Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice

Imaginează-ți că tai un salam cu un cuțit, ținând lama mereu paralelă cu capătul plat al salamului: fiecare felie arată la fel, un cerc identic. Acum imaginează-ți că tai un morcov, dar de data asta transversal, tot paralel cu baza: feliile de lângă vârf sunt mai mici decât cele de lângă capătul gros. Aceste două experiențe simple din bucătărie ascund, de fapt, una dintre cele mai elegante idei ale geometriei în spațiu din clasa a VIII-a: secțiunile paralele cu baza. În unele corpuri geometrice ele produc figuri identice cu baza, iar în altele figuri de aceeași formă, dar micșorate. În această lecție descoperim de ce, cu justificări riguroase și cu desene, exact așa cum ți se cere la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă secțiunea unui corp geometric cu un plan și cum apare figura obținută.
• Vei ști să recunoști că o secțiune paralelă cu baza într-o prismă sau într-un cilindru este congruentă cu baza.
• Vei ști să recunoști că o secțiune paralelă cu baza într-o piramidă sau într-un con este asemenea cu baza și să faci legătura cu trunchiul.
• Vei ști să identifici elementele caracteristice ale figurii obținute (laturi, rază, perimetru, arie) și să folosești raportul de asemănare.
• Vei ști să reprezinți prin desen o secțiune paralelă cu baza într-o configurație spațială dată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o secțiune a unui corp geometric

Un corp geometric (prismă, piramidă, cilindru, con etc.) ocupă o parte din spațiu. Dacă „îl tăiem" cu un plan, planul întâlnește corpul într-o figură plană, adică o mulțime de puncte care aparțin în același timp și corpului, și planului.

Definiție. Se numește secțiune a unui corp geometric cu un plan figura plană formată din toate punctele comune corpului și planului de tăiere. Planul care taie corpul se numește plan de secțiune.

Gândește-te la o pâine: dacă o tai cu un cuțit, suprafața proaspăt tăiată pe care o vezi este chiar secțiunea. Ea este o figură plană, pentru că se află complet în planul lamei cuțitului.

Forma secțiunii depinde de două lucruri:

1. de corpul pe care îl tăiem;
2. de poziția planului de tăiere (înclinat, vertical, orizontal, prin ce puncte trece).

În această lecție ne interesează un caz special și foarte util: planul de tăiere este paralel cu baza corpului. Reamintim din lecția Plane paralele că două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Aici planul de secțiune și planul bazei sunt paralele, iar planul de secțiune trece prin interiorul corpului.

2. De ce e util paralelismul: proprietatea-cheie

Vom folosi o proprietate foarte importantă a planelor paralele, pe care ai întâlnit-o în lecția precedentă:

Proprietate (plane paralele tăiate de un al treilea plan). Dacă două plane paralele sunt tăiate de un al treilea plan, atunci dreptele de intersecție sunt paralele.

Aceasta este cheia care explică totul. Fiecare față laterală a unui corp este un plan (sau o suprafață) care taie și planul bazei, și planul secțiunii. Deoarece baza și secțiunea sunt în plane paralele, urmele lor pe o aceeași față laterală sunt drepte paralele. Din asta se nasc toate rezultatele de mai jos.

3. Secțiuni paralele cu baza în prismă și cilindru: figuri congruente

Începem cu corpurile ale căror „pereți laterali" sunt verticali, adică cu prisma dreaptă și cu cilindrul circular drept.

Prisma dreaptă. Fie o prismă dreaptă (de exemplu una triunghiulară sau una hexagonală). Muchiile laterale sunt segmente paralele între ele și perpendiculare pe baze, toate de aceeași lungime. Dacă tăiem prisma cu un plan paralel cu baza, planul intersectează fiecare față laterală după un segment.

Să urmărim raționamentul pas cu pas pe o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (baza de jos $ABC$, baza de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$), secționată de un plan paralel cu bazele care taie muchiile laterale în punctele $M\in A{A}^{\prime }$, $N\in B{B}^{\prime }$, $P\in C{C}^{\prime }$:

• Fața laterală $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este un dreptunghi. Planul de secțiune o taie după segmentul $MN$. Cum planul secțiunii este paralel cu planul bazei, iar amândouă taie fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, rezultă $MN\parallel AB$.
• Analog, $NP\parallel BC$ și $MP\parallel AC$.
• Mai mult, $AM\parallel BN$ (ambele pe muchii laterale paralele) și $AM=BN$ (muchiile fiind egale, iar planurile paralele decupează pe ele segmente egale), deci $ABNM$ este paralelogram, de unde $MN=AB$. La fel $NP=BC$ și $MP=AC$.

Prin urmare triunghiul $MNP$ are laturile respectiv egale cu ale triunghiului $ABC$: $MN=AB$, $NP=BC$, $MP=AC$. Conform cazului de congruență LLL, $△MNP\equiv △ABC$.

Concluzie (prismă). Orice secțiune într-o prismă dreaptă printr-un plan paralel cu baza este congruentă cu baza (o figură identică ca formă și dimensiuni). Ea are același perimetru și aceeași arie ca baza.

Intuitiv: prisma are „secțiune constantă". Oriunde ai tăia-o paralel cu baza, obții mereu aceeași figură. De aceea prisma și cilindrul sunt corpuri cu grosime uniformă.

Cilindrul circular drept. Exact același lucru se întâmplă la cilindru. Un cilindru circular drept are ambele baze cercuri congruente de rază $R$, iar suprafața laterală este „verticală". Dacă tăiem cilindrul cu un plan paralel cu baza, secțiunea este un cerc de rază $R$, adică congruent cu baza. Toate feliile sunt cercuri identice, exact ca feliile de salam din introducere.

Concluzie (cilindru). Orice secțiune paralelă cu baza într-un cilindru circular drept este un cerc congruent cu baza (aceeași rază $R$, aceeași arie $\pi R^2$).

Atenție la deosebire: o secțiune axială (printr-un plan care conține axa) a cilindrului este un dreptunghi, nu un cerc. Aici vorbim doar despre secțiuni paralele cu baza.

4. Secțiuni paralele cu baza în piramidă și con: figuri asemenea

Trecem acum la corpurile care se îngustează spre vârf: piramida și conul. Aici apare diferența fundamentală.

Piramida. Fie o piramidă cu vârful $V$ și baza un poligon, de exemplu triunghiul $ABC$. Muchiile laterale $VA$, $VB$, $VC$ nu sunt paralele: ele se întâlnesc toate în vârful $V$. Tăiem piramida cu un plan paralel cu baza, care intersectează muchiile laterale în $M\in VA$, $N\in VB$, $P\in VC$.

Repetăm raționamentul cu plane paralele:

• Planul secțiunii este paralel cu planul bazei; ambele taie fața $VAB$, deci urmele lor sunt paralele: $MN\parallel AB$.
• Analog $NP\parallel BC$ și $MP\parallel AC$.

Acum privește triunghiul $VAB$ și dreapta $MN\parallel AB$. Conform teoremei fundamentale a asemănării (teorema paralelelor, învățată la clasa a VII-a), avem $$\frac{VM}{VA}=\frac{VN}{VB}=\frac{MN}{AB}.$$ La fel, din $VBC$ și $NP\parallel BC$: $\frac{VN}{VB}=\frac{VP}{VC}=\frac{NP}{BC}$; iar din $VAC$ și $MP\parallel AC$: $\frac{VM}{VA}=\frac{VP}{VC}=\frac{MP}{AC}$.

Notând cu $k$ această valoare comună a rapoartelor, obținem $$\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{MP}{AC}=k.$$ Aceasta înseamnă exact că triunghiul $MNP$ este asemenea cu triunghiul $ABC$, cu raportul de asemănare $k$. Numărul $k$ este subunitar ($0<k<1$), pentru că secțiunea este mai aproape de vârf decât baza, deci mai mică.

Concluzie (piramidă). Orice secțiune într-o piramidă printr-un plan paralel cu baza este un poligon asemenea cu baza. Raportul de asemănare este $k=\frac{VM}{VA}$ (raportul dintre distanțele de la vârf).

Ce se întâmplă cu partea de jos rămasă, între baza $ABC$ și secțiunea $MNP$? Aceasta este chiar un trunchi de piramidă! Practic, tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza, o împarți în două: o piramidă mică $VMNP$ (asemenea cu piramida întreagă) și un trunchi de piramidă $ABCMNP$. Vei studia în detaliu trunchiul de piramidă în lecția Trunchiul de piramidă regulată.

Conul circular drept. Aceeași idee. Un con are vârful $V$ și baza un cerc de rază $R$. Tăiem conul cu un plan paralel cu baza, la o anumită înălțime. Secțiunea este tot un cerc, dar de rază mai mică, $r$. Cu cât ne apropiem de vârf, cu atât raza scade; la vârf ea devine $0$ (un punct).

Raportul rămâne același: dacă notăm cu $h$ înălțimea totală a conului (de la vârf la baza mare) și cu $h_1$ distanța de la vârf la planul secțiunii, atunci $$k=\frac{r}{R}=\frac{h_1}{h}.$$ Cercul-secțiune este asemenea cu cercul bazei (toate cercurile sunt asemenea între ele), cu raportul $k$. Partea de jos rămasă este un trunchi de con — vezi lecția Trunchiul de con circular drept.

5. Cum se transformă perimetrul și aria: puterile raportului

Când figura-secțiune este asemenea cu baza cu raportul $k$, se aplică regulile asemănării pe care le știi:

• Laturile / raza se înmulțesc cu $k$: dacă baza are latura $\ell$, secțiunea are latura $k\ell$; dacă baza are raza $R$, secțiunea are raza $kR$.
• Perimetrul se înmulțește tot cu $k$: $P_{\text{sect}}=k\cdot P_{\text{baza}}$.
• Aria se înmulțește cu $k^2$: $$A_{\text{sect}}=k^2\cdot A_{\text{baza}}.$$

Această ultimă formulă este foarte des cerută la examen. Reține: lungimile scalează cu $k$, ariile cu $k^2$. (La volume, pe care le vei studia mai târziu, raportul devine $k^3$.)

Pentru prismă și cilindru, unde secțiunea este congruentă cu baza, avem pur și simplu $k=1$: perimetrul și aria secțiunii sunt egale cu ale bazei. Congruența este, de fapt, cazul particular al asemănării cu raport $1$.

6. Un tabel care sintetizează totul

Regula de aur, ușor de memorat: la corpurile cu pereți paraleli (prismă, cilindru) → congruent; la corpurile cu vârf (piramidă, con) → asemenea.

7. Cum reprezinți corect o secțiune prin desen

La Evaluarea Națională ți se poate cere să desenezi secțiunea. Iată pașii:

1. Desenează corect corpul în perspectivă (muchiile ascunse cu linie întreruptă).
2. Alege pe muchiile laterale puncte la aceeași „înălțime" (pentru prismă/cilindru) sau la același raport față de vârf (pentru piramidă/con).
3. Unește punctele astfel încât fiecare latură a secțiunii să fie paralelă cu latura corespunzătoare din bază.
4. Hașurează figura obținută și notează dacă este congruentă sau asemenea cu baza.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Secțiune într-o prismă

Se dă o prismă dreaptă cu baza pătrat de latură $6\text{cm}$ și înălțimea $10\text{cm}$. Un plan paralel cu baza taie prisma la $4\text{cm}$ de baza inferioară. Ce figură se obține și care este perimetrul și aria ei?

Rezolvare. Prisma este un corp cu pereți laterali paraleli, deci secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza. Baza fiind un pătrat de latură $6\text{cm}$, secțiunea este tot un pătrat de latură $6\text{cm}$, indiferent la ce înălțime tăiem (înălțimea $4\text{cm}$ nu influențează dimensiunile secțiunii).

• Perimetrul: $P=4\cdot 6=24\text{cm}$.
• Aria: $A=6^2=36{\text{cm}}^2$.

Observație pentru redactare: faptul că tăietura e la $4$ cm este o „capcană" — la prismă poziția planului nu schimbă mărimea secțiunii.

Exemplul 2 — Secțiune într-un cilindru

Un cilindru circular drept are raza bazei $R=5\text{cm}$. Se secționează cu un plan paralel cu baza. Determină aria secțiunii. Este ea diferită de aria bazei?

Rezolvare. Secțiunea paralelă cu baza într-un cilindru este un cerc congruent cu baza, de rază $5\text{cm}$. Aria: $$A=\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi {\text{cm}}^2\approx 78,5{\text{cm}}^2.$$ Aria secțiunii este egală cu aria bazei, pentru că $k=1$.

Exemplul 3 — Secțiune într-o piramidă, cu raport

O piramidă cu vârful $V$ are baza triunghi echilateral $ABC$ de latură $12\text{cm}$. Pe muchia $VA$ se ia punctul $M$ astfel încât $VM=\frac{1}{3}VA$. Prin $M$ se duce un plan paralel cu baza, care taie și $VB$ în $N$, și $VC$ în $P$. Determină laturile, perimetrul și aria triunghiului $MNP$.

Rezolvare. Secțiunea $MNP$ este asemenea cu baza $ABC$, cu raportul $$k=\frac{VM}{VA}=\frac{1}{3}.$$ Deci $△MNP$ este tot echilateral, cu latura $$MN=k\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot 12=4\text{cm}.$$

• Perimetrul: $P_{MNP}=k\cdot P_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot (3\cdot 12)=\frac{1}{3}\cdot 36=12\text{cm}$.
• Aria bazei: $A_{ABC}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.
• Aria secțiunii: $A_{MNP}=k^2\cdot A_{ABC}=\frac{1}{9}\cdot 36\sqrt{3}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Verificare directă: $A_{MNP}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{cm}}^2$. ✓ Corect.

Exemplul 4 — Secțiune într-un con

Un con circular drept are înălțimea $h=15\text{cm}$ și raza bazei $R=9\text{cm}$. Un plan paralel cu baza taie conul la $10\text{cm}$ de vârf. Determină raza secțiunii și aria ei.

Rezolvare. Secțiunea este un cerc asemenea cu baza. Raportul se ia după distanțele față de vârf: $$k=\frac{h_1}{h}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$ Raza secțiunii: $$r=k\cdot R=\frac{2}{3}\cdot 9=6\text{cm}.$$ Aria secțiunii: $$A=\pi r^2=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{cm}}^2\approx 113,1{\text{cm}}^2.$$ Atenție: dacă distanța de $10$ cm ar fi fost măsurată de la bază, atunci de la vârf ar fi $15-10=5$ cm, deci $k=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ și $r=3$ cm. Citește mereu cu grijă de unde se măsoară!

Exemplul 5 — Din arie spre raport (item tip examen)

O piramidă are aria bazei $A_{\text{baza}}=100{\text{cm}}^2$. O secțiune paralelă cu baza are aria $25{\text{cm}}^2$. La ce raport față de vârf s-a făcut tăietura?

Rezolvare. Aria scalează cu $k^2$: $$A_{\text{sect}}=k^2\cdot A_{\text{baza}}\Rightarrow 25=k^2\cdot 100\Rightarrow k^2=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\frac{1}{2}.$$ (Alegem soluția pozitivă, fiind vorba de un raport de lungimi.) Deci secțiunea trece prin mijloacele muchiilor laterale, adică la jumătatea distanței de la vârf la bază.

Exemplul 6 — Adevărat/fals cu justificare

Decide dacă afirmația este adevărată sau falsă și justifică: „Într-un cub, orice secțiune paralelă cu o față este un pătrat congruent cu fața."

Rezolvare. Adevărat. Cubul este o prismă dreaptă (de fapt un paralelipiped) cu pereți laterali paraleli și baze pătrate. O secțiune paralelă cu o față este congruentă cu acea față, deci este un pătrat de aceeași latură ca muchia cubului. Raportul de asemănare este $k=1$, deci laturile și aria coincid cu ale feței.

Să exersăm

1. Completează: secțiunea paralelă cu baza într-o prismă dreaptă este ______ cu baza, iar într-o piramidă este ______ cu baza.

2. O prismă dreaptă are baza dreptunghi cu laturile $8\text{cm}$ și $5\text{cm}$. Ce dimensiuni are secțiunea paralelă cu baza? Calculează perimetrul și aria ei.

3. Un cilindru are raza $R=7\text{cm}$. Care este aria secțiunii paralele cu baza? (lasă rezultatul cu $\pi$).

4. O piramidă are baza pătrat de latură $10\text{cm}$. O secțiune paralelă cu baza are raportul de asemănare $k=\frac{3}{5}$. Ce latură are secțiunea? Dar perimetrul?

5. Pentru piramida de la exercițiul 4, calculează aria bazei și aria secțiunii.

6. Un con are raza bazei $R=12\text{cm}$ și înălțimea $h=20\text{cm}$. Un plan paralel cu baza taie conul la $5\text{cm}$ de vârf. Determină raza secțiunii.

7. Adevărat sau fals (cu justificare): „Secțiunea paralelă cu baza într-un con este întotdeauna un cerc mai mic decât baza."

8. Adevărat sau fals (cu justificare): „Într-o prismă, cu cât tăiem mai sus, cu atât secțiunea paralelă cu baza este mai mică."

9. O piramidă are aria bazei $144{\text{cm}}^2$. O secțiune paralelă cu baza are aria $36{\text{cm}}^2$. Determină raportul de asemănare $k$.

10. Un con are raza $R=15\text{cm}$. O secțiune paralelă cu baza are raza $9\text{cm}$. Care este raportul de asemănare? La ce fracțiune din înălțime (măsurată de la vârf) s-a făcut tăietura?

11. Item tip Evaluare Națională. O piramidă $VABC$ are baza triunghi echilateral de latură $18\text{cm}$. $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele muchiilor $VA$, $VB$, $VC$. Determină perimetrul triunghiului $MNP$ și explică ce fel de figură este.

12. Desenează o prismă triunghiulară dreaptă și reprezintă o secțiune paralelă cu baza. Notează dacă este congruentă sau asemenea cu baza.

13. Desenează un con circular drept și reprezintă o secțiune paralelă cu baza situată aproape de vârf. Cum se numește corpul rămas sub secțiune?

14. O piramidă are înălțimea $24\text{cm}$. La ce distanță de vârf trebuie făcută o secțiune paralelă cu baza pentru ca raportul de asemănare să fie $k=\frac{3}{4}$?

15. Un morcov are forma unui con cu raza bazei $3\text{cm}$ și înălțimea $18\text{cm}$. Tai o felie paralelă cu baza la $12\text{cm}$ de vârf. Ce rază are felia? Care este aria feței circulare a feliei? (lasă cu $\pi$).

16. Problemă de raționament. Într-o piramidă, o secțiune paralelă cu baza are perimetrul egal cu jumătate din perimetrul bazei. Cât este raportul ariilor (aria secțiunii : aria bazei)?

17. Adevărat sau fals (cu justificare): „Dacă secțiunea paralelă cu baza a unei piramide este congruentă cu baza, atunci corpul nu este de fapt o piramidă."

18. Item tip examen. Un rezervor are forma unui con cu vârful în jos, cu raza $R=40\text{cm}$ la partea de sus și înălțimea $h=90\text{cm}$. Apa ajunge la $60\text{cm}$ măsurați de la vârf (de jos). Ce rază are suprafața liberă a apei (cercul de la suprafață)?

Răspunsuri și explicații

1. congruentă; asemenea. (Prismă/cilindru → congruent; piramidă/con → asemenea.)

2. Secțiunea este congruentă cu baza ($k=1$): dreptunghi $8\times 5$. Perimetru $P=2(8+5)=26\text{cm}$; arie $A=8\cdot 5=40{\text{cm}}^2$.

3. Cerc congruent cu baza, rază $7$ cm: $A=\pi \cdot 7^2=49\pi {\text{cm}}^2$.

4. Latura secțiunii: $k\cdot \ell =\frac{3}{5}\cdot 10=6\text{cm}$. Perimetrul: $4\cdot 6=24\text{cm}$ (sau $k\cdot P_{\text{baza}}=\frac{3}{5}\cdot 40=24$).

5. Aria bazei: $10^2=100{\text{cm}}^2$. Aria secțiunii: $k^2\cdot 100=\frac{9}{25}\cdot 100=36{\text{cm}}^2$ (verificare: $6^2=36$ ✓).

6. $k=\frac{h_1}{h}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. Raza secțiunii: $r=k\cdot R=\frac{1}{4}\cdot 12=3\text{cm}$.

7. Adevărat. La con, secțiunea paralelă cu baza este un cerc asemenea cu baza, cu raport $k<1$ (secțiunea e mai aproape de vârf), deci raza $r=kR<R$. Este întotdeauna mai mic decât baza.

8. Fals. La prismă secțiunea paralelă cu baza este mereu congruentă cu baza, indiferent de înălțimea la care tăiem. Dimensiunea nu se schimbă; $k=1$ mereu.

9. $k^2=\frac{36}{144}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\frac{1}{2}$.

10. $k=\frac{r}{R}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. Tăietura este la $\frac{3}{5}$ din înălțime, măsurată de la vârf.

11. $M$, $N$, $P$ mijloace $\Rightarrow k=\frac{VM}{VA}=\frac{1}{2}$. Triunghiul $MNP$ este echilateral (asemenea cu baza echilaterală), cu latura $\frac{1}{2}\cdot 18=9\text{cm}$. Perimetrul: $3\cdot 9=27\text{cm}$.

12. Desen: prismă triunghiulară dreaptă; secțiune paralelă cu baza = triunghi congruent cu baza (laturile secțiunii paralele și egale cu ale bazei). $k=1$.

Prismă triunghiulară dreaptă cu o secțiune orizontală hașurată, marcată „congruentă cu baza".

13. Desen: con cu secțiune paralelă cu baza aproape de vârf = cerc mic. Corpul rămas sub secțiune (între secțiune și baza mare) este un trunchi de con.

Con cu o secțiune orizontală mică lângă vârf; partea de jos etichetată „trunchi de con".

14. Raportul se ia de la vârf: $k=\frac{d}{h}$, unde $d$ = distanța de la vârf. $\frac{3}{4}=\frac{d}{24}\Rightarrow d=\frac{3}{4}\cdot 24=18\text{cm}$.

15. $k=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. Raza feliei: $r=\frac{2}{3}\cdot 3=2\text{cm}$. Aria feței circulare: $\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{cm}}^2$.

16. Perimetrul scalează cu $k$: $k=\frac{1}{2}$. Aria scalează cu $k^2=\frac{1}{4}$. Deci raportul ariilor este $\frac{1}{4}$ (secțiunea are un sfert din aria bazei).

17. Adevărat. La piramidă secțiunea paralelă cu baza este strict mai mică (raport $k<1$), deci nu poate fi congruentă cu baza. Dacă secțiunea ar fi congruentă cu baza, ar însemna pereți laterali paraleli, adică o prismă, nu o piramidă.

18. Vârful e jos, deci distanța de la vârf este chiar $60\text{cm}$. $k=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$. Raza suprafeței apei: $r=k\cdot R=\frac{2}{3}\cdot 40=\frac{80}{3}\approx 26,7\text{cm}$.

De reținut

• Secțiunea unui corp cu un plan = figura plană formată din punctele comune corpului și planului de tăiere.
• Prismă și cilindru (pereți paraleli): secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza ($k=1$); aceeași formă, același perimetru, aceeași arie.
• Piramidă și con (au vârf): secțiunea paralelă cu baza este asemenea cu baza, cu raport $k=\frac{\text{distanța de la vaˆrf la secțiune}}{\text{ıˆna˘lțimea totala˘}}=\frac{VM}{VA}$, unde $0<k<1$.
• Scalare: laturile și perimetrul se înmulțesc cu $k$; aria se înmulțește cu $k^2$: $A_{\text{sect}}=k^2{A}_{\text{baza}}$.
• Secționând o piramidă (sau un con) paralel cu baza, partea de jos rămasă este un trunchi de piramidă (respectiv trunchi de con).

Greșeli frecvente

• Confuzia congruent ↔ asemenea. Mulți elevi spun că secțiunea unei piramide este congruentă cu baza. Nu! La piramidă și con este asemenea (mai mică), doar la prismă și cilindru este congruentă. Reține regula: cu vârf → asemenea; fără vârf → congruent.
• Aria scalată greșit cu $k$ în loc de $k^2$. Dacă raportul lungimilor este $k$, raportul ariilor este $k^2$. De exemplu, la $k=\frac{1}{2}$ aria se reduce la un sfert, nu la jumătate.
• Greșeala „de unde măsor". Raportul $k$ pentru piramidă/con se ia mereu de la vârf. Dacă problema dă distanța de la bază, scazi din înălțimea totală înainte de a împărți. Citește cu atenție enunțul.
• Desen incorect al secțiunii. Fiecare latură a secțiunii trebuie desenată paralelă cu latura corespunzătoare din bază. Dacă laturile nu sunt paralele, secțiunea nu este paralelă cu baza.

Aplică acasă

1. Bucătărie – felii congruente vs. asemenea. Ia un pahar cilindric și un morcov (con). Taie ambele în felii paralele cu baza. Observă: feliile de pahar (dacă ar fi plin cu ceva) ar fi cercuri identice, iar feliile de morcov scad spre vârf. Măsoară cu rigla razele a două-trei felii de morcov la distanțe egale de vârf și verifică dacă raportul razelor este proporțional cu raportul distanțelor.

2. Rezervor conic. Caută în casă un obiect conic (o pâlnie, un con de înghețată). Măsoară raza gurii mari și înălțimea. Calculează ce rază ar avea suprafața lichidului dacă acesta ar ajunge la jumătatea înălțimii, folosind $k=\frac{1}{2}$. Compară cu o măsurare reală, turnând apă.

3. Desen de examen. Desenează pe o foaie o piramidă patrulateră și o prismă patrulateră. În fiecare reprezintă o secțiune paralelă cu baza și notează sub desen dacă figura obținută este congruentă sau asemenea cu baza și care este raportul $k$ ales.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează paralelismul în spațiu într-un context foarte vizual, util la Evaluarea Națională. Elevul trebuie să distingă clar două situații: corpuri cu pereți paraleli (prismă, cilindru), unde secțiunea este congruentă cu baza, și corpuri cu vârf (piramidă, con), unde secțiunea este asemenea cu baza. Legătura cu trunchiul de piramidă și de con face trecerea firească spre capitolele de arii și volume care urmează.

Întrebări bune de verificare: „Ce se întâmplă cu mărimea secțiunii dacă tai o prismă mai sus?" (răspuns corect: nu se schimbă); „Dacă raportul de asemănare este $\frac{1}{2}$, de câte ori scade aria?" (răspuns corect: de $4$ ori); „De unde măsori raportul la un con?" (de la vârf). Dacă elevul răspunde corect la aceste trei întrebări și poate desena o secțiune cu laturile paralele bazei, a înțeles esența.

La Evaluarea Națională, secțiunile paralele cu baza apar de obicei ca item de raționament (subiectul II sau III), combinate cu calcule de perimetre și arii, sau ca pregătire pentru problemele cu trunchiuri. Redactarea îngrijită — justificarea paralelismului și menționarea explicită „congruent" sau „asemenea cu raportul $k$" — aduce punctaj.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă secțiune paralelă cu baza la clasa a 8-a? Este figura plană obținută când tai un corp geometric cu un plan paralel cu baza lui. Planul intersectează corpul, iar suprafața tăiată este secțiunea. Poziția planului fiind paralelă cu baza, figura obținută seamănă mult cu baza.

De ce secțiunea unei piramide este asemenea, iar a unei prisme congruentă cu baza? Pentru că prisma are muchiile laterale paralele și egale, deci decupează pe orice plan paralel o figură identică (congruentă). Piramida are muchiile care converg spre vârf, așa că o secțiune paralelă cu baza este mai mică, dar de aceeași formă — adică asemenea, cu un raport $k$ subunitar.

Cum calculez raportul de asemănare k la o secțiune într-un con? Împarți distanța de la vârf la planul secțiunii la înălțimea totală a conului: $k=\frac{h_1}{h}$. Același raport dă și raza secțiunii: $r=kR$. Ai grijă ca distanța să fie măsurată de la vârf, nu de la bază.

Ce corp obții când tai o piramidă cu un plan paralel cu baza? Obții două corpuri: o piramidă mai mică lângă vârf (asemenea cu cea inițială) și un trunchi de piramidă între secțiune și baza mare. La con, analog, obții un con mai mic și un trunchi de con.

De ce se împarte aria la k pătrat și nu la k? Pentru că aria este o mărime bidimensională: depinde de produsul a două lungimi, iar fiecare lungime se înmulțește cu $k$. Deci aria se înmulțește cu $k\cdot k=k^2$. La un raport $k=\frac{1}{2}$, aria devine un sfert.

Secțiunea paralelă cu baza a unui cilindru este cerc sau dreptunghi? Este un cerc, congruent cu cercul bazei. Un dreptunghi obții doar dacă tai cilindrul cu un plan care conține axa (secțiune axială), ceea ce este cu totul altă secțiune, nu paralelă cu baza.

Poate raportul k să fie mai mare decât 1? Nu, la o secțiune paralelă cu baza a unei piramide sau a unui con raportul este mereu $0<k<1$, pentru că secțiunea este mai mică decât baza. La prismă și cilindru raportul este exact $k=1$ (secțiunea egală cu baza).

Unde apar secțiunile paralele cu baza la Evaluarea Națională? Apar în problemele de geometrie în spațiu, de obicei ca itemi de raționament combinați cu calcule de perimetre și arii, și ca fundament pentru problemele cu trunchiuri de piramidă și de con. Redactarea corectă a justificării (congruent/asemenea) aduce puncte la barem.