Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ

În clasa a IX-a ai învățat un algoritm care funcționa aproape întotdeauna: calculezi $\Delta =b^2-4ac$, te uiți la semnul lui și decizi. Dacă $\Delta >0$, două rădăcini reale distincte. Dacă $\Delta =0$, o rădăcină dublă. Iar dacă $\Delta <0$... scriai „ecuația nu are soluții reale" și treceai mai departe. Acea propoziție era corectă, dar incompletă — ca și cum ai spune despre o ușă încuiată că „nu se poate deschide", când de fapt îți lipsea doar cheia.

Cheia se numește $i$ și ai primit-o în lecțiile precedente ale acestui capitol. De îndată ce accepți un număr cu $i^2=-1$, ecuația $x^2+1=0$ are soluții, iar cazul $\Delta <0$ încetează să mai fie un capăt de drum. În lecția aceasta reluăm formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea, de data aceasta în mulțimea $\mathbb{C}$, și vom descoperi ceva cu adevărat frumos: orice ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are exact două rădăcini în $\mathbb{C}$ — nici una mai mult, nici una mai puțin. Este primul semn al unui rezultat uriaș, teorema fundamentală a algebrei, pe care îl vei întâlni la capitolul de polinoame.

Ce vei învăța

• Vei ști să rescrii formula rădăcinilor pentru cazul $\Delta <0$, cu $i\sqrt{-\Delta }$ în locul radicalului imposibil.
• Vei ști să demonstrezi formula prin metoda formei canonice (completarea pătratului), la fel ca în clasa a IX-a, dar în $\mathbb{C}$.
• Vei ști să arăți că, pentru coeficienți reali, cele două rădăcini sunt conjugate una alteia.
• Vei ști să descompui în factori orice trinom de gradul al doilea, chiar și pe cele „ireductibile" peste $\mathbb{R}$.
• Vei ști să rezolvi în $\mathbb{C}$ ecuații bipătrate și ecuații reductibile la gradul al doilea.
• Vei ști să verifici o rădăcină prin înlocuire directă, separând partea reală de partea imaginară.

Hai să descoperim împreună

1. De unde plecăm: ecuația care nu avea soluții

Cea mai simplă ecuație „fără soluții" din clasa a IX-a era

$$x^2+1=0.$$

Peste $\mathbb{R}$ era într-adevăr fără soluții: un pătrat de număr real este mereu $\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$. Dar în $\mathbb{C}$ avem numărul $i$, cu $i^2=-1$, și atunci

$$i^2+1=-1+1=0,(-i{)}^2+1=(-1{)}^2{i}^2+1=-1+1=0.$$

Deci $z_1=i$ și $z_2=-i$ sunt rădăcini. Sunt singurele? Da: din $z^2+1=0$ obținem $(z-i)(z+i)=0$, pentru că $(z-i)(z+i)=z^2-i^2=z^2+1$. Într-un produs nul, cel puțin un factor este nul, deci $z=i$ sau $z=-i$. Ai regăsit o proprietate esențială: în $\mathbb{C}$ un produs este nul doar dacă un factor este nul, exact ca în $\mathbb{R}$. Fără ea, nimic din ce urmează nu ar funcționa.

Din același raționament obținem o formulă pe care o vei folosi la fiecare pas: pentru orice număr real $p>0$,

$$z^2=-p⟺z^2+p=0⟺\left(z-i\sqrt{p}\right)\left(z+i\sqrt{p}\right)=0⟺z=\pm i\sqrt{p}.$$

Verificarea e imediată: ${\left(i\sqrt{p}\right)}^2=i^2\cdot p=-p$. Reține scrierea: rădăcina pătrată se aplică numărului pozitiv $p$, iar $i$ stă în afara radicalului. Notația $\sqrt{-p}$ nu se folosește, tocmai pentru a nu deschide ușa unor „calcule" false, despre care vorbim în secțiunea 7.

2. Forma canonică, refăcută în $\mathbb{C}$

Fie ecuația $a{z}^2+bz+c=0$, cu $a,b,c\in \mathbb{R}$ și $a\ne 0$. Repetăm exact drumul din clasa a IX-a de la deducerea formulelor de rezolvare, fiindcă toate transformările algebrice folosite acolo (adunare, înmulțire, factorizare) rămân valabile în $\mathbb{C}$.

Dăm factor comun $a$ și completăm pătratul:

$$a{z}^2+bz+c=a\left(z^2+\frac{b}{a}z\right)+c=a\left[{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.$$

Cu notația $\Delta =b^2-4ac$, ecuația devine

$$a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a}⟺{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}.$$

Până aici nimic nou. Noutatea apare acum: nu ne mai oprim când $\Delta <0$. Numitorul $4a^2$ este pozitiv, deci membrul drept este un număr real negativ, iar din secțiunea 1 știm să extragem rădăcina:

$$z+\frac{b}{2a}=\pm i\frac{\sqrt{-\Delta }}{2|a|}.$$

Cum semnul $\pm$ acoperă oricum ambele variante, putem scrie $2a$ în loc de $2|a|$ și obținem formula finală.

3. Formula rădăcinilor când $\Delta <0$

Teoremă. Fie $a{z}^2+bz+c=0$ cu $a,b,c\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$ și $\Delta =b^2-4ac<0$. Ecuația are în $\mathbb{C}$ exact două rădăcini, nereale și distincte:

$$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}.$$

Observă că sub radical stă $-\Delta$, care este pozitiv tocmai pentru că $\Delta$ este negativ. Aceasta e singura modificare față de formula din clasa a IX-a: radicalul din $\Delta$ devine $i$ înmulțit cu radicalul din $-\Delta$.

Rădăcinile sunt nereale pentru că partea lor imaginară, $\frac{\pm \sqrt{-\Delta }}{2a}$, este nenulă ($\Delta \ne 0$). Și sunt distincte din același motiv: părțile lor imaginare sunt numere opuse și nenule.

Exemplu. Pentru $z^2-2z+5=0$ avem $\Delta =4-20=-16<0$, deci $-\Delta =16$ și $\sqrt{16}=4$:

$$z_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.$$

Verificăm $z_1=1+2i$ prin înlocuire, separând partea reală de cea imaginară:

$$(1+2i{)}^2-2(1+2i)+5=(1+4i+4i^2)-2-4i+5=(-3+4i)-2-4i+5=0.$$

Partea reală: $-3-2+5=0$. Partea imaginară: $4-4=0$. Amândouă nule, deci egalitatea cu $0$ este adevărată — reamintim că, potrivit definiției egalității a două numere complexe, un număr complex este nul exact când ambele sale părți sunt nule.

4. Rădăcinile sunt conjugate: teoremă și demonstrație

Ai observat, probabil, tiparul: $1+2i$ și $1-2i$. Nu e o coincidență.

Teoremă. Dacă $a,b,c\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$, iar $z_0\in \mathbb{C}$ este rădăcină a ecuației $a{z}^2+bz+c=0$, atunci și $\overline{z_0}$ este rădăcină a aceleiași ecuații.

Demonstrație. Pornim de la $a{z}_0^2+b{z}_0+c=0$ și aplicăm conjugarea ambilor membri. Folosim trei proprietăți demonstrate la conjugatul unui număr complex: conjugatul unei sume este suma conjugatelor, conjugatul unui produs este produsul conjugatelor, iar un număr real este propriul său conjugat ($\bar{r}=r$ pentru $r\in \mathbb{R}$).

$$\overline{a{z}_0^2+b{z}_0+c}=\bar{0}⟹\overline{a}\cdot {\overline{z_0}}^2+\overline{b}\cdot \overline{z_0}+\overline{c}=0⟹a{\overline{z_0}}^2+b\overline{z_0}+c=0,$$

unde la ultimul pas am folosit $\bar{a}=a$, $\bar{b}=b$, $\bar{c}=c$, tocmai pentru că sunt reale. Ultima egalitate spune exact că $\overline{z_0}$ verifică ecuația. $■$

Reține unde s-a folosit ipoteza: la $\bar{a}=a$, $\bar{b}=b$, $\bar{c}=c$. Dacă vreun coeficient ar fi nereal, raționamentul se rupe — și, într-adevăr, la lecția următoare, ecuația cu coeficienți complecși, vom vedea ecuații ale căror rădăcini nu sunt deloc conjugate.

Consecință practică: dacă ai aflat o rădăcină nereală a unei ecuații cu coeficienți reali, a doua se scrie fără niciun calcul — este conjugata ei.

5. Suma și produsul rădăcinilor

Din formulă se citesc imediat două cantități cunoscute din clasa a IX-a, de la relațiile lui Viète:

$$z_1+z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a},z_1{z}_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$$

La produs am folosit ${\left(i\sqrt{-\Delta }\right)}^2=\Delta$ și formula $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. Deci exact aceleași formule ca peste $\mathbb{R}$. Le folosim aici doar ca instrument de verificare rapidă; studiul lor complet, inclusiv pentru coeficienți complecși, este subiectul lecției Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe.

Un amănunt frumos: când coeficienții sunt reali și $\Delta <0$, rădăcinile fiind conjugate, $z_1=\alpha +\beta i$ și $z_2=\alpha -\beta i$, obținem $z_1+z_2=2\alpha$ (real) și $z_1{z}_2={\alpha }^2+{\beta }^2=|z_1{|}^2$ (real și strict pozitiv) — vezi modulul unui număr complex.

6. Descompunerea în factori

Peste $\mathbb{R}$, trinomul $z^2-2z+5$ se numea ireductibil: nu se putea scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali. Peste $\mathbb{C}$ această piedică dispare.

Propoziție. Dacă $z_1,z_2$ sunt rădăcinile ecuației $a{z}^2+bz+c=0$, atunci

$$a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$$

pentru orice $z\in \mathbb{C}$.

Verificarea este un calcul direct: $a(z-z_1)(z-z_2)=a\left[z^2-(z_1+z_2)z+z_1{z}_2\right]=a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right)=a{z}^2+bz+c$, unde am înlocuit suma și produsul cu valorile din secțiunea 5.

Exemplu. $z^2-2z+5=(z-1-2i)(z-1+2i)$. Desfacem, ca să ne convingem: privim produsul ca $[(z-1)-2i][(z-1)+2i]=(z-1{)}^2-(2i{)}^2=z^2-2z+1+4=z^2-2z+5$. ✓

Caz particular util, pe care merită să-l reții: pentru $\alpha ,\beta$ reale,

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i).$$

Suma a două pătrate, care peste $\mathbb{R}$ nu se descompunea niciodată, devine peste $\mathbb{C}$ un produs. De exemplu ${\alpha }^2+9=(\alpha +3i)(\alpha -3i)$.

7. Ecuații reductibile la gradul al doilea. O capcană de evitat

Multe ecuații de grad superior se rezolvă notând o expresie cu $t$ și obținând o ecuație de gradul al doilea. Diferența față de clasa a IX-a: acum nicio soluție nu se pierde, pentru că nu mai respingem valorile negative ale lui $t$.

Exemplu (ecuație bipătrată). $z^4+3z^2-4=0$. Notăm $t=z^2$ și obținem $t^2+3t-4=0$, cu $\Delta =9+16=25$, deci $t_1=1$, $t_2=-4$. Revenim: $z^2=1\Rightarrow z=\pm 1$, iar $z^2=-4\Rightarrow z=\pm 2i$. Ecuația are patru rădăcini: $1,-1,2i,-2i$. În clasa a IX-a scriai doar $\pm 1$ și spuneai că $t_2=-4$ „nu convine". Acum convine perfect.

Capcana. Nu extinde regula $\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy}$ la numere negative. Un raționament de tipul

$$-1=i^2=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}\stackrel{?}{=}\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$$

este fals: proprietatea radicalului, demonstrată la radicali, cere ca ambele numere de sub radical să fie nenegative. De aceea scriem mereu $i\sqrt{p}$ cu $p>0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația cea mai simplă

Rezolvați în $\mathbb{C}$: $z^2+9=0$.

Rezolvare. Ecuația se scrie $z^2=-9$, deci $z=\pm i\sqrt{9}=\pm 3i$.

Verificare: $(3i{)}^2+9=-9+9=0$ ✓, iar $(-3i{)}^2+9=0$ ✓.

Alternativ, prin descompunere: $(z-3i)(z+3i)=0$. Soluția: $S=\{3i,-3i\}$.

Exemplul 2 — Formula completă

Rezolvați în $\mathbb{C}$: $z^2-6z+13=0$.

Rezolvare. Calculăm $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 13=36-52=-16<0$. Deci $-\Delta =16$ și $\sqrt{-\Delta }=4$:

$$z_{1,2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i.$$

Verificare pentru $z_1=3+2i$: $(3+2i{)}^2=9+12i+4i^2=5+12i$. Atunci

$$(5+12i)-6(3+2i)+13=5+12i-18-12i+13=(5-18+13)+(12-12)i=0.✓$$

Rădăcina $z_2=3-2i$ este conjugata lui $z_1$, deci verifică automat ecuația (teorema din secțiunea 4). Verificare rapidă prin Viète: $z_1+z_2=6=-\frac{-6}{1}$ ✓ și $z_1{z}_2=9+4=13=\frac{13}{1}$ ✓.

Exemplul 3 — Coeficient dominant diferit de 1

Rezolvați în $\mathbb{C}$: $2z^2+2z+5=0$.

Rezolvare. $\Delta =2^2-4\cdot 2\cdot 5=4-40=-36$, deci $\sqrt{-\Delta }=6$ și

$$z_{1,2}=\frac{-2\pm 6i}{4}=\frac{-1\pm 3i}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}i.$$

Verificare pentru $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$: mai întâi $z_1^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}i+\frac{9}{4}{i}^2=-2-\frac{3}{2}i$. Apoi

$$2\left(-2-\frac{3}{2}i\right)+2\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\right)+5=-4-3i-1+3i+5=0.✓$$

Atenție la simplificare: se împarte întreaga fracție la $2$, deci și partea reală, și cea imaginară.

Exemplul 4 — Descompunerea în factori

Descompuneți în factori de gradul întâi peste $\mathbb{C}$ trinomul $z^2+2z+10$.

Rezolvare. $\Delta =4-40=-36$, deci $z_{1,2}=\frac{-2\pm 6i}{2}=-1\pm 3i$. Aplicăm propoziția din secțiunea 6, cu $a=1$:

$$z^2+2z+10=(z-(-1+3i))(z-(-1-3i))=(z+1-3i)(z+1+3i).$$

Verificare: grupăm $[(z+1)-3i][(z+1)+3i]=(z+1{)}^2-9i^2=z^2+2z+1+9=z^2+2z+10$ ✓.

Exemplul 5 — Ecuație bipătrată

Rezolvați în $\mathbb{C}$: $z^4+5z^2+4=0$.

Rezolvare. Notăm $t=z^2$; ecuația devine $t^2+5t+4=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $t_1=-1$ și $t_2=-4$.

• $z^2=-1\Rightarrow z=\pm i$;
• $z^2=-4\Rightarrow z=\pm 2i$.

Mulțimea soluțiilor: $S=\{i,-i,2i,-2i\}$ — patru rădăcini, toate imaginare pure.

Verificare pentru $z=2i$: $z^2=-4$, $z^4=(z^2{)}^2=16$, deci $16+5(-4)+4=16-20+4=0$ ✓.

Observă coerența cu teorema din secțiunea 4: rădăcinile apar în perechi conjugate, $i$ cu $-i$ și $2i$ cu $-2i$, fiindcă toți coeficienții ecuației sunt reali.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $z^2-4z+29=0$, cu $z\in \mathbb{C}$. a) Rezolvați ecuația. b) Arătați că $|z_1|=|z_2|$ și calculați această valoare comună. c) Calculați $z_1^2+z_2^2$.

Rezolvare. a) $\Delta =16-116=-100$, deci $\sqrt{-\Delta }=10$ și

$$z_{1,2}=\frac{4\pm 10i}{2}=2\pm 5i.$$

Verificare pentru $z_1=2+5i$: $(2+5i{)}^2=4+20i-25=-21+20i$, iar $-21+20i-8-20i+29=0$ ✓.

b) Rădăcinile fiind conjugate, au același modul: $|z_1|=|2+5i|=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ și la fel $|z_2|=\sqrt{29}$. Control: $z_1{z}_2=|z_1{|}^2=29$, exact termenul liber.

c) Folosim identitatea $z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2$, cu $z_1+z_2=4$ și $z_1{z}_2=29$:

$$z_1^2+z_2^2=16-58=-42.$$

Control direct: $z_1^2=-21+20i$, $z_2^2=-21-20i$, sumă $-42$ ✓. Rezultatul este real și negativ — perfect posibil pentru o sumă de pătrate în $\mathbb{C}$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. La fiecare ecuație scrie explicit $\Delta$, apoi $-\Delta$, apoi formula. Verifică cel puțin o rădăcină prin înlocuire, separând partea reală de partea imaginară.

1. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2+16=0$.

2. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2+7=0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2-2z+10=0$.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2+6z+25=0$.

5. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2-8z+25=0$.

6. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^2+2z+5=0$, apoi verifică ambele rădăcini prin înlocuire.

7. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $2z^2-4z+10=0$. (Sugestie: simplifică întâi prin $2$.)

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $3z^2+2z+1=0$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali și $\Delta <0$ are exact două rădăcini în $\mathbb{C}$, ambele nereale."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $2+3i$ este rădăcină a ecuației $z^2+bz+c=0$ cu $b,c\in \mathbb{R}$, atunci și $2-3i$ este rădăcină."

11. Determină numerele reale $b$ și $c$ știind că $1+2i$ este rădăcină a ecuației $z^2+bz+c=0$.

12. Descompune în factori de gradul întâi peste $\mathbb{C}$: $z^2+4z+8$.

13. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^4-16=0$.

14. Rezolvă în $\mathbb{C}$: $z^4+13z^2+36=0$.

15. (Problemă aplicată.) Într-un circuit electric, comportarea în timp a curentului este dată de rădăcinile ecuației caracteristice $r^2+2r+5=0$. Rezolvă ecuația și precizează partea reală și partea imaginară a rădăcinilor. (În fizică, partea reală descrie amortizarea, iar partea imaginară — frecvența oscilației.)

16. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-2z+17=0$. Calculează $z_1+z_2$, $z_1{z}_2$ și $z_1^2+z_2^2$, fără a rezolva ecuația.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^2-6z+34=0$, cu $z\in \mathbb{C}$. a) Rezolvați ecuația. b) Arătați că $z_1{z}_2=|z_1{|}^2$. c) Calculați $(z_1-z_2{)}^2$.

18. (Provocare.) Folosind identitatea $z^4+4=(z^2+2{)}^2-4z^2$, descompune $z^4+4$ în doi factori de gradul al doilea cu coeficienți reali, apoi rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4+4=0$.

Răspunsuri și explicații

1. $z^2=-16\Rightarrow z=\pm i\sqrt{16}=\pm 4i$. Verificare: $(4i{)}^2+16=-16+16=0$ ✓. $S=\{4i,-4i\}$.

2. $z^2=-7\Rightarrow z=\pm i\sqrt{7}$. Verificare: ${\left(i\sqrt{7}\right)}^2=i^2\cdot 7=-7$, deci $-7+7=0$ ✓. Aici $7$ nu este pătrat perfect, dar procedeul e identic; $i$ rămâne în afara radicalului.

3. $\Delta =4-40=-36$, $\sqrt{-\Delta }=6$, deci $z_{1,2}=\frac{2\pm 6i}{2}=1\pm 3i$. Verificare pentru $1+3i$: $(1+3i{)}^2=1+6i-9=-8+6i$, iar $-8+6i-2-6i+10=0$ ✓.

4. $\Delta =36-100=-64$, $\sqrt{-\Delta }=8$, deci $z_{1,2}=\frac{-6\pm 8i}{2}=-3\pm 4i$. Control prin Viète: suma $-6$ ✓, produsul $9+16=25$ ✓.

5. $\Delta =64-100=-36$, deci $z_{1,2}=\frac{8\pm 6i}{2}=4\pm 3i$. Modulul comun: $\sqrt{16+9}=5$, iar $z_1{z}_2=25$ ✓.

6. $\Delta =4-20=-16$, deci $z_{1,2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$. Verificare pentru $-1+2i$: $(-1+2i{)}^2=1-4i-4=-3-4i$; apoi $-3-4i+2(-1+2i)+5=-3-4i-2+4i+5=0$ ✓. Pentru $-1-2i$ analog (sau invocând teorema conjugatelor).

7. Simplificând prin $2$: $z^2-2z+5=0$, $\Delta =-16$, deci $z_{1,2}=1\pm 2i$. Direct pe ecuația inițială: $\Delta =16-80=-64$ și $z_{1,2}=\frac{4\pm 8i}{4}=1\pm 2i$ — același rezultat.

8. $\Delta =4-12=-8$, deci $\sqrt{-\Delta }=2\sqrt{2}$ și $z_{1,2}=\frac{-2\pm 2i\sqrt{2}}{6}=\frac{-1\pm i\sqrt{2}}{3}$. Control prin Viète: suma $=-\frac{2}{3}$ ✓; produsul $=\frac{1+2}{9}=\frac{1}{3}$ ✓.

9. Adevărat. Formula $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ dă două numere cu părțile imaginare $\pm \frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}$, nenule pentru că $\Delta \ne 0$. Deci ambele sunt nereale și sunt distincte.

10. Adevărat. Este exact teorema din secțiunea 4: coeficienții fiind reali, conjugarea ecuației arată că $\overline{2+3i}=2-3i$ este și ea rădăcină. (Ecuația este $z^2-4z+13=0$.)

11. Cum $b,c$ sunt reale, a doua rădăcină este $1-2i$. Atunci $z_1+z_2=2=-b$, deci $b=-2$, iar $z_1{z}_2=1+4=5=c$. Ecuația este $z^2-2z+5=0$, iar $\Delta =-16<0$ ✓.

12. $\Delta =16-32=-16$, deci rădăcinile sunt $\frac{-4\pm 4i}{2}=-2\pm 2i$ și $z^2+4z+8=(z+2-2i)(z+2+2i)$. Verificare: $(z+2{)}^2-(2i{)}^2=z^2+4z+4+4$ ✓.

13. $z^4=16$; cu $t=z^2$ obținem $t^2=16$, deci $t=4$ sau $t=-4$. De aici $z=\pm 2$ și $z=\pm 2i$. Patru rădăcini: $2,-2,2i,-2i$. Verificare pentru $2i$: $(2i{)}^4=16i^4=16$ ✓.

14. Cu $t=z^2$: $t^2+13t+36=0$, $\Delta =169-144=25$, deci $t_1=-4$, $t_2=-9$. Rezultă $z=\pm 2i$ și $z=\pm 3i$. Verificare pentru $3i$: $z^2=-9$, $z^4=81$, iar $81-117+36=0$ ✓.

15. $\Delta =4-20=-16$, deci $r_{1,2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$. Partea reală este $-1$, iar părțile imaginare sunt $2$ și $-2$. Partea reală negativă înseamnă amortizare, iar partea imaginară nenulă înseamnă regim oscilant.

16. Fără a rezolva: $z_1+z_2=-\frac{-2}{1}=2$ și $z_1{z}_2=\frac{17}{1}=17$. Atunci $z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=4-34=-30$. (Control: rădăcinile sunt $1\pm 4i$, cu $z_1^2=-15+8i$ și $z_2^2=-15-8i$, sumă $-30$ ✓.)

17. a) $\Delta =36-136=-100$, deci $z_{1,2}=\frac{6\pm 10i}{2}=3\pm 5i$. b) $z_1{z}_2=(3+5i)(3-5i)=9+25=34$, iar $|z_1{|}^2=3^2+5^2=34$; egalitatea are loc pentru că rădăcinile sunt conjugate, iar $z\bar{z}=|z{|}^2$. c) $(z_1-z_2{)}^2=(10i{)}^2=-100$; alternativ, $(z_1-z_2{)}^2=(z_1+z_2{)}^2-4z_1{z}_2=36-136=-100=\Delta$ — o observație de reținut: $(z_1-z_2{)}^2$ este chiar discriminantul, când $a=1$.

18. $z^4+4=(z^2+2{)}^2-(2z{)}^2=(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)$. Ambii factori au $\Delta =4-8=-4$, deci rădăcinile sunt $1\pm i$, respectiv $-1\pm i$. Verificare pentru $1+i$: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ și $-4+4=0$ ✓. Cele patru puncte formează, în planul complex, vârfurile unui pătrat centrat în origine.

De reținut

• Când $a,b,c\in \mathbb{R}$ și $\Delta =b^2-4ac<0$, ecuația $a{z}^2+bz+c=0$ are în $\mathbb{C}$ exact două rădăcini nereale: $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$. Sub radical stă $-\Delta$, care este pozitiv.
• Pentru coeficienți reali, cele două rădăcini sunt conjugate: dacă $z_0$ este rădăcină, atunci și $\overline{z_0}$ este. Demonstrația se sprijină pe faptul că un număr real este propriul său conjugat.
• Suma și produsul rămân $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ și $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$; la coeficienți reali cu $\Delta <0$, produsul este $|z_1{|}^2>0$.
• Orice trinom se descompune peste $\mathbb{C}$: $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$. În particular, ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)$.
• La ecuațiile bipătrate nicio valoare a lui $t=z^2$ nu se respinge: și cele negative dau rădăcini, imaginare pure. O ecuație bipătrată are astfel patru rădăcini în $\mathbb{C}$.

Greșeli frecvente

• Se scrie $\sqrt{\Delta }$ cu $\Delta$ negativ. Simbolul radicalului se aplică doar numerelor nenegative. Scrie mereu $i\sqrt{-\Delta }$, cu $-\Delta >0$, și verifică semnul înainte de a extrage radicalul.
• Se folosește $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ pentru numere negative. De aici „demonstrația" absurdă $-1=1$. Proprietatea cere ambii factori nenegativi.
• Se împarte la $2a$ doar o parte din numărător. La $z=\frac{-2\pm 6i}{4}$ rezultatul este $\frac{-1\pm 3i}{2}$, nu $-2\pm \frac{3i}{2}$. Împarte întreaga fracție, adică și partea reală, și cea imaginară.
• Se afirmă că rădăcinile sunt mereu conjugate. Adevărat numai dacă toți coeficienții sunt reali. La ecuațiile cu coeficienți complecși, proprietatea cade — vezi lecția următoare.
• Se respinge soluția negativă la ecuațiile bipătrate. Reflexul din clasa a IX-a („$z^2=-4$ nu convine") duce la pierderea a două rădăcini. În $\mathbb{C}$ orice valoare a lui $t$ dă rădăcini.

Aplică acasă

1. Fabrica de ecuații. Alege un număr complex cu părți întregi, de exemplu $z_0=3-4i$. Calculează $S=z_0+\overline{z_0}$ și $P=z_0\cdot \overline{z_0}$, apoi scrie ecuația $z^2-Sz+P=0$ și verifică prin formulă că rădăcinile ei sunt exact $z_0$ și $\overline{z_0}$. Repetă cu alte trei numere și observă că $P$ iese întotdeauna pozitiv.

2. Parabola care nu atinge axa. Desenează graficul funcției $f(x)=x^2-2x+5$ pentru $x\in [-2,4]$. Parabola nu atinge axa $Ox$; vârful este $V(1,4)$. Compară cu rădăcinile complexe $1\pm 2i$ și observă că abscisa vârfului este chiar partea lor reală.

3. Căutarea în subiecte. Răsfoiește variante de subiecte de Bacalaureat M1 din ultimii ani și notează trei ecuații de gradul al doilea cu $\Delta <0$. Rezolvă-le și verifică fiecare rădăcină prin înlocuire.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide o buclă deschisă în clasa a IX-a: cazul $\Delta <0$, tratat atunci ca „fără soluții", primește acum răspunsul complet. Ea verifică trei lucruri simultan: algoritmul de rezolvare (calculul lui $\Delta$ și aplicarea formulei), disciplina de calcul în $\mathbb{C}$ (ridicarea la pătrat a unui binom cu $i$, separarea părții reale de cea imaginară) și înțelegerea unei demonstrații scurte, cea a conjugării rădăcinilor.

Întrebări bune de control: „De ce scriem $i\sqrt{-\Delta }$ și nu $\sqrt{\Delta }$?"; „Ce ipoteză se folosește în demonstrația că rădăcinile sunt conjugate?" (răspunsul corect trebuie să numească faptul că $a,b,c$ sunt reale); „Câte rădăcini are în $\mathbb{C}$ o ecuație bipătrată?". Semne că elevul a înțeles: verifică singur rădăcinile prin înlocuire, folosește Viète ca instrument de control rapid și nu mai scrie „nu are soluții" fără să precizeze în ce mulțime.

La Bacalaureat M1, subiectul I conține aproape constant un exercițiu de acest tip, combinat cu o cerință despre module sau despre suma pătratelor rădăcinilor. Punctajul se pierde cel mai des la semnul lui $\Delta$ și la simplificarea fracției finale.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă când discriminantul este negativ la o ecuație de gradul al doilea? Ecuația nu are soluții reale, dar are exact două soluții complexe nereale, date de $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$. Cele două soluții sunt conjugate una alteia atunci când coeficienții ecuației sunt numere reale.

Cum se scrie corect rădăcina pătrată dintr-un număr negativ? Nu se scrie $\sqrt{-p}$. Se scrie $i\sqrt{p}$, cu $p>0$, adică unitatea imaginară în afara radicalului. Motivul este că proprietățile radicalului sunt demonstrate doar pentru numere nenegative, iar folosirea lor pe numere negative duce la egalități false.

De ce sunt rădăcinile conjugate atunci când coeficienții sunt reali? Pentru că, aplicând conjugarea în egalitatea $a{z}_0^2+b{z}_0+c=0$ și folosind faptul că un număr real este egal cu conjugatul său, obținem $a{\overline{z_0}}^2+b\overline{z_0}+c=0$, adică exact faptul că $\overline{z_0}$ este rădăcină. Dacă un coeficient nu este real, raționamentul nu mai funcționează.

Câte rădăcini are o ecuație bipătrată în mulțimea numerelor complexe? Patru, numărate cu multiplicitate. Substituția $t=z^2$ dă două valori pentru $t$, iar fiecare valoare nenulă a lui $t$ produce două valori pentru $z$. Spre deosebire de rezolvarea în $\mathbb{R}$, nicio valoare negativă a lui $t$ nu se respinge.

Se poate descompune în factori un trinom cu discriminant negativ? Da, cu factori de gradul întâi având coeficienți complecși: $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$. Peste $\mathbb{R}$ un asemenea trinom rămâne ireductibil; peste $\mathbb{C}$, orice trinom se descompune.

Relațiile lui Viète mai funcționează pentru rădăcini complexe? Da, în aceeași formă: $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ și $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$. Sunt cel mai rapid mod de a verifica un rezultat.

Unde apare la Bacalaureat M1 ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ? La proba M1, în subiectul I, ca prim pas al unui exercițiu care continuă cu module, conjugate sau sume de puteri ale rădăcinilor. Redactarea așteptată: calculul lui $\Delta$, formula cu $i\sqrt{-\Delta }$ și o verificare prin relațiile lui Viète.