Se știe că $$p$$ este adevărată și $$q$$ este falsă. Ce valoare are enunțul $$(p \wedge q) \vee \neg p$$?

adevărat, pentru că $$p \wedge q$$ este adevărat

Cum se face un tabel de adevăr?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Tabelul de adevăr

Scrii pe primele coloane toate combinațiile de valori ale propozițiilor simple: la $n$ propoziții ies $2^{n}$ linii, adică $4$ pentru două și $8$ pentru trei. Apoi adaugi câte o coloană pentru fiecare bucată a enunțului, în ordinea de calcul: paranteze, negații, $\land$ și $\lor$ , la urmă $\Rightarrow$ și $\Leftrightarrow$ . Coloana finală arată dacă enunțul este mereu adevărat, mereu fals sau uneori adevărat.

Tabelul de adevăr este mașinăria care rezolvă orice enunț compus: iei toate combinațiile posibile de valori pentru propozițiile simple și calculezi, coloană cu coloană, până ajungi la enunțul întreg.

Numărul de linii se află repede: pentru $n$ propoziții simple sunt $2^{n}$ linii. Două propoziții $\to$ $4$ linii, trei $\to$ $8$ linii, patru $\to$ $16$ linii.

Ordinea de lucru este ca la calculul cu paranteze: întâi ce e în paranteze, apoi negațiile, apoi $\land$ și $\lor$ , la final $\Rightarrow$ și $\Leftrightarrow$ .

Exemplu, pentru $(p \land q) \lor \neg p$ cu $p = 1$ și $q = 0$ : $p \land q = 0$ , $\neg p = 0$ , deci rezultatul este $0 \lor 0 = 0$ .

Un enunț care iese $1$ pe toate liniile se numește tautologie — de exemplu $p \lor \neg p$ («ori plouă, ori nu plouă»). Unul care iese $0$ pe toate liniile se numește contradicție — de exemplu $p \land \neg p$ .

De reținut

$n$ propoziții simple dau $2^{n}$ linii
prioritatea: $\neg$ , apoi $\land$ , apoi $\lor$ , la urmă $\Rightarrow$ și $\Leftrightarrow$
coloana numai cu $1$ înseamnă tautologie, numai cu $0$ înseamnă contradicție

Greșeala tipică

Negația este întinsă peste tot enunțul, deși ea se lipește numai de propoziția de lângă: $\neg p \land q$ nu înseamnă același lucru cu $\neg (p \land q)$ . Când ai dubii, pune paranteze înainte de a completa coloanele.

Exerciții din această mini-lecție

Câte linii are tabelul de adevăr al unui enunț format din $3$ propoziții simple?
- a) $6$
- b) $8$
- c) $9$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

Fiecare propoziție are $2$ valori posibile, iar combinațiile se înmulțesc: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8$ linii. Greșeala tipică este $3 \cdot 2 = 6$ sau $3^{2} = 9$ .
Se știe că $p$ este adevărată și $q$ este falsă. Ce valoare are enunțul $(p \land q) \lor \neg p$ ?
- a) adevărat
- b) fals
- c) adevărat, pentru că $p \land q$ este adevărat
- d) nu se poate calcula
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) fals

Pas cu pas: $p \land q = 1 \land 0 = 0$ ; $\neg p = 0$ (pentru că $p$ este adevărată); în final $0 \lor 0 = 0$ , deci enunțul este fals.
Care dintre următoarele enunțuri este adevărat indiferent de valorile lui $p$ (tautologie)?
- a) $p \land \neg p$
- b) $p \lor \neg p$
- c) $p \Rightarrow \neg p$
- d) $p \Leftrightarrow \neg p$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $p \lor \neg p$

Din $p$ și $\neg p$ , una este mereu adevărată, deci disjuncția lor este mereu $1$ . a) și d) sunt false pe ambele linii, iar c) este falsă când $p$ este adevărată.

Întrebări conexe

Cum scriu combinațiile de valori fără să sar vreuna?

Pe prima coloană pui adevărat pe jumătatea de sus și fals pe cea de jos; pe fiecare coloană următoare alternezi în grupuri de două ori mai mici, până ajungi la o alternare din linie în linie. Așa nicio combinație nu se repetă și niciuna nu lipsește.

Cât de mare devine tabelul la cinci propoziții simple?

Are $2^{5} = 32$ de linii, iar la șase propoziții ajunge la $64$ . Numărul se dublează cu fiecare propoziție adăugată, așa că tabelele mari se scriu greu de mână. De la patru propoziții în sus se preferă raționamentul direct.

Ce înseamnă că un enunț compus este realizabil?

Că pe coloana finală apar și valori adevărate, și valori false. Enunțul nu este nici mereu adevărat, nici mereu fals: el depinde de propozițiile din care e format. Cele mai multe enunțuri întâlnite la ore sunt de acest fel.

Se poate arăta că un enunț e mereu adevărat fără tabel?

Da, presupunând că ar exista o linie pe care iese fals și arătând că se ajunge la o contradicție. Metoda este mai scurtă la enunțuri cu multe propoziții, unde tabelul ar avea zeci de linii. Rezultatul obținut este același.

Cât face «p și q, sau non p», când p e adevărată și q falsă?

Iese fals. Bucata din paranteză cere ambele propoziții adevărate, dar $q$ este falsă, deci dă $0$ ; negația lui $p$ dă tot $0$ , fiindcă $p$ este adevărată. Disjuncția a doi de $0$ rămâne $0$ .

De ce fiecare coloană nouă se calculează din coloane deja scrise?

Pentru că altfel ar trebui ținute prea multe lucruri în minte deodată și apar greșeli. Descompunerea în bucăți mici transformă un enunț complicat într-un șir de pași simpli, fiecare cu o singură operație. Metoda seamănă cu ordinea operațiilor de la calculul cu numere.

Oamenii mai întreabă și: tabel de adevăr · câte linii are un tabel de adevăr · cum completez un tabel de adevăr · tautologie și contradicție · enunț compus în logică