Recapitulare: geometrie plană — triunghi, patrulatere, cerc, asemănare și relații metrice

Geometria plană este partea din geometrie de care „te lovești” în fiecare zi, chiar dacă nu o numești așa: acoperișul unei case este un triunghi, ecranul telefonului un dreptunghi, o roată sau un ceas un cerc, iar o rampă de acces pentru cărucioare este un triunghi dreptunghic ale cărui unghiuri le poți calcula cu trigonometrie. La Evaluarea Națională, geometria plană apare atât „pură” (o figură cu date, ți se cere o lungime, o arie, o măsură de unghi), cât și ascunsă în spatele geometriei în spațiu — pentru că orice secțiune într-un corp geometric, orice față, orice triunghi format de o înălțime este, de fapt, o figură plană. De aceea, dacă stăpânești bine triunghiul, patrulaterele, cercul, asemănarea și relațiile metrice, ai deja jumătate din geometria de la examen rezolvată. În această lecție reunim, ordonat, toate aceste noțiuni și le exersăm în stilul cerut la examen, cu accent pe redactarea care aduce punctaj.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici teorema lui Pitagora și relațiile metrice în triunghiul dreptunghic (teorema înălțimii și teorema catetei).
• Vei ști să calculezi arii de patrulatere (paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez) și aria discului.
• Vei ști să folosești asemănarea triunghiurilor și teorema fundamentală a asemănării pentru a afla lungimi necunoscute.
• Vei ști să lucrezi cu unghiuri, coarde și tangente în cerc și să calculezi lungimea cercului și lungimea unui arc.
• Vei ști să folosești rapoartele trigonometrice ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$) în triunghiul dreptunghic pentru a afla lungimi și unghiuri.

Hai să descoperim împreună

Vom parcurge, pe rând, cele cinci mari teme: triunghiul, patrulaterele, cercul, asemănarea și trigonometria. Le legăm între ele, pentru că la examen aproape niciodată o problemă nu folosește o singură noțiune izolată.

1. Triunghiul: linii importante și congruență

Într-un triunghi $ABC$ recunoaștem patru tipuri de linii importante, fiecare cu proprietatea ei:

• Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Cele trei mediane se intersectează în centrul de greutate $G$, care le împarte în raportul $2:1$ dinspre vârf (adică $AG=\frac{2}{3}$ din mediană).
• Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri egale. Cele trei bisectoare interioare se intersectează în centrul cercului înscris $I$ (cercul tangent la cele trei laturi).
• Înălțimea este perpendiculara din vârf pe latura opusă. Cele trei înălțimi se intersectează în ortocentru $H$.
• Mediatoarea unei laturi este perpendiculara pe mijlocul ei. Cele trei mediatoare se intersectează în centrul cercului circumscris $O$ (cercul care trece prin cele trei vârfuri).

Reține un caz special foarte des întâlnit: într-un triunghi isoscel, mediana, bisectoarea, înălțimea și mediatoarea corespunzătoare bazei coincid (sunt aceeași dreaptă). De aici vin multe simplificări la examen.

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate laturile și unghiurile respectiv egale (se suprapun perfect). Nu verificăm însă toate cele șase elemente; folosim cazurile de congruență:

• LUL (latură–unghi–latură): două laturi și unghiul dintre ele.
• ULU (unghi–latură–unghi): două unghiuri și latura dintre ele.
• LLL (latură–latură–latură): cele trei laturi.
• IU / IC (cazuri pentru triunghiuri dreptunghice): ipotenuză și un unghi ascuțit, respectiv ipotenuză și o catetă.

Din congruență obținem egalități de segmente și de unghiuri — motorul multor demonstrații de la examen.

2. Teorema lui Pitagora și relațiile metrice în triunghiul dreptunghic

Aici este „inima” geometriei de gimnaziu. Într-un triunghi dreptunghic, latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două catete.

Teorema lui Pitagora. În orice triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: $${\text{ipotenuza˘}}^2={\text{cateta˘}}^2+{\text{cateta˘}}^2.$$ Dacă notăm ipotenuza cu $a$ și catetele cu $b$ și $c$, atunci $a^2=b^2+c^2$.

Foarte utile la examen sunt tripletele pitagoreice — numere întregi care verifică relația și pe care e bine să le recunoști din prima: $(3,4,5)$, $(6,8,10)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ și multiplii lor.

Când din vârful unghiului drept coborâm înălțimea pe ipotenuză, apar relațiile metrice. Notăm cu $h$ înălțimea din unghiul drept, cu $m$ și $n$ proiecțiile catetelor pe ipotenuză (deci $m+n=a$):

• Teorema înălțimii: înălțimea la pătrat este egală cu produsul proiecțiilor: $$h^2=m\cdot n.$$
• Teorema catetei: o catetă la pătrat este egală cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză: $$b^2=a\cdot m,c^2=a\cdot n.$$
• Relația ariei (produsul catetelor): produsul catetelor este egal cu produsul ipotenuzei cu înălțimea: $$b\cdot c=a\cdot h.$$

Ultima relație se înțelege ușor: aria triunghiului dreptunghic se poate scrie în două feluri, $\frac{b\cdot c}{2}$ (catetele sunt perpendiculare, deci una e „bază”, cealaltă „înălțime”) sau $\frac{a\cdot h}{2}$. Egalând, obținem $b\cdot c=a\cdot h$.

3. Patrulaterele: proprietăți și arii

Un patrulater are patru laturi; suma unghiurilor lui este mereu $360^{\circ }$. Ne interesează patrulaterele particulare și ariile lor.

• Paralelogramul are laturile opuse paralele și egale, unghiurile opuse egale, iar diagonalele se înjumătățesc. $${\mathcal{A}}_{\text{paralelogram}}=\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}=b\cdot h.$$
• Dreptunghiul este un paralelogram cu toate unghiurile drepte; diagonalele sunt egale. $${\mathcal{A}}_{\text{dreptunghi}}=L\cdot \ell (\text{lungime}\times \text{la˘țime}).$$ Diagonala se află cu Pitagora: $d=\sqrt{L^2+{\ell }^2}$.
• Rombul este un paralelogram cu toate laturile egale; diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc. $${\mathcal{A}}_{\text{romb}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\ell \cdot h.$$
• Pătratul are toate laturile egale și toate unghiurile drepte (este și dreptunghi, și romb). $${\mathcal{A}}_{\text{pa˘trat}}={\ell }^2,d=\ell \sqrt{2}.$$
• Trapezul are (doar) două laturi paralele, numite baze ($B$ = baza mare, $b$ = baza mică). Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele și are lungimea $\frac{B+b}{2}$. $${\mathcal{A}}_{\text{trapez}}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}.$$

Nu uita ariile din triunghi, care se leagă direct de acestea: $${\mathcal{A}}_{△}=\frac{\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}}{2},{\mathcal{A}}_{\text{echilateral}}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}.$$

4. Cercul: unghiuri, coarde, tangente, lungime și arie

Într-un cerc de centru $O$ și rază $R$ reținem:

• Unghiul la centru are vârful în $O$ și „măsoară” arcul pe care îl cuprinde: măsura unghiului la centru = măsura arcului.
• Unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile sunt coarde. Măsura lui este jumătate din arcul cuprins (deci și jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc).
• Consecință foarte folosită: un unghi înscris care „vede” un diametru este drept ($90^{\circ }$). Deci orice triunghi înscris într-un semicerc, cu o latură diametru, este dreptunghic.
• Coarda este un segment cu capetele pe cerc. Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei. Dacă o coardă se află la distanța $d$ de centru, atunci jumătatea coardei, distanța $d$ și raza $R$ formează un triunghi dreptunghic: ${\left(\frac{\text{coarda˘}}{2}\right)}^2+d^2=R^2$.
• Tangenta este o dreaptă care atinge cercul într-un singur punct și este perpendiculară pe rază în punctul de contact. Din exteriorul cercului putem duce două tangente egale la cerc.

Lungimea cercului (circumferința) și aria discului: $$L_{\text{cerc}}=2\pi R=\pi d,{\mathcal{A}}_{\text{disc}}=\pi R^2.$$ Pentru un arc care corespunde unui unghi la centru de $u^{\circ }$, folosim proporția cu întregul cerc ($360^{\circ }$): $${\ell }_{\text{arc}}=\frac{u}{360}\cdot 2\pi R,{\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{u}{360}\cdot \pi R^2.$$

5. Asemănarea triunghiurilor și teorema fundamentală a asemănării

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv egale și laturile omoloage proporționale. Raportul dintre laturile omoloage se numește raport de asemănare, notat $k$.

Teorema fundamentală a asemănării (TFA). O paralelă la o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi (sau prelungirile lor) în segmente proporționale și formează un triunghi asemenea cu cel dat. Concret, dacă în triunghiul $ABC$ ducem $DE\parallel BC$ (cu $D\in AB$, $E\in AC$), atunci: $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\text{și}\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

Două consecințe pe care trebuie neapărat să le știi la examen:

• Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare $k$.
• Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=k^2.$$

Asemănarea este unealta cu care afli lungimi „inaccesibile”: înălțimea unui copac din umbra lui, lățimea unui râu, distanțe pe hartă.

6. Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

În triunghiul dreptunghic, pentru un unghi ascuțit definim rapoartele trigonometrice ca rapoarte de laturi: $$\sin =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}},\cos =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}},\mathrm{tg}=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}},\mathrm{ctg}=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}.$$

Un truc de memorare des folosit: SOH–CAH–TOA (Sin = Opus/Hipotenuză, Cos = Alăturat/Hipotenuză, Tg = Opus/Alăturat).

Valorile pentru unghiurile „prietene” trebuie știute pe de rost:

Reține și relațiile de bază: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și $\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1$. Aceste rapoarte îți permit să afli o latură când cunoști un unghi și altă latură — exact tipul de item de la examen unde apar rampe, scări sprijinite de perete sau pante.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Relații metrice complete în triunghiul dreptunghic

Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt $b=9$ cm și $c=12$ cm. Aflați ipotenuza, înălțimea din unghiul drept și proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Ipotenuza (Pitagora): $a=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

Înălțimea din relația $b\cdot c=a\cdot h$: $$h=\frac{b\cdot c}{a}=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7,2\text{ cm}.$$

Proiecțiile din teorema catetei ($b^2=a\cdot m$, $c^2=a\cdot n$): $$m=\frac{b^2}{a}=\frac{81}{15}=5,4\text{ cm},n=\frac{c^2}{a}=\frac{144}{15}=9,6\text{ cm}.$$

Verificare: $m+n=5,4+9,6=15=a$ ✓, iar $h^2=m\cdot n$: $7,2^2=51,84$ și $5,4\cdot 9,6=51,84$ ✓.

Exemplul 2 — Aria unui romb din latură și o diagonală

Un romb are latura de $13$ cm și una dintre diagonale de $10$ cm. Aflați cealaltă diagonală și aria rombului.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci formează cu latura un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu jumătățile diagonalelor. O jumătate de diagonală este $\frac{10}{2}=5$ cm, iar latura $13$ este ipotenuza: $${\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow \frac{d_2}{2}=12\Rightarrow d_2=24\text{ cm}.$$ Aria: $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{ cm}}^2.$

Exemplul 3 — Trapez isoscel: înălțime și arie

Un trapez isoscel are bazele de $20$ cm și $8$ cm, iar laturile neparalele de $10$ cm. Aflați înălțimea și aria trapezului.

Coborâm înălțimile din vârfurile bazei mici. Ele „taie” din baza mare, la fiecare capăt, un segment egal cu: $$\frac{B-b}{2}=\frac{20-8}{2}=6\text{ cm}.$$ Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $10$ (latura neparalelă) și o catetă $6$: $$h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$ Aria: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(20+8)\cdot 8}{2}=\frac{28\cdot 8}{2}=112{\text{ cm}}^2.$

Exemplul 4 — Coardă și distanță la centru

Într-un cerc de rază $R=10$ cm, o coardă se află la distanța de $6$ cm față de centru. Cât este lungimea coardei?

Perpendiculara din centru pe coardă o înjumătățește. Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $R=10$, o catetă $=6$ (distanța) și cealaltă catetă $=$ jumătatea coardei: $$\frac{\text{coarda˘}}{2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\Rightarrow \text{coarda˘}=16\text{ cm}.$$

Exemplul 5 — Asemănare aplicată: înălțimea unui stâlp din umbră

La aceeași oră, un băț vertical de $1,5$ m aruncă o umbră de $2$ m, iar un stâlp de iluminat aruncă o umbră de $8$ m. Ce înălțime are stâlpul?

Razele Soarelui cad sub același unghi, deci triunghiurile „obiect–umbră” sunt asemenea (au unghiurile respectiv egale). Scriem proporția între laturile omoloage: $$\frac{\text{ıˆna˘lțime staˆlp}}{\text{umbra˘ staˆlp}}=\frac{\text{ıˆna˘lțime ba˘ț}}{\text{umbra˘ ba˘ț}}\Rightarrow \frac{H}{8}=\frac{1,5}{2}.$$ De aici $H=\frac{1,5\cdot 8}{2}=\frac{12}{2}=6$ m. Stâlpul are $6$ m înălțime.

Exemplul 6 — Item tip Evaluare Națională: trigonometrie într-un dreptunghic

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\hat{B})=30^{\circ }$ și ipotenuza $BC=8$ cm. Aflați lungimile catetelor $AC$ și $AB$ și valoarea expresiei $E=4\sin 30^{\circ }+2\cos 60^{\circ }-\mathrm{tg}45^{\circ }$.

Cateta $AC$ este opusă unghiului $B$, deci folosim sinusul: $$AC=BC\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{ cm}.$$ Cateta $AB$ este alăturată unghiului $B$, deci folosim cosinusul: $$AB=BC\cdot \cos 30^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}.$$ Verificare cu Pitagora: $A{C}^2+A{B}^2=4^2+(4\sqrt{3}{)}^2=16+48=64=8^2$ ✓.

Pentru expresie folosim valorile din tabel: $$E=4\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}-1=2+1-1=2.$$

Exemplul 7 — Arc de cerc și sector de disc

Un cerc are raza $R=6$ cm. Un unghi la centru de $120^{\circ }$ cuprinde un arc $AB$. Aflați: (a) lungimea arcului $AB$; (b) aria sectorului de disc determinat; (c) măsura unui unghi înscris care cuprinde același arc $AB$.

Ideea de bază este proporția cu întregul cerc: un unghi la centru de $120^{\circ }$ reprezintă $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ din cercul complet ($360^{\circ }$). Prin urmare, atât arcul, cât și sectorul reprezintă a treia parte din întreg.

(a) Lungimea arcului este a treia parte din lungimea cercului: $${\ell }_{\text{arc}}=\frac{120}{360}\cdot 2\pi R=\frac{1}{3}\cdot 2\pi \cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 12\pi =4\pi \text{ cm}.$$

(b) Aria sectorului este a treia parte din aria discului: $${\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{120}{360}\cdot \pi R^2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{3}\cdot 36\pi =12\pi {\text{ cm}}^2.$$

(c) Unghiul înscris are măsura jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc: $$m(\text{unghi ıˆnscris})=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Exemplul 8 — Asemănare cu paralelă la o latură și raportul ariilor

În triunghiul $ABC$ ducem $DE\parallel BC$, cu $D\in AB$ și $E\in AC$. Se știe că $AD=4$ cm, $AB=10$ cm și $DE=6$ cm. Aflați lungimea laturii $BC$, raportul de asemănare al triunghiurilor $ADE$ și $ABC$, precum și raportul dintre aria triunghiului $ADE$ și aria trapezului $DBCE$.

Deoarece $DE\parallel BC$, triunghiul $ADE$ este asemenea cu triunghiul $ABC$ (au unghiul $A$ comun și, din paralelism, unghiuri respectiv egale). Raportul de asemănare este raportul laturilor omoloage: $$k=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

Latura $BC$ rezultă din proporția $\frac{DE}{BC}=k$: $$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow BC=DE\cdot \frac{5}{2}=6\cdot \frac{5}{2}=15\text{ cm}.$$

Raportul ariilor celor două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{ADE}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2={\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}.$$

Trapezul $DBCE$ este ce „rămâne” din triunghiul $ABC$ după ce scoatem triunghiul $ADE$. Dacă privim aria lui $ABC$ ca $25$ părți egale, atunci $ADE$ ocupă $4$ părți, iar trapezul $DBCE$ ocupă $25-4=21$ părți. Prin urmare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{ADE}}{{\mathcal{A}}_{DBCE}}=\frac{4}{21}.$$

Exemplul 9 — Triunghi înscris într-un semicerc

Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc, iar latura $BC$ este un diametru al cercului, cu $BC=26$ cm. Se știe că $AB=10$ cm. Aflați lungimea laturii $AC$ și aria triunghiului $ABC$.

Cheia problemei este proprietatea unghiului înscris: un unghi înscris care „vede” un diametru este drept. Cum vârful $A$ este pe cerc, iar latura opusă $BC$ este diametru, rezultă că unghiul $\hat{A}$ este de $90^{\circ }$. Așadar triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=26$ cm.

Cateta $AC$ o aflăm cu teorema lui Pitagora: $$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\text{ cm}.$$ (Recunoaștem tripletul $10$–$24$–$26$, adică $(5,12,13)$ înmulțit cu $2$.)

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{ cm}}^2.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă (ipoteză, calcul, concluzie). Figurile ajută — desenează-le.

1. Un triunghi dreptunghic are catetele de $6$ cm și $8$ cm. Află ipotenuza și aria triunghiului.

2. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $13$ cm și o catetă de $5$ cm. Află cealaltă catetă.

3. Un triunghi echilateral are latura de $10$ cm. Află înălțimea și aria lui.

4. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $m=4$ cm și $n=9$ cm. Află înălțimea din unghiul drept și ipotenuza.

5. Un dreptunghi are lungimea de $12$ cm și lățimea de $5$ cm. Află diagonala, perimetrul și aria.

6. Un romb are diagonalele de $12$ cm și $16$ cm. Află latura și aria rombului.

7. Un pătrat are diagonala de $6\sqrt{2}$ cm. Află latura și aria pătratului.

8. Un trapez are bazele de $14$ cm și $8$ cm și înălțimea de $5$ cm. Află linia mijlocie și aria trapezului.

9. Un cerc are raza de $5$ cm. Află lungimea cercului și aria discului (lasă rezultatul în funcție de $\pi$).

10. Un unghi la centru cuprinde un arc de $80^{\circ }$. Cât măsoară un unghi înscris care cuprinde același arc?

11. Dintr-un punct exterior $P$, aflat la $10$ cm de centrul unui cerc de rază $6$ cm, se duce o tangentă la cerc. Cât este lungimea segmentului de tangentă (de la $P$ până la punctul de contact)?

12. În triunghiul $ABC$, $DE\parallel BC$ cu $D\in AB$, $E\in AC$. Se știe că $AD=3$ cm, $DB=6$ cm și $AE=4$ cm. Află $EC$.

13. Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k=\frac{3}{5}$. Aria triunghiului mai mare este $100$ cm². Cât este aria triunghiului mai mic?

14. Un triunghi dreptunghic are catetele de $3$ cm și $4$ cm. Scrie valorile $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$ pentru unghiul opus catetei de $3$ cm.

15. O scară de $5$ m se sprijină de un perete, iar baza ei este la $3$ m de perete. La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării?

16. Adevărat sau fals, cu justificare: „Diagonalele oricărui paralelogram sunt egale.”

17. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un triunghi înscris într-un semicerc, cu o latură diametru, unghiul opus diametrului este drept.”

18. Item tip Evaluare Națională. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Din $A$ se coboară înălțimea $AD$ pe ipotenuza $BC$. Calculează perimetrul și aria triunghiului $ABC$, apoi lungimea înălțimii $AD$ și valoarea lui $\sin (\hat{B})$.

Răspunsuri și explicații

1. $a=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm. Aria $=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm². (Triplet $6$–$8$–$10$.)

2. Catetă $=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. (Triplet $5$–$12$–$13$.)

3. Înălțimea: $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm. Aria $=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}$ cm².

4. Înălțimea (teorema înălțimii): $h=\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm. Ipotenuza $a=m+n=4+9=13$ cm.

5. Diagonala $=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. Perimetrul $=2(12+5)=34$ cm. Aria $=12\cdot 5=60$ cm².

6. Latura: jumătățile diagonalelor sunt $6$ și $8$, deci $\ell =\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm. Aria $=\frac{12\cdot 16}{2}=96$ cm².

7. $\ell =\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6$ cm. Aria $=6^2=36$ cm². (Sau: $d=\ell \sqrt{2}\Rightarrow \ell =6$.)

8. Linia mijlocie $=\frac{B+b}{2}=\frac{14+8}{2}=11$ cm. Aria $=\frac{(14+8)\cdot 5}{2}=\frac{22\cdot 5}{2}=55$ cm².

9. Lungimea cercului $=2\pi R=2\pi \cdot 5=10\pi$ cm. Aria discului $=\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi$ cm².

10. Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului: $\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$.

11. Raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de contact, deci se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $OP=10$ și cateta $=R=6$: tangenta $=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm.

12. Din TFA: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow \frac{3}{6}=\frac{4}{EC}\Rightarrow EC=\frac{6\cdot 4}{3}=8$ cm.

13. Raportul ariilor este $k^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$. Aria mică $=\frac{9}{25}\cdot 100=36$ cm².

14. Ipotenuza $=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Pentru unghiul opus catetei de $3$: opus $=3$, alăturat $=4$, ipotenuză $=5$. Deci $\sin =\frac{3}{5}$, $\cos =\frac{4}{5}$, $\mathrm{tg}=\frac{3}{4}$, $\mathrm{ctg}=\frac{4}{3}$.

15. Înălțimea $=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ m. (Triplet $3$–$4$–$5$.)

16. Fals. Diagonalele se înjumătățesc în orice paralelogram, dar sunt egale doar în dreptunghi (și pătrat). Contraexemplu: la un romb care nu este pătrat sau la un paralelogram oblic diagonalele au lungimi diferite.

17. Adevărat. Latura-diametru este subîntinsă de un unghi înscris, care este jumătate din arcul de $180^{\circ }$ (semicercul), adică $90^{\circ }$. Deci triunghiul este dreptunghic.

18. Ipotenuza $BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. Perimetrul $=9+12+15=36$ cm. Aria $=\frac{9\cdot 12}{2}=54$ cm². Înălțimea din relația $AB\cdot AC=BC\cdot AD$: $AD=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7,2$ cm. Unghiul $B$ are cateta opusă $AC=12$ și ipotenuza $BC=15$, deci $\sin (\hat{B})=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$.

De reținut

• Teorema lui Pitagora: $a^2=b^2+c^2$ (ipotenuza la pătrat = suma pătratelor catetelor). Recunoaște tripletele $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$ și multiplii lor.
• Relații metrice: înălțime $h^2=m\cdot n$; catetă $b^2=a\cdot m$; produsul catetelor $b\cdot c=a\cdot h$.
• Arii: paralelogram $b\cdot h$; dreptunghi $L\cdot \ell$; romb $\frac{d_1{d}_2}{2}$; pătrat ${\ell }^2$; trapez $\frac{(B+b)h}{2}$; disc $\pi R^2$; cerc $2\pi R$.
• Asemănare: raportul perimetrelor $=k$, raportul ariilor $=k^2$; TFA dă proporționalitatea segmentelor tăiate de o paralelă la o latură.
• Trigonometrie: $\sin =\frac{\text{opus}}{\text{ip}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turat}}{\text{ip}}$, $\mathrm{tg}=\frac{\text{opus}}{\text{ala˘turat}}$; memorează valorile pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Confuzia ipotenuză ↔ catetă la Pitagora. Ipotenuza (latura opusă unghiului drept) este mereu cea mai lungă. Scrii corect $a^2=b^2+c^2$ doar dacă $a$ este ipotenuza. Când cauți o catetă, scazi: $b=\sqrt{a^2-c^2}$.
• Aria rombului cu latura în loc de diagonale. Formula $\frac{d_1{d}_2}{2}$ folosește diagonalele, nu laturile. Dacă înmulțești laturile, greșești. Alternativa corectă este $\ell \cdot h$ (latură × înălțime).
• Raportul ariilor luat egal cu $k$ în loc de $k^2$. La triunghiuri asemenea, perimetrele se raportează cu $k$, dar ariile cu $k^2$. Dacă triunghiul e de $3$ ori mai mare liniar, aria e de $9$ ori mai mare.
• Opus/alăturat inversate la rapoartele trigonometrice. Stabilește întâi față de care unghi lucrezi, apoi identifică cateta opusă (peste drum de unghi) și cea alăturată (care formează unghiul, fără să fie ipotenuza). O figură clar notată elimină greșeala.
• Unghiul la centru confundat cu unghiul înscris. Unghiul la centru are măsura egală cu arcul, dar unghiul înscris are măsura jumătate din arc. Dacă amândouă cuprind același arc, unghiul înscris este jumătate din cel la centru — nu invers și nu egale.
• Arcul și sectorul socotite din $180^{\circ }$ în loc de $360^{\circ }$. Proporția pentru arc și pentru sector se face mereu față de cercul întreg, adică $360^{\circ }$: ${\ell }_{\text{arc}}=\frac{u}{360}\cdot 2\pi R$ și ${\mathcal{A}}_{\text{sector}}=\frac{u}{360}\cdot \pi R^2$. Împărțirea la $180$ dublează greșit rezultatul.

Aplică acasă

1. Măsoară o cameră și verifică un colț. Alege un colț al camerei sau al mesei și măsoară pe cele două laturi câte $3$ dm și $4$ dm; distanța dintre capete ar trebui să fie exact $5$ dm dacă unghiul e drept. Este „truc-ul zidarului” bazat pe tripletul pitagoreic — testează cu el dacă un colț e cu adevărat drept.

2. Estimează înălțimea unui copac sau a unui stâlp. Într-o zi însorită, măsoară umbra unui obiect vertical cunoscut (un băț ținut vertical) și umbra copacului. Folosind asemănarea (Exemplul 5), calculează înălțimea copacului. Compară două măsurători la ore diferite — ar trebui să obții aproximativ același rezultat.

3. Calculează aria unei încăperi neregulate. Ia o cameră în formă de „L” sau o curte cu formă de trapez și descompune-o în dreptunghiuri și triunghiuri. Măsoară laturile, calculează ariile parțiale și adună-le — exact tipul de raționament „modelare printr-o configurație geometrică” cerut la examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție reunește toată geometria plană de gimnaziu, indispensabilă atât la subiectele de geometrie „pură”, cât și la geometria în spațiu de la Evaluarea Națională (unde orice secțiune, față sau înălțime devine o figură plană de rezolvat cu Pitagora, arii sau trigonometrie). Sprijiniți elevul cerându-i să deseneze figura și să noteze datele pe ea înainte de orice calcul — la examen, o figură corectă valorează adesea primul punct.

Întrebări bune de verificare: „Care latură e ipotenuza și de unde știi?”, „Cum decizi ce raport trigonometric folosești: sin, cos sau tg?”, „Care e diferența dintre raportul perimetrelor și raportul ariilor la triunghiuri asemenea?”, „Cum arăți că un triunghi înscris într-un semicerc e dreptunghic?”. Dacă elevul poate justifica pașii (nu doar da rezultatul), a înțeles. La Evaluarea Națională, geometria plană apare în Subiectul al II-lea și al III-lea, unde redactarea completă și corectă aduce punctajul integral. Pentru continuare, mergeți la recapitularea de geometrie în spațiu și la recapitularea de corpuri geometrice, arii și volume.

Întrebări frecvente

Ce intră la geometrie plană la Evaluarea Națională la clasa a 8-a? Triunghiul (linii importante, congruență, teorema lui Pitagora și relațiile metrice), patrulaterele particulare cu ariile lor, cercul (unghiuri, coarde, tangente, lungime și arie), asemănarea triunghiurilor și trigonometria în triunghiul dreptunghic. Toate acestea apar și „ascunse” în problemele de geometrie în spațiu.

Când folosesc teorema lui Pitagora și când relațiile metrice? Teorema lui Pitagora leagă cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (ipotenuză și catete). Relațiile metrice (teorema înălțimii și teorema catetei) apar în plus atunci când din unghiul drept este coborâtă înălțimea pe ipotenuză și lucrezi cu proiecțiile catetelor.

Cum calculez aria unui trapez la clasa a 8-a? Aduni cele două baze, împarți la $2$ și înmulțești cu înălțimea: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$. Media bazelor, $\frac{B+b}{2}$, este chiar linia mijlocie a trapezului.

De ce raportul ariilor la triunghiuri asemenea este $k^2$ și nu $k$? Pentru că aria depinde de produsul a două lungimi. Dacă fiecare lungime se mărește de $k$ ori, produsul (deci aria) se mărește de $k\cdot k=k^2$ ori. Perimetrul, fiind o sumă de lungimi, se mărește doar de $k$ ori.

Cum știu care raport trigonometric să folosesc: sinus, cosinus sau tangentă? Depinde de laturile implicate. Dacă lucrezi cu cateta opusă și ipotenuza, folosești sinusul; cu cateta alăturată și ipotenuza, cosinusul; cu cele două catete (opusă și alăturată), tangenta. Notează întâi față de ce unghi lucrezi.

Ce este teorema fundamentală a asemănării? Este teorema care spune că o paralelă la o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi în segmente proporționale și formează un triunghi asemenea cu cel dat. Este baza pentru a afla lungimi necunoscute prin proporții.

Un unghi înscris în cerc cât măsoară față de arcul lui? Un unghi înscris are măsura egală cu jumătate din arcul pe care îl cuprinde (și cu jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc). De aici rezultă că un unghi înscris care „vede” un diametru este de $90^{\circ }$.

Trebuie să știu valorile trigonometrice pe de rost pentru examen? Da, valorile pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ trebuie memorate, pentru că apar frecvent și nu ai voie cu calculator la partea de calcul exact. Un tabel scris de câteva ori și exercițiul repetat le fixează rapid.