Triunghiul echilateral. Proprietăți

Există în geometrie o figură atât de echilibrată încât pare desenată cu o singură mișcare sigură: triunghiul echilateral. Toate laturile lui sunt egale, toate unghiurile lui sunt egale, iar toate liniile importante pleacă din vârfuri și se comportă la fel. În această lecție vei descoperi de ce triunghiul echilateral este „cel mai simetric" dintre triunghiuri și cum poți folosi proprietățile lui pentru a rezolva rapid probleme, fără calcule complicate. Este o lecție care îți va arăta cât de elegantă poate fi matematica atunci când o figură are ordine perfectă.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști și să definești corect un triunghi echilateral, ca triunghi cu toate laturile congruente.
• Vei ști că fiecare unghi al unui triunghi echilateral are exact 60° și vei putea demonstra acest lucru.
• Vei ști că triunghiul echilateral este un caz particular de triunghi isoscel și ce avantaje aduce asta.
• Vei ști de ce, în triunghiul echilateral, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea care pleacă din același vârf coincid.
• Vei ști să folosești aceste proprietăți pentru a rezolva probleme de geometrie clare și frumoase.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la ceea ce știm deja

Până acum ai studiat triunghiul în general: laturile, unghiurile, perimetrul și faptul important că suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este de 180° (vezi lecția Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi). În lecția precedentă ai cunoscut triunghiul isoscel — triunghiul care are (cel puțin) două laturi congruente — și ai văzut că unghiurile de la baza lui sunt congruente (vezi Triunghiul isoscel. Proprietăți).

Acum facem un pas mai departe și ne uităm la triunghiul în care nu două, ci toate trei laturile sunt egale. Vei vedea că o singură condiție în plus aduce o cascadă întreagă de proprietăți frumoase.

Ce este triunghiul echilateral

Definiție. Un triunghi echilateral este un triunghi care are toate cele trei laturi congruente (egale).

Cuvântul „echilateral" vine din latină: aequus înseamnă „egal", iar latus înseamnă „latură". Așadar, chiar numele ne spune totul: laturi egale. Dacă triunghiul se numește $ABC$, faptul că este echilateral se scrie:

$$AB=BC=CA.$$

Pe desen marcăm egalitatea laturilor cu același semn pe fiecare latură (de obicei o liniuță scurtă). Când vezi trei laturi cu același semn, știi imediat că ai în față un triunghi echilateral.

Să fim foarte atenți la legătura cu triunghiul isoscel:

• Triunghiul isoscel are cel puțin două laturi congruente.
• Triunghiul echilateral are toate trei laturile congruente.

De aici desprindem o idee foarte importantă, pe care o vom folosi mereu:

Orice triunghi echilateral este și triunghi isoscel. De fapt, este isoscel „în trei feluri": oricare două laturi ale lui poți să le alegi ca laturi egale.

Reciproca nu este adevărată: nu orice triunghi isoscel este echilateral (un triunghi isoscel poate avea baza diferită de laturile egale). Echilateralul este un caz particular, cel mai „bogat" în simetrie.

De ce fiecare unghi are 60°

Aici se află proprietatea-vedetă a lecției. Hai să o descoperim cu răbdare, pas cu pas, pentru că merită să înțelegi de ce este adevărată, nu doar să o memorezi.

Pasul 1 — Folosim că triunghiul este isoscel. Într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente (proprietatea triunghiului isoscel). În triunghiul echilateral $ABC$ avem $AB=AC$, deci unghiurile opuse acestor laturi sunt egale:

$$\hat{B}=\hat{C}.$$

Dar avem și $BA=BC$, deci, privind triunghiul ca isoscel cu vârful în $B$, obținem și:

$$\hat{A}=\hat{C}.$$

Pasul 2 — Punem totul cap la cap. Din cele de sus rezultă că toate cele trei unghiuri sunt egale între ele:

$$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}.$$

Pasul 3 — Folosim suma unghiurilor. Știm că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180°$. Notăm cu $x$ măsura comună a celor trei unghiuri. Atunci:

$$x+x+x=180°⟹3x=180°⟹x=60°.$$

Am ajuns la concluzie:

Proprietate. Fiecare unghi al unui triunghi echilateral are măsura de 60°.

Această proprietate este atât de utilă încât merită reținută în ambele sensuri:

• Dacă un triunghi este echilateral, atunci toate unghiurile lui au $60°$.
• Dacă un triunghi are toate unghiurile de $60°$ (sau chiar doar toate unghiurile egale), atunci el este echilateral.

Cu alte cuvinte, un triunghi este echilateral dacă și numai dacă are toate unghiurile congruente. Un astfel de triunghi, cu toate unghiurile egale, se mai numește și triunghi echiunghic — iar la triunghiuri „echilateral" și „echiunghic" înseamnă același lucru.

O analogie ca să ții minte

Gândește-te la un trepied perfect, la o piesă din jocul de „Y" sau la semnul de circulație „Cedează trecerea": toate au forma unui triunghi echilateral pentru că este o formă stabilă și echilibrată. Natura și inginerii o aleg tocmai pentru că este simetrică în toate direcțiile. Tot așa cum un cerc arată la fel oricum l-ai întoarce, un triunghi echilateral arată la fel dacă îl rotești cu $120°$ în jurul centrului său. Egalitatea laturilor și a unghiurilor este „secretul" acestei armonii.

Liniile importante coincid

Îți amintești de cele patru linii importante din triunghi, studiate în lecțiile anterioare?

• bisectoarea unui unghi (împarte unghiul în două unghiuri egale) — vezi Bisectoarele unui triunghi;
• mediana dintr-un vârf (unește vârful cu mijlocul laturii opuse) — vezi Medianele unui triunghi;
• înălțimea dintr-un vârf (segmentul perpendicular pe latura opusă) — vezi Înălțimile unui triunghi;
• mediatoarea unei laturi (perpendiculara pe mijlocul laturii) — vezi Mediatoarele unui triunghi.

În triunghiul isoscel, ai învățat un rezultat surprinzător: din vârful dintre laturile egale, aceste patru linii coincid — adică sunt aceeași dreaptă.

Acum, în triunghiul echilateral, lucrurile devin și mai frumoase. Pentru că echilateralul este isoscel „din fiecare vârf", proprietatea de coincidență se întâmplă din toate cele trei vârfuri deodată!

Proprietate. Într-un triunghi echilateral, din fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid (sunt una și aceeași dreaptă).

Ce înseamnă asta concret? Hai să luăm vârful $A$ și latura opusă $BC$. Segmentul care pleacă din $A$ spre $BC$ este în același timp:

• bisectoare: împarte unghiul $\hat{A}$ de $60°$ în două unghiuri de câte $30°$;
• mediană: ajunge fix în mijlocul lui $BC$;
• înălțime: este perpendicular pe $BC$ (formează unghi de $90°$);
• mediatoare a laturii $BC$: trece prin mijlocul lui $BC$ și este perpendicular pe ea.

Și fiindcă acest lucru se întâmplă din toate cele trei vârfuri, toate punctele „remarcabile" ale triunghiului — centrul de greutate, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris și ortocentrul — se adună într-un singur punct, centrul triunghiului. La majoritatea triunghiurilor aceste centre sunt în locuri diferite; la echilateral ele sunt unul și același punct. Aceasta este, poate, cea mai elegantă consecință a simetriei perfecte.

Recapitulăm proprietățile esențiale

Hai să strângem într-un singur loc tot ce am descoperit despre proprietățile triunghiului echilateral:

1. Laturi: toate trei sunt congruente: $AB=BC=CA$.
2. Unghiuri: toate trei au câte $60°$.
3. Este isoscel în orice mod l-ai privi (caz particular de triunghi isoscel).
4. Linii importante: din fiecare vârf, bisectoarea = mediana = înălțimea = mediatoarea laturii opuse.
5. Centre: centrul de greutate, ortocentrul, centrul cercului înscris și al celui circumscris coincid.
6. Simetrie: are trei axe de simetrie (cele trei linii importante).

Cu aceste șase idei în minte, vei putea rezolva orice problemă de bază despre triunghiul echilateral.

O mică poveste despre simetrie

Imaginează-ți trei copii care se joacă „prinselea" pe un teren și vor să stea la distanțe egale unul de celălalt, ca nimeni să nu fie avantajat. Dacă fiecare se află la aceeași distanță de ceilalți doi, atunci punctele în care stau ei formează exact un triunghi echilateral. Indiferent cum rotești terenul sau din ce parte îl privești, situația arată la fel — niciun copil nu este „mai aproape" de centru decât altul. Tocmai această dreptate perfectă face ca echilateralul să apară atât de des în jocuri, în arhitectură și în natură. Reține imaginea: echilateral = distanțe egale între toate vârfurile. Este o modalitate intuitivă de a verifica dacă un triunghi este echilateral fără să măsori unghiurile.

Triunghiul ascuns: 30°–60°–90°

Mai este o observație care îți va folosi în clasele următoare. Atunci când duci o înălțime într-un triunghi echilateral, o împarți în două triunghiuri dreptunghice egale, fiecare cu unghiurile de $30°$, $60°$ și $90°$. Vârful de $60°$ vine de la unghiul echilateralului, cel de $30°$ vine din înjumătățirea făcută de bisectoare, iar cel de $90°$ apare la piciorul înălțimii. Nu trebuie să reții acum proprietăți complicate despre aceste triunghiuri, dar este bine să știi că echilateralul „ascunde" în el două triunghiuri dreptunghice frumoase — un detaliu pe care îl vei folosi când vei studia triunghiul dreptunghic și mai târziu teorema lui Pitagora.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiurile sunt date direct

Cerință. Triunghiul $MNP$ este echilateral. Cât măsoară unghiul $\hat{N}$?

Rezolvare. Aici nu avem nimic de calculat, doar de aplicat proprietatea. Într-un triunghi echilateral fiecare unghi are $60°$. Așadar:

$$\hat{M}=\hat{N}=\hat{P}=60°.$$

Răspuns: $\hat{N}=60°$. (Reține: nu contează cum se numesc vârfurile — la echilateral toate unghiurile sunt automat $60°$.)

Exemplul 2 — De la perimetru la latură

Cerință. Un triunghi echilateral are perimetrul de $27$ cm. Cât măsoară o latură?

Rezolvare. Perimetrul este suma laturilor, iar la echilateral toate cele trei laturi sunt egale. Dacă notăm latura cu $\ell$, atunci:

$$P=\ell +\ell +\ell =3\ell .$$

Înlocuim perimetrul cunoscut:

$$3\ell =27\text{ cm}⟹\ell =\frac{27}{3}=9\text{ cm}.$$

Răspuns: fiecare latură are $9$ cm. (Trucul rapid: la triunghiul echilateral, latura = perimetrul împărțit la $3$.)

Exemplul 3 — De la latură la perimetru

Cerință. O latură a unui triunghi echilateral are $12,5$ cm. Află perimetrul.

Rezolvare. Folosim formula perimetrului pentru echilateral, $P=3\ell$:

$$P=3\cdot 12,5=37,5\text{ cm}.$$

Răspuns: perimetrul este $37,5$ cm.

Exemplul 4 — Bisectoarea împarte unghiul

Cerință. În triunghiul echilateral $ABC$, ducem din vârful $A$ bisectoarea unghiului $\hat{A}$, care taie latura $BC$ în punctul $D$. Cât măsoară unghiul $\widehat{BAD}$? Ce fel de unghi formează $AD$ cu $BC$?

Rezolvare. Unghiul $\hat{A}$ are $60°$ (triunghi echilateral). Bisectoarea îl împarte în două unghiuri congruente, deci:

$$\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\frac{60°}{2}=30°.$$

În plus, într-un triunghi echilateral, bisectoarea din $A$ coincide cu înălțimea din $A$. Înălțimea este perpendiculară pe latura opusă, deci $AD\perp BC$, adică unghiul format este de $90°$.

Răspuns: $\widehat{BAD}=30°$, iar $AD$ este perpendiculară pe $BC$ (unghi de $90°$).

Exemplul 5 — Recunoaștem un echilateral din unghiuri

Cerință. Un triunghi are două unghiuri de câte $60°$. Este el echilateral? Justifică.

Rezolvare. Folosim suma unghiurilor. Dacă două unghiuri au câte $60°$, al treilea este:

$$180°-60°-60°=60°.$$

Deci toate trei unghiurile au $60°$, adică triunghiul este echiunghic. Un triunghi cu toate unghiurile egale este echilateral (proprietatea în sens invers).

Răspuns: Da, este echilateral, pentru că toate cele trei unghiuri sunt de $60°$. (Concluzie utilă: ca să dovedești că un triunghi e echilateral, e suficient să arăți că două unghiuri au câte $60°$.)

Exemplul 6 — Problemă cu mediana și mijlocul laturii

Cerință. În triunghiul echilateral $ABC$ cu latura de $14$ cm, $M$ este mijlocul laturii $BC$. Cât măsoară segmentele $BM$ și $MC$? Ce reprezintă segmentul $AM$ pentru triunghi?

Rezolvare. Deoarece $M$ este mijlocul laturii $BC$, el împarte latura în două părți egale:

$$BM=MC=\frac{14}{2}=7\text{ cm}.$$

Segmentul $AM$ unește vârful $A$ cu mijlocul laturii opuse $BC$, deci este mediana din $A$. Dar în triunghiul echilateral mediana din $A$ coincide cu bisectoarea, cu înălțimea și cu mediatoarea laturii $BC$. Așadar $AM$ este, în același timp, mediană, bisectoare, înălțime și mediatoare.

Răspuns: $BM=MC=7$ cm; $AM$ este simultan mediană, bisectoare, înălțime și mediatoare (este perpendicular pe $BC$ și trece prin mijlocul ei).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde ajută. Exercițiile sunt aranjate de la ușor la greu.

1. Completează: Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi ________.

2. Adevărat sau fals? Fiecare unghi al unui triunghi echilateral are $60°$.

3. Adevărat sau fals? Orice triunghi echilateral este și triunghi isoscel.

4. Adevărat sau fals? Orice triunghi isoscel este echilateral.

5. Triunghiul $ABC$ este echilateral. Cât măsoară $\hat{C}$?

6. Un triunghi echilateral are latura de $8$ cm. Cât este perimetrul lui?

7. Un triunghi echilateral are perimetrul de $45$ cm. Cât măsoară o latură?

8. Încercuiește figura care nu poate fi un triunghi echilateral: a) un triunghi cu unghiurile $60°,60°,60°$; b) un triunghi cu laturile $5$ cm, $5$ cm, $5$ cm; c) un triunghi cu unghiurile $50°,60°,70°$.

9. În triunghiul echilateral $DEF$ se duce bisectoarea din $D$. În ce două unghiuri împarte ea unghiul $\hat{D}$?

10. Un triunghi are un unghi de $60°$ și este isoscel cu acest unghi între cele două laturi egale. Arată, prin calcul, că este echilateral.

11. Potrivește fiecare element din coloana stângă cu valoarea sa, pentru un triunghi echilateral cu latura de $6$ cm:

    • A. măsura unui unghi …
    • B. perimetrul …
    • C. lungimea unei laturi …
    • 1. $6$ cm; 2) $18$ cm; 3) $60°$.

12. În triunghiul echilateral $ABC$, $AM$ este mediana din $A$ ($M$ pe $BC$). Cât măsoară unghiul $\widehat{AMB}$? Justifică.

13. Un triunghi echilateral are perimetrul de $30$ cm. Pe fiecare latură se marchează mijlocul. Cât măsoară segmentul dintre un vârf și mijlocul uneia dintre laturile care pornesc din acel vârf (adică o jumătate de latură)?

14. Desenează un triunghi echilateral cu latura de $4$ cm folosind rigla și compasul, apoi marchează unghiurile de $60°$.

15. În triunghiul echilateral $ABC$, bisectoarea din $A$ taie $BC$ în $D$. Cât măsoară $\widehat{ADB}$ și $\widehat{BAD}$?

16. Problemă. Un gard ornamental are forma unui triunghi echilateral. Pentru o latură s-au folosit $2,4$ m de lemn. Câți metri de lemn sunt necesari pentru tot conturul gardului?

17. Problemă. Trei prieteni stau în vârfurile unui teren în formă de triunghi echilateral. Distanța dintre doi dintre ei este de $15$ m. Care este distanța dintre oricare alți doi? De ce?

18. Provocare. Într-un triunghi echilateral $ABC$, ducem bisectoarele din $A$ și din $B$; ele se intersectează în punctul $I$. Cât măsoară unghiul $\widehat{IAB}$ și unghiul $\widehat{IBA}$? Apoi află $\widehat{AIB}$ folosind suma unghiurilor în triunghiul $AIB$.

Răspunsuri și explicații

1. echilateral. Definiția: toate cele trei laturi congruente.

2. Adevărat. Suma unghiurilor este $180°$, iar la echilateral sunt egale: $180°:3=60°$.

3. Adevărat. Echilateralul are toate trei laturile egale, deci în mod sigur are și două egale — condiția de triunghi isoscel.

4. Fals. Un triunghi isoscel are doar (cel puțin) două laturi egale; a treia poate fi diferită, deci nu este obligatoriu echilateral.

5. $\hat{C}=60°$. La orice triunghi echilateral fiecare unghi are $60°$.

6. $P=24$ cm. $P=3\cdot 8=24$ cm.

7. Latura $=15$ cm. $\ell =45:3=15$ cm.

8. c). Un triunghi cu unghiurile $50°,60°,70°$ nu are toate unghiurile egale, deci nu este echilateral. Variantele a) și b) sunt echilaterale.

9. În două unghiuri de câte $30°$. Bisectoarea împarte unghiul de $60°$ în două părți egale: $60°:2=30°$.

10. Notăm cu $60°$ unghiul dintre cele două laturi egale; fiind isoscel, unghiurile de la bază sunt egale, fie ele de măsură $y$. Atunci $60°+y+y=180°$, deci $2y=120°$, adică $y=60°$. Toate unghiurile sunt $60°$, deci triunghiul este echilateral.

11. A–3, B–2, C–1. Unghiul are $60°$; perimetrul $3\cdot 6=18$ cm; latura $6$ cm.

12. $\widehat{AMB}=90°$. În triunghiul echilateral mediana din $A$ coincide cu înălțimea din $A$, deci $AM\perp BC$, adică unghiul este drept, de $90°$.

13. $5$ cm. Latura este $30:3=10$ cm; jumătatea unei laturi este $10:2=5$ cm.

14. Desen: trasezi un segment de $4$ cm; cu compasul deschis la $4$ cm, faci câte un arc din fiecare capăt; punctul de intersecție al arcelor este al treilea vârf. Unirea dă triunghiul echilateral, fiecare unghi de $60°$. (Verificare: cele trei laturi au toate $4$ cm.)

15. $\widehat{BAD}=30°$ și $\widehat{ADB}=90°$. Bisectoarea împarte $\hat{A}$ de $60°$ în două de câte $30°$; fiind și înălțime, $AD\perp BC$, deci $\widehat{ADB}=90°$.

16. $7,2$ m. Conturul (perimetrul) are trei laturi egale: $3\cdot 2,4=7,2$ m.

17. $15$ m. Terenul fiind un triunghi echilateral, toate laturile sunt egale; dacă o distanță (latură) este $15$ m, atunci oricare altă distanță dintre doi prieteni este tot $15$ m.

18. $AI$ și $BI$ sunt bisectoare, deci $\widehat{IAB}=\frac{60°}{2}=30°$ și $\widehat{IBA}=\frac{60°}{2}=30°$. În triunghiul $AIB$: $\widehat{AIB}=180°-30°-30°=120°$. Răspuns: $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}=30°$, $\widehat{AIB}=120°$.

De reținut

• Triunghiul echilateral are toate cele trei laturi congruente: $AB=BC=CA$.
• Fiecare unghi al lui are exact 60° (pentru că $180°:3=60°$).
• Echilateralul este un caz particular de triunghi isoscel — și încă „de trei ori".
• Un triunghi este echilateral dacă și numai dacă are toate unghiurile egale (toate de $60°$); e suficient ca două unghiuri să fie de $60°$.
• Din fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid; toate centrele triunghiului se adună într-un singur punct.

Greșeli frecvente

• „Echilateral și isoscel sunt complet diferite." Fals. Echilateralul este un fel special de isoscel. Confuzia apare pentru că la isoscel desenăm de obicei doar două laturi egale; ține minte că „toate trei egale" include automat „două egale".
• „Dacă un triunghi are un singur unghi de 60°, e echilateral." Greșit. Un unghi de $60°$ singur nu este suficient (de exemplu $50°,60°,70°$). Ai nevoie ca toate unghiurile să fie de $60°$ — sau să fie isoscel cu acel $60°$ în poziția potrivită. Reține regula sigură: două unghiuri de $60°$ garantează echilateralul.
• „Bisectoarea împarte unghiul de 60° tot în 60°." Nu. Bisectoarea înjumătățește: $60°:2=30°$. Verifică mereu împărțirea la $2$.
• „Latura = perimetrul." Atenție la formulă: la echilateral $P=3\ell$, deci latura este $P:3$, nu egală cu $P$. Împarte mereu la $3$.

Joc acasă

1) Triunghiul din scobitori. Ia trei scobitori (sau trei bețe egale de chibrit). Așază-le cap la cap astfel încât să formeze un triunghi. Pentru că au toate aceeași lungime, vei obține mereu un triunghi echilateral. Încearcă să-l „turtești" împingând ușor de un vârf: vei observa că nu rămâne echilateral decât atunci când laturile sunt egale și fixate — un mic experiment despre stabilitate.

2) Vânătoarea de triunghiuri echilaterale. Timp de o zi, caută prin casă și pe stradă forme de triunghi echilateral: semnul „Cedează trecerea", anumite grătare de aerisire, piese triunghiulare de la jocuri de societate, tangram, sigle de firme. Notează cel puțin trei și verifică „din ochi" dacă cele trei laturi par egale.

3) Constructorul cu compasul. Cu rigla și compasul, desenează pe o foaie un triunghi echilateral cu latura de $5$ cm (deschide compasul la $5$ cm și fă două arce din capetele unui segment de $5$ cm). Apoi măsoară cu raportorul fiecare unghi: ar trebui să-ți iasă, de fiecare dată, aproape exact $60°$. Compară cu colegul/părintele care desenează altul.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează trecerea de la triunghiuri „generale" la triunghiuri particulare și se sprijină pe două rezultate deja învățate: suma unghiurilor (180°) și proprietatea triunghiului isoscel. Ideea centrală pe care vrem să o fixăm este logică, nu mecanică: echilateralul are $60°$ pe fiecare unghi pentru că este isoscel din toate vârfurile și pentru că $180°:3=60°$.

Câteva întrebări bune de adresat elevului:

• „De ce este orice triunghi echilateral și isoscel, dar nu invers?" (verifică înțelegerea relației caz general – caz particular).
• „Dacă îți spun doar că două unghiuri au câte 60°, poți să-mi garantezi că triunghiul e echilateral? Demonstrează." (antrenează raționamentul cu suma unghiurilor).
• „De ce, în triunghiul echilateral, mediana din A este și înălțime?" (face legătura cu liniile importante).

Cum sprijiniți elevul: încurajați desenul corect cu rigla și marcarea egalităților cu liniuțe pe laturi. La problemele cu perimetrul, insistați pe relația $P=3\ell$ și pe inversa ei, $\ell =P:3$ — sunt sursa celor mai dese erori de calcul. Verificați înțelegerea cerând elevului să justifice, nu doar să dea numărul: „de unde știi că e 90° la piciorul înălțimii?". Dacă rezolvă corect exercițiile 10, 12 și 18, înseamnă că a integrat atât proprietatea unghiurilor, cât și coincidența liniilor importante.

Întrebări frecvente

Ce este un triunghi echilateral pe înțelesul clasei a 6-a? Este un triunghi care are toate cele trei laturi de aceeași lungime (congruente). Drept urmare, are și toate cele trei unghiuri egale, fiecare de $60°$. Este cel mai simetric dintre triunghiuri.

De ce are triunghiul echilateral unghiuri de 60°? Pentru că suma unghiurilor oricărui triunghi este $180°$, iar la echilateral toate trei sunt egale. Împărțind, $180°:3=60°$, deci fiecare unghi are exact $60°$.

Triunghiul echilateral este și isoscel? Da. Triunghiul isoscel are cel puțin două laturi egale, iar echilateralul are toate trei egale, deci îndeplinește cu prisosință condiția. Echilateralul este un caz particular de triunghi isoscel.

Care este diferența dintre triunghiul echilateral și cel isoscel? Triunghiul isoscel are (cel puțin) două laturi egale, dar a treia poate fi diferită. Triunghiul echilateral are toate trei laturile egale. Așadar orice echilateral este isoscel, dar nu orice isoscel este echilateral.

Cum aflu perimetrul unui triunghi echilateral? Înmulțești lungimea unei laturi cu $3$, pentru că toate laturile sunt egale: $P=3\ell$. Invers, dacă știi perimetrul, latura este $\ell =P:3$.

De ce coincid liniile importante în triunghiul echilateral? Pentru că echilateralul este isoscel privit din oricare vârf, iar la isoscel bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea din vârful dintre laturile egale sunt aceeași dreaptă. Cum asta e valabil din toate cele trei vârfuri, toate liniile și toate centrele se suprapun.

Cum demonstrez că un triunghi este echilateral? Ai mai multe căi: arăți că toate trei laturile sunt egale, sau că toate trei unghiurile sunt egale (de $60°$). Practic, este suficient să dovedești că două unghiuri au câte $60°$, fiindcă al treilea iese automat tot $60°$ din suma de $180°$.

Cât măsoară jumătate din unghiul unui triunghi echilateral? Unghiul are $60°$, iar bisectoarea îl împarte în două unghiuri egale de câte $30°$. De aceea, la piciorul înălțimii din același vârf, se formează un triunghi dreptunghic cu unghiuri de $30°$, $60°$ și $90°$.