,3)\cap [3,6]$.

10. Determină $(-4,1]\cup (1,5)$.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$ și scrie $S$ ca interval: $3x-7\le 5$.

12. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $-3x>6$.

13. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2(x-3)-4>3(x-1)$.

14. Rezolvă în $\mathbb{R}$ dubla inegalitate $-3\le 2x-1<5$ și scrie soluțiile întregi.

15. (Evaluare Națională — tip item) Media a trei teze ale unei eleve este dată de notele $8$, $7$ și $9$. Ce notă minimă trebuie să obțină la a patra teză pentru ca media celor patru note să fie cel puțin $8$?

16. (problemă practică) Un taxi percepe $5$ lei pornirea și $2,5$ lei pe kilometru. Cu un buget de cel mult $40$ de lei, câți kilometri poți parcurge cel mult?

17. (problemă practică) Un dreptunghi are lățimea de $3$ cm, iar lungimea de $(x+2)$ cm. Perimetrul nu trebuie să depășească $22$ cm. Ce valori poate lua $x$? (se subînțelege $x>0$)

18. (Adevărat/Fals cu justificare) Stabilește și motivează: a) $\sqrt{9}$ este număr irațional. b) $[2,5]\cap (5,8)=\{5\}$. c) Soluția inecuației $-3x>6$ este $x>-2$. d) Numărul $0,\overline{3}$ este rațional.

Răspunsuri și explicații

1. Raționale: $\sqrt{81}=9$, $\frac{3}{7}$, $0,\overline{45}$ (zecimală periodică). Iraționale: $\sqrt{5}$, $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $\pi$.

2. a) $|-9|=9$. b) $\sqrt{2}\approx 1,41<2$, deci $2-\sqrt{2}>0$ și $|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}$. c) $\sqrt{10}\approx 3,16<4$, deci $\sqrt{10}-4<0$ și $|\sqrt{10}-4|=4-\sqrt{10}$. d) $\pi \approx 3,14>3$, deci $|\pi -3|=\pi -3$.

3. Aproximăm: $\frac{7}{5}=1,4$; $\sqrt{2}\approx 1,41$; $\sqrt{3}\approx 1,73$. Ordinea: $1<\frac{7}{5}<\sqrt{2}<1,5<\sqrt{3}$.

4. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Deci $5\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

5. a) $\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$. b) $\frac{14}{\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}}{7}=2\sqrt{7}$.

6. $[-2,5)$. Pe axă: punct plin la $-2$, punct gol la $5$, segment îngroșat între ele.

7. $(1,4]$. La $1$: exclus din $(1,7]$, deci nu intră. La $4$: în ambele, intră.

8. $(-\infty ,5]$. Cum $[0,5]$ începe la $0<2$, cele două intervale se unesc fără gol; capătul din dreapta este $5$, inclus.

9. $\varnothing$ (mulțimea vidă). Punctul $3\notin [-1,3)$, deci nu există număr comun celor două intervale.

10. $(-4,5)$. La $1$: inclus în $(-4,1]$, iar $(1,5)$ continuă imediat după, deci reuniunea este neîntreruptă de la $-4$ (exclus) la $5$ (exclus).

11. $3x-7\le 5\Rightarrow 3x\le 12\Rightarrow x\le 4$. Deci $S=(-\infty ,4]$.

12. $-3x>6\Rightarrow x<-2$ (împărțim la $-3<0$, semnul se schimbă). Deci $S=(-\infty ,-2)$.

13. $2x-6-4>3x-3\Rightarrow 2x-10>3x-3\Rightarrow -10+3>3x-2x\Rightarrow -7>x$, adică $x<-7$. Deci $S=(-\infty ,-7)$.

14. $-3\le 2x-1<5|+1\Rightarrow -2\le 2x<6|:2\Rightarrow -1\le x<3$. Deci $S=[-1,3)$, iar soluțiile întregi sunt $-1,0,1,2$.

15. Fie $x$ nota a patra. $\frac{8+7+9+x}{4}\ge 8\Rightarrow 24+x\ge 32\Rightarrow x\ge 8$. Nota minimă este 8.

16. Fie $x$ numărul de kilometri, $x\ge 0$. $5+2,5x\le 40\Rightarrow 2,5x\le 35\Rightarrow x\le 14$. Poți parcurge cel mult 14 km.

17. Perimetrul: $P=2((x+2)+3)=2(x+5)=2x+10$. Condiția: $2x+10\le 22\Rightarrow 2x\le 12\Rightarrow x\le 6$. Cu $x>0$, avem $x\in (0,6]$.

18. a) Fals: $\sqrt{9}=3$, care este rațional. b) Fals: $5\notin (5,8)$ (capăt exclus), deci intersecția este $\varnothing$, nu $\{5\}$. c) Fals: la împărțirea cu $-3$ semnul se schimbă, soluția corectă este $x<-2$. d) Adevărat: $0,\overline{3}=\frac{1}{3}$, o fracție, deci număr rațional.

De reținut

• Numere reale: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \{\text{iraționale}\}$. Un radical este rațional doar dacă numărul de sub el este pătrat perfect. Modulul: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$; la $|x-y|$ scazi întotdeauna numărul mai mic din cel mai mare.
• Intervale: paranteză pătrată = capăt inclus, paranteză rotundă = capăt exclus; lângă $\pm \infty$ mereu paranteză rotundă. Intersecția = partea comună; reuniunea = tot ce acoperă împreună. Desenează pe axă înainte de a scrie rezultatul.
• Inecuații de gradul I: soluția se scrie ca interval. La adunare/scădere și la înmulțire/împărțire cu număr pozitiv, semnul rămâne; la înmulțire/împărțire cu număr negativ, semnul se inversează.
• Probleme practice: aplică cei 4 pași (necunoscută → inecuație → rezolvare → interpretare) și păstrează doar soluțiile cu sens real.

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi semnul la împărțirea/înmulțirea cu un număr negativ. Din $-3x>6$ scrii greșit $x>-2$ în loc de $x<-2$. Cum eviți: de fiecare dată când împarți la un număr negativ, oprește-te și inversează semnul, apoi verifică soluția cu o valoare de probă.
• Confuzi paranteza inclusă cu cea exclusă la capete. Dacă inecuația are $\le$ sau $\ge$, capătul intră (paranteză pătrată); dacă are $<$ sau $>$, capătul nu intră (paranteză rotundă). Cum eviți: leagă mental semnul „cu egal" de paranteza pătrată.
• Confuzi reuniunea cu intersecția. Intersecția poate fi vidă chiar dacă intervalele „se ating" într-un capăt exclus. Cum eviți: desenează ambele intervale pe aceeași axă și citește vizual.
• Crezi că orice radical e irațional. $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{81}=9$ sunt raționale. Cum eviți: verifică întâi dacă numărul de sub radical e pătrat perfect.

Aplică acasă

• Bugetul de weekend. Stabilește o sumă maximă pe care vrei să o cheltuiești ieșind în oraș (de exemplu $60$ de lei). Alege o cheltuială fixă (biletul de cinema) și una pe unitate (popcorn la pahar). Scrie inecuația $\text{fix}+\text{preț}\cdot x\le 60$ și află câte porții îți poți permite. Verifică apoi la casă dacă ai calculat corect.
• Intervalul sănătos. Multe recomandări reale sunt intervale: umiditatea din cameră „între $40\%$ și $60\%$", pulsul la efort „între $120$ și $150$ bătăi pe minut". Alege una, scrie-o ca interval $[a,b]$ și notează timp de o zi valorile măsurate; marchează pe o mică axă care au fost în interval și care nu.
• Media la o materie. Ia notele tale actuale la o disciplină și calculează ce notă minimă îți trebuie la următoarea lucrare pentru a ajunge la o medie-țintă. Scrie și rezolvă inecuația, exact ca la exercițiul 15.

Pentru părinți și profesori

Această lecție reunește primele trei capitole ale clasei a VIII-a și verifică dacă elevul poate trece fluent de la un enunț la un interval de soluții — o competență centrală la Evaluarea Națională. Sprijinul cel mai util nu este să rezolvați voi, ci să cereți elevului să explice cu voce tare fiecare pas.

Întrebări bune de verificare: „De ce ai pus aici paranteză rotundă și dincolo pătrată?"; „Ce s-a întâmplat cu semnul când ai împărțit la un număr negativ și de ce?"; „Cum verifici, cu o valoare de probă, că soluția e corectă?"; „Poți desena pe axă intersecția și reuniunea acestor două intervale?". Dacă elevul poate răspunde coerent la acestea, a înțeles esența.

Semne că materialul e stăpânit: nu mai uită schimbarea semnului la negativ, scrie automat soluția ca interval, distinge corect capătul inclus de cel exclus și recunoaște când o intersecție este vidă. La Evaluarea Națională, aceste noțiuni apar frecvent în Subiectul I (itemi scurți: clasificarea numerelor, calcul cu radicali, operații cu intervale) și în Subiectul al II-lea ca pas dintr-o problemă mai amplă (o inecuație care dă condiția asupra unei necunoscute). Redactarea îngrijită — cu justificarea fiecărei transformări și cu concluzia scrisă ca interval — aduce punctajul complet.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un radical este număr rațional sau irațional? Verifică dacă numărul de sub radical este pătrat perfect. Dacă da (ca la $\sqrt{16}=4$ sau $\sqrt{81}=9$), radicalul este rațional. Dacă nu (ca la $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{20}$), este irațional.

Când se schimbă semnul la o inecuație? Doar când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ. La adunare, scădere sau la înmulțire/împărțire cu un număr pozitiv, semnul inegalității rămâne neschimbat. Aceasta este cea mai frecventă greșeală la Evaluarea Națională.

Cum scriu soluția unei inecuații ca interval? După ce ajungi la o formă de tipul $x\ge a$, $x>a$, $x\le a$ sau $x<a$, transcrii direct: $x\ge a$ dă $[a,+\infty )$, $x>a$ dă $(a,+\infty )$, $x\le a$ dă $(-\infty ,a]$, iar $x<a$ dă $(-\infty ,a)$. Paranteza pătrată apare la semnele cu egal.

Care e diferența dintre reuniune și intersecție de intervale? Intersecția ($\cap$) reține doar numerele aflate în ambele intervale (partea comună), iar reuniunea ($\cup$) reține numerele aflate în cel puțin unul dintre ele. Cel mai sigur le determini desenând ambele intervale pe aceeași axă.

Poate fi intersecția a două intervale mulțimea vidă? Da. Dacă intervalele nu au niciun număr comun, intersecția este $\varnothing$. Atenție la cazul în care se „ating" într-un capăt exclus, ca la $[-1,3)\cap [3,6]$: punctul $3$ nu aparține primului interval, deci intersecția este vidă.

Cum calculez modulul unei diferențe cu radical, de exemplu $|\sqrt{5}-3|$? Compară întâi cele două numere. Cum $\sqrt{5}\approx 2,24$ este mai mic decât $3$, diferența $\sqrt{5}-3$ este negativă, iar modulul o face pozitivă: $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$. Regula generală: din numărul mai mare scazi numărul mai mic.

Ce înseamnă „cel puțin" și „cel mult" într-o problemă? „Cel puțin" (sau „minim", „nu mai puțin de") se traduce prin $\ge$, iar „cel mult" (sau „maxim", „nu depășește") prin $\le$. Aceste cuvinte-cheie îți spun ce semn de inegalitate să folosești când transformi enunțul într-o inecuație.

De ce lângă infinit se pune întotdeauna paranteză rotundă? Pentru că $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale, ci doar simboluri care arată că intervalul continuă nemărginit. Neputând fi „atinse", ele nu se includ niciodată, deci se scriu mereu cu paranteză rotundă: $(-\infty ,b]$, $[a,+\infty )$.