O desfășurare corectă a unui tetraedru regulat trebuie să conțină:

3 triunghiuri echilaterale congruente

4 triunghiuri, dar de mărimi diferite

un pătrat central și 3 triunghiuri echilaterale

Ce este un tetraedru regulat?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Tetraedrul regulat: elemente și formule

Este piramida triunghiulară cu toate fețele triunghiuri echilaterale de aceeași mărime, deci cu cele șase muchii egale între ele, de lungime $a$ . Are patru vârfuri și, spre deosebire de o piramidă oarecare, orice față poate juca rolul de bază. Mărimile lui se scriu doar cu $a$ : înălțimea este $h = \frac{a 6}{3}$ , apotema unei fețe este $\frac{a 3}{2}$ , iar apotema bazei, $\frac{a 3}{6}$ .

Un tetraedru regulat este piramida triunghiulară cea mai simetrică: toate cele 4 fețe sunt triunghiuri echilaterale identice, deci toate cele 6 muchii au aceeași lungime $a$ . Are 4 vârfuri, 4 fețe, 6 muchii (verificare Euler: $V - M + F = 4 - 6 + 4 = 2$ ).

Trei mărimi îl descriu complet, toate în funcție de muchia $a$ :

apotema bazei: $a_{b} = \frac{a 3}{6}$
apotema feței: $a_{p} = \frac{a 3}{2}$
înălțimea: $h = \frac{a 6}{3}$

Cheia e triunghiul dreptunghic $V O M$ ( $O$ = centrul bazei, $M$ = mijlocul unei muchii): $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ .

Exemplu: pentru $a = 6$ cm, obținem $a_{b} = 3 \approx 1, 73$ cm, $a_{p} = 33 \approx 5, 20$ cm, $h = 26 \approx 4, 90$ cm.

Desfășurarea are exact 4 triunghiuri echilaterale congruente de latură $a$ : unul central (baza) și trei alipite pe laturile lui (fețele laterale).

De reținut

$4$ fețe, $4$ vârfuri, $6$ muchii, toate egale cu $a$
$h = \frac{a 6}{3}$ , $a_{p} = \frac{a 3}{2}$ , $a_{b} = \frac{a 3}{6}$
$a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ , cu $a_{p}$ ipotenuză

Greșeala tipică

Apotema unei fețe este pusă în locul înălțimii corpului, deși prima este ipotenuză, iar a doua catetă în același triunghi dreptunghic. Pentru muchia $a$ , apotema feței, $\frac{a 3}{2}$ , iese mai mare decât înălțimea $\frac{a 6}{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un corp are 4 fețe, toate triunghiuri echilaterale congruente (adică este un tetraedru regulat). Câte muchii și câte vârfuri are?
- a) 6 muchii și 4 vârfuri
- b) 4 muchii și 6 vârfuri
- c) 6 muchii și 6 vârfuri
- d) 4 muchii și 4 vârfuri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 6 muchii și 4 vârfuri

Tetraedrul are 3 laturi de bază + 3 muchii laterale = 6 muchii, și 3 vârfuri de bază + vârful de sus = 4 vârfuri. Verificare Euler: $4 - 6 + 4 = 2$ .
O desfășurare corectă a unui tetraedru regulat trebuie să conțină:
- a) 4 triunghiuri echilaterale congruente
- b) 3 triunghiuri echilaterale congruente
- c) 4 triunghiuri, dar de mărimi diferite
- d) un pătrat central și 3 triunghiuri echilaterale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 4 triunghiuri echilaterale congruente

Tetraedrul regulat are 4 fețe identice, deci desfășurarea are un triunghi echilateral central (baza) și alte trei, congruente, alipite pe laturile lui (fețele laterale) — în total 4 triunghiuri echilaterale congruente.
Calculează apotema bazei unui tetraedru regulat cu muchia $a = 12$ cm, folosind formula $a_{b} = \frac{a 3}{6}$ .
- a) $23 cm$
- b) $63 cm$
- c) $26 cm$
- d) $43 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $23 cm$

$a_{b} = \frac{12 3}{6} = 23 cm$ .

Întrebări conexe

Câte muchii are un tetraedru regulat?

Șase, toate de aceeași lungime. Trei formează triunghiul de bază, iar celelalte trei urcă spre vârf. Alături de ele, corpul are patru vârfuri și patru fețe, iar relația lui Euler se verifică: $4 - 6 + 4 = 2$ .

Cum arată desfășurarea unui tetraedru regulat?

Patru triunghiuri echilaterale identice: unul în mijloc, ca bază, și celelalte trei lipite de laturile lui. Îndoind cele trei fețe laterale în sus, vârfurile lor libere se întâlnesc într-un singur punct. Există și o desfășurare în formă de triunghi mare, împărțit prin liniile mijlocii.

Care este aria totală a tetraedrului regulat?

Fiind formată din patru triunghiuri echilaterale de latură $a$ , aria totală este $4 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} = a^{2} 3$ . Pentru $a = 4 cm$ iese $163 cm^{2}$ , aproximativ $27, 7 cm^{2}$ . Aria laterală, fără bază, este trei sferturi din ea.

Cât este volumul unui tetraedru regulat cu muchia a?

Formula este $V = \frac{a ^{3} 2}{12}$ . Ea vine din $V = \frac{1}{3} \cdot A_{baz \overset{a}{˘}} \cdot h$ , unde baza are aria $\frac{a ^{2} 3}{4}$ , iar înălțimea este $\frac{a 6}{3}$ . Pentru $a = 6 cm$ rezultă $182 cm^{3}$ , aproape $25, 5 cm^{3}$ . Volumul crește cu cubul muchiei, deci la muchie dublă corpul devine de opt ori mai mare.

Unde se află centrul bazei într-un tetraedru regulat?

În punctul de intersecție al medianelor triunghiului echilateral de la bază, care este totodată și centrul cercului înscris, și al celui circumscris. Exact deasupra lui cade vârful, iar segmentul care le unește este înălțimea corpului.

Ce triunghi dreptunghic se folosește în calculele tetraedrului?

Cel format din vârful de sus, centrul bazei și mijlocul unei laturi a bazei. Cateta verticală este înălțimea corpului, cateta orizontală este apotema bazei, iar ipotenuza este apotema feței. Din el se obține orice mărime lipsă, cu teorema lui Pitagora.

Oamenii mai întreabă și: tetraedru regulat · proprietățile tetraedrului regulat · câte muchii are un tetraedru · înălțimea tetraedrului regulat · piramida cu toate fețele triunghiuri echilaterale