Triunghiul dreptunghic. Proprietăți

Ai văzut vreodată un colț perfect drept? Colțul unei foi de caiet, marginea unei mese, întâlnirea a doi pereți într-o cameră — toate ascund un unghi de exact 90°. Când acest unghi drept apare într-un triunghi, obținem triunghiul dreptunghic, una dintre cele mai folosite figuri din toată geometria. În această lecție vei descoperi două proprietăți spectaculoase ale lui, atât de utile încât le vei folosi ani de zile de aici încolo: cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză și mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. Sunt teoreme scurte, elegante și pline de putere. Hai să le înțelegem pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști catetele și ipotenuza într-un triunghi dreptunghic și să spui de ce cele două unghiuri ascuțite sunt complementare.
• Vei ști să folosești proprietatea catetei opuse unghiului de 30°: ea este exact jumătate din ipotenuză (și invers).
• Vei ști că mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză și cum folosești acest fapt în probleme.
• Vei ști să aplici teoremele directe și reciproce pentru a calcula laturi, unghiuri și a demonstra mici afirmații.
• Vei ști să transpui o problemă practică în limbaj geometric și să o rezolvi corect, cu justificare.

Hai să descoperim împreună

1. Reamintim ce este triunghiul dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept, adică un unghi de 90°. Despre clasificarea triunghiurilor după unghiuri ai discutat deja în lecția Triunghiul: definiție, elemente și clasificare; acum ne concentrăm doar pe acest tip special și pe ce „secrete" ascunde el.

Laturile au nume speciale:

• Cele două laturi care formează unghiul drept se numesc catete.
• Latura din fața (opusă) unghiului drept se numește ipotenuză. Ea este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic.

De ce este ipotenuza cea mai lungă? Pentru că, într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare — proprietate studiată în lecția Inegalități între laturile și unghiurile triunghiului. Cum unghiul drept de 90° este cel mai mare dintre cele trei unghiuri (celelalte două sunt ascuțite), latura din fața lui — ipotenuza — este cea mai lungă.

Vom folosi des notația: dacă unghiul drept este în vârful $A$, scriem $m(\sphericalangle A)=90°$ și spunem că triunghiul $ABC$ este dreptunghic „în $A$".

2. Unghiurile ascuțite sunt complementare

Hai să pornim de la ceva ce știi deja: suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este 180° (vezi Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi).

Într-un triunghi dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $A$, avem:

$$m(\sphericalangle A)+m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=180°.$$

Dar $m(\sphericalangle A)=90°$, deci:

$$90°+m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=180°,$$

de unde, scăzând $90°$ din ambii membri:

$$m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)=90°.$$

Concluzie: cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic au împreună 90°, adică sunt complementare. Despre unghiuri complementare ai vorbit în lecția Unghiuri complementare și suplementare.

Asta e foarte practic: dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi ascuțit, celălalt se află imediat scăzând din 90°. De exemplu, dacă un unghi ascuțit are $35°$, celălalt are $90°-35°=55°$.

3. Prima teoremă vedetă: cateta opusă unghiului de 30°

Acum ajungem la prima proprietate cu adevărat surprinzătoare. Imaginează-ți un triunghi dreptunghic care, pe lângă unghiul drept, mai are și un unghi de 30°. Cum unghiurile ascuțite sunt complementare, al treilea unghi este $90°-30°=60°$. Deci avem un triunghi cu unghiurile de 30°, 60° și 90° — un triunghi foarte special, care apare peste tot (echere, acoperișuri, structuri metalice).

Teorema (directă). Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este egală cu jumătate din ipotenuză.

Cu notații: dacă în triunghiul $ABC$ avem $m(\sphericalangle A)=90°$ și $m(\sphericalangle B)=30°$, atunci cateta $AC$ (cea din fața unghiului de 30°) îndeplinește:

$$AC=\frac{BC}{2}.$$

De ce este adevărat? (idee de demonstrație, pe înțelesul tău)

Construim „oglinda" triunghiului peste cateta $AB$. Reflectăm vârful $C$ față de dreapta $AB$ și obținem un nou punct, pe care îl numim $C^{\prime }$. Pentru că unghiul din $A$ este drept, punctele $C$, $A$ și $C^{\prime }$ sunt coliniare, iar $A$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$. Așadar:

$$C{C}^{\prime }=2\cdot AC.$$

Oglindirea păstrează lungimile și unghiurile, deci $B{C}^{\prime }=BC$ și $m(\sphericalangle AB{C}^{\prime })=m(\sphericalangle ABC)=30°$. Cele două unghiuri de la $B$ se adună:

$$m(\sphericalangle CB{C}^{\prime })=30°+30°=60°.$$

Privește acum triunghiul $BC{C}^{\prime }$: are $BC=B{C}^{\prime }$ (deci este isoscel), iar unghiul dintre cele două laturi egale este de $60°$. Un triunghi isoscel cu un unghi de $60°$ este echilateral! Prin urmare toate laturile lui sunt egale, în special:

$$C{C}^{\prime }=BC.$$

Combinăm cele două relații: $2\cdot AC=C{C}^{\prime }=BC$, de unde

$$AC=\frac{BC}{2}.$$

Tocmai am demonstrat teorema. Observă că triunghiul echilateral $BC{C}^{\prime }$ este format din triunghiul nostru și „oglinda" lui: triunghiul dreptunghic de $30°-60°-90°$ este exact jumătate dintr-un triunghi echilateral, tăiat pe înălțime. De aceea cateta din fața unghiului de $30°$ (jumătatea bazei echilateralului) este jumătate din ipotenuză (latura echilateralului).

Nu te speria dacă pașii ți se par mulți — la clasa a VI-a este suficient să reții și să folosești corect rezultatul. Ideea de reținut, ușor de ținut minte: triunghiul de $30°-60°-90°$ este „jumătate dintr-un triunghi echilateral", iar de aici vine relația $AC=\frac{BC}{2}$.

Cum o folosim în practică. Dacă ipotenuza este, de pildă, $BC=12$ cm și unghiul $B=30°$, atunci cateta opusă lui $30°$ este:

$$AC=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}.$$

Invers, dacă știm cateta opusă unghiului de 30°, putem afla ipotenuza dublând-o: dacă $AC=6$ cm, atunci $BC=2\cdot AC=12$ cm.

4. Reciproca teoremei catetei de 30°

Orice teoremă din geometrie are o variantă „pe invers", numită reciprocă. Reciproca pornește de la concluzie și ajunge la ipoteză.

Teorema (reciprocă). Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este egală cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acelei catete are 30°.

Cu alte cuvinte: dacă $m(\sphericalangle A)=90°$ și $AC=\frac{BC}{2}$, atunci $m(\sphericalangle B)=30°$ (iar al treilea, $m(\sphericalangle C)=60°$).

Diferența dintre directă și reciprocă, ca să nu le confunzi:

• Directă: „Știu unghiul de 30° ⟶ aflu că o catetă e jumătate din ipotenuză."
• Reciprocă: „Știu că o catetă e jumătate din ipotenuză ⟶ aflu că unghiul opus ei e 30°."

Amândouă sunt adevărate la triunghiul dreptunghic, dar folosesc informații diferite la intrare. Gândește-te la ele ca la un drum cu dus și întors: același traseu, sensuri opuse.

5. A doua teoremă vedetă: mediana ipotenuzei

Reamintește-ți ce este o mediană: segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse (ai studiat-o în Medianele unui triunghi. Centrul de greutate). În triunghiul dreptunghic ne interesează în mod special mediana care pleacă din vârful unghiului drept și ajunge la mijlocul ipotenuzei.

Teorema (directă). Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei (mediana din vârful unghiului drept) este egală cu jumătate din ipotenuză.

Cu notații: fie $ABC$ dreptunghic în $A$ și $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$. Atunci mediana $AM$ verifică:

$$AM=\frac{BC}{2}.$$

Aici apare un detaliu uimitor. Mijlocul ipotenuzei $M$ împarte ipotenuza în două: $BM=CM=\frac{BC}{2}$ (asta e evident, $M$ e mijloc). Teorema spune că și $AM=\frac{BC}{2}$. Deci:

$$AM=BM=CM=\frac{BC}{2}.$$

Asta înseamnă că punctul $M$ este egal depărtat de toate cele trei vârfuri $A$, $B$, $C$. Cu alte cuvinte, $M$ este centrul unui cerc care trece prin toate trei vârfurile, iar ipotenuza $BC$ este diametrul acelui cerc! (E o legătură frumoasă cu lecția despre cerc, pe care o vei aprofunda mai târziu.)

O analogie utilă. Imaginează-ți un compas cu vârful fix în mijlocul ipotenuzei $M$. Dacă deschizi compasul cât $BM$ (jumătate de ipotenuză) și rotești, creionul trece exact prin $A$, prin $B$ și prin $C$. Toate trei stau pe același cerc, la aceeași distanță de centru.

De ce este adevărat? (idee scurtă) Pornind de la mijlocul $M$ al ipotenuzei și construind un dreptunghi care „închide" triunghiul dreptunghic, diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc reciproc; mediana $AM$ este chiar jumătate de diagonală, deci jumătate din ipotenuză. La clasa a VI-a reții rezultatul și îl folosești; demonstrația completă o vei revedea mai târziu.

6. Reciproca teoremei medianei

Teorema (reciprocă). Dacă într-un triunghi o mediană este egală cu jumătate din latura pe care o întâlnește (latura spre care merge), atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este în vârful din care pleacă mediana.

Mai pe scurt: dacă $M$ este mijlocul lui $BC$ și $AM=\frac{BC}{2}$, atunci $m(\sphericalangle A)=90°$.

Aceasta este o metodă rapidă de a dovedi că un triunghi este dreptunghic fără să măsori unghiuri: e suficient să arăți că mediana spre o latură este jumătate din acea latură. Foarte util în probleme!

7. Cum alegem ce proprietate folosim

Când rezolvi o problemă, întreabă-te ce date ai și ce vrei să afli:

Ține minte mereu întrebarea-cheie: „cateta este opusă unghiului de 30°?" și „mediana pleacă din unghiul drept spre mijlocul ipotenuzei?". Dacă răspunsul e da, teoremele se aplică direct.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiuri complementare

În triunghiul $MNP$, dreptunghic în $M$, unghiul $N$ are $37°$. Cât are unghiul $P$?

Rezolvare. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare, deci au împreună $90°$:

$$m(\sphericalangle N)+m(\sphericalangle P)=90°.$$

Înlocuim: $37°+m(\sphericalangle P)=90°$, deci

$$m(\sphericalangle P)=90°-37°=53°.$$

Răspuns: unghiul $P$ are $53°$. (Verificare: $90°+37°+53°=180°$. Corect.)

Exemplul 2 — Cateta opusă unghiului de 30° (directă)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, are $m(\sphericalangle B)=30°$, iar ipotenuza $BC=18$ cm. Află lungimea catetei $AC$.

Rezolvare. Cateta $AC$ este opusă unghiului $B=30°$. Aplicăm teorema directă:

$$AC=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}.$$

Răspuns: $AC=9$ cm.

Exemplul 3 — Reciproca catetei de 30°

În triunghiul $DEF$, dreptunghic în $D$, cateta $DE=5$ cm și ipotenuza $EF=10$ cm. Cât are unghiul $F$?

Rezolvare. Observăm că $DE$ este exact jumătate din ipotenuză:

$$\frac{EF}{2}=\frac{10}{2}=5=DE.$$

Cateta $DE$ este opusă unghiului $F$. Conform reciprocei teoremei, unghiul opus catetei egale cu jumătatea ipotenuzei are $30°$:

$$m(\sphericalangle F)=30°.$$

Răspuns: $m(\sphericalangle F)=30°$ (și atunci $m(\sphericalangle E)=60°$).

Exemplul 4 — Mediana ipotenuzei (directă)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, ipotenuza $BC=16$ cm, iar $M$ este mijlocul ipotenuzei. Cât măsoară mediana $AM$? Dar segmentele $BM$ și $CM$?

Rezolvare. Mediana din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei este jumătate din ipotenuză:

$$AM=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ cm}.$$

Cum $M$ este mijlocul ipotenuzei, avem și $BM=CM=\frac{BC}{2}=8$ cm.

Răspuns: $AM=BM=CM=8$ cm. (Toate trei vârfurile sunt la 8 cm de $M$.)

Exemplul 5 — Reciproca medianei

În triunghiul $RST$, punctul $M$ este mijlocul laturii $ST$, $ST=14$ cm, iar mediana $RM=7$ cm. Ce fel de triunghi este $RST$ și unde se află unghiul drept?

Rezolvare. Verificăm raportul dintre mediană și latură:

$$\frac{ST}{2}=\frac{14}{2}=7=RM.$$

Mediana spre mijlocul lui $ST$ este egală cu jumătate din $ST$. Conform reciprocei teoremei medianei, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în vârful din care pleacă mediana, adică în $R$:

$$m(\sphericalangle R)=90°.$$

Răspuns: $RST$ este dreptunghic în $R$.

Exemplul 6 — Problemă combinată

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, are $m(\sphericalangle C)=30°$ și ipotenuza $BC=24$ cm. Fie $M$ mijlocul ipotenuzei. Calculează lungimile $AB$ și $AM$.

Rezolvare.

Pasul 1 — cateta opusă unghiului de 30°. Unghiul de $30°$ este în $C$. Cateta opusă lui este $AB$ (latura din fața vârfului $C$). Aplicăm teorema directă:

$$AB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.$$

Pasul 2 — mediana ipotenuzei. $M$ este mijlocul ipotenuzei, deci mediana $AM$ din unghiul drept este:

$$AM=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.$$

Răspuns: $AB=12$ cm și $AM=12$ cm.

Curios: aici $AB=AM=12$ cm. Asta nu e o coincidență — pentru că unghiul de 30° face cateta egală cu jumătatea ipotenuzei, iar mediana e tot jumătate din ipotenuză, deci ele coincid ca lungime. Frumos, nu?

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Fă întâi un desen simplu pentru fiecare problemă — te ajută enorm.

1. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are $52°$. Cât are celălalt unghi ascuțit?

2. Completează: într-un triunghi dreptunghic, latura opusă unghiului drept se numește __________, iar celelalte două se numesc __________.

3. Adevărat sau fals? Ipotenuza este cea mai scurtă latură a triunghiului dreptunghic.

4. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $m(\sphericalangle B)=30°$. Cât are $m(\sphericalangle C)$?

5. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $m(\sphericalangle B)=30°$ și ipotenuza $BC=20$ cm. Află cateta $AC$ (cea opusă unghiului de 30°).

6. În triunghiul $DEF$, dreptunghic în $D$, cateta opusă unghiului de 30° are $7$ cm. Cât este ipotenuza?

7. Încercuiește varianta corectă. În triunghiul dreptunghic $ABC$ (drept în $A$), mediana din $A$ spre mijlocul $M$ al ipotenuzei este:   a) egală cu ipotenuza;   b) jumătate din ipotenuză;   c) dublul ipotenuzei.

8. $ABC$ dreptunghic în $A$, ipotenuza $BC=26$ cm, $M$ mijlocul ipotenuzei. Cât este $AM$?

9. Potrivește fiecare ipoteză cu concluzia corectă:   (I) unghi drept + unghi de 30°   →   (a) triunghiul e dreptunghic   (II) mediana = jumătate din latura spre care merge   →   (b) cateta opusă lui 30° = ipotenuza : 2

10. În triunghiul $MNP$, dreptunghic în $M$, cateta $MN=6$ cm și ipotenuza $NP=12$ cm. Cât are unghiul $P$?

11. Adevărat sau fals? Dacă într-un triunghi dreptunghic mediana din unghiul drept are $9$ cm, atunci ipotenuza are $18$ cm.

12. În triunghiul $XYZ$, $M$ este mijlocul laturii $YZ$, $YZ=30$ cm și mediana $XM=15$ cm. Ce fel de triunghi este și unde este unghiul drept?

13. Desenează un triunghi dreptunghic cu unghiurile de $30°$, $60°$ și $90°$, în care ipotenuza are $8$ cm. Marchează cateta de $4$ cm și explică de ce are această lungime.

14. $ABC$ dreptunghic în $A$, $m(\sphericalangle C)=60°$, ipotenuza $BC=14$ cm. Află cateta opusă unghiului de 30° (atenție: care unghi are 30°?).

15. Mediana din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic are $11$ cm. La ce distanță se află mijlocul ipotenuzei de fiecare dintre cele trei vârfuri?

16. Problemă. O scară de metal sprijinită de perete formează un triunghi dreptunghic: peretele și solul sunt catetele, scara este ipotenuza. Scara are $5$ m, iar unghiul dintre scară și sol este de $30°$. La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării? (Indiciu: înălțimea pe perete este cateta opusă unghiului de 30°.)

17. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$. Știind că $BM=10$ cm, află $AM$ și lungimea ipotenuzei $BC$.

18. Provocare. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\sphericalangle C)=30°$ și ipotenuza $BC=24$ cm. $M$ este mijlocul ipotenuzei. Demonstrează că triunghiul $ABM$ este echilateral. (Indiciu: calculează $AB$, $BM$ și $AM$.)

Răspunsuri și explicații

1. $90°-52°=38°$. Unghiurile ascuțite sunt complementare.

2. ipotenuză; catete. Ipotenuza e opusă unghiului drept; catetele formează unghiul drept.

3. Fals. Ipotenuza este cea mai lungă latură (opusă celui mai mare unghi, cel de 90°).

4. $90°-30°=60°$.

5. $AC$ e opusă unghiului de 30°, deci $AC=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10$ cm.

6. Cateta opusă lui 30° e jumătate din ipotenuză, deci ipotenuza e dublul ei: $2\cdot 7=14$ cm.

7. b) jumătate din ipotenuză (teorema medianei ipotenuzei).

8. $AM=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13$ cm.

9. (I) → (b) și (II) → (a). Prima e teorema directă a catetei de 30°; a doua e reciproca medianei.

10. Cateta $MN=6$ este jumătate din ipotenuza $NP=12$. $MN$ e opusă unghiului $P$, deci, prin reciprocă, $m(\sphericalangle P)=30°$.

11. Adevărat. Mediana e jumătate din ipotenuză, deci ipotenuza e dublul ei: $2\cdot 9=18$ cm.

12. $\frac{YZ}{2}=\frac{30}{2}=15=XM$. Prin reciproca medianei, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în $X$ (vârful de unde pleacă mediana).

13. Cateta opusă unghiului de 30° este $\frac{8}{2}=4$ cm, conform teoremei directe. (Desenul: unghi drept marcat, unghiul de 30° într-un vârf, cateta din fața lui de 4 cm.)

14. Dacă $m(\sphericalangle C)=60°$, atunci $m(\sphericalangle B)=90°-60°=30°$. Cateta opusă unghiului de 30° (din $B$) este $AC$: $AC=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7$ cm.

15. Mijlocul ipotenuzei este la $11$ cm de fiecare vârf, fiindcă $AM=BM=CM=11$ cm (mediana e egală cu jumătățile ipotenuzei).

16. Înălțimea = cateta opusă unghiului de 30° = $\frac{5}{2}=2,5$ m.

17. $M$ e mijlocul ipotenuzei, deci $CM=BM=10$ cm și ipotenuza $BC=2\cdot BM=20$ cm. Mediana $AM=\frac{BC}{2}=10$ cm. (Deci $AM=BM=CM=10$ cm.)

18. $AB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12$ cm (cateta opusă lui 30°). $BM=\frac{BC}{2}=12$ cm ($M$ e mijlocul ipotenuzei). $AM=\frac{BC}{2}=12$ cm (mediana ipotenuzei). Cum $AB=BM=AM=12$ cm, triunghiul $ABM$ are toate laturile egale, deci este echilateral. ✔

De reținut

• Într-un triunghi dreptunghic, laturile unghiului drept sunt catetele, iar latura opusă lui este ipotenuza — cea mai lungă latură.
• Cele două unghiuri ascuțite sunt complementare: au împreună $90°$. Cunoști unul ⟶ celălalt e $90°$ minus el.
• Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză (directă); și invers, dacă o catetă e jumătate din ipotenuză, unghiul ei opus are $30°$ (reciprocă).
• Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $AM=BM=CM=\frac{BC}{2}$. Reciproc, dacă o mediană e jumătate din latura ei, triunghiul e dreptunghic.
• Înainte de a aplica o teoremă, verifică: cateta e opusă lui 30°? mediana pleacă din unghiul drept spre mijlocul ipotenuzei?

Greșeli frecvente

• Confuzia catetă ↔ ipotenuză. Unii înmulțesc sau împart greșit. Ține minte: ipotenuza este mereu cea mai lungă; cateta opusă lui 30° este cea mică, jumătate din ipotenuză. Dacă rezultatul îți iese mai mare decât ipotenuza, e semn de eroare.
• Aplici teorema catetei la cateta greșită. Relația „jumătate de ipotenuză" e valabilă doar pentru cateta opusă unghiului de 30°, nu pentru cealaltă catetă. Identifică întâi unde e unghiul de 30° și ce latură e în fața lui.
• Confunzi directa cu reciproca. Directa pleacă de la unghi și află latura; reciproca pleacă de la latura jumătate și află unghiul de 30°. Întreabă-te ce ai la intrare.
• Uiți că mediana din unghiul drept e specială. Doar mediana care pornește din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. Celelalte două mediane (din vârfurile ascuțite) nu au această proprietate.

Joc acasă

1. Echerul detectiv. Ia un echer din trusa de geometrie (cel cu unghiurile de 30°, 60°, 90°). Cu rigla, măsoară ipotenuza (latura cea mai lungă) și cateta din fața unghiului de 30° (latura cea mai scurtă). Verifică: este cateta scurtă aproximativ jumătate din ipotenuză? Notează măsurătorile și compară cu teoria.

2. Cercul ascuns. Pe o foaie, desenează un triunghi dreptunghic oarecare. Găsește mijlocul $M$ al ipotenuzei (măsoară ipotenuza și marchează jumătatea). Cu compasul în $M$ și deschiderea cât $BM$, trasează un cerc. Surpriză: cercul trece prin toate cele trei vârfuri! Ai redescoperit că $AM=BM=CM$.

3. Constructorul de 30-60-90. Decupează din carton un triunghi echilateral cu latura de $10$ cm. Taie-l exact pe înălțime (de la un vârf la mijlocul bazei opuse). Ai obținut două triunghiuri dreptunghice identice cu unghiurile de 30°, 60°, 90°. Măsoară baza fiecăruia: este $5$ cm, adică jumătate din latura echilateralului — exact cateta opusă unghiului de 30°.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce două teoreme cu directă și reciprocă, deci accentul cade pe distincția dintre ipoteză și concluzie. Ajutați copilul să verbalizeze, de fiecare dată: „Ce știu?" (datele) și „Ce vreau să aflu?" (necunoscuta). Acesta este și miezul competenței 6.6 — transpunerea unei situații în limbaj geometric.

Întrebări utile de pus:

• „De ce este ipotenuza cea mai lungă latură?" (răspuns: e opusă celui mai mare unghi, cel de 90°).
• „Dacă un unghi ascuțit are 40°, cât are celălalt?" (verifică reflexul cu unghiurile complementare).
• „Mediana din care vârf e jumătate din ipotenuză?" (doar din vârful unghiului drept — aici greșesc mulți).
• „Aceasta e teorema directă sau reciproca?" puneți întrebarea la fiecare exemplu.

Cum verificați înțelegerea: dați un triunghi cu o catetă egală cu jumătate din ipotenuză și cereți unghiul (testează reciproca); apoi unul cu unghi de 30° și ipotenuză dată, cerând cateta (testează directa). Dacă le încurcă, reluați tabelul din secțiunea „Cum alegem ce proprietate folosim". Încurajați desenul: o figură corectă, cu datele scrise pe ea, rezolvă jumătate din problemă. Lecția pregătește terenul pentru Teorema lui Pitagora, care vine imediat după.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile triunghiului dreptunghic în clasa a 6-a? Principalele proprietăți sunt: unghiurile ascuțite sunt complementare (au împreună 90°), ipotenuza este cea mai lungă latură, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză, iar mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. Fiecare dintre ultimele două are și o teoremă reciprocă.

Ce sunt catetele și ipotenuza unui triunghi dreptunghic? Catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept (de 90°). Ipotenuza este latura din fața unghiului drept și este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic.

De ce cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză? Pentru că un triunghi dreptunghic cu unghiurile de 30°, 60° și 90° este, de fapt, „jumătate" dintr-un triunghi echilateral, obținut tăindu-l pe înălțime. Latura tăiată devine jumătate din latura echilateralului, adică jumătate din ipotenuză. De aceea relația este $AC=\frac{BC}{2}$.

Mediana corespunzătoare ipotenuzei chiar este jumătate din ipotenuză? Da. Mediana care pleacă din vârful unghiului drept până la mijlocul ipotenuzei este exact jumătate din ipotenuză. În plus, mijlocul ipotenuzei se află la aceeași distanță de toate cele trei vârfuri, deci este centrul cercului care trece prin ele, iar ipotenuza este diametrul.

Care e diferența dintre teorema directă și cea reciprocă? Teorema directă pornește de la o cauză spre un efect (de exemplu: „știu unghiul de 30° → aflu că o catetă e jumătate din ipotenuză"). Reciproca face drumul invers („știu că o catetă e jumătate din ipotenuză → unghiul ei opus are 30°"). Amândouă sunt adevărate la triunghiul dreptunghic, dar folosesc date diferite la intrare.

Cum aflu un unghi ascuțit dacă îl știu pe celălalt? Scazi din 90°, deoarece unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare. De exemplu, dacă un unghi are 25°, celălalt are 90° − 25° = 65°.

Cum demonstrez că un triunghi este dreptunghic folosind mediana? Folosești reciproca teoremei medianei: dacă mediana spre mijlocul unei laturi este egală cu jumătate din acea latură, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în vârful din care pleacă mediana. Este o metodă rapidă, fără să măsori unghiuri.

La ce îmi folosesc aceste proprietăți mai târziu? Le vei folosi la teorema lui Pitagora, la calcule cu arii, la trigonometrie în clasele mai mari și în multe probleme practice (scări sprijinite de pereți, acoperișuri, rampe). Triunghiul dreptunghic este una dintre figurile-cheie ale întregii matematici.