În triunghiul $$XYZ$$, punctul $$M$$ este mijlocul laturii $$YZ$$, $$YZ = 26$$ cm, iar mediana $$XM = 13$$ cm. Ce putem afirma despre triunghi?

Triunghiul este dreptunghic în $$X$$

Triunghiul este isoscel în $$Y$$

Nu putem afirma nimic despre triunghi

Ce proprietăți are triunghiul dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Cateta de 30° și mediana ipotenuzei

Are un unghi de 90 de grade, ale cărui laturi se numesc catete, iar latura din fața lui este ipotenuza, mereu cea mai lungă. Celelalte două unghiuri adună 90 de grade, deci unul îl dă pe celălalt. Cateta din fața unghiului de 30 de grade face jumătate din ipotenuză. Mediana pornită din unghiul drept spre mijlocul ipotenuzei este tot jumătate din ea: la o ipotenuză de 26 cm, mediana are 13 cm.

Într-un triunghi dreptunghic, laturile unghiului drept se numesc catete, iar latura din fața unghiului drept se numește ipotenuză — mereu cea mai lungă latură. Cele două unghiuri ascuțite sunt complementare: $m (∢ B) + m (∢ C) = 90°$ .

Două proprietăți esențiale:

Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: dacă $m (∢ A) = 90°$ și $m (∢ B) = 30°$ , atunci $A C = \frac{B C}{2}$ (și reciproc).
Mediana din vârful unghiului drept spre mijlocul $M$ al ipotenuzei este tot jumătate din ipotenuză: $A M = B M = C M = \frac{B C}{2}$ (și reciproc, dacă mediana e jumătate din latura spre care merge, unghiul din vârful ei e $90°$ ).

Exemplu: dacă $B C = 14$ cm și $m (∢ B) = 30°$ , atunci $A C = \frac{14}{2} = 7$ cm.

De reținut

unghiurile ascuțite adună 90 de grade
cateta din fața lui $30°$ este jumătate din ipotenuză
mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză
ipotenuza este mereu latura cea mai lungă

Greșeala tipică

Regula jumătății se aplică la cateta greșită. Jumătate din ipotenuză este numai cateta așezată în fața unghiului de 30 de grade, nu oricare dintre ele.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $M N P$ , dreptunghic în $M$ , unghiul $N$ are $42°$ . Cât are unghiul $P$ ?
- a) $38°$
- b) $42°$
- c) $48°$
- d) $58°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $48°$

Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare: $m (∢ N) + m (∢ P) = 90°$ . Deci $m (∢ P) = 90° - 42° = 48°$ .
În triunghiul $X Y Z$ , punctul $M$ este mijlocul laturii $Y Z$ , $Y Z = 26$ cm, iar mediana $X M = 13$ cm. Ce putem afirma despre triunghi?
- a) Triunghiul este echilateral
- b) Triunghiul este dreptunghic în $X$
- c) Triunghiul este isoscel în $Y$
- d) Nu putem afirma nimic despre triunghi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Triunghiul este dreptunghic în $X$

Verificăm: $\frac{Y Z}{2} = \frac{26}{2} = 13 = X M$ . Cum mediana spre mijlocul unei laturi este egală cu jumătate din acea latură, prin reciproca teoremei medianei, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în vârful din care pleacă mediana, adică în $X$ .
În triunghiul $S T U$ , dreptunghic în $S$ , unghiul $T$ are $37°$ . Cât are unghiul $U$ ?
- a) $37°$
- b) $43°$
- c) $53°$
- d) $63°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $53°$

Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare: $m (∢ T) + m (∢ U) = 90°$ . Deci $m (∢ U) = 90° - 37° = 53°$ .

Întrebări conexe

Cât măsoară cateta opusă unghiului de 30 de grade la ipotenuza de 22 cm?

Are 11 cm, adică jumătate din ipotenuză. Regula merge numai pentru cateta așezată în fața unghiului de 30 de grade; cealaltă catetă, cea din fața unghiului de 60 de grade, este mai lungă. Verificarea rapidă este că rezultatul trebuie să iasă mai mic decât ipotenuza.

De ce vârful unghiului drept stă pe cercul cu diametrul ipotenuza?

Fiindcă mediana din acel vârf este jumătate din ipotenuză, deci vârful se află la aceeași distanță de mijlocul ipotenuzei ca și capetele ei. Punctele aflate la distanță egală de un centru formează un cerc, iar mijlocul ipotenuzei este centrul lui.

Ce se întâmplă cu ipotenuza dacă măresc doar o catetă?

Ipotenuza se lungește și ea, fiindcă unghiul drept rămâne pe loc, iar capătul catetei mărite se depărtează. Se mărește totodată unghiul din fața catetei lungite. Ipotenuza rămâne cea mai lungă latură, oricât de mult ai mări una dintre catete.

Ce unghiuri are un triunghi dreptunghic cu o catetă jumătate din ipotenuză?

Are 90, 60 și 30 de grade. Cateta scurtă stă în fața unghiului de 30 de grade, iar acesta este drumul invers al proprietății: de la lungimi ajungi la unghiuri. Se folosește ca să dovedești că un unghi are exact 30 de grade, fără să îl măsori.

Ce triunghiuri obțin dacă tai un dreptunghi pe diagonală?

Obții două triunghiuri dreptunghice care se suprapun exact. Catetele fiecăruia sunt laturile dreptunghiului, iar ipotenuza comună este chiar diagonala. De aceea aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.

De ce mediana din unghiul drept dă două triunghiuri isoscele?

Pentru că mediana are aceeași lungime cu jumătățile ipotenuzei, deci în fiecare dintre cele două triunghiuri mici există câte două laturi egale. Din același motiv unghiurile de la bază ale acestor triunghiuri sunt egale, ceea ce ajută la aflarea unghiurilor din figură.

Oamenii mai întreabă și: triunghi dreptunghic · proprietățile triunghiului dreptunghic · cateta opusă unghiului de 30 de grade · mediana din unghiul drept · ce este cateta și ipotenuza